APRENDENDO ESTATÍSTICA

Transcrição

1 PARTE II

2 2 APRENDENDO ESTATÍSTICA 4. Coleta de Dados Toda e qualquer ação estatística deve estar centrada em objetivos claros. O primeiro passo para um procedimento estatístico é o trabalho que envolve os dados de um estudo. Estando estes objetivos definidos, buscam-se os dados que os satisfaçam, sejam eles primários ou secundários. Dados primários são aqueles que foram prospectados sem que não tenha havido um estudo preliminar acerca da amostra em específico, ou seja, são dados originais. Dados secundários são aqueles que estão a nossa disposição oriunda de outros estudos. São fontes de dados secundários; Internet, bancos de dados, cadastros, jornais, revistas, filmes, entre muitas outras fontes. A coleta de dados pode ser dividida em contínuas, periódicas ou ocasionais. * Coleta de dados contínua: quando os eventos que acontecem durante determinado estudo, são registrados à medida que ocorrem; * Coleta de dados periódica: acontecem de ciclo em ciclo, como exemplo o censo do Brasil; * Coleta de dados ocasional: são aqueles realizados sem a preocupação de continuidade ou periodicidade. Nos estudos que são realizadas coletas de dados contínuas ou periódicas o interesse é a enumeração total. A estatística participa apenas no seu aspecto descritivo de apresentação de dados. Os dados são obtidos pelo próprio pesquisador, utilizando dados já existentes (dados secundários) ou através de levantamentos (dados primários) e experimentos. O pesquisador pode querer descrever o conjunto, mas o mais comum é ele querer fazer inferências a partir de amostras do total. Dessa forma a estatística participa no processo de fazer a inferência e planejar como a mesma será realizada. Nos levantamentos, como os utilizados nas pesquisas de saúde pública, a estatística indica a forma de amostragem que permite uma inferência sobre o todo. Nos experimentos ela fornece o delineamento mais adequado em cada estudo. Qualquer que seja a forma de obtenção de dados eles estarão no final do trabalho, desorganizados. Para que esses dados tenham um valor informativo (sobre o assunto investigado), deverão ser apresentados de forma concisa e compreensível, satisfazendo a dúvida.

3 3 5. Tabelas de frequências e agrupamento de dados Os estudos estatísticos são responsáveis pela análise de informações através de tabelas informativas e representações gráficas, no intuito de fornecer clareza nos resultados obtidos. Os dados coletados são organizados em tabelas que detalham as frequências absoluta e relativa. Em algumas situações, a quantidade de informações diferenciadas torna inviável a construção de uma tabela com uma linha para cada representação de valor. Nesses casos optamos por agrupar os dados em intervalos de classes. 6. Representações Gráficas dos dados estatísticos. Os gráficos encontram-se presentes em quase todos os meios de divulgação de informação, como jornais e revistas, nos manuais escolares, nas apresentações públicas e até os nossos relatórios individuais já não passam sem eles. Contudo, fazer um gráfico ou um mapa que de fato informe e seja simultaneamente, apelativo, legível e coerente com os dados não é tarefa fácil. A grande vantagem dos gráficos reside na sua capacidade de contar uma história de forma interessante e atrativa permitindo compreender rapidamente fenômenos que dificilmente seriam percebidos de outra forma. Contudo, não implica que este processo seja feito de forma simples, sendo necessário muito trabalho e cuidado. Existem muitas formas de apresentar figurativamente a informação estatística e no caso particular dos gráficos são tantas as possibilidades que houve necessidade de restringir o objeto deste material aos gráficos mais usuais e não proceder a uma abordagem mais exaustiva. 7. Recursos Computacionais Você pode exibir graficamente os dados coletados utilizando o Microsoft Excel. Os gráficos são vinculados aos dados da planilha na qual foram criados e atualizados quando você altera os dados da planilha. Detalhes serão vistos em aula. 8. Medidas de Tendência Central (de Posição) Com o intuito de medir a tendência da amostra vamos estudar, inicialmente, a média aritmética, ponderada, moda e mediana.

4 4 8.1 Média aritmética: A média aritmética simples é a mais utilizada no nosso dia-a-dia. É obtida dividindo-se a soma das observações pelo número delas. É um quociente geralmente representado pelo símbolo. Neste curso, iremos rotular cada tipo de média com um índice apropriado, neste caso chamaremos a média aritmética de. Se tivermos uma série de n valores de uma variável x, a média aritmética simples será determinada pela expressão: Exemplo 13: Média aritmética,, a conhecidos x i e n. Calcule a média aritmética do número de alunos. número de alunos

5 5 Exemplo 14: Média aritmética,, conhecidos x i e n. Calcule a média aritmética na pontuação dos alunos das classes A, B e C. nota - Classe A nota - Classe B nota - Classe C = = = Exemplo 15: Média aritmética - Sistema de Equações A média das idades de um grupo de estudantes é de 25 anos. Excluindo-se o mais novo deles, que tem 16 anos, a média do novo grupo formada passa a ser 28 anos. Quantos estudantes havia no primeiro grupo? Resolução: Anotações Exemplo 16: Média aritmética - Sistema de Equações A média das idades de um grupo de estudante é de 20 anos. Excluindo-se dois deles, o de 10 e o de 12 anos, a média do novo grupo formada aumenta de 30%. Quantos estudantes havia no primeiro grupo? Resposta: 5 estudantes. Anotações

6 6 8.2 Média Ponderada: Consideremos uma coleção formada por n números:, de forma que cada um esteja sujeito a um peso [Nota: "peso" é sinônimo de "ponderação"], respectivamente, indicado por:. A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um multiplicados por seus respectivos pesos, dividida pela soma dos pesos, isto é: Exemplo 17: Média aritmética ponderada. Um professor no início do curso informou que no critério de avaliação das provas seriam adotados os seguintes pesos: Bimestre1 Bimestre2 Bimestre3 Bimestre Considerando que dois alunos, Juliana e Rafael, terminaram o curso com as seguintes notas bimestrais das provas P1 a P4: NOTAS P1 P2 P3 P4 Juliana Rafael Calcule: a) A média ponderada de cada aluno b) A média aritmética de cada aluno.

