A SUPERCONDUTIVIDADE DE COR COM DOIS E TRÊS SABORES NO MODELO CROMODIELÉTRICO

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1 Anais do 14 O Encontro de Iniciação Científica e Pós Graduação do ITA XIV ENCITA / 2008 Instituto Tecnológico de Aeronáutica São José dos Campos SP Brasil Outubro 20 a A SUPERCONDUTIVIDADE DE COR COM DOIS E TRÊS SABORES NO MODELO CROMODIELÉTRICO Marcelo Vidalis Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Física Avenida Bento Gonçalves 9500 Caixa Postal CEP Porto Alegre Rio Grande do Sul marcelovidalis@gmail.com Manuel Máximo Bastos Malheiro de Oliveira Instituo Tecnológico da Aeronáutica Departamento de Física CEP São José dos Campos São Paulo malheiro@ita.br Resumo:No modelo Cromodielétrico (CDM) recentemente foi estudada a fase supercondutora de cor e sabor (CFL) implementando o emparelhamento BCS dos quarks. Nesse estudo foi mostrado que a matéria de quarks estranha é estável mesmo para uma grande energia potencial e que a fase CFL é o verdadeiro estado fundamental da matéria estranha. Esta conclusão ficou restrita à matéria estranha quarks u d e s e neste trabalho investigamos também a fase supercondutora de cor formada apenas pelos quarks leves conhecida como fase 2SC que pode existir a densidades mais baixas. Além disso nos estudos anteriores não foram levadas em consideração as condições provenientes do equilíbrio β condição essa que deve ser obedecida pela matéria no interior de estrelas compactas. Mostramos que devido a estas condições a fase CFL é obtida para altas densidades e que para densidades baixas é possível obter uma matéria estranha supercondutora com quarks massivos num regime de simetria quiral quebrada onde os momentos de Fermi dos quarks não são idênticos. Apresentamos os resultados para a fase 2SC levando em conta também as condições de equilíbrio β e discutimos as possíveis transições entre estas fases supercondutoras e também com a matéria de quarks não emparelhada. A fase 2SC para qualquer densidade nunca é favorecida energeticamente com relação à matéria supercondutora de quarks estranha. Palavras chave: Estrelas Compactas Estrelas de Quarks Matéria de Quarks Supercondutividade de Cor Modelo Cromodielétrico Equações TOV 1 Introdução Neste trabalho vamos investigar as fases supercondutoras de cor 2SC e CFL no modelo Cromodielétrico (CDM) [1 2 3]. A escolha deste modelo de quarks interagindo com mésons escalares e pseudo escalares deve se ao fato de que ele possui simetria quiral quebrada espontaneamente gerando assim uma massa dinâmica para os quarks devido também ao fato de possuir um confinamento a baixas energias. Este confinamento é obtido via um campo efetivo χ que pode ser entendido como vindo da integração dos glúons [4]. A baixas energias ele reproduz bem a fenomenologia do nucleon [5 6]. Além disto foram realizados estudos neste modelo da matéria de quarks não emparelhada em dois sabores [7] e em 3 sabores sujeitos à condição de equilíbrio β [8 9]. Problemas com a estabilidade desta matéria estranha a altas densidades foram encontrados no modelo CDM [10] o que sugere a análise neste mesmo modelo da matéria na fase supercondutora descrita anteriormente cuja energia por partícula é menor. A inclusão da energia de emparelhamento possibilita uma faixa maior para os parâmetros do modelo CDM onde a matéria estranha é estável. Trabalhar com um modelo efetivo de quarks que a baixas densidades tem a simetria quiral quebrada e a altas densidades esta simetria é restaurada possibilita estudar se existe alguma interface entre esta matéria e a matéria descrita pela fase supercondutora de cor. Este tipo de análise não é possível de ser feita em QCD pois esta teoria ainda não é solúvel no regime de baixas densidades onde temos o confinamento dos quarks. Além disto na versão do modelo CDM com um potencial quártico que vamos usar neste trabalho duas equações de estado (EOS) aparecem para a matéria de quarks estranha em equilíbrio β [8 9]. Uma para baixas densidades que apresenta a simetria quiral quebrada e a outra para altas densidades onde a