ESTATÍSTICA APLICADA A INSPEÇÃO MECÂNICA

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1 ESTATÍSTICA APLICADA A INSPEÇÃO MECÂNICA SERRA 006

2 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO O QUE É ESTATÍSTICA? HISTÓRIA DA ESTATÍSTICA ORGANIZAÇÃO, RESUMO E APRESENTAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS DADOS ESTATÍSTICOS Tipos de Dados MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL A Média A Média Ponderada A Mediana Comparação entre Média e Mediana Moda MEDIDAS DE DISPERSÃO Desvio Padrão ANÁLISE DE GRANDES CONJUNTOS DE DADOS DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA Construção de uma Distribuição de Freqüência para Dados Contínuos Construção de uma Distribuição de Freqüências para Dados Discretos Construção de uma Distribuição de Freqüência Acumulada Distribuições de Freqüência para Dados Nominais e por Postos ESTUDO DE CASO PROBABILIDADE A PROBABILIDADE DE UM EVENTO ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS TRÊS ORIGENS DA PROBABILIDADE O Método Clássico O Método Subjetivo A MATEMÁTICA DA PROBABILIDADE Cálculo de Probabilidade de Ocorrência de Dois Eventos: P(A e B) Probabilidade de Ocorrência de ao Menos um de Dois Eventos: P(A ou B) TÉCNICAS DE CONTAGEM Permutações, Arranjos e Combinações AMOSTRAGEM AMOSTRAGEM ALEATÓRIA Obtenção de uma Amostra Aleatória OUTROS PLANOS DE AMOSTRAGEM Amostragem Probabilística Versus Amostragem Não-Probabilística Amostragem por Julgamento Amostragem Probabilística DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS EFEITO DOS PARÂMETROS POPULACIONAIS SOBRE UMA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL EFEITO DO TAMANHO DA AMOSTRA SOBRE UMA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DISTRIBUIÇÕES DE MÉDIAS AMOSTRAIS O Teorema do Limite Central DISTRIBUIÇÕES DE PROPORÇÕES AMOSTRAIS DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DO NÚMERO DE OCORRÊNCIAS AMOSTRAGEM DE UMA POPULAÇÃO FINITA... 83

3 6. ESTIMAÇÃO ESTIMATIVAS PONTUAIS E INTERVALARES OS FUNDAMENTOS LÓGICOS DA ESTIMAÇÃO ESTIMAÇÃO DA MÉDIA DE UMA POPULAÇÃO Erro de Estimação Determinação do Tamanho da Amostra σ Estimação de Médias Quando é Desconhecido: a Distribuição t Amostragem de Pequenas Populações: O Fator de Correção Finita ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO NUMA POPULAÇÃO Intervalos de Confiança: Uso da Fórmula Erro Determinação do Tamanho da Amostra Amostragem de Populações Finitas REGRESSÃO E CORRELAÇÃO REGRESSÃO LINEAR A Equação Linear Decisão por um Tipo de Relação DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO MATEMÁTICA O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS ANÁLISE DE CORRELAÇÃO DADOS CONTÍNUOS: O COEFICIENTE R DE PEARSON Características de r Correlação Momento-Produto: Conceituação Interpretação de r Processo Prático para o Cálculo de r REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

4 Redescobrindo a Estatística Toda vez que um aluno me questiona qual será a aplicação da Estatística em sua vida profissional me volto a mesma pergunta: Será que nós sabemos realmente o potencial de nossas profissões formada em árduos anos de estudos? Após algum tempo esquecida, a Estatística retoma ao mercado industrial de forma concreta e independente. De certa forma graças ao esquecimento de sua aplicação por profissionais em suas atividades técnicas. Tempos atrás engenheiros e administradores de empresas constantemente usufruíam a magia da estatística em não apenas analisar os números, mas, talvez o mais importante, massacrá-los até mostrarem o que era realmente de interesse. Poderíamos citar inúmeros fatores conhecidos causadores dessa amnésia. Mas a verdade é que todos eles tornaram a Estatística mais forte e agora, com o seu retorno, as indústrias começam a novamente deslumbrar suas maravilhas e correrem atrás do tempo perdido. Precisamos voltar a utilizar a Estatística de forma natural e sem medos em nossos problemas profissionais diários, mais comuns, deiando nossos colegas Estatísticos livres para apoiarem os mais diversos campos da ciência e tecnologia acelerando cada vez mais nosso crescimento. Tenho colhido inúmeros frutos em minha vida profissional conciliando Engenharia e Estatística em meu dia-a-dia. Claro que os estudos adicionais de Estatística são utilizados, mas graça a forte base recebida, ainda na graduação, proporcionou-me entender logo cedo sua importância no desenvolvimento de minha profissão. O aluno em formação precisa conhecer as fronteiras de sua carreira a qual escolheu seguir e saber onde realmente começa e termina sua atuação como profissional, pois assim poderá no futuro usufruir por completo de todo seu potencial. Acredito que parte dessa carência pode ser suprida ainda na faculdade com o apoio de todos nós professores, atualização constante da grade curricular e na implantação da interdisciplinaridade nos cursos superiores. Assim espero repetir cada vez menos esse discurso aos questionamentos inocente que recebo de nossos futuros profissionais. Salustiano Martins Pinto Júnior, MSc Companhia Siderúrgica de Tubarão.

