EA044 Planejamento e Análise de Sistemas de Produção Lista de Exercícios 1 Prof. Paulo Valente

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1 EA044 Planejamento e Análise de Sistemas de Produção Lista de Exercícios 1 Prof. Paulo Valente Problemas de Otimização Lineares Em alguns dos enunciados a seguir as variáveis de decisão podem assumir, na prática, apenas valores inteiros. Nesses casos, obtenha a formulação relaxada do problema. 1. Um designer de jogos para computador desenvolveu dois tipos de jogos que podem ser vendidos para lojas de departamento. Embora a demanda para esses jogos exceda a sua capacidade de produzi-los, o designer continua a trabalhar sozinho, mas limita sua carga de trabalho semanal a 50h. O Jogo I consome 3.5h para ser produzido e rende $28 por unidade. O Jogo II requer 4h e rende $31 por unidade. Quantos jogos de cada tipo o designer deve produzir semanalmente para que o seu lucro total seja maximizado? 2. Uma loja de animais de estimação determinou que cada hamster deve receber no mínimo 70 unidades de proteína, 100 unidades de carboidrato e 20 unidades de gordura, diariamente. Se a loja utiliza seis tipos de alimentos como na tabela abaixo, qual a mistura de alimentos que satisfaz os requisitos alimentares do hamster a um custo mínimo para a loja? Alimento Proteína Carboidrato Gordura Custo (unid/oz) (unid/oz) (unid/oz) (cent/oz) A B C D E F Uma empresa de manufatura produz quatro diferentes tipos de produtos de metal, cada um dos quais deve ter suas partes torneadas, polidas e montadas. Os requisitos de tempo, em horas, de cada produto estão indicados na tabela abaixo. Produto Torneamento Polimento Montagem I II III IV

2 A empresa dispõe semanalmente de 480h para torneamento, 400h para polimento e 400h para montagem. Os lucros unitários dos produtos são $6, $4, $6 e $8, respectivamente. A firma tem um contrato com um distribuidor para fornecer semanalmente 50 unidades do produto I e 100 unidades de qualquer combinação dos produtos II e III. Para outros consumidores, a empresa pode vender semanalmente tantas unidades dos produtos I, II e III quantas for capaz de produzir, mas no máximo 25 unidades do produto IV. Quantas unidades de cada produto a empresa deve produzir semanalmente para cumprir suas obrigações contratuais e maximizar seu lucro total? 4. Uma empresa de fornecimento de refeições deve, a partir de cinco sucos básicos em estoque, preparar 500 galões de um ponche contendo no mínimo 20% de suco de laranja, 10% de suco de toranja (grapefruit) e 5% de suco de cereja. Se o estoque da empresa é como descrito na tabela abaixo, quanto de cada suco a empresa deve utilizar para obter a composição requerida a um custo total mínimo? Suco % Laranja % Toranja % Cereja Estoque, g Custo, $/g A B C D E Uma empresa decidiu investir $12 milhões na aquisição de várias máquinas para fabricação de diferentes tipos de placas mãe de uma nova geração de computadores pessoais. Três modelos de máquinas estão sendo avaliados. O número total de operadores disponíveis no mercado local é de 100. Cada operador trabalha um turno e todas as máquinas devem operar nos três turnos de produção da empresa. Informações adicionais referentes às máquinas estão indicadas na tabela abaixo. Modelo Placas por Operadores Horas por Custo por Hora por Turno Dia Máquina, $ A B C Quantos máquinas de cada modelo a empresa deve adquirir para que o número de placas fabricadas por dia seja maximizado? 6. Uma companhia opera três minas. O minério extraído de cada mina é separado de duas maneiras (granularidades) antes de ser despachado. 2

