3 Distribuições Teóricas Contínuas

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1 3 Distribuições Teóricas Contínuas Exercício 3.1 Sendo X uma variável aleatória com distribuição exponencial, mostre que P (X a + b/x a) =P (X b), a 0,b 0. Exercício 3.2 Sabe-se que o tempo entre 2 acidentesdeviaçãonumdeterminado troço da A2 tem distribuição exponencial com média de 45 dias. Se ocorre um acidente no primeiro dia de um mês, qual a probabilidade de nesse mesmo mês se verificar um segundo acidente de viação (suponha que o mês tem 30 dias)? Exercício 3.3 Numa unidade industrial o tempo de execução de uma peça é uma variável aleatória com distribuição exponencial de média 5 minutos. 1. Uma peça já se encontra em execução há 2 minutos. Qual a probabilidade de serem ainda necessários, pelo menos, 4 minutos até à sua conclusão? Comente o resultado obtido. 2. Considerando 5 peças ao acaso, calcule a probabilidade de 2 delas terem tido um tempo de execução máximo de 4 minutos. Exercício 3.4 O tempo de funcionamento, sem avarias, de uma determinada máquina de produção em série tem um comportamento exponencial com média igual a quatro dias e meio. Supondo que a máquina começa a funcionar no dia t =0. 1. Qual a probabilidade de não ocorrerem avarias antes de 6 dias? 2. Admitindo que a máquina se encontra no quarto dia de produção, qual a probabilidade de não ocorrer qualquer avaria antes do sexto dia de laboração? 3. Qual a probabilidade de se verificarem duas avarias durante os seis primeirosdiasdefuncionamentodamáquina? Exercício 3.5 Admitindo que determinada caixa multibanco é utilizada em média 10 vezes por dia (das 9h às 19h) e que o número de utilizações é uma v.a. com distribuição Poisson. 1. Determine a probabilidade de que a caixa seja utilizada pelo menos 4 vezes entre as 14h eas19h. 22

2 2. Calcule o valor esperado e a variância do número de utilizações semanais (5 dias) da caixa. 3. Determine a probabilidade de que o tempo decorrido entre duas utilizações consecutivas da caixa seja superior a 2 horas. Exercício 3.6 Uma máquina que funciona em contínuo, tem em média 2 avarias por cada turno de 8 horas. 1. Determine a probabilidade de que o tempo entre avarias consecutivas seja superior a 5 horas. 2. Se numa oficina estiverem a funcionar em simultâneo 24 máquinas daquele tipo, havendo uma capacidade de reparação de 5 avarias por hora, calcule: (a) A probabilidade de ocorrerem 3 avarias nos últimos 10 minutos de um turno. (b) O valor esperado e a variância do número de avarias por hora. (c) O número médio de avarias reparadas por hora. Exercício 3.7 O tempo de espera (em minutos) numa central telefónica entre duas chamadas segue uma distribuição exponencial com função densidade de probabilidade ½ e x,x 0 f (x) = 0,x<0. 1. Qual a probabilidade de que o tempo entre duas chamadas seja inferior a 3 minutos? 2. Qual a probabilidade de que o tempo entre duas chamadas seja superior a 3 minutos? 3. Que distribuição segue o número de chamadas por minuto? Justifique. Exercício 3.8 Durante o período de aulas, o tempo que um determinado aluno dedica ao estudo por mês, contabilizado em horas, é uma v.a. X cuja função de distribuição é definida por ½ F (x) = 0, x < 0 1 e x 60, x 0. 23

3 1. Num mês escolhido ao acaso, qual a probabilidade desse aluno estudar mais de 55 horas? 2. Dos meses em que estuda menos de 55 horas, qual a probabilidade de estudar pelo menos 28 horas? 3. Suponha que faz a aposta de que, nos próximos 4 meses, haverá um e um só mês em que o aluno estuda menos de 55 horas. Qual a probabilidade de vir a ganhar a aposta? Exercício 3.9 Seja X uma v.a. com distribuição normal, de parâmetros μ e σ. Calcule: 1. P (μ σ<x<μ+ σ). 2. P (μ 2σ <X<μ+2σ). 3. P (μ 3σ <X<μ+3σ). Exercício 3.10 Seja X uma v.a. com distribuição normal, de parâmetros μ =40e σ =6.Calcule: 1. P (X <32). 2. P (X >27). 3. P (42 <X<51). 4. O valor x tal que P (X <x)= O valor x tal que P (X >x)=0.13. Exercício 3.11 Uma fábrica produz motores cujo tempo de vida é uma variável aleatória com distribuição normal, de parâmetros μ =10anos e σ =2 anos. A fábrica quer criar um período de garantia, de forma a não mais de 3% dos motores tenham de ser substituídos. Qual deverá ser o período de garantia máximo oferecido pela fábrica? Exercício 3.12 Uma máquina para empacotamento automático de açúcar produz pacotes cujo peso liquido é uma v.a. com distribuição normal com média 8 g e desvio padrão 2 g. 1. Qual a probabilidade de um pacote escolhido ao acaso ter um peso superior a 8.5 g? 24

