INTERPRETAÇÃO HIDRODINÂMICA DAQUANTIZAÇÃO DE MODELOS ISOTRÓPICOS NA COSMOLOGIA-RESULTADOS

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1 4 a 8 de outubro de 03 INTERPRETAÇÃO HIDRODINÂMICA DAQUANTIZAÇÃO DE MODELOS ISOTRÓPICOS NA COSMOLOGIA-RESULTADOS LAYSA G. MARTINS, JOSÉ A. C. NOGALES RESUMO: A partir das equações de campo, é construído um caso específico que descreve o universo, cosmologia. A solução dessas equações apresentam singularidades fortes, nas quais as densidades de energias são altas. Serão analisados dois casos, o primeiro quando o fator de escala a=a(t), que descreve como se dá a evolução do espaço, é muito pequeno, ou seja (a 0), conhecido por modelo Horava-Lifshitz e o segundo caso para quando se tem expansões aceleradas do universo, cujo o fator de escala é (a ), chamado de Big Rip. Para analisar esses modelos, é necessário quantizá-los, com o intuito de que essas singularidades desapareçam devido ao Princípio de Incerteza. No entanto, a interpretação usual da mecânica quântica, Copenhague, necessita de um observador, que para o caso do universo é inexistente, por essa razão, têm-se que uma das possibilidades é utilizar uma interpretação alternativa. Neste trabalho, será testado a interpretação da hidrodinâmica quântica de Madelung, a qual resulta na equação da continuidade e na equação de Bernoulli ou Navier-Stokes. Os resultados obtidos mostram que essas singularidades são removíveis. Palavras-chave: Cosmologia, singularidades, modelo de Horava-Lifshitz, Big Rip, hidrodinâmica de Madelung. INTRODUÇÃO Cosmologia é o estudo da estrutura em larga escala do Universo, onde o "Universo"significa tudo o que existe em sentido físico, como por exemplo, o vasto domínio das galáxias, estrelas e aglomerados destas. Por meio de observações através de variados telescópios, é possível examinar as relações entre a distribuição, a natureza e a origem da matéria quando esta está em grandes ambientes, revelando desta maneira uma interação contínua entre a especulação, teoria e observação. A história mostra que existe há milênios a curiosidade sobre a origem e a constituição do Universo, visto desde civilizações mais antigas até as atuais teorias. Com o desenvolvimento da ciência e consequentemente com o método científico, as teorias e fatos experimentais passaram a caminhar juntos, com o objetivo de buscar explicações científicas. Neste sentido, os estudos na área da cosmologia voltaram-se para tentar compreender principalmente a evolução do Universo. Todavia, hoje ainda se desconhece parte desta história. Na busca deste conhecimento, foram observadas importantes evidências experimentais que sugerem características de como o universo era no início, de como está no presente e de como será no futuro. Destas evidências experimentais, destacamos o parâmetro de Hubble, que mostra que o universo está em expansão e que permite estabelecer a idade do mesmo, a determinação da temperatura média do universo, na qual se percebe que este está se resfriando e que a expansão deste ocorre de forma acelerada. Essa evidência de que o universo se expande com velocidade crescente [,] foi obtida em 998, através de observações de supernovas tipo Ia [3]. Em 006, o Prêmio Shaw de Astronomia e o Nobel de Física 0, foram concedidos a Saul Perlmutter, Brian Schmidt e Adam Riess, pela descoberta da expansão acelerada do universo. Estas evidências levaram as seguintes conclusões: o universo teve um início, a temperatura do Universo era maior no passado e por fim, alguma instabilidade produziu esta expansão. Logo, se tudo no universo está se afastando, então deve ter tido, em algum momento, um local muito quente e denso que classicamente, é conhecido como singularidade. Um fenômeno análogo pode ser visto no futuro do universo, quando se considera uma expansão exponencialmente acelerada com a equação de estado p = ωρ com ω < [4,5], na qual existe uma singularidade. Quando existe uma singularidade em um modelo cosmológico, não se consegue analisar a física presente nos fenômenos, então, deve-se

