UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR Probabilidades e Estatística 2012/2013

Transcrição

1 UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR Probabilidades e Estatística 2012/2013 GESTÃO E ECONOMIA FICHA DE TRABALHO 1: Probabilidades 1. As peças que saem de uma linha de produção são inspeccionadas e o seu estado (defeituoso ou não) é registado. Esta operação repete-se até que duas peças defeituosas sejam fabricadas (consecutivamente ou não) ou três peças não defeituosas sejam registadas consecutivamente. Descreva o espaço de resultados associado a esta experiência aleatória. 2. Considere quatro objectos a, b, c, d. Suponha que a ordem pela qual tais objectos são registados representa o resultado de uma e. a.. Considere os acontecimentos A e B definidos por: A = {a está na primeira posição} B = {b está na quarta posição} a) Quantos pontos constituem o espaço de resultados? Enumere-os. b) Enumere os elementos dos acontecimentos A B, A B e A B. 3. Considere a experiência aleatória que consiste em averiguar o tempo de vida de um dispositivo electrónico escolhido ao acaso num armazém. a) Descreva o espaço de resultados. b) Considere os acontecimentos A = dispositivo tem um tempo de vida superior a 10 B = dispositivo tem um tempo de vida não inferior a 4 e não superior a 12 Descreva A, A B, A B e A B. 4. Suponha que A e B são acontecimentos tais que P (A) = x, P (B) = y, P (A B) = z. Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos de x, y e z. a) P ( A B ) ; b) P ( A B ) ; c) P ( A B ) ; d) P ( A B ) ; 5. Sendo A, B e C acontecimentos tais que A B C = Ω, A B = = B C, P (A) = 0.3, P ( B ) = 0.7 e P (C) = 0.5, determine P (A C). 1

2 6. Uma cidade com habitantes possui apenas 3 jornais diários, A, B e C. Uma investigação mostrou que: pessoas compram A B C A e B B e C A e C A, B e C Qual a probabilidade de que um habitante, escolhido ao acaso, compre a) um dos jornais A ou B; b) exactamente um dos jornais B ou C; c) somente A e C; d) somente C; e) pelo menos um dos jornais; f) nenhum deles. 7. Sendo P (A) = 0.5 e P (A B) = 0.7 determine a probabilidade de ocorrência de B, quando: a) A e B são acontecimentos independentes; b) A e B são acontecimentos incompatíveis; c) P (A B) = Sejam A, B e C acontecimentos tais que: i) P (A) = 2 3, P (B) = 1 5 e P (C) = 5 12 ; ii) C é independente de A e de B; iii) A e B são mutuamente exclusivos. Calcule P ( C A B ). 9. Sejam A, B e C três acontecimentos, de um mesmo espaço de probabilidade (Ω, A, P ), independentes e tais que P (A) = 1 5, P (B) = 2 5 e P (C) = 3 5. a) Qual é a probabilidade de nenhum destes acontecimentos ocorrer? b) Qual é a probabilidade de ocorrer C sabendo que não ocorreu A nem B? 10. Os acontecimentos A e B com probabilidades, respectivamente, 0.4 e 0.3 são independentes. Determine a probabilidade de realização de um e um só dos dois acontecimentos. 11. Sendo A e B acontecimentos tais que P (A B) = x e P (A) = P (B) = 0.5x , e supondo que são acontecimentos independentes, calcule o valor numérico de P (A B). 12. Sabendo que A, B e C são três acontecimentos tais que calcule P ( (A B) C ). P (A B C) = 2 3 e P (C) = 1 2, 2