7 7 Exemplo 18: Média aritmética ponderada Determinação de custos. Uma fábrica possui quatro grupos de funcionários, com 18 operadores (OP) e 15 técnicos (TEC) cada, que trabalham em turno de revezamento. A empresa deseja contratar um corpo de técnicos em informática para trabalhar no horário administrativo. Considerando a tabela de salários abaixo, calcular quantos técnicos em informática (TI) a empresa poderá contratar para que a média ponderada com salários seja R$ 1.725,00. Cargo R$ nº OP 2000,00 18 TEC 1500,00 15 TI 1500,00 n Resolução:

8 8 8.3 Moda, Mo: Seja uma amostra com n valores x i (i = 1,..., n) definimos moda como o valor que aparece com maior frequência. Em estatística descritiva, a moda é o valor que detém o maior número de observações, ou seja, o valor ou valores mais frequentes. A moda não é necessariamente única, ao contrário da média ou da mediana. É especialmente útil quando os valores ou observações não são numéricos, uma vez que a média e a mediana podem não ser bem definidas. A moda é uma medida não afetada por valores extremos. A moda de {maçã, banana, laranja, laranja, laranja, pêssego} é laranja. A série {1, 3, 5, 5, 6, 6} apresenta duas modas (bimodal): 5 e 6. A série {1, 3, 2, 5, 8, 7, 9} não apresenta moda. Exemplo 19: Moda (elemento que aparece com maior freqüência). As idades dos jogadores de dois times de futebol se encontram assim distribuídas: TIME A: 17;15;16;16;18;16;17;16;15;19;16 TIME B: 17;15;16;20;18;21;22;14;23;24;25 Calcule a moda de cada amostra. Resolução:

9 9 8.4 Mediana, Md: A mediana é uma medida de tendência central, um número que caracteriza as observações de uma determinada variável de tal forma que este número (a mediana) de um grupo de dados ordenados separa a metade inferior da amostra, população ou distribuição de probabilidade, da metade superior. Mais concretamente, 1/2 da população terá valores inferiores ou iguais à mediana e 1/2 da população terá valores superiores ou iguais à mediana. Seja uma amostra com n valores x i (i = 1,..., n) ordenados em rol vamos definir as expressões da mediana conforme n, frequência, seja ímpar ou par. a) n ímpar: a mediana será o termo central desse rol. Ela é obtida por meio da seguinte expressão: b) n par: a mediana será a média aritmética entre os termos centrais desse rol. Ela é obtida por meio da seguinte expressão: Exemplo 20: Calcule a mediana para as tabelas 1 e 2 abaixo. TABELA 1 Volumes encontrados em refrigerantes de 600 ml. n Volume (ml) Volume (ml) - Rol

10 10 Resposta: Mediana: TABELA 2 Notas bimestrais de um aluno Bim. 1 Bim. 2 Bim. 3 Bim. 4 Nota 6,0 4,0 5,0 8,0 Nota (Rol) Resposta: Mediana: EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 28. Uma amostra com 10 latas de uma marca de cerveja foi analisada. Foram registrados os volumes, em ml, dessas latas e abaixo registrados: N Volume (ml) Volume (ml) - Rol a) Escrever os volumes dados em rol (do menor para o maior). b) Calcular a média aritmética,, da amostra. c) Calcular a moda, M O da amostra. d) Calcular a mediana, M d da amostra.

11 Numa sala de aula 40 alunos foram avaliados e medidos seus desempenhos. Foram atribuídos os conceitos A, B, C e D. A freqüência para cada conceito se encontra representada na tabela abaixo: Conceito número de alunos, fi f% A 25 B 35 C 28 D 12 a) Calcule a freqüência absoluta da letra D; b) Calcule a freqüência relativa, f%, de cada conceito; c) Faça um histograma ilustrando as porcentagens e um gráfico por setores (pizza) com espaçamento de 7% entre os setores. 30. Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. O sorteio de uma bola dessa urna foi realizado 50 vezes. Sabendo-se que a freqüência percentual da bola de número 3 foi 12,5%, calcular a freqüência dessa bola, f Numa sala de aula de uma escola foram anotadas as idades dos alunos. A relação da idade com o número de alunos se encontra no histograma abaixo. Com base no histograma calcule: a) O número de alunos da sala de aula; b) A porcentagem dos alunos nesta sala com mais de 18 anos.

12 Para votar, cinco eleitores demoraram, respectivamente, 3min38s, 3min18s, 2min46s, 2min57s e 3min26s. Qual a média aritmética do tempo de votação (em minutos e segundos) desses eleitores? 33. A média aritmética dos elementos de um conjunto de 28 números é 27. Determine a nova média aritmética que obteremos se retirarmos desse conjunto três números, de valores 25, 28 e Qual dos três jogadores abaixo teve maior média aritmética de gols? Paulinho Toninho Pedrinho Numa amostra de cinco alunos de uma classe foram constatadas as seguintes notas: aluno idade idade (rol) 1 8,5 2 6,5 3 7,0 4 8,0 5 5,0 a) Escrever os volumes dados em rol (do menor para o maior). b) Calcular a média aritmética,, da amostra. c) Calcular a moda, M O da amostra. d) Calcular a mediana, M d da amostra.

13 Quatro grupo de estudantes, divididos em grupos de 18, 20, 10 e 15 alunos, têm pesos de 70, 74, 77, e 81 kg, respectivamente. Usando a expressão da média ponderada calcule o peso médio de todos os estudantes conforme tabela abaixo. nº estudantes peso Calcule a moda das tabelas 1 e 2 abaixo. TABELA TABELA TABELA 1: M O = TABELA 2: M O = 38. Numa visita a diversas empresas foram catalogados o número de veículos que as mesmas possuíam. Constatou-se que 4 empresas possuíam 3 veículos e 6 empresas possuíam 5 veículos. O resultado se encontra na tabela abaixo: nº veículos nº de empresas x Com base na tabela acima, calcule o número de empresas que devem possuir 7 veículos para que a média ponderada seja 35.