simetria quiral está restaurada. Nesta equação para altas densidades gerada autoconsistentemente dentro do modelo CDM os momentos de Fermi dos 3 quarks são todos iguais a matéria é neutra e os elétrons são expulsos. Esta fenomenologia é exatamente a mesma que é prevista para a fase supercondutora de cor CFL mas neste caso a energia do gap é nula. Deste modo esta equação de estado para a matéria de quarks em equilíbrio β encontrada no modelo CDM para altas densidades parece ser a transição natural da fase CFL com emparelhamento forte visto que quando a densidade diminui o emparelhamento deverá desaparecer. Vamos mostrar que no caso da matéria estranha o equilíbrio β expulsa dinamicamente os elétrons sendo que à altíssimas densidades encontramos uma solução CFL em concordância com [ ] onde os elétrons não foram levados em consideração. Já para o caso da fase 2SC mostraremos que o papel desempenhado pelos elétrons é de maior relevância do que em relação ao caso da matéria estranha e a sua energia livre é sempre maior que a da matéria

2 Anais do XIV ENCITA 2008 ITA Outubro estranha ou seja sua pressão sempre deve ser menor. Sobre a possibilidade da existência da Solução II para a fase 2SC onde os quarks têm uma massa próxima de zero veremos que ela não deve ocorrer à altas densidades devido à possibilidade de formação do quark s neste regime. 2 As Fases Supercondutoras de Cor no Modelo CDM A previsão de que uma fase supercondutora de cor pode ocorrer existe há praticamente 30 anos [ ] mas só recentemente esse fenômeno tem recebido maior atenção [18]. A expectativa é a de que à altas densidades devido à liberdade assintótica os quarks poderiam formar uma esfera de Fermi de quarks praticamente livres emparelhando se perto da superfície de Fermi. De forma análoga à Física da Matéria Condensada espera se que na presença de interações atrativas essa superfície de Fermi seja instável significando que o estado fundamental não é o trivial ou seja um estado formado tão somente por quarks ocupando todos os níveis de energia até a energia de Fermi. Para esse caso o verdadeiro estado fundamental seria um estado tal qual perto da superfície de Fermi estariam sendo formados pares de quarks análogos aos pares de Cooper formados na teoria BCS de tal modo que a formação da superfície de Fermi de férmions livres é instável na presença de uma interação arbitrariamente pequena. Conforme previsto pela teoria da Cromodinâmica Quântica(QCD) a troca de um glúon no canal 3 é atrativa na formação de um determinado estado coerente de pares de Cooper. A estrutura de fase da QCD à altas densidades depende do número de sabores e à saber existem dois casos que se destacam na questão da supercondutividade de cor entre tantas que atualmente são abordadas na literatura devido ao tratamento tanto histórico como pela simplicidade com que são tratadas respectivamente. A primeira fase em questão é a chamada fase com 2 sabores também conhecida como fase 2SC ("Two Single Color"); já a segunda fase em questão trata se da fase com 3 sabores também chamada de fase CFL ("Color Flavor Locked"). Os dois casos favorecem o surgimento de diferentes padrões de quebra de simetria. Na presença de um ou mais condensados o estado fundamental da matéria de quarks a temperaturas baixas e altas densidades é a supercondutividade de cor. Neste caso os quarks diferentemente dos elétrons possuem diferentes sabores e carregam carga de cor e concomitantemente carga elétrica. 