Fundamentos de Investigação Operacional /11 - Exercícios de Formalização 1

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1 Fundamentos de Investigação Operacional /11 - Exercícios de Formalização 1 1. Uma empresa responsável pelo abastecimento semanal de certo bem às cidades de Lisboa e Porto pretende estabelecer um plano de distribuição desse bem a partir dos centros produtores situados em Peniche, Viseu e Évora. As quantidades semanalmente disponíveis em Peniche, Viseu e Évora são 70, 130 e 120 toneladas, respectivamente. O consumo semanal previsto desse bem é de 180 toneladas em Lisboa e de 140 no Porto. Os custos unitários de transporte (u.m./ton.) de cada centro produtor para cada centro consumidor são os seguintes: Lisboa Porto Peniche Viseu Évora Formalize esta situação como um problema de programação linear que permita estabelecer o plano de distribuição que minimize os custos de transporte. 2. Uma gelataria confecciona e vende três tipos de gelados (1, 2 e 3) à base de ananás (A), morango (M) e chocolate (C). Cada gelado requer um determinado número de unidades dos sabores disponíveis, de acordo com a tabela: A M C As quantidades de ananás, morango e chocolate estão limitadas a 120, 60 e 30 unidades, respectivamente. Sabendo que o preço de venda é de 50, 40 e 20 unidades monetárias, respectivamente para os gelados tipo 1, 2 e 3, formule o problema de modo a maximizar a facturação. 3. Uma empresa de construção civil foi encarregada da realização de uma importante obra de remoção de terras e pretende renovar o seu parque de camiões. Existem no mercado dois tipos de veículos, A e B, cujos preços e características técnicas se indicam no quadro abaixo. A empresa possui actualmente 20 camiões do tipo C (cujas características se indicam também no quadro) que pode vender (no todo ou em parte) por 1490 euros cada. A empresa dispõe de euros para a aquisição de veículos, não contando com as receitas de eventuais vendas dos camiões que possui. Os camiões trabalharão num sistema de dois turnos diários, perfazendo um total de 340 horas de operação por mês em média. Cada camião é operado por um condutor por turno, mas não se considera possível contactar mais de 100 condutores. Todos os veículos necessitam de manutenções periódicas, de que carão encarregados dois mecânicos, cada um dos quais com um horário de trabalho de 170 horas por mês. Veículos Preço (euros) Capacidade (toneladas) Velocidade média (incluindo tempos carga/descarga) em km/h Tempos médios de manutenção por cada 1000 km (em horas) A B C

2 Fundamentos de Investigação Operacional /11 - Exercícios de Formalização 2 Formule um modelo de PL que permita determinar o número de camiões a comprar e vender que maximiza a capacidade de transporte em toneladas km. 4. O esquema seguinte representa uma rede de condutas de transporte de petróleo: Seja p ij o custo de envio de um barril de petróleo da cidade i para a cidade j, e c ij a capacidade máxima de envio da cidade i para a cidade j. Formule o problema de determinar a melhor maneira de enviar 100 barris de petróleo da cidade 1 para a cidade O dono de um grande restaurante tem o problema de plani car a existência de toalhas lavadas disponíveis para os sete dias da semana. Podem comprar-se toalhas novas no início da semana ao preço de 5 euros cada. Depois de usadas podem ser lavadas numa lavandaria com dois tipos de serviço: um serviço rápido, em que uma toalha é lavada em 1 dia (o que quer dizer que uma toalha usada na segunda se encontra disponível novamente para uso na quarta) e um serviço lento, em que uma toalha é lavada em 2 dias. Cada toalha lavada no serviço rápido tem um custo de 1,5 euros, enquanto que no serviço lento tem um custo de 0,5 euros. De segunda a domingo são necessárias, respectivamente, 110, 100, 160, 120, 180, 200 e 120 toalhas. No m de cada semana todas as toalhas são vendidas por 1 euro cada. Formule o problema de determinar a forma de se satisfazer as necessidades em toalhas, com um custo mínimo. 6. Uma companhia decide empregar temporariamente trabalhadores para substituição de outros durante os meses de férias: Junho, Julho, Agosto e Setembro. As leis do trabalho só permitem trabalho temporário durante esses meses. Os contratos poderão ser feitos por um período de 1, 2 ou 3 meses. O número de trabalhadores necessários nessas condições, em cada um desses meses, é de 90, 140, 130 e 80, respectivamente. Para conseguir esses trabalhadores a companhia recorre a uma empresa angariadora de mão-de-obra. A tabela seguinte fornece as taxas unitárias (em euros) cobradas pela empresa angariadora, em função do mês em que é feito o contrato com o trabalhador