14 Usando a tabela abaixo de Crescimento diário das raízes em áreas de florestas: Dia Crescimento (mm) 0,45 0,46 0,47 0,44 0,48 a) Calcular a moda, M O da amostra. b) Calcular a mediana, M d da amostra. 40. Cálculo da inflação. Quando a utilização da média é indevida porque é influenciada pelos valores extremos, ou ainda, valores discrepantes, temos outro modo de representar a tendência central, utilizando uma medida que não use em seu cálculo todos os valores. Calcule a média dos números abaixo desprezando o valor discrepante. TABELA INFLAÇÃO 6,02 0,90 0,60 0,48 0,90 0,48 0, Somatório, : Antes de darmos continuidade ao importante capítulo envolvendo as medidas de dispersão, entre outros temas, vamos iniciar o estudo do cálculo envolvendo o somatório, ou seja, a chamada notação sigma,. Esta técnica permite resumir termos de uma soma e expressá-los de uma forma mais compactada.

15 15 Vimos que se tivermos uma série de n valores de uma variável x, a média aritmética simples é determinada pela expressão: Dessa forma, expressamos a soma de vários termos por meio de um somatório: O número 1 embaixo representa um índice, neste caso, o primeiro termo. Temos na expressão acima n termos. O índice i assume os valores 1 até n. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 21: Escreva na forma de somatório as expressões abaixo: Resposta: Resposta: 2.( ) = = EXERCÍCIOS: 41. Expandir os somatórios abaixo: a) = b) = c) d)

16 16 e) f) g) h) i) j) PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO: EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 42. Escreve cada parcela para os somatórios abaixo: a) b) c) d) e)

17 Complete a coluna dos x i representados pelos dados brutos X: 3, 2, 8, 5 colocando-os em rol e ainda as duas últimas colunas conforme se pede. i xi fi xi.fi = = = Construa o histograma. 44. Usando os resultados do exercício anterior complete as expressões abaixo indicado como verdadeiras (V) ou falsas (F) as igualdades: a) ( ) b) ( )

18 18 c) ( ) d) ( ) 9. Medidas Separatrizes. São valores que dividem uma série ordenada de dados ou uma distribuição de freqüência em um dado número de partes. DECIL (D i ) : divide a série ou a distribuição em dez partes iguais. PERCENTIL (P i ) ou CENTIL (C i ) : divide a série ou a distribuição em cem partes iguais. 9.1 Quartil: QUARTIL (Q i ) : divide a série ou a distribuição em quatro partes iguais. Dessa forma, se dividirmos a série (em rol) em quatro partes, cada parte ficará com 25% de seus elementos. O primeiro Quartil vamos denotar por Q 1 ; este separa a sequência ordenada deixando 25% de seus valores à esquerda e os demais, 75%, à direita. Neste caso, Q 2 representa a mediana da série. Podemos calcular qual elemento da série (em rol) representa Q 1. Temos que identificar o elemento desejado com o percentil correspondente, P i. O primeiro

19 19 Quartil tem i = 25. Calculamos i% do número de elementos da sequência dada para localizarmos a posição do percentil i no rol. Portanto, Q 1 será dado pelo número que estiver nesta posição. Exemplo 22: Calcule o primeiro Quartil, Q 1, da sequência: X: 8, 4, 9, 1, 2, 2, 5, 5, 8, 7, 6, 6. Resolução: Primeiro ordenamos a sequência. X(rol): 1, 2, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9 A seguir calculamos i% de n, em que i = 25 (lembre-se Q 1 separa a sequência ordenada deixando 25% de seus valores à esquerda) e n = 10 (número de elementos da sequência). Assim, teremos: Este número indica a posição do P 25 no rol. Logo, P 25 é o 3º. elemento da sequência em rol, ou seja, 2. Portanto, Q 1 = P 25 = 2. Este resultado ilustra que 25% dos valores desta sequência são menores ou iguais a 2 e 75% são maiores ou iguais a 2. Relação Visual entre Mediana e o Quartil! ! ! Md! ! ! ! ! Q1 Q2 Q3

20 Quintil: divide a série ou a distribuição em cinco partes iguais. Dessa forma, se dividirmos a série (em rol) em cinco partes, cada parte ficará com 20% de seus elementos. Relação Visual do Quintil! ! ! ! ! ! K1 K2 K3 K4 Exemplo 23: Calcule o terceiro Quintil, K 3, da sequência: X: 8, 4, 9, 1, 2, 2, 5, 5. Resolução: Primeiro ordenamos a sequência. X(rol): 1, 2, 2, 4, 5, 5, 8,9. Sabemos que K 3 = P 60. A seguir calculamos i% de n, em que i = 60 (lembre-se K 3 separa a sequência ordenada deixando 60% de seus valores à esquerda) e n = 10 (número de elementos da sequência). Assim, teremos: Este número não é inteiro e indica a posição do P 60 no rol é um valor situado entre o 4º. e o 5º. elemento da sequência. Logo, K 3 = P 60 é a média aritmética entre o 4º. e o 5º. elemento da sequência em rol, ou seja, entre 4 e 5. Portanto, Q 1 = P 25 = (4+5)/2 = 4,5.

21 21 Este resultado ilustra que alguns percentis podem coincidir em valores tornando as interpretações não totalmente verdadeiras. Exemplo 24: A tabela abaixo representa a venda de veículos de uma concessionária autorizada. Classe Interv Classe fi Determine o terceiro quartil, Q 3 = P 75. Resolução: Vamos escrever a tabela dada incluindo a freqüência acumulada. Classe Interv Classe fi Fi = 43 O número de elementos da série é dado por n = f i = 43. i representa o índice do percentil, P, ou seja, i = 75. Vamos agora introduzir a fórmula para o cálculo de qualquer percentil:

22 22 Alguns componentes da fórmula acima já foram descritos, no entanto, os demais (para este exercício) são: P i = P 75 =Q 3 =? I i = I 75 =limite inferior da classe que contém o percentil i = 75. Para o cálculo de I 75 devemos fazer o conhecido cálculo: Este resultado nos dá a posição de P 75 na série. Observando agora a tabela, a classe que contém o elemento que ocupa a posição 32,25 na série é a quarta classe. Na 4ª. classe temos F i = F 4 = 35, ou seja, engloba o 32,25 e contém o P 75 ; temos ainda que f i = f 4 = 5. Estamos em condições agora de escrever o valor de F ant. Ele pode ser obtido tomando a freqüência acumulada da classe anterior, neste caso, F 3 = 30. Temos ainda que I 75 = ; ele é o limite inferior da 4ª. classe. E por último o intervalo de classe, h = (vide a respectiva coluna, ou seja, a coluna do meio). Inserindo estes resultados na fórmula teremos: = =

23 23 Portanto, Q 3 = P 75 = , ou seja 75% dos valores da série são menores ou iguais a e 25% dos valores da série são maiores ou iguais a EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 43. Seja a série X: 4, 16, 6, 10, 4, 13, 16, 18, 21, 20, calcule o primeiro quartil e o primeiro quintil. 44. Seja a série X: 9, 4, 7, 1, 3, 3, 5, 2, 8, 7, 6, 6, calcule o segundo quartil e o segundo quintil.