2 4 a 8 de outubro de 03 verificar se essas singularidades podem ser removidas e assim possibilitar a análise de fenômenos físicos. Neste trabalho serão analisados dois casos, o primeiro é quando o fator de escala a(t), que descreve como se dá a evolução do espaço, é muito pequeno, ou seja, a 0 representa o início do universo. O segundo caso, é para um tempo futuro, isto é, para expansões aceleradas do universo, então o fator de escala a(t). Para o primeiro caso, será utilizado o modelo de Horava-Lifshitz, pois a Relatividade Geral de Einstein não explica determinados fenômenos para a(t) 0. No outro caso, a singularidade a ser estuda é o Big Rip [6], que é para quando o fator de escala e a densidade de energia divergem. Para tentar explicar essas singularidades são necessárias as teorias, da Relatividade Geral e da Mecânica Quântica. Neste trabalho, analisaremos algumas destas singularidades que aparecem nas equações de campo gravitacional, utilizando a interpretação da hidrodinâmica quântica de Madelung. Os resultados encontrados mostram que essas singularidades são removíveis. REFERENCIAL TEÓRICO A seguir serão apresentados sínteses dos conteúdos estudados e necessários para esse trabalho, iniciando com o conteúdo sobre Relatividade Geral, mecânica quântica e a interpretação hidrodinâmica de Madelung. Relatividade Geral A Relatividade Geral, RG, é uma teoria clássica de campos que descreve o campo gravitacional e seus efeitos sobre um sistema físico. Foi proposta por Albert Einstein, em 96, em seu artigo Os Fundamentos da Teoria da Relatividade Geral. As equações que descrevem o campo gravitacional, conhecidas por equações de Einstein, são frutos de anos de tentativas e erros, revelando um percurso difícil e não-linear. O primeiro passo importante para obtenção dessa teoria, foi a descoberta do Princípio da Equivalência e posteriormente de se conseguir compreender que, para considerar corpos em aceleração, é necessário uma teoria que seja covariante, isto é, que matenha sua forma, sob a ação de transformações gerais de coordenadas. Em seguida, percebeu-se que, para obter um tratamento da gravitação que estivesse relativisticamente correto, teria-se que fazer considerações de geometria nãoeuclidiana, o que já havia sido criado na matemática e que é conhecido como geometria de Riemann, além de fazer uso de ferramentas matemáticas dadas pelo cálculo tensorial. Hidrodinâmica de Madelung A interpretação de Copenhague da mecânica quântica traz alguns fenômenos quânticos estranhos, por exemplo, o gato de Schrödinger, a dualidade onda-partícula, incoerência, dentre outros. Segundo [,], muitos cientistas procuraram por outras interpretações da mecânica quântica, retornando as suas fundamentações ontológicas. Destaca-se, dentre esses cientistas David Bohm [3], que propôs uma interpretação alternativa da mecânica quântica, que é capaz de superar alguns paradoxos da interpretação de Copenhague. A teoria de Bohm consiste no desenvolvimento do conceito da onda piloto de de Broglie, por isso, sua teoria também é conhecida como teoria de de Broglie-Bohm. Uma apresentação sobre algumas das possíveis interpretações da mecânica quântica pode ser vista em []. Por outro lado, durante a criação da mecânica quântica de Madelung [4,5], demonstrou-se que a equação de Schrödinger poderia ser transformada em uma forma hidrodinâmica, como proposto por Madelung. A equação de Schrodinger é dada por: ()

3 4 a 8 de outubro de 03 onde ħ = m =. Para transformar a equação de Schrödinger em forma hidrodinâmica, será utilizado a seguinte função de onda Ψ(x,t) = ρ/(x,t)eis(x,t), onde ρ estará associado a densidade de probabilidade e S é a fase da função de onda. A equação () por ser esparada em sua parte real e imaginária, as quais são: () onde Q= - ρ/ / ρ/ é o potencial quântico. O potencial quântico é um campo informativo que fornece ao elétron, por exemplo, informações sobre o resto do universo físico. A influência desse potencial depende apenas da forma, e não da magnitude desse tipo de função de onda, sendo portanto, independente da separação no espaço (todo ponto no espaço contribui com uma informação para o elétron). Segundo Bohm, no limite clássico o potencial quântico Q desaparece e a equação acima se reduz a equação de Hamilton-Jacobi. Por essa razão, a fase S pode ser entendida como a ação mecânica e assim a velocidade da partícula é dada por v =, onde V é um vetor tridimensional das coordenadas da partícula. Cosmologia Quântica de Horava-Lifshitz O modelo de HL propõe alterações na gravitação de Einstein quando esta analisa sistemas com altas energias, UV, tornando-a renormalizável e, consequentemente, quantizável. Essa teoria de HL é coerente com a relatividade de Eisntein, pois a recupera no limite de baixas energias. Para altas energias, a teoria de HL se transforma numa teoria bidimensional efetiva, a qual é um sistema integrável na teoria clássica, portanto, a estruturação da integrabilidade nos possibilita entender as soluções clássicas não pertubativas e assim proceder com a quantização, como mostrado em [8]. A proposta de Horava utiliza o escalonamento isotrópico na construção de uma Gravidade Quântica renormalizável. Um re-escalamento é uma multiplicação das distâncias por uma fator constante, ou seja, pode-se considerar que um reescalonamento é equivalente à escolha de um sistema de unidade de comprimento diferente, o que não altera as leis físicas, visto que as teorias físicas fundamentais podem ser descritas de forma invariante sob esta transformação. Logo, tal invariância no re-escalamento do espaço implica que, o tempo também seja feito o re-escalamento. Pelo Princípio Cosmológico, todas as condições espaciais do Universo devem apresentar uma homogeneidade e isotropia para qualquer observador em qualquer instante de tempo. Essa característica implica em uma hamiltoniana com restrição H = 0. Se esssa hamiltoniana for transformada no operador hamiltoniano e aplicado em uma função de onda do universo φ, ter-se-à, a equação de Wheeler-DeWitt (WdW), H φ = 0, proposta em 967 por Bryce DeWitt a partir de uma ideia apresentada por Wheeler em 950. A equação WdW descreve, na gravidade quântica, uma versão quântica da restrição hamiltoniana usando variáveis métricas, isto é, um espaço de três dimensões métricas espaciais, chamado de superespaço. A equação WdW é uma equação diferencial funcional e possui a forma de um operador agindo sobre uma função de onda. Para o caso geral, a equação WdW não é bem definida, mas para espaços simples, como espaços-tempos de FRLW, as quais conduzem à modelos de minisuperespaços, onde o número de graus de liberdade é reduzido, a equação WdW é bem definida, a qual foi utilizada nesse trabalho. Aceleração do Universo Muitos estudos estão sendo realizados com o objetivo de descobrir a razão da expansão do universo. Na literaura há dois ramos, que são, o abandono ou modificação da RG de Einstein como teoria da gravitação ou a suposição da existência de novos tipos de matéria, cujas propriedades são diferentes das usuais, podendo citar por exemplo, a constante cosmológica, a quintessência e o campo fantasma. O trabalho [], indica que para resultados onde a constante barotrópica de estado assume