3 Resultados Faremos nesta Seção uma sistematização dos resultados obtidos nas fases com matéria estranha e matéria não estranha de quarks u d s e u d respectivamente descrito pelo Modelo Cromodielétrico (CDM). Existem duas soluções para esse modelo as quais chamaremos de Solução I e Solução II baseadas na notação usada em [5 6 7]. Essa respectiva divisão de soluções nos levará no primeiro caso à resultados para valores de χ pequeno valores muito próximos de χ 0 onde os quarks terão suas massas geradas dinamicamente e conseqüentemente serão grandes; já para valores onde χ é grande para a outra solução em torno de χ 1.5 e praticamente não variando com relação a densidade fazendo com que esses quarks tenham massas consideravelmente baixas. Concomitantemente à isso faremos uma análise dos resultados e dos seus respectivos significados físicos. Comparações com trabalhos apresentados anteriormente na literatura para este mesmo modelo serão feitas de acordo com o surgimento de questões importantes ao longo deste trabalho validando ou até mesmo implementando conclusões prévias dos resultados obtidos por esses trabalhos citados. O estudo da matéria não estranha com emparelhamento forte usando o modelo CDM não possui precedentes na literatura. Seus resultados poderão ser comparados com alguns trabalhos sem emparelhamento ou seja = 0 MeV. Inicialmente vamos analisar a fase supercondutora de cor da matéria estranha considerando as duas soluções possíveis. Os valores obtidos foram absolutamente iguais aos obtidos em estudos anteriores no regime CFL onde os momentos de Fermi entre os quarks u d e s são iguais [11 12]. Isto se deve ao fato de as massas dos quarks para a Solução II serem muito pequenas quase nulas e dessa forma a equação da neutralidade da carga exige que os momento de Fermi tenham praticamente os mesmos valores. Com isso podemos ver que na Solução II da fase de 3 sabores da matéria de quarks que é a fase CFL no modelo CDM existe uma contribuição irrelevante dos elétrons ou seja os elétrons são deliberadamente expulsos nessa fase como fora previsto em [ ] e podemos afirmar que as conclusões desses trabalhos foram obtidas de forma idêntica. Vale a pena ressaltar que o momento de Fermi para os elétrons é nulo para esse caso ao longo de toda descrição da Solução II. Na Figura (1) mostramos o gráfico da energia por partícula para a Solução II com a introdução do emparelhamento que é constante. Como podemos observar conforme o emparelhamento aumenta a energia por partícula diminui implicando em uma maior estabilidade da matéria. O acréscimo no emparelhamento implica em uma diminuição do momento de Fermi de cada quark em questão para uma mesma densidade bariônica. Notamos que o efeito do emparelhamento começa mesmo a ser importante para valores de 100 MeV. Só para valores de nesta faixa o emparelhamento torna se relevante em comparação com o potencial U( χ ) como pode ser visto em [ ] onde foi mostrada a contribuição desses dois termos para a densidade de energia.

3 Anais do XIV ENCITA 2008 ITA Outubro FIGURA 1: Energia por partícula em função da densidade para a solução II com η = para diversos valores do emparelhamento em MeV na fase de matéria de quarks com 3 sabores. FIGURA 2: Equação de estado para a solução II com η = para diversos valores do emparelhamento em MeV na fase de matéria de quarks com 3 sabores. Na Figura (2) apresentamos a equação de estado para a solução II. Podemos observar que para uma certa densidade de energia o aumento do emparelhamento conduz a um acréscimo na pressão. Percebemos que à medida que aumentamos o emparelhamento a pressão aumenta e que a densidade de energia diminui; esses resultados representam o fato de que o aumento da pressão implica em uma diminuição da energia livre. Conforme aumentamos o emparelhamento diminuímos o respectivo momento de Fermi do quark em questão para uma dada densidade bariônica.

4 Anais do XIV ENCITA 2008 ITA Outubro FIGURA 3: Energia por partícula em função da densidade para a solução I com η = para diversos valores do emparelhamento em MeV na fase de matéria de quarks com 3 sabores. Para finalizar esse estudo sobre a solução II na fase de 3 sabores obtivemos que a solução de χ é independente da densidade e apresentam um valor consideravelmente grande com relação à constante de acoplamento de tal modo que as massas dos quarks serão constantes ao variarmos a densidade bariônica e de certa forma muito pequenas. Por isso essa solução II pode ser vista como uma solução quiral do regime de altas densidades. A solução I na fase de 3 sabores é obtida no modelo CDM para valores do campo χ pequenos e que crescem lentamente com a densidade. Como