24 (Continuação do exercício 6.) - As alturas (em centímetros) de um pelotão de soldados se encontra distribuída na tabela abaixo: Após agrupar por freqüência contínua estas informações completando a tabela X i por f i, bem como, a coluna de freqüência acumulada, F i, determine Q 3. [ Obs.: Usar o intervalo de classe igual a 10 centímetros e a fórmula abaixo.] Classe Interv Classe fi Fi Q 3 = P 75 =? Lembre-se: o número de elementos da série é dado por n = f i. i representa o índice do percentil, P, ou seja, i = 75. I i = I 75 =limite inferior da classe que contém o percentil i = 75.

25 (Continuação do exercício 14.) - Uma empresa cafeteria lançando um novo tipo de capuccino anotou em uma planilha a venda deste novo produto. Em determinado mês o número de unidades vendidas foi colocado em uma planilha conforme abaixo Usando o critério da raiz determine a frequência relativa percentual de cada classe. Calcule Q 3 completando a tabela abaixo. Classe Interv Classe fi Fi

26 A distribuição de salários de uma empresa é dada conforme tabela abaixo. Calcule Q 1 e Q 3. Classe Salários, R$ Núm. Func., fi Freq. Acum.,Fi Medidas de Dispersão. Vimos que as medidas de tendência central, como a média, por exemplo, não são suficientes para caracterizar totalmente uma dada sequência numérica. A média pode representar muito bem certa sequência, no entanto, pode não ser boa para representar outra. Vejamos as três sequências abaixo:

27 27 X: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Y: 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6 Z: 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 Na primeira sequência, X, a média é igual a 5. Ela não representa bem a sequência, pois, existem elementos muito diferentes, ou seja, uma grande discrepância nos valores. Se esta sequência representasse os salários dos trabalhadores, em unidades de mil, nós teríamos pessoas ganhando 1 mil reais e outras 9 mil reais. A média de 5 mil reais poderia não refletir corretamente o nível de vida, social, familiar que o trabalhador de 1 mil reais possui. Numa entrevista com o gerente da empresa, certamente ele diria: Nossos funcionários ganham em média 5 mil reais! No entanto, poderia haver funcionários passando por adversidades em sua estrutura financeira. Nas sequências Y e Z, contudo, há uma melhor representatividade da média. Nossa meta é, portanto, encontrar medidas que avaliem a representatividade da média usando as medidas de dispersão. Na sequência Z, por exemplo, os dados estão todos concentrados sobre a média 5. Não há dispersão de dados. Na sequência X há fraca concentração de dados em torno da média e forte dispersão de dados em relação à media 5. As medidas de dispersão que veremos aqui são: amplitude total, desvio médio simples, variância e desvio padrão Amplitude Total: Vimos na seção a definição da Amplitude Total. Vamos agora aplicá-la aos casos de variável discreta, bem como de variável contínua

28 28 Como no caso da variável discreta colocamos em rol os valores dos dados X i a amplitude total é a diferença entre o último (maior) e o primeiro (menor) elemento da série. Na situação de variável contínua não conhecemos o maior e o menor valor da série, assim, devemos fazer um cálculo aproximado da amplitude total. Devemos tomar a média da primeira e da última classe. A amplitude total depende apenas de dois valores da série e pode não fornecer uma boa informação sobre a mesma. Veremos como calcular a amplitude total por meio de alguns exemplos. Exemplo 25: Caso 1: Variável Discreta. - Calcule a amplitude total da série: X: 72, 3, 2, 8, 4, 9, 18, 32 Resolução: Colocando a sequência em rol temos: X: 2, 3, 4, 8, 9, 18, 32, 72 Dessa forma a amplitude total será: A t = x max - x min = 72 2 = 70 Resposta: A t = 70. Exemplo 26: Caso 1: Variável Discreta. - Calcule a amplitude total da série: Classe Núm. de acidentes/dia, xi Núm. de dias, fi

29 29 Resolução: A amplitude total será: A t = x max - x min = 5 1 = 4 Resposta: A t = 4. Exemplo 27: Caso 2: Variável Contínua. - Calcule a amplitude total da série: Classe Salários, US$ Núm. Func., fi Resolução: O ponto médio da última classe (classe 4) é e o da primeira classe é Portanto, a amplitude total será: A t = x max - x min = = Resposta: A t = Desvio Médio Simples O conceito de desvio corresponde ao conceito de distância. Vamos calcular a dispersão dos dados em relação média de uma sequência através dos desvios de cada elemento em relação à média aritmética,. O desvio médio simples, DMS, é a média aritmética dos desvidos de cada elemento da série para a média da série, Como o desvio em relação à media aritmética pode ser negativo, o cálculo do DMS envolve o módulo do número.

30 Dados Brutos ou Rol Quando tivermos dados brutos, ou mesmo em rol, devemos primeiramente calcular a média aritmética,, dos mesmos. A seguir calculamos o módulo da diferença de cada elemento em relação à média aritmética. Somamos então esses valores e dividimos por n o número de elementos da série, ou seja, calculamos a média dessas distâncias. A expressão que permite esse cálculo pode ser escrita como: Exemplo 28: Caso 1:Dados Brutos Calcule o desvio médio simples da série: X: 2, 3, 2, 8, 5. Resolução: Calculando a média aritmética dos dados brutos acima, temos: Calculamos agora o módulo da distância de cada elemento da série, ou seja: A seguir somamos os resultados obtidos e dividimos pelo número de elementos n = 5 da série dada: Com esse resultado temos que, em média, cada elemento da sequência está afastado do valor 4 por 2 unidades.