3 Fundamentos de Investigação Operacional /11 - Exercícios de Formalização 3 e o número de meses de duração do contrato: Duração do contrato (em meses) Mês do contrato Junho Julho Agosto Setembro Formule o problema de plani cação pela companhia dos contratos de forma a pagar o menos possível à empresa angariadora. 7. Um armazenista, que comercializa um determinado produto alimentar, deseja programar as suas compras para os primeiros 4 meses do ano: Janeiro, Fevereiro, Março e Abril. O preço praticado pelo seu fornecedor habitual é de 100 u.m. por cada unidade de produto comprada nos 3 primeiros meses e de 150 u.m. por cada unidade comprada em Abril. O fornecedor habitual pode fornecer no máximo 3500 unidades de produto por mês. Caso o armazenista deseje comprar mais do que esta quantidade, num determinado mês, poderá adquirir até ao máximo de 1000 unidades a um outro fornecedor cujos preços são 25% mais elevados do que os praticados pelo fornecedor habitual. O armazenista pode criar stock do produto, sendo o custo de armazenagem por unidade e por mês de 40 u.m.. A procura a satisfazer pelo armazenista nos 4 meses é a seguinte: 1500, 3500, 4500, O stock em armazém no início de Janeiro é de 100 unidades. Sabendo que no nal de Abril não deve existir qualquer stock de produto, construa um modelo de programação linear que permita de nir o plano de compras óptimo. 8. Dispondo apenas de fígado e salsichas e sabendo que 1 kg de fígado custa 1 euro, fornece 300 calorias e 28 unidades de gordura; e que 1 kg de salsichas custa 1,5 euros, fornece 400 calorias e 8 unidades de gordura; pretende-se determinar a dieta mais económica para um animal, sabendo que as suas necessidades diárias são de pelo menos 400 calorias e não mais de 28 unidades de gordura. Formalize o problema. 9. Uma empresa produz dois produtos: comida para pássaros e comida para cães. A empresa tem dois departamentos: mistura e empacotamento. Os requisitos em cada departamento para produzir uma tonelada de qualquer dos produtos são os seguintes: Tempo por tonelada em horas mistura empacotamento comida de pássaro comida de cão Cada departamento dispõe de 8 horas por dia de trabalho. A comida de cão é feita de três ingredientes: carne, pasta de peixe e cereais. A comida de pássaro é feita de três ingredientes: sementes, pequenos seixos e cereais.

4 Fundamentos de Investigação Operacional /11 - Exercícios de Formalização 4 A composição destes 5 materiais é a seguinte: Descrição dos materiais em percentagens Proteínas Carbohidratos Minerais Abrasivos Custo por tonelada Carne Pasta de peixe Cereais Sementes Pedras Os requisitos mínimos da composição dos dois produtos são os seguintes (em percentagem do peso total): Proteínas Carbohidratos Minerais Abrasivos Sementes C. de pássaro C. de cão A comida de pássaro vende-se a 750 u.m. por tonelada, enquanto que a comida de cão se vende a 980 u.m. por tonelada. Admitindo que não há problemas de escoamento da produção, formalize um problema que permita determinar a composição de cada tipo de comida e a quantidade de cada uma a produzir, de modo a maximizar o lucro. 10. Uma empresa petrolífera pretende seleccionar 5 de 10 possíveis poços de petróleo P 1 ; P 2 ; : : : ; P 10, a que estão associados os custos c 1 ; c 2 ; : : : ; c 10, respectivamente. Por compromissos com o governo local, a empresa deve respeitar as seguintes restrições de desenvolvimento regional:! A escolha de P 1 e P 7 impede a escolha de P 8 ;! A escolha de P 3 ou P 4 impede a escolha de P 5 ;! Do grupo P 5 ; P 6 ; P 7 e P 8 só dois são possíveis;! A escolha de P 1 arrasta a de P 10. Formalize este problema. 11. Uma empresa de refrigerantes tem que planear a sua produção para o próximo mês. Na composição do refrigerante a fabricar a empresa utiliza três variedades diferentes de fruta - Tipo I, II e III - com custos por kg de 12, 20 e 30 cêntimos, respectivamente. Da fruta Tipo I extrai-se 0.35 litros de sumo por kg, enquanto que das frutas Tipo II e III se extraem, respectivamente, 0.4 e 0.6 litros por kg. Cada litro de refrigerante tem que apresentar pelo menos 90% de sumo de fruta e 1 mg de vitamina C. A fruta do Tipo I contém 0.5 mg dessa vitamina por kg, enquanto que a Tipo II contém 0.75 mg, e a Tipo III 1 mg também por Kg. Para manter o sabor agradável, em cada 10 litros de sumo não pode haver mais de 8 Kg de fruta de Tipos I e II. Formalize um problema que permita à empresa determinar a quantidade de fruta de cada tipo a utilizar para cada 10 litros de sumo fabricado, de modo a minimizar os custos.