5 5 1. INTRODUÇÃO 1.1. O Que é Estatística? Quando algumas pessoas ouvem a palavra estatística, imaginam logo taas de acidente, índices de mortalidade, litros por quilômetro, etc. essa parte da estatística, que utiliza números para descrever fatos, é chamada de forma bastante apropriada, estatística descritiva. Compreende a organização, o resumo e, em geral, a simplificação de informações que podem ser muito compleas. A finalidade é tornar as coisas mais fáceis de entender, de relatar e de discutir. A média industrial Dow-Jones, a taa de desemprego, o custo de vida, o índice pluviométrico, a quilometragem meia por litro de combustível, as médias de estudantes, tudo isto se enquadra nessa categoria. Outro ramo da estatística relaciona-se com a probabilidade, e é útil para analisar situações que envolvem o acaso. Jogos de dados e de cartas, ou o lançamento de uma moeda para o ar enquadram-se na categoria do acaso. A maioria dos jogos esportivos (futebol, basquete, turfe, etc.) também é influenciada pelo acaso até certo ponto. A decisão de um fabricante de cola de empreender uma grande campanha de propaganda vindo a aumentar sua participação no mercado, a decisão de parar de imunizar pessoas com menos de vinte anos contra determinada doença, a decisão de atravessar uma rua no meio do quarteirão, todas utilizam a probabilidade consciente ou inconscientemente. Um terceiro ramo da estatística é a inferência. Diz respeito à análise e interpretação de dados amostrais. A amostragem é um eemplo vivo do adágio Não é preciso comer um bolo inteiro para saber se é bom. A idéia básica da amostragem é efetuar determinada mensuração sobre uma parcela pequena, mas típica de determinada população e utilizar essa informação para fazer inferência sobre a população toda. Os eemplos familiares são muitos. Mergulhar a ponta do pé na água para avaliar a temperatura da piscina. Eperimentar um casaco novo diante do espelho para ver como fica. Assistir um programa de TV alguns minutos para ver se vale à pena assisti-lo até o fim. Folhear um novo livro. Testar um novo

6 6 carro. Há, além disso, inúmeros eemplos da aplicação de tal conceito na indústria. Consideremos os seguintes. Um estúdio cinematográfico faz um teste dos candidatos a ator, para ver qual papel atribuir a cada um. As fábricas freqüentemente produzem um pequeno número de peças (lote piloto) antes de se lançarem à fabricação em grande escala. Muitas firmas mantêm milhares de itens em estoque. Utilizando técnicas de amostragem, pode-se estimar o valor do inventário, sem proceder à contagem dos itens um a um. Produtos novos são testados nos mercados de cidades-chave para aquilatar sua aceitação em geral. Firmas comerciais e entidades recorrem à amostragem por várias razões. O custo é usualmente um fator relevante. Coligir dados e analisar resultados custa dinheiro, e em geral, quanto maior o número de dados coligidos, maior o custo. A amostragem reduz a quantidade de dados a coligir e analisar, diminuindo assim os custos. Outra razão para o emprego de amostragem é que o valor da amostragem em geral custa pouco. Para ser útil, a informação deve ser obtida e usada rapidamente. A amostragem é a única maneira de conseguir isso. Por vezes, o eame de determinado artigo o destrói. Testar cintos de segurança quanto a sua resistência à ruptura obviamente o destrói; se fôssemos testar todos os cintos, não sobraria nenhum para a venda. Essas e outras razões para utilização de amostragem serão consideradas em capítulo posterior. Como o leitor logo verá estas três áreas da estatística não são separadas ou distintas. Ao contrário, elas tendem a se entrelaçar. Assim é que resumir ou descrever dados constitui a primeira fase de sua análise. Além disso, a teoria e os fundamentos da amostragem se baseiam na teoria da probabilidade. Temos então três áreas entrelaçadas de interesse para a estatística: descrição e resumo de dados, teoria da probabilidade, e análise e interpretação de dados amostrais. A estatística compreende a estatística descritiva, a teoria da probabilidade e amostragem.