31 Variável Discreta Se a apresentação dos dados abranger variáveis discretas a frequência simples de cada elemento representa o número de vezes que este valor aparece na série. Neste caso haverá repetições de distâncias iguais de cada elemento distinto da série para a média da série. Desse modo, devemos usar a média ponderada em vez da média aritmética conforme o exemplo anterior. A expressão que permite esse cálculo pode ser escrita como: Exemplo 29: Caso 2:Variável Discreta Calcule o desvio médio simples das variáveis discretas, x i, descritas conforme tabela: Classe Xi fi Resolução: O número de elementos da série dada é A média da distribuição acima é: Assim devemos calcular o numerador da expressão acima inserindo uma nova coluna para a tabela dada, ou seja,

32 32 Classe Xi fi Xi.fi Dividindo o resultado da tabela acima podemos calcular a média aritmética: Para calcularmos o desvio médio simples, DMS, das variáveis discretas, x i, precisamos construir nova tabela, qual seja: Classe Xi fi Xi.fi Xi- fi = = = = 5 Portanto, o desvio médio simples das variáveis discretas, x i,é: Dessa forma, em média, cada elemento da série está afastado de 3 por 1,75 unidades. Ele é empregado em sala de aula, por algumas escolas, para que o professor tenha uma noção dos alunos que estão se afastando (para mais ou para menos) dos alunos com nota dada pela média da classe.

33 Variável Contínua Se, no entanto, a apresentação dos dados abranger variáveis contínuas cada elemento de classe representa a média entre o intervalo superior e o inferior em cada classe. A expressão que permite esse cálculo pode ser escrita como: em que, X i,é o ponto médio da classe i. Exemplo 30: Caso 3:Variável Contínua Calcule o desvio médio simples para a série (variáveis contínuas) abaixo. Classe Interv Classe fi Resolução: O número de elementos da série dada é Para determinarmos a média da série devemos inserir nova tabela, agora com os x i como os pontos médios entre os intervalos de classe, bem como com o respectivo produto x i.f i.

34 34 Classe Interv Classe fi xi xi.fi Agora estamos em condições de calcular a média da distribuição contínua: Neste caso, optamos pelo valor aproximado 7. ou seja, Para o cálculo do DMS devemos inserir uma nova coluna para a tabela acima, Classe Interv Classe Fi Xi xi.fi. Xi- fi = = = = = 40 Portanto, o desvio médio simples das variáveis contínuas é:

35 35 Esse resultado mostra que, em média, cada elemento da série está afastado de 7 de 2 unidades. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 48. Seja a série X: 4, 16, 6, 10, 4, 13, 16, 18, 21, 20, calcule a moda e a amplitude total. Resolução: Colocando a sequência em rol temos: X: Temos que a moda é: Mo: E, portanto, a amplitude total será: A t = x max - x min = Resposta: A t = 49. Seja a série X: 2, 10, 6, 8, 4, calcule a média aritmética e a amplitude total. Resolução: Colocando a sequência em rol temos: X: A expressão que calcula a média aritmética é: que para este caso será:

36 36 E, portanto, a amplitude total será: A t = x max - x min = Resposta: A t = 50. Seja a série X: 5, 5, 5, 5, 5, calcule a, moda, a média aritmética e a amplitude total. Resolução: Colocando a sequência em rol temos: X: Temos que a média aritmética é: e a moda é: Mo = E, portanto, a amplitude total será: A t = x max - x min = Resposta: A t = 51. Seja a série X: 6, 8, 5, 9, calcule a moda, a média aritmética e a amplitude total. Resolução: Colocando a sequência em rol temos: X: Temos que a média aritmética é: e a moda é: Mo = E, portanto, a amplitude total será: A t = x max - x min = Resposta: A t =

37 Calcule a moda, a média aritmética, a amplitude total e o DMS para a série abaixo. Classe Núm. de acidentes/dia, xi Núm. de dias, fi Xi.fi Resolução: Temos que a Moda é: Mo = A média aritmética é: A amplitude total será: A t = x max - x min = Resposta: A t = Usando o resultado da tabela acima podemos calcular a média aritmética: Para calcularmos o desvio médio simples, DMS, das variáveis discretas, x i, precisamos construir nova tabela, qual seja:

38 38 Classe Núm. de acidentes/dia, xi Núm. de dias, fi Xi.fi Xi- fi Portanto, o desvio médio simples das variáveis discretas, x i,é: Dessa forma, em média, cada elemento da série está afastado de por... unidades. 53. Calcule a moda, a média aritmética, a amplitude total e o DMS para a série discreta abaixo. Classe Xi fi Resolução: Temos que a Moda é: Mo = A média aritmética é:

39 39 A amplitude total será: A t = x max - x min = Resposta: A t = Dividindo o resultado da tabela acima podemos calcular a média aritmética: Para calcularmos o desvio médio simples, DMS, das variáveis discretas, x i, precisamos construir nova tabela: Classe Xi fi Xi- fi Portanto, o desvio médio simples das variáveis discretas, x i,é: Dessa forma, em média, cada elemento da série está afastado de por... unidades.

40 Calcule o DMS para a série abaixo (Variável Contínua) Classe Interv Classe fi Resolução:O número de elementos da série dada é Para determinarmos a média da série devemos inserir nova tabela, agora com os x i como os pontos médios entre os intervalos de classe, bem como com o respectivo produto x i.f i. Classe Interv Classe fi xi xi.fi Agora estamos em condições de calcular a média da distribuição contínua: Para o cálculo do DMS devemos inserir uma nova coluna para a tabela acima, ou seja,

41 41 Classe Interv Classe fi xi xi.fi. Xi- fi Portanto, o desvio médio simples das variáveis contínuas é: Esse resultado mostra que, em média, cada elemento da série está afastado de... de... unidades. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 55. Seja a série X: 2, 4, 6, 8, 20, 22, 24, 28, 29, 30. Calcule a moda e a amplitude total.

