A medida psicométrica
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- Isaac Sousa Rios
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1 A medida psicométrica
2 Comportamento x Traço latente A teoria Clássica dos Testes concepção monista materialista A Teoria de Resposta ao Item concepção dualista interacionista Psíquico: traço latente (teta); Físico: comportamento (tau).
3 TCT: comportamento (teste) = tarefas se definem em função de outros comportamentos; TRI: as tarefas do teste se definem pela aptidão ou traço latente.
4 Traço latente Processo psicológico; São atributos impérvios à observação empírica; Precisa ser evidenciado por comportamentos; O parâmetro fundamental é a demonstração da adequação da representação análise estatística dos itens;
5 Sistema Representa o objeto de interesse objeto psicológico; Sistema universal e locais; Objeto imediato de interesse.
6 Propriedade Foco imediato de observação ou medida; Processos cognitivos, processos emotivos, processos motores...
7 Magnitude Os atributos são dimensões, são mensuráveis; Os atributos ocorrem com quantidades definidas e diferentes de indivíduo para indivíduo.
8 O problema da representação comportamental Modalidade: em termos de conteúdo, os comportamentos podem ser do tipo verbal ou motor psicolinguística; Saturação: o comportamento tipicamente se apresenta como multimotivado; Dificuldade (complexidade): um comportamento é mais difícil ou mais complexo na medida em que ele exige maior nível de magnitude do traço em questão para ser eficaz ou corretamente executado;
9 Discriminação: capacidade que ele apresenta de separar sujeitos com magnitudes próximas do mesmo traço; Viés de resposta: fatores subjetivos do respondente e que poderiam ser agrupadas dentro do conceito de tendências: respostas estereotipadas, desejabilidade social, efeito de halo formato das escalas.
10 Parâmetros do Teste (grupo de itens) Parâmetro fundamental: isomorfismo entre a ordenação nos procedimentos empíricos e a ordenação nos procedimentos teóricos do traço latente; Análises estatísticas dos itens individualmente e da escala como um todo; Preocupação com um enfoque teórico, e preocupação tanto com a psicologia quanto com a estatística.
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12 É um método de agrupamento de dados em classes, ou intervalos, de tal forma que se possa determinar o número, ou a percentagem (isto é, a freqüência) de observações em cada classe. Método de grande utilidade quando precisamos lidar com grande quantidade de dados. Forma Tabular Forma Gráfica
13 TABELA PRIMITIVA Corresponde aos elementos referentes a uma coleta de dados que não foram numericamente organizados. Massa Corporal de 40 Funcionários da Empresa A (Kg) Tabela Primitiva Partindo dos dados acima, é difícil averiguar em torno de que valor tendem a se concentrar as massas corporais, qual a menor ou maior massa corporal.
14 ROL É a tabela obtida após a ordenação (crescente ou decrescente) dos dados da tabela primitiva. Massa Corporal de 40 Funcionários da Empresa A (Kg) Rol Agora podemos saber, com relativa facilidade, qual a menor massa corporal e a maior massa corporal, embora não consigamos ainda averiguar em torno de que valor tendem a se concentrar as massas corporais.
15 Distribuição de Freqüências - Exemplo Número de funcionários que fica relacionado a um determinado valor da variável. Distribuição de Freqüências Massa Freq Massa Corporal de 40 Funcionários da Empresa A
16 Elementos de uma Distribuição de Freqüências Classes de Freqüência são intervalos de variação da variável. As classes são apresentadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3,..., k. (onde k é o número total de classes da distribuição). Limites de Classe são os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior da classe (l i ) e o maior número, o limite superior da classe (L i ). Os intervalos de classe devem ser escritos em termos de desta quantidade até menos aquela, empregando, para isso, o símbolo (inclusão de l i e exclusão de L i ) é um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, tal que: 42 x < 48.
17 Elementos de uma Distribuição de Freqüências Amplitude de um Intervalo de Classe (h) é a medida do intervalo que define a classe. É obtida pela diferença entre os limites superior e inferior dessa classe e indicada por h i. Assim: h i = L i l i h 1 = = 6
18 Elementos de uma Distribuição de Freqüências Amplitude Total da Distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo). AT = L (máx.) l (mín.) AT = = 63
19 Elementos de uma Distribuição de Freqüências Ponto Médio de uma Classe (X i ) é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais; é o valor que a representa. ponto médio = maior valor + menor valor 2 X i = L i + l i 2 X ,5
20 Tipos de Freqüências Freqüência Simples ou Absoluta (de uma classe ou de um valor individual) é o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor. É simbolizada por f i (lê-se f índice i ou freqüência da classe i). Soma de todas as freqüências k i 1 f 1 n Nº total dos dados Somatório ou Notação Sigma 5 i 1 xi Lê-se somatório de x índice i, i variando de 1 até 5.