conseqüência as massas dos quarks é gerada dinamicamente e são grandes. A solução I pode portanto ser identificada com o regime de simetria quiral quebrada. Dessa forma vamos investigar de que forma uma matéria estranha com quarks massivos se comporta perante o emparelhamento: se esses quarks massivos tendem a se emparelhar. Sobre a estabilidade da matéria para a solução I como podemos observar pela Figura (3) essa matéria só é estável para valores de 55 MeV onde ε/ ρ possui um mínimo até a pressão se anular. Observamos que para valores de > 55 Mev a energia por partícula deixa de ter mínimo e a matéria colapsa à baixas densidades. Esse resultado em comparação com o obtido em [11] onde o valor do emparelhamento para que a matéria não colapse era de 65 MeV mostra que pelo fato de que agora levamos em conta a contribuição dos elétrons e dos momentos de Fermi dos quarks que são diferentes entre si o emparelhamento máximo é menor e está em torno de 55 MeV. Como podemos perceber o fato de incluirmos o elétron como parte deste estudo nos leva à condição de que a estabilidade da matéria exige valores mais baixos do emparelhamento. Sobre o estudo da EOS nessa solução I exposta na Figura (4) vemos que da mesma maneira que para a solução II existem regiões em que a pressão se anula para determinados valores de sendo essa uma conseqüência da existência de um mínimo de ε/ ρ como pode ser visto na Figura (3). Este resultado tem um significado muito interessante: nesta fase os quarks massivos não buscam o emparelhamento. Isto ocorre porque o potencial U( χ ) é pequeno para esta solução e portanto o efeito da energia de emparelhamento possui extrema relevância mesmo para valores relativamente baixos de. Para valores do emparelhamento acima de = 55 MeV vemos que a pressão sempre é positiva tornando impossível a condição de P = 0 o que nos daria um mínimo de energia por partícula. Comparando as Figuras (2) e (4) concluímos que na fase CFL a equação de estado é mais dura e o efeito do emparelhamento é mais importante do que para a solução I. A dependência da pressão e da densidade de energia com a densidade para esta solução à medida que aumenta é essencialmente o mesmo da solução II mesmo que o efeito do emparelhamento seja menor: a pressão aumenta com o emparelhamento e a densidade de energia diminui sendo que dessa forma não mostraremos aqui estes gráficos.

5 Anais do XIV ENCITA 2008 ITA Outubro FIGURA 4: Equação de estado para a solução I com η = para diversos valores do emparelhamento em MeV na fase de matéria de quarks com 3 sabores. O estudo da matéria de quarks com 3 sabores usando o modelo CDM possui tanto para a soluçao I quanto para a solução II resultados anteriores na literatura mas obtidos na condição CFL onde os momentos de Fermi dos quarks são iguais sem levar em conta o equilíbrio β. A discussão agora se dará em torno da matéria com 2 sabores quarks u e d no modelo CDM usando o mesmo potencial U( χ) com os mesmos valores de η e γ respectivamente. Esta matéria na fase supercondutora nunca foi estudada neste modelo. Como no caso de 3 sabores o modelo CDM apresenta duas soluções uma onde χ assume valores pequenos chamada de solução I e outra solução para valores de χ grandes também chamada de solução II. Analogamente ao que foi feito para o caso de 3 sabores faremos um estudo da estabilidade da matéria com 2 sabores à respeito do valor de η para o qual o vínculo ε/ ρ =M seja satisfeito juntamente com o seu respectivo valor de. FIGURA 5: Energia por partícula em função da densidade para a solução II com η = para diversos valores do emparelhamento em MeV na fase de matéria de quarks com 2 sabores.