3 13. Um director da companhia de seguros SAVE elaborou uma lista com os oito melhores candidatos a dois postos de trabalho na seguradora. Dos oito candidatos, cinco são gestores e três são economistas. Se o director seleccionar ao acaso dois candidatos da lista, qual é a probabilidade de que ambos sejam gestores? 14. Uma companhia de seguros classifica alguns dos seus segurados de alto risco. Estudos da companhia indicam que dos segurados de alto risco, 30% estarão envolvidos em algum acidente no próximo ano. Sabe-se ainda que, dos seus segurados, 15% estarão envolvidos no próximo ano em algum acidente e 80% não são classificados de alto risco. a) Determine a probabilidade de um segurado da companhia se envolver num acidente no próximo ano mas não ser um segurado classificado de alto risco. b) Qual a percentagem de segurados da companhia que ou pertencem ao grupo classificado de alto risco ou estarão envolvidos em algum acidente no próximo ano. c) Mostre que, de entre os segurados que estarão envolvidos no próximo ano em algum acidente, 40% pertencem ao grupo classificado de alto risco. d) Se daqui a um ano entrarem na companhia 30 processos de segurados envolvidos em algum acidente e um funcionário receber 5 desses processos (enviados ao acaso), calcule a probabilidade dele ter que analisar 2 que pertençam a segurados classificados de alto risco. (1 o Mini-teste 2004/2005) 15. Um vendedor ambulante do mercado semanal, estima que 20% dos visitantes do mercado interessam-se pelo preço dos seus produtos, e que, devido à sua habilidade comercial, 75% dos que se interessam pelo preço de um produto decidem finalmente comprá-lo. a) Qual é a probabilidade de que um visitante do mercado pergunte o preço mas não compre um produto? b) Sabendo que 30% dos compradores perguntam previamente o preço, qual é a probabilidade de que um visitante, seleccionado ao acaso, compre um produto? c) Se quarenta visitantes do mercado perguntarem ao vendedor o preço de um produto, qual é a probabilidade de em dez deles, escolhidos ao acaso, haver no máximo um que não compra qualquer produto? (1 o Mini-teste 2005/2006) 16. Em cada dia são introduzidos no mercado novos produtos. Normalmente, a um novo produto faz-se um teste de mercado antes de se por à venda. A probabilidade de que um novo produto introduzido no mercado por uma empresa tenha sucesso é igual a Para um produto que, eventualmente, tenha sucesso no mercado, a probabilidade de que pelo menos 50% das pessoas incluídas no teste gostem desse produto é igual a No entanto, para um produto que, eventualmente, não tenha sucesso, a probabilidade de que pelo menos 50% das pessoas incluídas no teste gostem desse produto é igual a 0.2. Recentemente, determinada empresa introduziu no mercado um novo produto. Qual é a probabilidade deste produto ter sucesso, sabendo que menos de 50% das pessoas incluídas no teste gostaram dele? 17. Uma fábrica possui três máquinas que produzem o mesmo tipo de peças. A máquina 1, que produz 40% das peças, produz 5% de peças defeituosas. A máquina 2, que produz 35% das peças, produz 10% de peças defeituosas. A máquina 3 produz 15% de peças não defeituosas. a) Determine a percentagem total de peças defeituosas produzidas em tal fábrica. 3