21 Tipos de Freqüências Freqüência Relativa (de uma classe ou de um valor individual) é a razão entre a freqüência simples e a freqüência total. É simbolizada por fr i (lê-se fr índice i ou freqüência relativa de um valor ou classe i). Freqüência Relativa fr i f i f i fri 1 ou 100% O propósito das freqüências relativas é o de permitir a análise ou facilitar as comparações.
22 Tipos de Freqüências Freqüência Acumulada (de uma classe ou de um valor individual) é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior de uma dada distribuição. É simbolizada por F i ( lê-se freqüência acumulada de um valor ou classe i). ou Freqüência Acumulada F F f f... k 1 2 fk k fi ( i 1,2,..., k)
23 Distribuição de Freqüências para Dados Contínuos Devido à quantidade de valores da variável n, a solução mais indicada é o agrupamento dos valores em vários intervalos. Estágios na Construção de uma Distribuição de Freqüências para Dados Amostrais: 1º) Estabelecer as classes ou intervalos de agrupamentos dos dados; 2º) Enquadrar os dados nas classes, mediante contagem; 3º) Contar o número em cada classe; 4º) Apresentar os resultados numa tabela ou num gráfico.
24 Histograma de Freqüências Figura 1. Distribuição de freqüência relativa para safras de pêssego
25 Polígono de Freqüências (união por segmentos de retas os pontos médios das classes do histograma)
26 1. Medidas de Posição: Tendência Central e Separatrizes. 2. Medidas de Variabilidade ou Dispersão 3. Medidas de Assimetria e Curtose
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28 Surgem da necessidade de um número único, que represente todos os valores obtidos pelo grupo. Este número único possibilita a caracterização do grupo como um conjunto e tende a se concentrar no centro da série. É um valor no centro ou no meio de um conjunto de dados.
29 EXEMPLOS: Qual o salário médio do trabalhador brasileiro? Qual o tipo sangüíneo mais comum? Qual a nota que divide os alunos de uma turma em um grupo superior e outro grupo inferior?
30 TIPOS: Médias Moda Mediana Ponto Médio
31 Médias Média Aritmética Simples. Média Aritmética Ponderada. Média Geométrica. Média Harmônica. Média Quadrática. Média Cúbica. Média Biquadrática.
32 Médias É um valor típico e representativo de um conjunto de dados. Como estes valores típicos tendem a se localizar em um ponto central, dentro de um conjunto de dados ordenados segundo suas grandezas, as médias também são denominadas medidas de tendência central (Spiegel, p.71) Utilizada para variáveis quantitativas intervalares e de razão.
33 Médias Média Aritmética Simples. Média Aritmética Ponderada. Média Geométrica. Média Harmônica. Média Quadrática. Média Cúbica. Média Biquadrática.
34 Média Aritmética Simples ( ) X Dados Não-Agrupados Seja o conjunto X = (x 1, x 2, x 3,..., X n ) onde x 1, x 2, x 3,..., x n representam os diversos valores assumidos pela variável que traduz o fenômeno analisado, e n o número de valores assumidos pela variável. X A média aritmética simples ( ) desse conjunto será o quociente entre a soma dos valores da variável pelo número deles, genericamente representado pela expressão: X x1 x2 x3... n n i 1 x n n x i X = Média aritmética X i = Valores da variável n = Número de valores
35 EXEMPLO 1: Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para a produção média da semana: X X 14 litros
36 Médias Média Aritmética Simples. Média Aritmética Ponderada. Média Geométrica. Média Harmônica. Média Quadrática. Média Cúbica. Média Biquadrática.