4 2. Qual a probabilidade de um pacote escolhido ao acaso ter um peso superior a 10 gouinferiora6 g? 3. Qual deveria ser a média do peso liquido para que 99% dos pacotes contivessem pelo menos 9 g? Exercício 3.13 Uma empresa tem produção constante de 90 toneladas/mês do produto que fabrica. Sabendo que a procura desse produto é uma v.a. aproximadamente normal de parâmetros μ =100e σ =10, calcule: 1. A probabilidade da procura se situar entre 68 e 90 toneladas. 2. A probabilidade de haver procura excedentária. 3. O valor que deveria ter a produção da empresa para que a probabilidade de haver procura insatisfeita fosse Exercício 3.14 Numa medição o erro aleatório segue uma lei normal de desvio padrão σ =1mm e média μ =0mm. 1. Obtenha a probabilidade de, numa medição, o erro pertencer ao intervalo ] 0.5, 2.5[. 2. Determine a probabilidade de que, em 2 medições independentes, o erro de pelo menos uma delas não ultrapasse em valor absoluto 1.28 mm. Exercício 3.15 O diâmetro interno de um segmento de um motor de automóvel é uma v.a. que segue uma distribuição normal com média 10 cm e desvio padrão 0.03 cm 1. Que percentagem de segmentos têm diâmetro interno superior a cm? 2. Qual a probabilidade de um segmento ter um diâmetro interno entre e cm? 3. Abaixo de que valor do diâmetro interno, se encontram 15% dos segmentos? Exercício 3.16 O diâmetro X de um cabo eléctrico é normalmente distribuído com média 0.8 e variância O cabo eléctrico é considerado defeituoso se diferir da sua média em mais de Qual a probabilidade de se encontrar um cabo defeituoso? 25

5 Exercício 3.17 Numa empresa a utilização semanal de determinada matériaprima, é uma v.a. com distribuição normal de parâmetros μ =600kg e σ =40kg. No início de certa semana a empresa tem em stock 634 kg de matéria-prima, sendo inviável nessa semana proceder a mais aprovisionamentos. 1. Determine a probabilidade de ruptura de stock de matéria-prima nessa semana. 2. Qual a probabilidade de numa dada semana o consumo ser inferior à média, sabendo-se que no inicio da mesma semana já se consumiram pelo menos 500 kg de matéria-prima? 3. Qual deverá ser o stock mínimo, de modo a que seja de 0.01 aprobabilidade de ruptura? Exercício 3.18 As alturas de um grupo de pessoas segue uma distribuição normal com média igual a 166 cm e variância de 9. Determine: 1. A probabilidade de que as alturas se situem entre os 160 e 172 cm. 2. A probabilidade de que as alturas não sejam inferiores a 175 cm. 3. A altura h de modo que em 800 pessoas haja 264 com altura superior a h. Exercício 3.19 Num exame 15% dos alunos obtiveram nota superior a 16 e 60% nota superior a 9. Supondo que a distribuição das notas é normal. 1. Determine os valores dos parâmetros μ e σ 2 dessa distribuição. 2. Calcule a percentagem de indivíduos com nota inferior a 7. Exercício 3.20 Considere a variável aleatória X N (μ; σ), tal que Determine μ e σ. P (X <30) = e P (X >50) = Exercício 3.21 Nos bebés, a idade (em meses) em que rompe o primeiro dente é uma v.a. normal de média 7 e variância igual a Qual a probabilidade de que um bebé escolhido ao acaso tenha o primeiro dente antes dos 7 meses? 26