5 Fundamentos de Investigação Operacional /11 - Exercícios de Formalização Uma empresa de aplicações nanceiras está a estudar 7 diferentes estratégias de aplicação de capital. Estas estratégias diferem quer no capital inicial envolvido quer na rentabilidade esperada. O quadro seguinte mostra, em milhões de euros, as quantias a investir e os lucros esperados para cada aplicação: Aplicações Lucro esperado (%) Investimento Só se dispõe de 100 milhões de euros para investir. Além disso, sabe-se que os investimentos 1 e 2 são mutuamente exclusivos, assim como os investimentos 3 e 4. Sabe-se também que é impossível realizar 3 ou 4 sem que se realize 1 ou 2. Pretendese, nestas condições, escolher a estratégia de investimentos que maximize o lucro esperado. Formule o problema de programação correspondente. 13. Uma empresa tem 3 tipos de máquinas, tendo cada uma delas uma velocidade e uma qualidade de fabrico diferentes. Cada máquina tipo I pode produzir 20 peças por hora com 1% de peças defeituosas. Cada máquina tipo II pode produzir 15 peças por hora com 5% de peças defeituosas. Cada máquina tipo III pode produzir 10 peças por hora com 0% de peças defeituosas. Os custos de operação por hora de funcionamento são de 2, 1.75 e 1.5 u.m. respectivamente para cada máquina tipo I, II e III. Cada dia de trabalho tem 8 horas durante as quais é necessário fabricar pelo menos 3500 peças sem defeito. A empresa só dispõe de 8 máquinas tipo I, 10 máquinas tipo II e 20 tipo III. Cada peça defeituosa custa à empresa 1 u.m.. Construa um modelo matemático cuja solução forneça o número de máquinas de cada tipo que devem ser utilizadas de forma a minimizar-se a totalidade dos custos de operação mais os custos associados às peças defeituosas. 14. Uma moeda deve ser cunhada numa liga contendo pelo menos 40% de prata e pelo menos 50% de cobre. Para o fabrico dessa liga estão disponíveis quatro tipos diferentes de outras ligas com as seguintes composições e custos (em euros por kg): A B C D % prata % cobre custo Construa um modelo que permita obter a mistura das ligas A, B, C e D que corresponda ao custo mínimo. 15. Uma cooperativa de lavradores tem dois armazens centrais que fornecem sementes de cereal a três armazens regionais que as distribuem aos lavradores. Mensalmente cada armazem central dispõe de 1000 a 2000 toneladas de sementes. A procura nos armazens regionais é de 1500, 750 e 750 toneladas. O custo de transportar cada tonelada é dado por: Armazéns centrais Armazens locais

6 Fundamentos de Investigação Operacional /11 - Exercícios de Formalização 6 Sendo o objectivo satisfazer a procura ao menor custo, estudar qual a política de transportes a adoptar. 16. Uma fábrica de tintas fabrica tinta para interior e para exterior usando dois tipos diferentes de matéria prima A e B. Ton de matéria prima por ton de tinta exterior interior máximo disponível Matéria prima A Matéria prima B Além disso, uma pesquisa de mercado estabeleceu que por dia a procura de tinta interior não excede em mais de 1 unidade a procura de tinta exterior e que não são gastas mais de 2 toneladas de tinta interior. A tonelada de tinta exterior custa 3000 euros e a tonelada de tinta interior custa 2000 euros. Sendo o objectivo maximizar as vendas qual deve ser a produção diária de cada tipo de tinta? 17. Um banco está a reformular a sua política de empréstimos. O banco dispõe de 12 milhões de euros para emprestar. Tipo de empréstimo Juro Probabilidade de não pagar pessoais compra de carro compra de casa agricultura comércio Supõe-se que o banco não consegue reaver o dinheiro de quem não paga. A competição com outras empresas faz com que o banco tenha de destinar pelo menos 40% dos fundos para empréstimos ao comércio e agricultura e os empréstimos para compra de casa devem ser pelo menos 50% da soma dos para ns pessoais, automóvel e casa. Além disso, por uma norma da gerência o quociente dos maus débitos pelo total de empréstimos não deve exceder Decidir que parcela deve ser atribuida a cada tipo de empréstimo de modo a maximizar os lucros. 18. Uma companhia imobiliária possui 800 acres de terreno à borda de um lago nas montanhas. A base do lago está ocupada, coberta com casas disseminadas sem qualquer critério. Também alguns tanques sépticos, a maior parte dos quais mal instalados, têm estado em uso intensivo contribuindo para sérios problemas de poluição. Para que a situação não se agrave as autoridades estabeleceram as seguintes regras: a - b - c - d - Só serão construidas moradias para uma, duas ou três famílias, sendo as unifamiliares pelo menos 50% do total. Com o objectivo de limitar o número de tanques sépticos, os lotes têm que ter uma área mínima de 2, 3 ou 4 acres conforme se trate de moradia uni, bi ou tri-familiar. Não será permitida a abertura de poços quer para uso doméstico quer para rega de jardins. Áreas recreativas de 1 acre devem ser consideradas para cada 100 famílias.