7 7 Os três ramos da estatística utilizam o método científico, que consiste das cinco etapas básicas seguintes: 1. Definir cuidadosamente o problema. Certificar-se de que é clara a finalidade de um estudo ou análise;. Formular um plano para a coleta dos dados adequados; 3. Coligir os dados; 4. Analisar e interpretar os dados; 5. Relatar as conclusões de maneira que sejam facilmente entendidas por quem as for usar na tomada de decisões. 1.. História da Estatística O termo estatística foi primeiramente empregado para designar o conjunto de dados referentes a assuntos do Estado, geralmente com finalidade de controle fiscal ou de segurança nacional. Por este motivo a epistemologia da palavra, segundo estudiosos, provém do latim Status que significa Estado, podendo assumir diferentes significações, dependendo de como é utilizado - Objeto de longas polêmicas o termo estatística até hoje é controvertido se ele deriva de Estado (entidade política) ou de estado (modo de ser). Os dados do estado referiam-se, particularmente, à população, às transações comerciais internas ou com outros estados, ao controle da mortalidade em geral ou provocada por uma epidemia, endemia ou doença particular, e aos problemas de taação e de proporcionalidade de tarifas e impostos. Além de estudar as maneiras mais eficientes de organizar as informações obtidas, tratava também do problema mais importante de interpretação de dados e da possibilidade de realizar previsões. Os estudiosos da disciplina distinguem três grandes etapas na história da estatística:

8 8 a) O período mais antigo e caracterizado pela simples organização de informações de interesse estatal, do qual é típico o famoso Domesday Book de Guilherme o conquistador (1086), e que se estende até meados do séc. XVII; b) O período que medeia entre o séc. XVII e princípio do séc. XIX, caracterizado pelas inúmeras tentativas de analisar as tabelas e os conjuntos de dados com a finalidade de obter conclusões que pudessem interessar à organização do Estado ou Ter aplicação específica através de previsões para o futuro. São particularmente importantes nesse período os trabalhos Conring, John Graunt, William Petty, Halley, e dos inúmeros matemáticos que se dedicaram à chamada aritmética política. No século XVIII, a Universidade de Iena promoveu, pela primeira vez, um curso avançado de estatística. Gottfried Achenwall, da Universidade de Göttingen, publicou uma série de estudos onde define os objetos material e formal da estatística, pouco depois do apare-cimento do trabalho de Süssmilch sobre as mutações no Gênero humano e que dá feição científica aos problemas estatísticos. No séc. XIX, Adolphe Quételet realizou cuidadoso estudo estatístico dos fatos demográficos e sociais, imprimindo um tratamento dominantemente matemático; c) O terceiro período iniciado com o congresso internacional de Estatística, reunido em 1853, e que se estende aos nossos dias, caracteriza-se não somente pelos etraordinários avanços e aperfeiçoamentos tecnológicos da estatística em si, como, principalmente pelas múltiplas aplicações que ele vem tendo, particularmente no campo da investigação científica. Podese afirmar que o método estatístico constitui um dos mais seguros eficientes e necessários instrumentos da ciência moderna.