6 2. Qual a probabilidade de que em dois bebés, um tenha o primeiro dente depois dos 6 meses, e outro depois dos 8 meses? 3. Qual a probabilidade de que numa amostra de 10 bebés, 8 deles tenham oprimeirodentenãoantesdos7 meses? Exercício 3.22 Para efeitos de comercialização, determinados frutos são classificadospelotamanho. Considera-secomomedidaoseudiâmetromáximo, o qual é uma variável aleatória com distribuição normal de desvio padrão igual a 5 cm e média μ. As categorias consideradas são as seguintes: c 1 : frutos com diâmetro máximo inferior ou igual a 6 cm; c 2 : frutoscomdiâmetromáximoentre6 e 12 cm; c 3 : frutos com diâmetro máximo superior ou igual a 12 cm. 1. Sabendo que 30% dos frutos são de categoria c 3, calcule o diâmetro máximo médio dos frutos. 2. Calcule a percentagem de frutos das categorias c 1 e c Se os frutos forem vendidos em embalagens económicas de 6 unidades, incluindo aleatoriamente todos os tamanhos, qual a probabilidade de haver pelo menos 2 frutos da categoria c 3? 4. Sabendo que os frutos da categoria c 2 têm uma probabilidade de apodrecer (ao fimde5 dias) de 0.004, calcule a probabilidade de entre 1000 frutos de categoria c 2,nãomenosde7 frutos apodrecerem ao fim de5 dias. Exercício 3.23 As notas obtidas numa faculdade a estatística são uma variável aleatória X com distribuição normal de média 10. Sabe-se que P (X <12) = Determine o desvio padrão das notas. 2. Determine P (8 <X<12). 3. Qual a probabilidade de, em 10 alunos, 4 obterem uma nota superior a 8? Exercício 3.24 Cada um dos 20 postos de trabalho nas linhas de montagem de uma fábrica consome peças do tipo A (durante 20 dias úteis) a um ritmo dado por uma v.a. com distribuição N (50, 3.2). Se os stocks de peças forem renovados cada 20 dias úteis, qual deverá ser o stock mínimo total no início de 27

7 cada período de 20 dias úteis, de forma a que a probabilidade de ruptura de stocks não exceda 20%? (Admita que o consumo em cada posto de trabalho é independente do consumo nos restantes postos de trabalho). Exercício 3.25 Os custos de mão-de-obra na produção de um artigo artesanal são uma variável aleatória de distribuição normal com média 100 unidades monetárias (u.m.) e desvio padrão de 10 u.m.. 1. Qual a probabilidade daquele custo se situar entre 90 e 110 u.m.? 2. Qual a probabilidade do custo de 3 artigos ser inferior a 310 u.m.? 3. Produzem-se três unidades. Qual a probabilidade de todas terem custo inferior a 118 u.m.? Exercício 3.26 O montante de depósitos à ordem efectuados diariamente numa agência bancária é uma v.a. com distribuição normal de média 120 unidades monetárias (u.m.) e variância Determineapercentagemdediasemqueomontantededepósitosse situa entre 105 e 135 u.m.. 2. Determine a probabilidade do montante de depósitos ser superior à média, nos dias em que esse mesmo montante é inferior a 125 u.m.. 3. Determine a média e a variância do montante de depósitos semanais (5 dias). Exercício 3.27 O consumo diário de água numa dada localidade tem uma distribuição normal de média 200 m 3 e desvio padrão de 10 m Qual a probabilidade de, num dado dia, o consumo estar compreendido entre 180 e 235 m 3? 2. Que quantidade de água se deverá encontrar disponível de modo a assegurar-se o consumo em 90% dos casos? 3. Ao longo de uma semana (7 dias) qual a probabilidade de haver no máximo 3 dias com consumo inferior a m 3? 4. Qual a probabilidade de que, em 5 dias úteis, se consuma mais de 1000 m 3? 28