3 As capacidades de produção e custos operacionais das minas, por dia, encontram-se indicados na tabela abaixo. Mina Minério 1 Minério 2 Custo tons/dia tons/dia $1000/dia I II III A companhia deve entregar 54 toneladas de minério do tipo 1 e 65 toneladas de minério do tipo 2 até o final da semana. Contratos de trabalho exigem que os trabalhadores de cada mina recebam pelo dia inteiro, mesmo que não haja trabalho para todo o dia. Determine o número de dias que cada mina deve operar durante a semana, de forma a minimizar o custo total de produção da companhia. 7. Uma livraria precisa determinar quantas unidades deve adquirir de cada um de quatro novos livros sobre Fotônica, de maneira a satisfazer o interesse gerado por essa nova disciplina. O custo, o lucro e o espaço necessário para armazenar cada livro nas estantes da livraria estão indicados na tabela a seguir. Livro Custo Lucro Espaço $/unid $/unid in/unid A livraria dispõe de $5000 para a compra dos livros, o espaço total disponível nas estantes é de 100 in e a livraria já decidiu adquirir no mínimo 10 unidades de qualquer combinação dos livros 2 e 4. Determine as quantidades de cada livro a serem adquiridas pela livraria para que seu lucro seja máximo. Assuma que tudo o que a livraria adquirir será vendido. (Nota: 1 in (polegada) = 2.54 cm.) 8. Uma corporação de produtos semicondutores produz um módulo em estado-sólido que é fornecido para quatro diferentes fabricantes de televisores. O módulo pode ser produzido em cada uma das três fábricas da corporação, embora os custos de produção variem devido às diferentes eficiências das fábricas. Especificamente, custa $1.10 produzir um módulo na fábrica A, $0.95 na fábrica B e $1.03 na fábrica C. As capacidades de produção mensais das fábricas são de 7500, e 8100 módulos, respectivamente. As previsões de vendas mensais projetam 3

4 demandas de 4200, 8300, 6300 e 2700 módulos para os fabricantes de televisores I, II, III e IV, respectivamente. Se os custos de transporte de um módulo de uma fábrica da corporação para um fabricante de televisores são como indicados na tabela abaixo, determine o programa de produção que atende a todos os requisitos e minimiza o custo total da corporação. I II III IV A B C Um fabricante de produtos plásticos possui estoques de 1200 e 1000 caixas de fita adesiva em duas fábricas diferentes. O fabricante possui pedidos do produto de três atacadistas distintos, nas quantidades de 1000, 700 e 500 caixas, respectivamente. Os custos unitários de transporte (centavos/caixa) das fábricas para os atacadistas são os seguintes: Fábrica Atacadista 1 Atacadista 2 Atacadista Formule o problema de transporte com mínimo custo que atenda as demandas dos atacadistas com os estoques disponíveis. 10. Um fabricante está começando uma nova semana de produção de quatro diferentes tipos de consoles para televisores, os quais devem ser montados e então decorados. Os modelos requerem 4, 5, 3 e 5 horas para serem montados, e 2, 1.5, 3 e 3 horas para serem decorados, respectivamente. Os lucros unitários com os modelos são $7, $7, $6 e $9, respectivamente. O fabricante dispõe de horas para montagem (750 montadores trabalhando 40 horas por semana) e horas para decoração (500 decoradores trabalhando 40 horas por semana). Quantas unidades de cada modelo o fabricante deve produzir durante a semana de forma a maximizar seu lucro? Assuma que produtos não-acabados numa semana podem ser acabados na semana seguinte. 11. Uma refinaria de petróleo produz dois tipos de gasolina, normal e premium, que a refinaria vende a sua cadeia de postos por $12/barril e $14/barril, respectivamente. Os dois tipos de gasolina são obtidos da mistura de dois óleos combustíveis refinados, os quais a refinaria dispõe em estoque, denominados de óleo doméstico e óleo estrangeiro. As gasolinas devem atender às seguintes especificações: 4