9 9. ORGANIZAÇÃO, RESUMO E APRESENTAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS Os métodos estatísticos envolvem a análise e a interpretação de números, tais como renda anual, vendas mensais, escores de testes, números de peças defeituosas, percentagens de respostas favoráveis a um questionário, vida ativa, etc. Tais números são designados por dados. Para interpretar os dados corretamente, em geral é preciso primeiro organizar e sumarizar os números. A finalidade deste capítulo é apresentar ao leitor os métodos mais usados de organização e sumarização dados estatísticos. Por isso, começamos perguntando: Que faz o leitor com os números após coligi-los? Não raro um fim em si mesmo, o processo de descrição de dados também prepara o caminho para análise adicional sob forma de inferências a respeito de uma população. Dados Versus Informação Em sua forma não processada, os dados podem quase não ter sentido. Grandes quantidades de números tendem a confundir, ao invés de esclarecer, simplesmente porque nossa mente não é capaz de abranger a variedade e os detalhes inerentes a grandes conjuntos de números. Ficamos simplesmente atolados em pequenos detalhes. O processamento dos dados constitui uma ajuda porque reduz a quantidade de detalhes. Além disso, facilita a constatação de relações. O processamento transforma os dados em informação, organizando-os e condensando-os em gráficos ou em poucos números, os quais, então, nos transmitem a essência dos dados. O efeito consiste em eliminar detalhes menores e enfatizar os aspectos importantes dos dados. Para o processamento de dados, os gráficos e mapas são particularmente atraentes porque proporcionam uma visualização das características importantes dos dados. Os gráficos além de servirem como dispositivos de comunicação, também auiliam na conceituação de problemas. Por outro lado, as medidas numéricas são absolutamente essenciais para fins computacionais.

10 10 Tanto os resumos visuais quanto os numéricos desempenham um importante papel na análise estatística. Freqüentemente se utilizam tabelas no processo de organização, resumo e apresentação de dados estatísticos. Conquanto as tabelas careçam do atrativo visual dos gráficos e dos mapas, elas oferecem certas vantagens em termos de análise matemática. A variedade de tabelas em uso nos faz subestimar sua importância..1. Dados Estatísticos Os dados estatísticos se obtêm mediante um processo que envolve a observação ou outra mensuração de itens tais como renda anual numa comunidade, escores de testes, quantidade de café por ícara servida por uma máquina automática, resistência à ruptura de fibras de náilon, percentagem de açúcares em cereais, etc. Tais itens chamam-se variáveis, porque originam valores que tendem a eibir certo grau de variabilidade quando se fazem mensurações sucessivas Tipos de Dados Na maior parte das vezes, a escolha do processo a utilizar na análise ou descrição de dados estatísticos depende do tipo de dados considerados. O leitor deve aprender a identificar e a utilizar quatro tipos de dados: contínuos, discretos, normais e por postos. As variáveis que podem assumir virtualmente qualquer valor num intervalo de valores são chamadas contínuas. Características tais como altura, peso, comprimento, espessura, velocidade, viscosidade e temperatura enquadram-se nesta categoria. Os dados referentes a essas características e similares dizem-se contínuos, embora na prática os instrumentos de mensuração tenham limitações físicas que lhe restringem o grau de precisão.

11 11 As variáveis contínuas podem assumir qualquer valor num intervalo contínuo. Os dados referentes a tais variáveis dizem-se dados contínuos. A quantidade de café vendida por dia, ou de gasolina vendida por hora, a velocidade do ar, o tempo de uma reação, a elasticidade, de uma tira de borracha todos são dados contínuos. Uma variável discreta é uma variável que só pode assumir certos valores, em geral inteiros. Os dados discretos surgem na contagem do número de itens com determinada característica. Eemplos de dados discretos são o número diário de clientes, de alunos numa sala de aula, de defeitos num carro novo, de acidentes numa fábrica, de paradas de um caminhão, etc. As variáveis discretas assumem valores inteiros. Os dados discretos são os resultados da contagem do número de itens. Tanto os dados discretos como os contínuos se dizem quantitativos, porque são inerentemente numéricos. Isto é, certos valores numéricos acham-se naturalmente associados às variáveis que estamos medindo. Por outro lado, os dois tipos restantes de dados nominais e por postos envolvem variáveis que não são inerentemente numéricas. São as variáveis qualitativas que devem ser convertidas em valores numéricos antes de serem processadas estatisticamente. As variáveis nominais envolvem categorias tais como seo (masculino ou feminino), cor dos olhos (azuis, castanhos, verdes), campo de estudo (medicina, direito, administração, biologia, engenharia), desempenho (ecelente, bom, sofrível, mau), etc. Nenhuma dessas características é naturalmente numérica. Todavia, quando aplicadas a uma população ou a uma amostra, é possível atribuir cada item a uma classe (p. e., o campo de estudo é a administração) e então contar o número em cada categoria (p. e., há 15 graduados em engenharia). Os dados nominais surgem quando se definem categorias e se conta o número de observações pertencentes a cada categoria.