8 Exercício 3.28 Uma máquina de encher copos de sumo está regulada de modo a que a quantidade de líquido que sai segue uma distribuição normal de média 7 dl e desvio padrão 0.4 dl. A máquina é considerada com avaria se a quantidade de líquido que dela sai for superior a 8 dl ou inferior a 6 dl. 1. Calcule a probabilidade da máquina estar avariada. 2. Qual a probabilidade de em 4 copos de sumo pelo menos 2 copos terem menos de 7.5 dl? 3. Se 4 copos forem despejados para um jarro, qual a probabilidade de este ficar com um volume de sumo superior a 28.5 dl? Exercício 3.29 Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supõe-se que 40% dessas garrafas contêm realmente uma quantidade de líquido menor do que a indicada no rótulo. Qual a probabilidade de, em 100 garrafas existentes numa loja: 1. Haver 30 com menos de 1 litro? 2. Haver não mais de 30 com menos de 1 litro? 3. Haver mais de 45 com menos de 1 litro? 4. Haver entre 44 e 50 com menos de 1 litro? Exercício 3.30 Dosfusíveisproduzidosnumafábricaverifica-se que 2% são defeituosos. Os fusíveis são embalados em caixas de 2000 unidades. Seja X o número de fusíveis defeituosos por caixa. 1. Indique a distribuição de X. 2. Qual o número médio de fusíveis defeituosos por caixa? 3. Determine a probabilidade de encontrar pelo menos 30 fusíveis defeituosos numa caixa. Exercício 3.31 As classificações obtidas num exame seguem distribuição normal com valor médio de 11 e variância 9. Os alunos com classificação entre 8.5 e 10 ou superior a 15 têm de fazer oral. Calcule: 1. A percentagem de alunos que se espera que obtenham notas no intervalo [10, 15]. 2. De 120 alunos que fizeram o exame, 29

9 (a) Quantos se espera que reprovem? (b) Qual o número esperado de alunos que vão fazer oral? (c) Qual a nota máxima obtida no grupo dos 12 alunos pior classificados? (d) Qual a probabilidade de se encontrarem 10 alunos com nota superior a 15? Exercício 3.32 Para fabricar um cão de madeira em série são necessárias as máquinas A, B e C. A máquina A produz moldes de madeira (com a forma do cão) cujo peso está normalmente distribuído com média 20 e desvio padrão 1.4 gramas. A máquina B cobre os moldes de madeira com pêlo sintético, estando o peso deste material normalmente distribuído com média 1.8 e desvio padrão 0.12 gramas. Por último o cão vai finalmente à máquina C onde são colocados os olhos, o nariz e a língua; o peso destes últimos pormenores tem também distribuição normal de média 0.2 e desvio padrão 0.03 gramas. 1. Qual a probabilidade de um cão, na sua forma final, pesar mais de 21 gramas? 2.Considere um lote de 1000 cães de madeira. Qual a probabilidade de 770 deles pesarem mais de 21 gramas? Exercício 3.33 A distribuição dos rendimentos familiares, num aglomerado populacional de famílias, é satisfatoriamente representado por uma lei normal. Sabe-se que o rendimento médio nesse aglomerado populacional é de 95 unidades monetárias (u.m.) e que a percentagem de famílias com rendimento inferior a 80 u.m. é 15.87%. 1. Qual o desvio padrão do rendimento dessas famílias? 2. Qual o número provável de famílias com rendimento entre 80 e 110 u.m.? 3. Qual a probabilidade de em 100 famílias seleccionadas aleatoriamente, se encontrarem 60 com rendimentos entre 80 e 110 u.m.? Exercício 3.34 A partir de um armazém vão ser distribuídas latas de espargos das quais 500 já ultrapassaram o prazo de validade. É efectuada uma inspecção sobre uma amostra de 15 latas escolhidas ao acaso e com reposição. A inspecção rejeita o lote se forem encontradas mais do que 2 latas fora de validade. 30

10 1. Qual a probabilidade da inspecção rejeitar o lote? 2. Qual o número esperado de latas fora do prazo de validade? 3. Qual a probabilidade de, em 400 latas escolhidas ao acaso de entre as existentes, se encontrarem 25 fora do prazo de validade? 31

11 Soluções 3.1:. 3.2: : : : : : : : valor esperado =50, variância = : : a: b: valor esperado =6, variância = c: : : : Poisson com parâmetro λ = : : : : : : : : : : (usando Φ 1 (0.55) 0.13) : (usando Φ 1 (0.87) 1.13). 3.11: : : : : : : : : (usando p 0.2 tem-se 0.96) : 0.62% : : (usando Φ 1 (0.85) 1.04). 3.16: : : : : : : : μ =10.36,σ 2 =29.45 (usando Φ 1 (0.85) 1.04 e Φ 1 (0.6) 0.25) : 27%. 3.20: μ =37.27, σ = : : : : 9.4 (usando Φ 1 (0.7) 0.52) : Cat. c 1 :25%,Cat. c 2 :45% : : : : : (usando p 0.15 tem-se ). 3.24: : : : (usando p 0.05 tem-se ) : 94% : : μ =600, σ 2 = : : : : : : (usando p 0.1 tem-se ) : : : : : : X B (2000, 0.02) : : : 53.75% a: b: c: d: : : : : : : : :