4 4 a 8 de outubro de 03 valores ω <, deve-se examinar as consequências de se ter o campo fantasma como responsável pela aceleração. Esse campo possui algumas propriedades estranhas, no sentido de alguns conceitos usuais da física, como: possuir uma equação de estado com pressão negativa, violar a condição de energia nula, ρ + p > 0, ou possuir termos cinético negativo na lagrangiana. RESULTADOS E DISCUSSÃO Nessa seção será analisado o comportamento do fator de escala e da densidade de energia para os dois casos, que são para quando o fator de escala é muito pequeno, início do universo e aí têmse a teoria de Horava-Lifshitz e o segundo caso, é para a expansão do universo, quando há a singularidade Big Rip. Soluções da equação WdW para a «Essa região corresponde a um universo muito tardio, em que a constante cosmológica e a curvatura são dominantes, revelando que para grandes distâncias, a RG é recuperada. Considerando Λ = 0, os termos que possuem as constantes gλ, gr e gs são desprezíveis, assim obtêm-se a equação: (3) supondo uma solução φ(a) = f(a)eis(a), onde f(a) e S(a) são funções a serem determinadas, obter-se-á duas equações, uma que envolve a parte real e a outra a parte imaginária, respectivamente: (4) As soluções das equações serão analisadas graficamente na próxima seção. Equações dinâmicas para o Big Rip Para obtenção das equações dinâmicas para o Big Rip, a hamiltoniana será escrita apenas com dependência do fator de escala a. Assim, o potencial e o momento canônico terão que ser reescritos em função de a. Assim a equação torna-se: (5) supondo uma solução φ(a) = f(a)eis(a), onde f(a) e S(a) são funções a serem determinadas, cujas partes reais e imaginárias são (6) Na próxima seção serão analisadas estas soluções. CONCLUSÃO Analisando a evolução da densidade de energia ao longo do tempo, através da figura, notase que a densidade de energia, para valores muito pequenos do fator de escala a(t), tende a zero, isto é, no início do universo a(t) 0 a quantidade de energia é alta e a probabilidade de encontrar o sistema nesta região em que há singularidade é muito baixa, ou seja, a singularidade para o modelo de HL é evitável. O que confirma o resultado encontrado em (5), quando foi utilizado a interpretação da hidrodinâmica quântica de Madelung. A figura mostra que a densidade de energia tende a zero para o fator de escala a, isto é, a singularidade Big Rip quando interpretada pela hidrodinâmica de

5 4 a 8 de outubro de 03 Madelung é evitável, pois a probabilidade do sistema estar nessa região onde existe singularidade é pequena, assim como mostrado por [6]. Veja a figura que representa a densidade para o Big Rip. REFERÊNCIAS GOLDHABER, G.; PERLMUTTER, S. A study of 4 type Ia super-novae and a resulting measurement of Ω(M) and Ω(Λ). Physics Reports Review section of Physics Letters 307 (-4): 3533 Dez. 998.Disponível em: Acesso em 07/0. GARNAVICH, P. M.; KIRSHNER, R. P.; et al Constraints on cosmological models from Hubble Space Telescope observations of high-z supernovae Astrophysical Journal 493 (): L53+ Part Fev Nobel physics prize honours accelerating Universe find. BBC News, 4 de outubro de 0.

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