12 1 Outro tipo de variável qualitativa é a que se refere tipicamente a avaliações subjetivas, quando se dispõem os itens segundo a preferência ou desempenho. Por eemplo, nos concursos de culinária, de beleza, de flores e de cães, os elementos se classificam como primeiro, segundo, terceiro, etc. Da mesma forma, às situações de um time atribuem-se números inteiros 1,, 3,... Alternativamente, podem-se usar os sinais + ou para designar melhora ou piora (p. e., desempenho na escrita após a freqüência a um curso de escrita criativa). Mas é possível cogitar da variável básica em cada um desses eemplos como sendo uma variável contínua e, ainda assim, atribuir-lhe artificialmente ou inteiros 1,, 3,... (isto é, postos), seja por conveniência, seja por falta de método mais científico. Os dados por postos consistem de valores relativos atribuídos para denotar ordem: primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc. É interessante notar que algumas populações podem originar os quatro tipos de dados. Por eemplo, um carregamento de carne pode ser classificado numa das duas categorias (dicotômicas): aceitável ou não aceitável. Ou então a carne pode ser classificada em diversas categorias de dados discretos. Se, entretanto, o problema é a quantidade de gordura por quilo, ou coisa semelhante, então os dados são contínuos. Outro eemplo de como os dados podem assumir diferentes características acha-se ilustrado (tabela 1). Analogamente, as notas de aproveitamento podem ser classificadas como medidas, categorias, ou postos, o mesmo ocorrendo com velocidade, valor estimado, ou o que quer que estejamos estudando. Tabela 1 - A Mesma População pode Originar Diferentes Tipos de Dados. Tipos de Dados Populações Contínuo Discreto Nominal Por Posto Alunos do º Grau Idade, pesos Nº na classe Menino/ menina º grau Automóveis Km/h Nº de defeitos p/ carro Cores Limpeza Venda de Imóveis Valor $ Nº de ofertas Acima do preço Muito dispendioso

13 13.. Medidas de Tendência Central As medidas de tendência central são usadas para indicar um valor que tende a tipificar, ou a representar melhor, um conjunto de números. As três medidas mais usadas são a média, a mediana e a moda. As medidas de tendência central são valores que resumem o comportamento central dos dados e podem representar um conjunto de dados. São assim denominadas, pois representam os fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a concentrar os dados. As medidas de tendência central caracterizam os grupos como um todo, descrevendo-os de forma mais compacta do que as tabelas e gráficos. Focalizam a atenção na natureza dos dados medidos, implicando em perda de informação. Segundo Fonseca (1985), essas medidas orientam-nos quanto à posição da distribuição no eio (eio dos números reais) e possibilitam que comparemos séries de dados entre si pelo confronto desses números. Podem apresentar-se de várias formas, dependendo daquilo que se pretende conhecer a respeito dos dados estatísticos. A moda, a média aritmética e a mediana são as mais utilizadas para resumir o conjunto de valores representativos que se deseja estudar. Essas determinam um único número representativo de uma série, e raramente coincidem...1. A Média A média aritmética é a idéia que ocorre à maioria das pessoas quando se fala em média. E como ela possui certas propriedades matemáticas convenientes, é a mais importante das três medidas que estudaremos. Calcula-se a média aritmética determinando-se a soma dos valores do conjunto e dividindo-se esta soma pelo número de valores do conjunto. Assim, a média dos valores 70, 80 e 10 é:

14 = = A média de uma amostra é representada pelo símbolo (leia-se barra ), e seu cálculo pode epressar-se em notação sigma como segue. ou mais simplesmente como: n i= = 1 n i = n Tem-se uma representação física da média imaginando uma viga com pesos iguais colocados nos pontos correspondentes aos valores de um conjunto. A média dos números, 4, e 6 pode ser ilustrada conforme (figura 1) abaio: Figura 1 - A média é o ponto de equilíbrio para a viga; as diferenças positivas e negativas se cancelam.... A Média Ponderada A fórmula anterior para calcular a média aritmética supõe que cada observação tenha a mesma importância. Conquanto este caso seja o mais geral, há eceções. Consideremos, por eemplo, a situação em que um professor informe à classe que haverá dois eames de uma hora, valendo cada um 30% do total de pontos do curso, e um eame final valendo 40%. O cálculo da média deve levar em conta os pesos desiguais dos eames. A fórmula para o cálculo é:

15 15 Média ponderada = n i= 1 n i= 1 w i w i i..3. A Mediana Uma segunda medida do meio de um conjunto de números é a mediana. Sua característica principal é dividir um conjunto ordenado de dados em dois grupos iguais; a metade terá valores inferiores à mediana, a outra metade terá valores superiores à mediana. Para calcular a mediana, é necessário primeiro ordenar os valores (comumente) do mais baio ao mais alto. Em seguida, conta-se até a metade dos valores para achar a mediana. Por eemplo, a mediana do conjunto 5, 6, 8 é 6; 6 está no meio. Em geral, a mediana ocupa a posição (n + 1) /. Logo, para três números, a posição é (3+1)/ =, ou seja, a segunda posição. Consideremos outro eemplo: Determinar a mediana dos valores 7, 8, 9, 10. De acordo com nossa fórmula, a posição da mediana é (4+1)/ =,5, que está a meio caminho dos dois valores médios, ou seja, 8,5, neste caso. Este valor deia dois valores acima e dois abaio. O processo para determinar a mediana é o seguinte: a) Ordenar os valores; b) Verificar se há um número ímpar ou par de valores; c) Para um número ímpar de valores, a mediana é o valor do meio. Para um número par de valores, a mediana é a média dos dois valores do meio. A mediana de um conjunto de números é maior que uma metade dos valores e menor que a outra metade.

16 Comparação entre Média e Mediana A escolha da média, ou da mediana, como medida de tendência central de um conjunto, depende de diversos fatores. A média é sensível (ou influenciada por) cada valor do conjunto, inclusive os etremos. Por outro lado, a mediana é relativamente insensível aos valores etremos. Mediana Média Figura - A média é afetada pelos valores etremos. Consideremos o conjunto de dados eibidos (figura ). Notem como a média é influenciada por um valor etremo, enquanto que a mediana não é. Assim, os dados sobre renda pessoal, ou valor de casas de residência, têm na mediana uma medida descritiva mais adequada; isso porque bastam alguns valores muito grandes pra inflacionar a média aritmética. De modo geral, a média possui certas propriedades matemáticas que a tornam atraente. Além disso, a ordenação dos dados para determinar a mediana pode ser enfadonha, e o cálculo da mediana não pode ser feito com máquina de calcular, ao contrário do que ocorre com a média...5. Moda A moda é o valor que ocorre com maior freqüência num conjunto. Por eemplo, dados os números 10, 10, 8, 6, 10, há três 10 s e um de cada um dos outros números. O valor mais freqüente a moda é 10. A moda funciona como medida descritiva quando se trata de contar dados, e será estudada em maior detalhe mais adiante neste capítulo.

17 17 Comparada com a moda e com a mediana, a moda é a menos útil das medidas para problemas estatísticos, porque não se presta à análise matemática, ao contrário do que ocorre com as outras duas medidas (ver a Tabela ). Todavia, de um ponto de vista puramente descritivo, a moda indica o valor típico em termos de maior ocorrência. A utilidade da moda se acentua quando um ou dois valores, ou um grupo de valores, ocorrem com muito maior freqüência que outros. Inversamente, quando todos ou quase todos os valores ocorrem aproimadamente com a mesma freqüência, a moda nada acrescenta em termos de descrição dos dados. A moda é o valor que ocorre com maior freqüência. Tabela - Comparação entre Média, Mediana e Moda. Média Mediana Moda Definição Vantagens Limitações = n Metade dos valores são maiores, metade menores. Valor mais freqüente. i 1. Reflete cada valor.. Possui propriedades matemáticas atraentes. 1. Menos sensíveis a valores etremos do que a média. 1. Valor típico : maior quantidade de valores concentrados neste ponto. 1. É influenciada por valores etremos. 1. Difícil de determinar para grande quantidade de dados. 1. Não se presta a análise matemática. Pode não ser moda para certos conjuntos de dados..3. Medidas de Dispersão São necessários dois tipos de medidas para descrever adequadamente um conjunto de dados. Além da informação quanto ao meio de um conjunto de números, é conveniente dispor também de um método que nos permita eprimir a dispersão. As medidas de dispersão indicam se os valores estão relativamente próimos uns dos outros, ou separados. Esta situação é ilustrada esquematicamente (figura 3(a) e 3(b)). As observações (figura 3(a)) apresentam valores relativamente próimos uns dos outros, em comparação com (figura 3(b)).