37 Média Aritmética Simples ( ) Sem Intervalos de Classes X Dados Agrupados No caso de dados sem intervalos de classes, como as freqüências são indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada. Média Aritmética Ponderada X xi f f i i ou Xtotal n 1 x1 n2 n1 n2 x2...n... n n n x n
38 Média Aritmética Ponderada Dados Agrupados Sem Intervalos de Classes Exemplo 1: Calcule a média ponderada das avaliações da disciplina Estatística, sabendo que: Avaliações Pesos Aluno 1 Xtotal n 1 x1 n2 n1 n2 x2...n... n n n x n AV 01 1,5 4,0 Lista 01 1,0 8,0 AV 02 1,5 7,0 Lista 02 1,0 7,0 Trabalho 2,0 6,0 Xtotal 1,5x4,0 1,0 x8,0 1,5 x7,0 1,0 x7,0 1,5 1,0 1,5 1,0 2,0 2,0x6,0 43,5 7,0 6,21
39 Média Aritmética Simples ( ) QUANDO UTILIZAR? 1. Quando se trabalha com variáveis que são passíveis de mensuração em um nível intervalar. X 2. Quando se deseja obter a medida de posição que possui maior estabilidade. 3. Quando houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior.
40 Média Aritmética Simples ( ) VANTAGENS 1. Pode ser calculada diretamente usando-se calculadoras científicas. 2. Evidencia bastante estabilidade de amostra para amostra, ou seja, se pesquisarmos numerosas amostras extraídas de uma mesma população, os valores das médias obtidas variam pouco. 3. Permite a manipulação subseqüente dos dados, com o cálculo das médias combinadas. 4. Reflete cada valor da distribuição. 5. Possui propriedades matemáticas atraentes, permitindo o uso de outras técnicas estatísticas robustas. X
41 Média Aritmética Simples ( ) LIMITAÇÕES X 1. Por ser muito influenciada por valores extremos da série, não representa bem as distribuições em que estes valores ocorrem com freqüência acentuada. 2. Depende de todos os valores da distribuição. 3. Apesar de a média aritmética situar-se entre o menor e o maior resultado da distribuição de freqüências, ela não tem, necessariamente, existência real. A média de 2,3 crianças, por exemplo, é um valor inexistente.
42 Média Aritmética Simples ( ) LIMITAÇÕES 4. Não pode ser calculada para distribuições com classes ou limites abertos. Distribuição de Renda em salários mínimos dos brasileiros 1985 (em milhões de pessoas X Faixa f i Até 1 22, , , ,4 + de 10 2,6 TOTAL 52,7 Fonte: IBGE
43 Moda É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. A utilidade da moda se acentua quando um ou dois valores, ou um grupo de valores, ocorrem com muito maior freqüência que outros.
44 Moda Dados Não-Agrupados Corresponde ao valor que mais se repete em uma distribuição. Exemplo 1: Idades de Trabalhadores da Organização A Tabela Primitiva
45 Moda Dados Não-Agrupados Exemplo 1: Idades de Trabalhadores da Organização A Rol Mo = 26
46 Tipos de Séries: Moda Dados Não-Agrupados 1. Séries Modais (ou unimodais): são séries em que ocorre um único valor modal. Exemplo 1: Idades de Trabalhadores da Organização A Série Modal Mo = 26
47 Tipos de Séries: Moda Dados Não-Agrupados 2. Séries Amodais: são séries em que não existe moda, ou seja, séries que não ocorre maior número de repetições para nenhum de seus valores. Exemplo 1: Idades de Trabalhadores da Organização A Série Amodal
48 Tipos de Séries: Moda Dados Não-Agrupados 3. Séries Multimodais: são séries em que ocorre mais do que um valor com maior número de repetições. Exemplo 1: Idades de Trabalhadores da Organização A Série Bimodal Mo 1 = 26e Mo 2 = 51
49 Sem Intervalos de Classes Moda Dados Agrupados Após o agrupamento dos valores, a determinação do valor modal corresponderá ao valor de maior freqüência. Exemplo 1: Distribuição de Freqüências Idades fi Total 104 Valor mais freqüente Mo = 26
50 Moda Dados Agrupados Com Intervalos de Classes O valor modal corresponde à classe que apresenta a maior freqüência (classe modal). A moda é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. Moda Bruta Mo 2 li Li l i = limite inferior L i = limite superior A moda bruta se assemelha ao ponto médio da classe de maior freqüência.
51 Moda Dados Agrupados Com Intervalos de Classes Exemplo 1: i Estaturas f i f i = 40 i = 3 l i = 158 L i = 162 Mo 2 li Li Mo 160 2
52 Moda Expressões Gráficas da Moda
53 Moda Expressões Gráficas da Moda
54 Moda QUANDO UTILIZAR? 1. Quando se trabalha com variáveis que são passíveis de mensuração em um nível nominal. 2. Para medidas rápidas e aproximadas de posição. 3. Para medidas de posição que caracterizam a distribuição; para encontrar o valor mais típico da distribuição. 4. Pode ser calculada para qualquer conjunto de dados, pois pressupõe apenas o conhecimento das freqüências.