5 Gasolina Pressão Taxa de Demanda Entrega Máxima Octanagem Máxima Mínima de Vapor Minima bbl/sem bbl/sem Normal Premium As características dos dois óleos refinados em estoque são como segue: Óleo Pressão Taxa de Estoque Custo de Vapor Octanagem bbl $/bbl Doméstico Estrangeiro Determine as quantidades dos dois óleos a serem utilizadas para produzir os dois tipos de gasolina, de forma a maximizar o lucro semanal da refinaria. (Nota: bbl é uma unidade americana para barril (barrel).) Resolução Gráfica e Forma Padrão dos PL s 1. Resolva graficamente, se possível, os problemas de programação lineares descritos a seguir. a) b) c) d) minimizar x 1 3x 2, sujeito a x 1 + x 2 6, x 1 + 2x 2 8, minimizar 2x 1 + 3x 2, sujeito a x 1 + 2x 2 2, 2x 1 x 2 3, x 2 4, minimizar 3x 1 + 2x 2, sujeito a x 1 + 3x 2 12, x 1 + x 2 8, 2x 1 x 2 10, maximizar 3x 1 + x 2, sujeito a x 1 + 2x 2 6, x

6 2. Obtenha as formas-padrões dos problemas de programação lineares descritos a seguir. a) b) c) d) maximizar x 1 + x 2, sujeito a x 1 + 5x 2 5, 2x 1 + x 2 4, minimizar 25x x 2, sujeito a 4x 1 + 7x 2 1, 8x 1 + 5x 2 3, 6x 1 + 9x 2 2, minimizar 2x 1 x 2 + 4x 3, sujeito a 5x 1 + 2x 2 3x 3 7, 2x 1 2x 2 + x 3 8, x 1 0; minimizar 10 x x 2 + x 3, sujeito a x 1 + x 2 50, x 2 + x Obtenha as formas matriciais (matrizes A, b e c) associadas às formaspadrões obtidas no Exercício 2. 6

7 Respostas de Alguns Exercícios de Modelagem Exercício 5 maximizar 990x x x 3 sujeito a x x x , 3x 1 + 6x 2 + 6x 3 100, onde x 1, x 2 e x 3 são variáveis não-negativas que indicarão quantas máquinas dos modelos A, B e C serão adquiridas. Exercício 6 minimizar 20x x x 3, sujeito a 4x 1 + 6x 2 + x 3 54, 4x 1 + 4x 2 + x 3 65, x 1 7, x 2 7, x 3 7, onde x 1, x 2 e x 3 são variáveis não-negativas que representam o número de dias de operação das minas I, II, e III. Exercício 7 maximizar 13x x 2 + 8x x 4 sujeito a 75x x x x , 2x 1 + 3x 2 + x 3 + 4x 4 100, x 2 + x 4 10, onde x 1, x 2, x 3 e x 4 são variáveis não-negativas que indicarão quantas unidades dos livros 1, 2, 3 e 4 serão adquiridas. Exercício 9 minimizar 14x x x x x x 23 sujeito a x 11 + x 12 + x 13 = 1200, x 21 + x 22 + x 23 = 1000, x 11 + x 21 = 1000, x 12 + x 22 = 700, x 13 + x 23 = 500, onde x ij (i = 1, 2; j = 1, 2, 3) representam variáveis não-negativas que indicarão quantas caixas serão despachadas da fábrica i para o atacadista j. Exercício 10 minimizar 7x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 9x 4 sujeito a 4x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 5x , 2x x 2 + 3x 3 + 3x , 7

8 onde x1, x 2, x 3 e x 4 são variáveis não-negativas que representam os números de consoles dos tipos 1, 2, 3 e 4. Exercício 11 maximizar 4x 1 3x 2 + 6x 3 x 4, sujeito a x 1 + x , x 3 + x , x 1 + x , x 2 + x , x 1 10x 2 0, 6x 3 5x 4 0, 2x 1 8x 2 0, 2x 3 8x 4 0, x 1 + x , x 3 + x , onde x 1 e x 3 (x 2 e x 4 ) são variáveis não-negativas que representam os números de barris do tipo doméstico (estrangeiro) utilizados para produzir as gasolinas normal e premium, respectivamente. 8