42 Seja a série X: 1, 3, 5, 7, 19, 17, 25, 13. Calcule a média aritmética e a amplitude total. 57. Seja a série X: 7, 7, 7, 5, 5, 17. Calcule a, moda, a média aritmética e a amplitude total. 58. Seja a série X: 1, 1, 1, 1, 6, 8, 2, 20. Calcule a moda, a média aritmética e a amplitude total.

43 Tema: Dados Brutos - Calcule o desvio médio simples da série: X: 4, 6, 4, 16, Tema: Dados Brutos - Calcule o desvio médio simples da série: X: 5, 5, 5, 7, Tema: Variável Discreta - Calcule o desvio médio simples, DMS, da série e construa o histograma: Classe Idade (anos), xi Núm. de alunos, fi

44 Tema: Variável Contínua Calcule: a) A amplitude total, a moda e o DMS (variáveis contínuas) para a série abaixo. b) Qual o número de classes, K? c) Qual a amplitude do intervalo de classe h? Classe Interv Classe fi

45 Tema: Variável Discreta - Como já foi visto, as variáveis discretas geralmente assumem valores inteiros. Exemplo: Número de filhos de um casal, número de livros da biblioteca da Faculdade. Seja X: Número de erros por páginas encontrados na Monografia de um aluno em sua tese de mestrado. Número de erros por página da monografia Nº de páginas (fi) Total 85 Número de Erros (Xi) Xi: identifica as classes em que o evento se subdivide; fi: freqüência absoluta, isto é, corresponde ao número de vezes que cada classe ocorre; n: soma de todas fi = total de elementos observados na população. a) Calcule a amplitude total, a moda e o DMS (variáveis discretas) para a série acima. b) Construa o respectivo histograma. c) Interprete (afastamento de cada elemento da série com respeito à media.

46 Variância e Desvio Padrão. Outro dado importante em estatística é obtido pela soma dos desvios ao quadrado. Em cada classe o desvio é elevado ao quadrado e, em seguida, somado. A soma dos quadrados dos desvios dividida pelo número de ocorrências é chamada de variância. O desvio em relação à média aritmética possui o inconveniente do módulo no cálculo. A média aritmética possui a propriedade: A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação à média aritmética é um mínimo. Com esta propriedade resolvemos o problema de usar o módulo no cálculo. Vamos mostrar que a soma algébrica dos desvios em relação à média é nula por meio de um exemplo. Exemplo 31: Uma propriedade da média Supondo que as notas de um aluno durante o ano foram: X: 5, 7, 8, 8 Mostre que a soma dos desvios, em relação à média aritmética, é nula. Resolução: A média aritmética, como sabemos, é Chamando de d i = x i -, temos: Classe Notas, xi Desvio: = = = = 1 Temos portanto que:

47 47 Temos duas expressões para calcularmos a variância; dependendo do que os dados representarem, se uma população ou uma amostra. Se os dados representarem uma população a variância será denotada por: em que n representa a média populacional. Se os dados representarem uma amostra a variância será denotada por: Neste caso a modificação se encontra no denominador onde n é trocado por n 1. Para amostras com n > 30 praticamente não há diferença entre uma e outra equação. Vamos iniciar nossos cálculos de variância por meio de um exemplo envolvendo dados que representam uma população (vide Exemplo 31). O motivo de dividirmos por n-1 está relacionado ao fato de já termos usado a amostra para calcular a média. Exemplo 31: Variância de População Supondo o seguinte conjunto de dados: X: 5, 7, 8, 9, 6 Mostre que a soma dos desvios, em relação à média aritmética, é nula. Resolução: A média aritmética, como sabemos, é desvios numa tabela: Vamos calcular os quadrados dos

48 48 Classe Notas, xi A variância (população) será denotada por: Portanto, a variância pedida é 2. Exemplo 31: Variância de População Supondo o seguinte conjunto de dados: X: 5, 7, 8, 9, 6 Mostre que a soma dos desvios, em relação à média aritmética, é nula. Resolução:A média aritmética, como sabemos, é Vamos calcular os quadrados dos desvios numa tabela: Classe Notas, xi A variância (população) será denotada por: Portanto, a variância pedida é 2. Em geral, é usado ainda outra forma para o cálculo da variância. Dependendo de como os dados são apresentados podemos usar esta nova expressão. Desenvolvendo sua expressão chega-se a uma forma alternativa muito prática. O exemplo a seguir ilustra uma aplicação da equação acima (cálculo simplificado).

49 49 Exemplo 32: (AFRF) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (X i ) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10,10,11,11,12, 12,13,14,15,15,15,16,16,18,23. Os valores seguintes foram calculados para amostra: e Assinale a opção que corresponde à variância amostral, com aproximação de uma cada decimal. a) 14,0 b) 14,5 c) 13,6 d) 13,0 e) 15,0 Resolução: Temos uma distribuição de dados, em rol, em que o tamanho da amostra é 50, ou seja, n = 50. A variância (S 2 ) pode ser calculada pelo processo simplificado, devidos aos dados fornecidos

50 50 Substituindo na equação acima os valores dados, teremos: Portanto, S 2 é aproximadamente 13, resposta c) EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 64. Calcule a variância do conjunto de dados: Classe Núm. de acidentes/dia, xi Desvio, di 1 9 3, , , , ,2 Resposta: 65. Seis homens foram pesados, e os resultados em kg se encontram, em rol, na coluna, Xi, da tabela abaixo: Classe Xi di

51 51 Calcule a variância do conjunto de dados, X i. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 66. (ICMS) A variância do conjunto de dados: A = {6, 10, 4, 8, 7} é igual a: a) 1,25 b) 1,5 c) 2,0 d) 3,0 e) 4,0 Resolução: A média aritmética dos X i é Calculando os quadrados dos desvios numa tabela: Classe Ai=Xi A variância (população) será denotada por: Portanto, a variância pedida é... Resposta:e) Como a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em unidade quadrada em relação à variável em questão, o que, sob o ponto de vista prático, é um inconveniente. Por isso mesmo, imaginou-se uma nova medida que tem utilidade e interpretação práticas, denominada desvio padrão, definida como a raiz quadrada da variância. Do mesmo modo, temos, para o caso do desvio padrão, duas expressões dependendo do que os dados representam, se uma população ou uma amostra.