55 VANTAGENS Moda 1. Medida de tendência central rápida e simples. 2. Não depende de todos os valores da distribuição, podendo não se alterar com a modificação de alguns deles. 3. Não é influenciada pelos valores extremos da série. 4. A moda, desde que ocorra, sempre é representada por um elemento da série, tendo, portanto, existência real. 5. Pode ser calculada para distribuições em que os extremos constituem classes abertas, na maioria dos casos.
56 LIMITAÇÕES Moda 1. Não reflete todos os valores da distribuição. 2. Possui propriedades matemáticas restritivas, não permitindo o uso de outras técnicas estatísticas robustas.
57 Mediana Corresponde ao número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. A mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
58 Mediana Dados Não-Agrupados Para Números Ímpares Estando ordenados os valores de uma série, a mediana corresponde ao valor central que apresenta o mesmo número de elementos à direita e à esquerda. Md n 1 2 n: nº de elementos da série
59 Para Números Ímpares Exemplo 1: Mediana Dados Não-Agrupados Idades de Trabalhadores da Organização A Tabela Primitiva Rol Md n Md 6ª 2 5 valores posição Md = 46 5 valores 6ª posição
60 Para Números Ímpares Mediana Dados Não-Agrupados Exemplo 2: Idades de Trabalhadores da Organização A Md n Md 13ª 2 posição 13ª posição
61 Mediana Dados Não-Agrupados Para Números Pares A mediana será qualquer dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio. Média Aritmética dos Termos n n Md X e n: nº de elementos da série
62 Mediana Dados Não-Agrupados Para Números Pares Exemplo 3: Idades de Trabalhadores da Organização A n 2 n ª 10 2 posição 1 6ª posição 5ª posição Md 6ª posição X 2 Md 42 42
63 Sem Intervalos de Classes Mediana Dados Agrupados Deve-se identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada. A ordem, a partir de qualquer um dos extremos é dada por: fi 2
64 Mediana QUANDO UTILIZAR? 1. Quando se trabalha com variáveis que são passíveis de mensuração em um nível ordinal. 2. Quando se deseja obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais. 3. Quando há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média (assimetria acentuada). 4. Para distribuições com classes ou limites abertos (valores extremos indefinidos). 5. Quando a variável em estudo é salário.
65 VANTAGENS Mediana 1. Não depende de todos os valores da série, podendo se manter inalterável com a modificação de alguns deles. 2. Não é influenciada pelos valores extremos da distribuição; por isso é particularmente indicada quando existem dados discrepantes. 3. Tal como a moda, pode ser calculada quando os valores mais altos e mais baixos de uma série não podem ser exatamente definidos. 4. Pode ser utilizada para dados que atingem o nível ordinal.
66 LIMITAÇÕES Mediana 1. Ao contrário do que ocorre com a média, as medianas de vários conjuntos de dados não podem em geral ser combinadas em uma mediana global de todos os dados. 2. Problema de inferência estatística: as medianas de muitas amostras extraídas da mesma população apresentam maior variação do que as médias amostrais correspondentes (menor confiabilidade do que a média). 3. O cálculo da mediana não pode ser feito com calculadoras. 4. A depender da quantidade de valores da distribuição, a ordenação dos dados para determinar a mediana pode ser enfadonha e difícil.
67 Ponto Médio É o valor que está a meio caminho entre o maior e o menor valor. Para obtê-lo, basta somar os valores extremos e dividir por 2. Medida de posição de pouca utilização para decisões finais. É mais utilizado para o cálculo de outras medidas X i l i L 2 i l i : limite inferior L i : limite superior ponto médio = maior valor + menor valor 2
68 Ponto Médio Exemplo 1: i Estaturas f i x i f i = 40 Ponto Médio da Classe Ponto Médio da Distribuição Xi X i l i L i Xi 162
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70 Deseja-se selecionar, dentre três pessoas, um funcionário para trabalhar como analista de recursos humanos em uma empresa. Foram realizadas as seguintes avaliações para seleção (português, matemática e inglês). Escores do candidato A: Português: 4 Matemática: 9 Inglês: 7 Escores do candidato B: Português: 7 Matemática: 7 Inglês: 6 Escores do candidato C: Português: 10 Matemática: 8 Inglês: 2 TOTAL: 20 TOTAL: 20 TOTAL: 20 Sabendo que todos obtiveram o mesmo total de pontos, qual candidato você contrataria?