6 Anais do XIV ENCITA 2008 ITA Outubro FIGURA 6: Equação de estado para a solução II com η = para diversos valores do emparelhamento em MeV na fase de matéria de quarks com 2 sabores. FIGURA 7: Energia por partícula em função da densidade para a solução I com η = para diversos valores do emparelhamento em MeV na fase de matéria de quarks com 2 sabores. Este estudo nos mostra que o parâmetro η = fixado no modelo para a fase da matéria de quarks estranha torna instável a matéria de quarks para 2 sabores. A Figura (5) evidencia este fato mesmo para grandes valores de 150 MeV pois ε/ ρ é sempre maior que a massa do nucleon. Fisicamente isto significa que a matéria estranha no modelo CDM é estável mas a de 2 sabores irá decair para nucleons e posteriormente tornar se uma matéria hadrônica como é de esperar para baixas densidades. Comparando as Figuras (1) e (5) percebe se que para o caso de 2 sabores ao aumentarmos o emparelhamento até valores em torno de =150 MeV um valor considerado relativamente alto esse mínimo ocorre em uma densidade que corresponde à =0 MeV para o caso da solução II com 3 sabores. Isto significa que a pressão se anula na fase 2SC

7 Anais do XIV ENCITA 2008 ITA Outubro com emparelhamento forte na mesma densidade que a matéria estranha não emparelhada. Este resultado já está indicando que a pressão para uma dada densidade na fase 2SC deve ser menor do que a obtida na fase com 3 sabores visto que a fase supercondutora =0 da matéria estranha possui uma pressão maior do que a matéria não emparelhada. Deste modo a fase 2SC deve ser pouco favorecida mesmo à pressões baixas. Da análise da EOS representada pela Figura (6) vemos que ocorrem densidades em que a pressão é nula. Esse fato será de fundamental importância para a aplicação desses resultados pois neste regime quiral será possível obter estrelas de quarks na fase CFL com P = 0 na superfície. Na discussão da solução I para o caso de 2 sabores analisaremos primeiramente a questão da estabilidade apresentada na Figura (7) onde percebemos que o mínimo de ε/ ρ ou seja o estado de pressão zero ocorre para valores do emparelhamento < 100 MeV valores maiores do que os apresentados para a solução I na fase de 3 sabores onde de acordo com a Figura (3) a estabilidade é obtida para valores de 55 MeV. Como podemos ver para o valor de η da fase da matéria de quarks com 3 sabores a matéria de quarks não estranha continua instável do mesmo modo que o resultado obtido na solução II. Mesmo para valores de < 100 MeV a matéria de quarks na fase 2SC descrita por essa solução onde os quarks são massivos continua metaestável ou seja ε/ ρ > M podendo dessa forma virar matéria hadrônica. 3.1.Transição de Fases FIGURA 8: Equação de estado para a solução I com η = para diversos valores do emparelhamento em MeV na fase de matéria de quarks com 2 sabores. Agora vamos fazer um estudo sobre as possíveis transições de fase na matéria de quarks estranha e seqüencialmente na matéria de quarks não estranha no modelo CDM. Como podemos observar pelas Figuras (9) e (10) para um mesmo valor de a solução I com quarks massivos sempre têm uma pressão menor do que a solução II a densidades altas e moderadas. O que podemos concluir é que a fase estável é a de 3 sabores e o sistema a altas densidades se encontra na Solução II (fase CFL) com simetria quiral fazendo uma transição à pressões baixas para a fase quiral quebrada com quarks massivos (solução I) e potencial químico μ 1.6 f m 1 ou seja 320 MeV e portanto um potencial químico bariônico de μ B=960 MeV um pouco acima do potencial químico da matéria nuclear 923 MeV. Deste modo o sistema realiza uma transição de uma densidade bariônica ρii = f m 3 para ρi = f m 3. Como a densidade ρ I é aproximadamente o dobro da densidade bariônica da matéria nuclear 0.15 f m 1 então podemos concluir que esta fase massiva da matéria estranha se de fato existir no modelo CDM se dará numa pequena faixa de densidades e numa fase mista pois nesta mesma densidade já devemos ter hádrons. Como a pressão é baixa o mais certo é que uma EOS hadrônica que têm pressões positivas crescentes com ρ tenha maior pressão que ela e portanto esta fase da solução I com 3 sabores deverá ser suprimida com relação a uma fase hadrônica. Portanto não esperamos no modelo CDM que esta matéria de quarks massivos estranha supercondutora esteja presente na constituição de prováveis estrelas de quarks ou mesmo em estrelas híbridas o que está sendo pesquisado pelos autores deste trabalho.