4 b) Determine a prob. de uma peça defeituosa ter sido fabricada pela máquina Numa empresa de transportes, a probabilidade de que um camião tenha um acidente é igual a 0.1. Quando há um acidente, a probabilidade de se perder a carga é Por outro lado, a probabilidade de se perder a carga e de não haver um acidente é a) Calcule a probabilidade de um camião ter um acidente ou perder a carga. b) Se um camião perdeu a carga, qual é a probabilidade de ter sido devido a um acidente? (Exame Ép. de Recurso 2004/2005) 19. Sabe-se que 5% das lâmpadas produzidas na fábrica LUX são defeituosas. Todas as lâmpadas produzidas nesta fábrica são submetidas ao controlo de qualidade. Sabe-se ainda que, no controlo de qualidade, 1% das lâmpadas defeituosas são aprovadas e 3% das lâmpadas sem defeito são reprovadas. a) Escolhida ao acaso uma lâmpada produzida nessa fábrica, qual é a probabilidade de ser defeituosa se foi reprovada pelo controlo de qualidade? b) Admita que, no último ano, a fábrica LUX produziu 1 milhão de lâmpadas, tendo enviado para reciclagem todas as lâmpadas reprovadas pelo controlo de qualidade. Quantas lâmpadas é provável que esta fabrica tenha enviado para reciclar? 20. O construtor A realiza a primeira parte de uma obra e o construtor B termina-a. B não pode começar até que A termine. A deve completar a sua parte até 31 de Outubro e B até 31 de Dezembro. A probabilidade de A e B cumprirem (simultaneamente) os seus prazos é 0.6. Se A se atrasar, B tem 20% de probabilidade de terminar o projecto a tempo. Sabendo que a probabilidade de A cumprir o prazo é 3 vezes maior do que a probabilidade de o não cumprir, determine a probabilidade de a obra ficar terminada até 31 de Dezembro. 21. Um processo de fabrico produz chips (circuitos integrados). Ao longo do processo de fabricação existia um sistema de controle de qualidade que estimou em 20% a percentagem de chips com algum tipo de defeito. Devido aos elevados custos, este sistema de controle de qualidade foi substituído por outro que consiste em testar os chips no final da linha de produção. Este teste deixa passar todos os chips sem defeitos, mas 10% dos chips com algum defeito passam por bons. a) Sabendo que um chip passou o teste, qual é a probabilidade de ele ser um chip sem defeitos? b) Se a empresa comercializa todos os circuitos que passam o teste, qual é a percentagem de chips comercializados com algum tipo de defeito? 22. Para avaliarem previamente produtos a inserir no mercado foram usados consumidores. Sabe-se que 95% dos produtos com muito sucesso, 60% dos produtos com sucesso moderado e 10% de produtos sem sucesso no mercado receberam uma avaliação positiva. Dos produtos inseridos no mercado, 40% têm muito sucesso, 35% têm sucesso moderado e os restantes 25% não têm sucesso. a) Qual é a probabilidade de que um produto tenha uma avaliação positiva? b) Se um determinado produto teve uma avaliação positiva, qual é a probabilidade de que venha a ser um produto com muito sucesso no mercado? c) E no caso de um produto avaliado negativamente, que probabilidade tem de vir a ser pelo menos um produto de sucesso no mercado? (Exame Ép. Especial 2006/2007) 4

5 23. Em certa linha de produção de semicondutores, 20% dos circuitos estão sujeitos a altos níveis de contaminação, 30% a níveis médios de contaminação e 50% a baixos níveis de contaminação. Sabe-se que 10% dos circuitos sujeitos a altos níveis de contaminação falham, sendo essas percentagens iguais a 1% e 0.1% quando os circuitos estão sujeitos a níveis médios e baixos de contaminação, respectivamente. a) Calcule a percentagem de circuitos produzidos que falham. b) Qual a percentagem de circuitos que não falham nem estão sujeitos a altos níveis de contaminação. c) Se verificou que um determinado circuito está a funcionar devidamente, qual a probabilidade de ter sido sujeito a altos níveis de contaminação? 5

6 Soluções da Ficha de Trabalho 1 1. #Ω = 13 elementos; 2. a) #Ω = 4! = 24 elementos; b) #(A B) = 2 elementos, #(A B) = 10 elementos e #(A B) = 8 elementos. 3. a) Ω = {t R : t 0}; b) A = [0, 10], (A B) = [4, + [, (A B) =]10, 12] e (A B) = [4, 10] ]12, + [. 4. a) P (A B) = 1 z; b) P (A B) = y z; c) P (A B) = 1 x + z; d) P (A B) = 1 x y + z. 5. P (A B) = 0, a) ; b) 3 50 ; c) 3 25 ; d) 1 50 ; e) 1 2 ; f) a) 2 5 ; b) 1 5 ; c) a) ; b)

7 10. 0, , C5 2 C3 0. C a) 0, 09; b) 0, 23; c) Mostre. d) C12 2 C18 3 C a) 0, 05; b) 0, 5; c) C10 0 C C10 1 C30 9 C , a) 0, 2675; b) 0, a) 0, 14; b) 0, a) 0, 6346;. b) lâmpadas para reciclagem , a) 0, 9756; b) 0, a) 0, 615; 7

8 b) 0, 6179; c) 0, a) 0, 0235; b) 0, 7965; c) 0,