71 Visam apresentar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto. As medidas de dispersão são baseadas nos valores obtidos a partir das medidas de tendência central. ABSOLUTAS RELATIVAS
72 Oferecem condições para analisar até que ponto os valores apresentam oscilações para mais ou para menos, em relação a uma medida de posição fixada. ABSOLUTAS São expressas na mesma unidade de medida de valores. RELATIVAS São expressas em termos relativos ou percentuais.
73 Corresponde à diferença entre o maior e o menor dos valores de uma distribuição. Amplitude Total AT = x(máx) x(min) Quanto maior o número de observações, maior tende a ser sua amplitude.
74 Amplitude Total Dados Não-Agrupados Exemplo: Dados os valores 40, 45, 48, 52, 54, 62 e 70 AT = x(máx) x(min) AT = AT = 30 Quanto maior o AT maior a dispersão dos valores da variável
75 Amplitude Total QUANDO UTILIZAR? 1. Quando se busca determinar a diferença entre os valores máximo e mínimo em uma determinada época ou período. 2. Como uma medida rápida de variabilidade dos dados, que não demonstre muita preocupação com a exatidão e a estabilidade. 3. Quando a distribuição de valores estiver mantendo uma certa homogeneidade. 4. É utilizada como um índice preliminar.
76 LIMITAÇÕES Amplitude Total 1. É uma medida de dispersão que, ao não considerar o conjunto de valores intermediários, reduz a confiança dos resultados obtidos. 2. Não são muito utilizadas, pois são instáveis, deixando-se influenciar pelos valores extremos da distribuição. 3. Possui uma aplicação restrita a distribuições de resultados mensurados em nível pelo menos intervalar.
77 TIPOS: Amplitude Total ou Intervalo Total (AT). Desvio Quartílico ou Amplitude Semi-Interquartílica (Dq). Desvio Médio (Dm). Desvio-Padrão (DP ou s). Variância (s 2 ).
78 Desvio Médio É a média aritmética dos valores absolutos dos desvios da distribuição, em relação a uma medida de tendência central (média ou mediana). X Dm N X X Dm = desvio médio X Somatório dos desvios absolutos N ( f i )= número total de escores
79 Desvio Médio Dados Não-Agrupados Exemplo: Dados os valores 2, 5, 8, 15, 20. Dm X 10 5 X X Dm N Dm 6
80 Desvio Médio VANTAGENS 1. Depende de todos os valores da distribuição, fazendo com que seu resultado apresente maiores seguranças em relação à Amplitude Total e Desvio Quartílico. 2. Seu cálculo pode ser efetuado a partir da média e da mediana. 3. Não leva em consideração a existência de desvios negativos, pois seu cálculo é medido em termos modulares (absolutos). 4. Poderá substituir o Desvio Padrão, quando este for influenciado indevidamente pelos desvios extremos.
81 TIPOS: Amplitude Total ou Intervalo Total (AT). Desvio Quartílico ou Amplitude Semi-Interquartílica (Dq). Desvio Médio (Dm). Desvio-Padrão (DP ou s). Variância (s 2 ).
82 Desvio-Padrão Corresponde à raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios. s x 2 i x n É a medida de dispersão mais utilizada na comparação de diferenças entre conjuntos de dados. Determina a dispersão dos valores em relação à média.
83 Desvio-Padrão QUANDO UTILIZAR? 1. Para avaliar o grau de variabilidade em uma distribuição ou para comparar a variabilidade de diferentes distribuições. 2. Para ajustar a posição relativa de escores individuais dentro de uma distribuição.
84 TIPOS: Amplitude Total ou Intervalo Total (AT). Desvio Quartílico ou Amplitude Semi-Interquartílica (Dq). Desvio Médio (Dm). Desvio-Padrão (DP ou s). Variância (s 2 ).
85 Variância Corresponde à média dos quadrados dos desvios (quadrado do desvio padrão). A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva.
86 Variância QUANDO UTILIZAR? 1. Para testes estatísticos dentro da inferência estatística e em combinações de amostras. 2. Em processos estatísticos avançados. 3. Quando os valores absolutos obtidos a partir do desvio médio não possuem utilidade.
87 Erro-padrão da média (S.E. Mean) Corresponde ao desvio-padrão da estimativa média da amostra de uma média populacional. É estimado pela relação entre o desvio-padrão da amostra e a raiz quadrada do tamanho amostral: SE X s n Quanto > n, < o SE. S = desvio-padrão da amostra (baseada na estimativa do desvio-padrão da população) N = tamanho da amostra
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