52 52 Se os dados representarem uma população o desvio padrão será denotada por: em que n representa a média populacional. Se os dados representarem uma amostra ele será denotada por: Exemplo 33: (Desvio Padrão para dados brutos ou rol - População) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma população Classe xi Calcule o desvio padrão. Resolução: Calculando a média aritmética para os dados X i apresentados temos o valor 6, em que o número de elementos X i é n = 5. Inserindo uma nova tabela podemos calcular os desvios ao quadrado:

53 53 Classe xi di = = = = = 3 Usando a expressão Quando se trata de dados tabelados devemos introduzir a freqüência nas fórmulas. Vamos introduzir novas expressões para variável discreta, bem como, para variável contínua. Para o caso de variável discreta a variância e o desvio padrão, de uma população, são calculados por Para o caso ainda de variável discreta, a variância e o desvio padrão, de uma amostra, são calculados por

54 54 e Exemplo 34: (Variância e Desvio Padrão para variável discreta - População) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma população Classe xi fi Calcule a variância e o desvio padrão da série acima. Resolução: A média da série é calculada por: Classe xi fi Xi.fi Para o cálculo da variância de uma população devemos usar a seguinte expressão:

55 55 Dessa forma devemos acrescentar na tabela acima outra coluna envolvendo o numerador da expressão acima. Classe xi fi Xi.fi Agora estamos em condições de usar a expressão da variância para uma população no caso de freqüência discreta: O desvio padrão,, é a raiz quadrada da variância. Usando o resultado acima temos: por Para o caso de variável contínua a variância de uma população, é calculado em é o ponto médio da classe i. O desvio padrão, ainda para variável contínua de população é

56 56 Para o caso de uma amostra de variável contínua, a variância e o desvio padrão são calculados por e o desvio padrão calculado como a raiz quadrada da variância Algumas observações são necessárias. A variância será sempre dada no quadrado da unidade de medida da série. Em alguns casos a unidade de variância nem faz sentido, pois, podemos ter litros ao quadrado, entre outras. Isto nos impede de compararmos o resultado da variância com os dados da série. Para resolver esta dificuldade é que é introduzido o desvio padrão. Sendo ele a raiz quadrada da variância, ele sempre será dado na mesma unidade de medida dos dados da série. Exemplo 35: (Variância e Desvio Padrão para variável discreta - Amostra) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra: Classe xi fi

57 57 Calcule a variância e o desvio padrão da série que representa uma amostra. Resolução: A média da série é calculada por: Classe xi fi Xi.fi Para o cálculo da variância de uma população devemos usar a seguinte expressão: Logo, devemos acrescentar na tabela acima uma outra coluna envolvendo o numerador da expressão acima. Classe xi fi Com isto estamos em condições de calcular a variância da amostra:

58 58 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 67. (Processo Simplificado) Usando a expressão abaixo escolha a opção que representa o resultado da variância para os dados referentes a uma amostra X: 3, 4, 6, 8, 9, 10 a) 7,8 b) 8,8 c) 5,8 d) 7,0 e) 6,0 (obs.: Para facilitar use a tabela a seguir) Classe xi (Dados Tabelados de População) Considerando os dados tabelados de uma população, escolha a opção que represente o resultado do desvio padrão. Classe xi fi Xi.fi Use a expressão

59 59 a) 2,2 b) 1,1 c) 2,5 d) 1,5 e) (Distribuição contínua) Considerando os dados tabelados de uma população, escolha a opção que represente o resultado do desvio médio e desvio padrão, respectivamente. Classe Interv Classe fi xi xi.fi. Xi- fi Obs.: Usar as expressões: (Para o cálculo da média) O desvio médio simples para variáveis contínuas é dado por: E para o cálculo do desvio padrão: a) 1,25 e 1,76 b) 1,5 e 1,96 c) 2,0 e 1,66 d) 1,28 e 1,96 e) 1,28 e 1,66

60 Um educador realizou o levantamento das notas dos alunos em CIENCIAS, e observou que o GRAU MÍNIMO ERA UM e o GRAU MÁXIMO OITO, conforme os dados em rol: X: 1,2,3,4,5,6,7,8. Pelo exposto escolha a opção mais coerente para as seguintes medidas do DESVIO PADRÃO e VARIÂNCIA ABSOLUTA, respectivamente é: a) 5 e 20 b) 3 e 9 c) 0,8 e 16 d) 4 e 8 e) n.d.a. 71. Os tempos despendidos por 12 alunos (N = 12), em segundos, para percorrer certo trajeto, sem barreira, foram 16, 17, 16, 20, 18, 16, 17, 19, 21, 22, 16, 23. Determine o valor, sem agrupar os dados: da moda, mediana e média; obs.: use a tabela abaixo para os cálculos. Classe Dados Brutos xi (rol) Os tempos despendidos por 12 alunos (N = 12), em segundos, para percorrer certo trajeto, sem barreira, foram 16, 17, 16, 20, 18, 16, 17, 19, 21, 22, 16, 23. Determine o valor da variância. a) 6,75 b) 7,75 c) 8,75 d) 9,75 e) 5,75 Sugestão para o cálculo: 1) Calcule a média aritmética para os dados X i apresentados. Lembre-se: n = 12. 2) Com nova tabela calcule os desvios ao quadrado;

61 61 Classe Dados Brutos xi (rol) ) Usar a expressão da variância para dados brutos ou rol: 73. Considere uma população de 40 profissionais liberais que foram, questionados sobre o número de revistas e/ou jornais que os mesmos são assinantes, obteve-se a seguinte tabela: Nº de Publicações Nº de Profissionais O desvio padrão para o caso acima é: a) 1,6 b) 1,4 c) 1,2 d) 1,0 e) 1,8 74. Em certo dia foi realizado um levantamento a respeito das idades dos alunos de um curso noturno, obtendo-se a tabela abaixo:

62 62 Idades (anos) Nº de Alunos Considerando esta turma como uma população, determine a variância absoluta: a) 12,96 b) 11,46 c) 12,26 d) 11,36 e) 13,48 O desvio padrão é um valor positivo, e, portanto, indica uma distância entre os valores medidos e a média. Pelo menos 75% dos valores em uma população estão dentro do intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ], onde μ denota a média e σ denota o desvio padrão; Em uma distribuição normal, cerca de 95% dos valores da população estão dentro do intervalo acima. Concluindo esta parte, vimos que o desvio-padrão mede a variação entre valores. Assim, se os valores estiverem próximos uns dos outros, então o desvio-padrão será pequeno, e conseqüentemente os dados serão homogêneos. Se, no entanto, os valores estiverem distantes uns dos outros, então o desvio-padrão será grande, e, conseqüentemente, os dados serão heterogêneos. A desvantagem do uso da variância perante o uso do desvio-padrão é que a unidade de medida utilizada é igual ao quadrado da unidade de medida dos dados. O desvio-padrão é, sem dúvida, a mais importante das medidas de dispersão e é vital que o pesquisador consiga relacionar o valor obtido através da fórmula, com os dados da série.

63 63 Quando uma curva de freqüência representativa de uma série é perfeitamente simétrica o significado do erro padrão da média de um dado conjunto de n medidas é que o valor médio tem 68% de chance de estar dentro do intervalo em torno do valor verdadeiro ; 95% de estar no intervalo, etc. O desvio padrão é o correspondente à incerteza estatística de uma única medida realizada. Cada medida, além da incerteza instrumental, possui uma incerteza estatística dada pelo desvio padrão. 11. Probabilidades. A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório Conceitos Básicos: O estudo da probabilidade envolve conceitos como o de espaço-amostral, evento, lei binomial entre outros. Veremos os principais conceitos, bem como, as experiências de caráter aleatório Experimento aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, por exemplo, a abordagem envolve cálculo

64 64 de experimento aleatório. Os experimentos aleatórios têm resultados imprevisíveis. Exemplos: O sorteio de uma carta de um baralho; O sorteio de um certo número da loteria federal; O resultado do lançamento de um dado ou moeda, etc Espaço Amostral e Evento É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S e o número de seus elementos n(e). Dessa forma, no espaço amostral E escrevemos todas as possibilidades e após contarmos o número dessas possibilidades teremos o valor de n(e). Vejamos alguns exemplos: Exemplo 36: (Espaço Amostral e número de seus elementos) Os exemplos seguintes se referem a escrever na forma de um conjunto o Espaço Amostral e a respectiva quantidade que representa o número de seus elementos, n(e). Escreva o espaço amostral e o número de seus elementos, n(e) nos seguintes casos: a) Lançamento de um dado: E = {1,2,3,4,5,6} n(e) = 6 b) Lançamento de uma moeda: E = {, } n(e) = c) No lançamento de uma moeda duas vezes em seguida, representado por k a ocorrência cara e por c a ocorrência coroa: E = { } n(e) = 4

65 65 Exemplo 37: (Espaço Amostral) Considere o experimento: Registrar as faces voltadas para cima em 3 lançamentos de uma moeda. Escrever na forma de um conjunto o Espaço Amostral e a respectiva quantidade que representa o número de seus elementos, n(e). Resolução: E = {(k,k,k); (k,k,c); (k,k,k); (k,c,k);... } n(e) = 8 Exemplo 38: (Espaço Amostral) Considere o experimento: Anotar o sexo dos filhos de um casal conforme a sequência de nascimento. Escrever na forma de um conjunto, E, o Espaço Amostral e a respectiva quantidade que representa o número de seus elementos, n(e), considerando que o casal tenha, utilizando H para filho e M para filha: a) 1 filho: Resposta: E = {(H,M)} n(e) = 1 b) 2 filhos: Resposta: E = {(H,H); (H,M); (M,H); (M,M)} n(e) = 4 c) 3 filhos: Resposta: E = {(H,H,H); (H,H,M); (H,M,H);... } n(e) = 8 Exemplo 39: (Espaço Amostral) Dada uma urna com 4 bolas numeradas de 1 a 4. Considere: a) A retirada de 1 bola;

66 66 Resolução: Ao retirarmos 1 bola teremos 4 possibilidades, ou seja, pode sair qualquer uma das 4 bolas, e o espaço amostral será: E = {1,2,3,4} n(e) = 4. b) A retirada de 2 bolas e sem repetição; Resolução: Ao retirarmos 2 bolas (sem reposição) podemos ter que a bola de número 1 saia primeiro e, a seguir, a bola 2, 3, ou 4, pois não temos repetição. No caso de sair primeiro a bola de número 2 teremos que a seguinte será a bola de número 1, 3 ou 4. Fazendo este procedimento teremos o espaço amostral E = {(1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);... } n(e) = 12. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 75. (Evento) Descreva o evento lançamento de uma moeda 3 vezes seguidas ocorreu duas vezes cara.

67 (Evento) Dada uma urna com 100 dezenas de 00 até 99, considere o experimento sortear dezenas de algarismos iguais. Descreva o espaço amostral e o número n(e) Probabilidade Estudaremos a expressão que permitirá o cálculo da probabilidade de um evento ocorrer. Dado um espaço amostral E, com n(e) elementos, e um evento A de E, com n(a) elementos denomina-se probabilidade de ocorrência do evento A ao número P(A) dado por: Como A E e 0 n(a) n(e) é fácil mostrar que: Exemplo 40: (Probabilidade) Vamos calcular a probabilidade de, jogando um dado ideal, obter um número maior que 4. Resolução: espaço amostral: E = {1,2,3,4,5,6}

68 68 O espaço amostral mostra todas as possibilidades do resultado quando jogamos um único dado. Para obtermos um número maior que 4 temos que este evento chamaremos de A: Evento A = {5,6} Assim, temos duas possibilidades, n(e) = 2 para os números serem maiores que 4. Usando a fórmula que nos dá o cálculo da probabilidade para este evento A ocorrer: Exemplo 41: (Probabilidade) Dispondo amos calcular a probabilidade de, jogando um dado ideal, obter um número menor que 4. Resolução: espaço amostral: E = {1,2,3,4,5,6} Evento A = { } n(e) = n(a) = EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 77. (Probabilidade) Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Calcule a probabilidade de ela ser ímpar.