7 Fundamentos de Investigação Operacional /11 - Exercícios de Formalização 7 Prevê-se que 15% da área seja usada na abertura de estradas. Os preços esperados para a venda dos lotes serão de dólares para lotes unifamilares, dólares para bifamiliares e dólares para trifamiliares. Por outro lado o custo de ligar a água, será proporcional ao número de casas construídas. A companhia das águas exige um mínimo de dólares para fazer a ligação, estando a distribuição de água limitada a galões de água por dia durante a época seca. O quadro seguinte mostra o custo de ligar a água par cada tipo de lote e o consumo máximo esperado em galões por dia. Tipo unifamiliar bifamiliar trifamiliar recreio custo $ consumo Qual o número de lotes de cada tipo que devem ser feitos de modo a maximizar o lucro esperado? 19. Uma companhia de papel produz rolos de papel com 20 pés de largura. As encomendas dos clientes para um determinado dia são: Cliente largura (pés) número de rolos Como cortar os rolos reduzindo ao mínimo o desperdício? 20. Uma fábrica produz dois produtos usando duas máquinas diferentes em sequência. Cada máquina trabalha 8 horas por dia, podendo usar mais 4 horas extra ao custo adicional de 5 euros cada hora. O número de unidades produzido por hora, assim como o respectivo lucro em euros apresentam-se no seguinte quadro: Qual a política de produção a utilizar? Máquina Produto 1 Produto lucro em dólares Três re narias com capacidades máximas diárias de 6 milhões, 5 milhões e 8 milhões de galões de gasolina abastecem três áreas de distribuição com necessidades diárias de 4 milhões, 8 milhões e 7 milhões de galões. A gasolina é transportada através de uma rede de pipelines. O custo de transportar é directamente proporcional à distância percorrida pela gasolina. A re naria 1 não está ligada com a área de distribuição 3. O quadro seguinte dá as distâncias, em milhas, entre cada re naria e cada área de distribuição: áreas de distribuição Re narias Formule o problema que permita minimizar os custos de transporte.

8 Fundamentos de Investigação Operacional /11 - Exercícios de Formalização Uma empresa fabril produz 3 produtos P 1 ; P 2 e P 3. O processo de fabrico utiliza 2 matérias primas R 1 e R 2 e 2 máquinas F 1 e F 2. O quadro seguinte mostra as disponibilidades diárias das matérias primas (em quilos) e das máquinas (em minutos), assim como os quilos de cada matéria prima e os minutos de cada máquina necessários para manufacturar cada unidade dos produtos P 1 ; P 2 e P 3. Utilização por unidade de Disponibilidade Recurso P 1 P 2 P 3 diária F F R R A procura diária mínima do produto P 2 é 70 unidades, enquanto que a procura de P 3 não excede 240 unidades. Estima-se que o lucro correspondente a cada unidade produzida é de 1,5 euros para o produto P 1, 1 euro para o produto P 2 e 2,5 euros para o produto P 3. Pretende-se determinar a política de produção que maximize o lucro. 23. Uma empresa pretende produzir casacos e carteiras de couro. Cada casaco leva 8 metros quadrados de couro e 12 horas de trabalho manual. Cada carteira necessita de 3 metros quadrados de material e 4 horas de trabalho. Admita que o couro para as carteiras e os casacos é da mesma proveniência e que os operários podem confeccionar indiferentemente um ou o outro artigo. Em cada mês é possível utilizar no máximo metros quadrados de couro e 1600 horas de trabalho manual. Cada carteira é vendida a 600 euros e cada casaco a 1750 euros. Por sua vez, cada metro quadrado de couro custa 40 euros e cada hora de trabalho custa 75 euros. Estabeleça a estratégia de produção de modo a maximizar o lucro, admitindo que toda a produção é vendida.