8 Anais do XIV ENCITA 2008 ITA Outubro Além disso estrelas formadas puramente por quarks leves na fase 2SC serão metaestáveis ou seja somente existirão durante algum tempo convertendo se após em estrelas hadrônicas isso se realmente elas existirem. FIGURA 9: Transição de fase com η = para valores do emparelhamento em MeV na matéria de quarks com 3 sabores onde SI é a solução I e SII é a solução II. 4.Conclusões FIGURA 10: Transição de fase com η = para valores do emparelhamento em MeV na matéria de quarks com 2 sabores onde SI é a solução I e SII é a solução II. Neste trabalho estudamos a matéria de quarks descrita pelo modelo cromodielétrico (CDM) sujeita a um emparelhamento BCS onde o emparelhamento foi considerado constante. Nesta matéria supercondutora de cor levamos em consideração o equilíbrio β entre os quarks a neutralidade de carga e a conservação da densidade de

9 Anais do XIV ENCITA 2008 ITA Outubro quarks condições essas que necessitam ser satisfeitas pela matéria estelar dentro de estrelas de nêutrons por exemplo. As massas dos quarks foram calculadas dinamicamente para cada densidade resolvendo auto consistentemente as equações de Gap para os campos σ e χ. Além disto estudamos neste modelo não apenas a matéria estranha formada pelos quarks u d e s mas também pela primeira vez a matéria formada apenas de quarks leves conhecida como fase 2SC. Para cada tipo de matéria o modelo CDM apresenta duas soluções para o campo de confinamento χ: uma perto do seu mínimo global ( χ pequeno 0) que gera massas constituintes para os quarks grandes solução esta que chamamos de I por já existir anteriormente para o caso do potencial confinamento tipo oscilador e outra no mínimo local do potencial ( χ grande γm ) que gera massas muito pequenas quase nulas para os quarks solução esta que chamamos de II pois só existe na versão quártica do potencial confinamento que estamos considerando neste trabalho. A solução I por possuir quarks massivos descreve o regime de simetria quiral quebrada do modelo e a solução II a de simetria quiral restaurada devido aos quarks terem massas quase nulas. Investigamos a matéria supercondutora com interação de emparelhamento não nula para cada uma destas soluções tanto na matéria estranha quanto na matéria formada apenas pelos dois quarks leves u e d. Analisamos as possíveis transições de fase entre estas soluções obtidas nas diversas fases supercondutoras e o caso de matéria de quarks não emparelhada. As nossas principais conclusões são: À altas densidades a matéria de quarks estranha aparece na fase com sabor e cor fechada (CFL) onde os momentos de Fermi dos quarks são iguais e os quarks sem massa pois o χ está na solução II e as condições de equilíbrio β e de neutralidade de carga forçam dinamicamente a expulsão dos elétrons a densidades altas. Deste modo esta fase aparece naturalmente a altas densidades e é favorecida com relação a todas as outras fases neste regime. À densidades baixas a matéria de quarks estranha poderia estar numa fase de simetria quiral quebrada com quarks massivos ou seja na solução I onde χ é pequeno. Contudo neste caso os momentos de Fermi dos quarks são diferentes o que não facilita o emparelhamento. Neste caso os elétrons são necessários para neutralizar a matéria. Para altos valores de esta solução apresenta instabilidade para baixas densidades (não existe um mínimo na energia por partícula). Além disto os resultados obtidos pelo modelo mostram uma possível transição da fase CFL para esta fase numa densidade baixa ρ 2ρ0. Deste modo os resultados obtidos no modelo CDM para a matéria estranha não favorecem uma grande região de coexistência entre a fase quiral quebrada e uma fase supercondutora 0.33 ρ 0.48 f m 3. De fato nesta faixa de densidade onde ρ vai até 3ρ0 o mais provável é termos uma fase hadrônica que seja mais favorecida. Em relação à fase 2SC vimos que ela tem uma energia livre sempre maior (menor pressão) que a fase de matéria estranha para qualquer densidade e portanto não é favorecida no modelo CDM. Nesta fase o papel dos elétrons é maior na neutralidade de carga pois não temos o quark estranho que possui carga negativa: a contribuição é bem mais importante do que no caso da matéria estranha. No caso da solução II (regime quiral) o momento de Fermi do quark d é bem maior que o do quark u (devido a neutralidade de carga) o que não favorece o emparelhamento. A baixas densidades a fase 2SC com quarks massivos solução I começa a ter pressões comparáveis à solução II deste regime. Neste caso a diferença entre as massas constituintes dos dois quarks é maior o que permite que os seus momentos de Fermi estejam mais próximos. O papel dos elétrons nesta solução é importante (neste caso o número de elétrons aumenta com a densidade) e faz com que a baixas densidades ela possa existir mas as pressões são muito baixas. Assim uma coexistência entre um regime de simetria quiral quebrada e uma fase supercondutora 2SC não é muito provável no modelo CDM. Contudo como no caso da matéria estranha na solução I esta fase de quarks leves massivos supercondutora não apresenta estabilidade para valores altos do emparelhamento o que manifesta que não é muito provável que essa possa existir a pressões muito baixas. 5.Agradecimentos Marcelo Vidalis agradece o apoio da CAPES/CNPQ e do Instituto Tecnológico da Aeronáutica bem como dos Professores do Departamento de Física.

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