18 18 (a) Pequena dispersão (b) Grande dispersão Figura 3 - A dispersão mede quão próimos uns dos outros estão os valores de um grupo Desvio Padrão O desvio padrão representa a medida de dispersão mais utilizada nos estudos gerias de Estatística. Para determinar o desvio padrão calcula-se a variância e toma-se a raiz quadrada positiva do resultado. As fórmulas para o desvio padrão são: ( i ) i [( s = = n 1 n 1 i ) / n] A substituição de (n-1) por n produz as fórmulas do desvio padrão da população. O desvio padrão é uma das medidas mais comumente usadas pra distribuições, e desempenha papel relevante em toda a estatística. Cabe notar que a unidade do desvio padrão é a mesma da média. Por eemplo, se a média é em reais, o desvio padrão também se eprime em reais. O desvio padrão de um conjunto de números é a raiz quadrada positiva da variância..4. Análise de Grandes Conjuntos de Dados Os homens requerem um grau suficientemente alto de estrutura ou organização para bem se conduzirem na vida. Considere o leitor o caso de uma biblioteca, onde os livros são catalogados por título, por autor, e por assunto alfabeticamente, e imagine quanto lhe custaria localizar determinado livro, se eles

19 19 fossem colocados nas estantes totalmente a esmo, onde quer que haja lugar, sem qualquer preocupação de ordenação, catalogação ou classificação. Ou também a confusão que resultaria se não houvesse leis nem sinais de tráfego, e se a única regra fosse cada qual por si. As listas telefônicas são organizadas alfabeticamente por cidade; os programas de cursos indicam quando e onde serão as aulas; eistem horários de viagem de ônibus, trem e avião, bem como códigos postais tudo isso vem em nosso auílio por organizar informação. Os métodos principais para organizar dados estatísticos compreendem o arranjo ou a disposição dos itens em subconjuntos que apresentem características similares (p. e., a mesma idade, mesma finalidade, mesma escola, mesma cidade, etc.). Os dados grupados podem ser resumidos graficamente ou em tabelas, bem como mediante o uso de medidas numéricas tais como média, intervalo, desvio padrão, etc. A designação para os dados dispostos em grupos ou categorias é distribuição de freqüência..5. Distribuições de Freqüência Consideremos os dados da tabela seguinte, que representam a produção diária, por equipamentos. Embora tenhamos utilizado dados pequenos para simplificar a discussão, ainda assim é difícil obter uma visão global da produção diária com base nos dados tais como são apresentados. A construção de uma distribuição de freqüência facilitará as coisas. Tabela 3 Produção Diária por Equipamentos 11,1 1,5 3,4 7,8 1,0 16,4 11,,3 4,4 6,1 7,5 3,8 18,5 16,4 15,1 6,0 10,7 15,8 5,0 18, 1, 1,6 4,7 3,5 14,8,6 16,0 19,1 7,4 9, 10,0 6, 3,5 16, 14,5 3, 8,1 1,9 19,1 13,7

20 0 Uma distribuição de freqüência é um método de grupamento de dados em classe, ou intervalos, de tal forma que se possa determinar o número, ou a percentagem (isto é, a freqüência) de cada classe. Isso proporciona uma forma de visualizar um conjunto de números sem precisar levar em conta os números individuais, e pode ter grande utilidade quando precisamos lidar com grande quantidade de dados. O número ou percentagem numa classe chama-se freqüência de classe. Uma distribuição de freqüência é um grupamento de dados em classe. Uma distribuição de freqüência pode ser apresentada sob a forma gráfica ou tabular. O processo de construção de uma distribuição de freqüência para determinado conjunto de dados depende do tipo de dados em estudo (isto é, contínuos, discretos, nominais ou por postos). Presumivelmente, a produção diária por equipamento é avaliada em escala contínua; consideremos, pois, este caso em primeiro lugar Construção de uma Distribuição de Freqüência para Dados Contínuos Estabelecer as classes Os principais estágios na construção de uma distribuição de freqüência para dados amostrais são: a) Estabelecer as classes ou intervalos de grupamentos dos dados; b) Enquadrar os dados nas classes ou intervalos de grupamentos dos dados; c) Contar o número em cada classe; d) Apresentar os resultados numa tabela ou num gráfico. São as seguintes etapas para a construção de uma distribuição de freqüência para dados contínuos: a) Determinar o intervalo dos dados; b) Determinar o número k de classes, k númerodeobservações tomar 5 a 15 classes);. (Em geral,

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