II ANÁLISE E CONTROLE DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA USANDO A TEORIA DO REGULADOR QUADRÁTICO LINEAR

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1 II ANÁLISE E CONTROLE DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA USANDO A TEORIA DO REGULADOR QUADRÁTICO LINEAR Robert Schiaveto de Souza (1) Engenheiro Civil pela Universidade Federal de Mato Grosso do Sul. Doutor em Hidráulica e Saneamento pela Escola de Engenharia de São Carlos / USP. Professor Adjunto do Departamento de Hidráulica e Transportes do Centro de Ciências Exatas e Tecnologia da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul. Fazal Hussain Chaudhry Engenheiro Civil pela Universidade Federal de Punjab - Paquistão. Mestre em Engenharia Hidráulica pela Asian Institute of Technology - Thayland e Ph.D. em Engenharia Civil pela Colorado State University - EUA. Professor Titular do Departamento de Hidráulica e Saneamento da Escola de Engenharia de São Carlos / USP. Endereço (1) : Rua José Antônio Pereira, apto Bairro Monte Castelo - Campo Grande - MS - CEP: Brasil - Tel: (67) rssouza@nin.ufms.br RESUMO A confiabilidade e eficiência na distribuição de água pode ser obtida através do aperfeiçoamento da operação de válvulas redutoras de pressão presentes na rede. Este trabalho formula o problema de controle ótimo contínuo de transientes lentos em uma rede de distribuição de água usando a teoria do regulador quadrático linear para derivar uma expressão para a abertura ótima de válvulas redutoras de pressão. As equações diferenciais parciais hidrodinâmicas não lineares básicas são transformadas em equações diferenciais ordinárias, linearizadas em torno do estado permanente inicial ou de equilíbrio e rearranjadas para formar um conjunto de equações, que são chamadas de equações de estado na teoria de controle. A aplicação prática é ilustrada para o caso com entradas ou distúrbios em impulso e degrau. Os resultados obtidos das simulações indicam que a técnica do regulador quadrático linear é eficiente na compensação dos distúrbios, e que o sistema é conduzido às condições desejadas de equilíbrio através do controle ótimo das válvulas. PALAVRAS-CHAVE: Redes Hidráulicas, Controle Ótimo, Regulador Quadrático Linear, Válvulas. INTRODUÇÃO Com a crescente demanda de água devido ao aumento populacional, há uma urgente necessidade de um eficiente gerenciamento dos recursos hidráulicos, particularmente quando a exploração de novas fontes é muito dispendiosa. A confiabilidade e eficiência na distribuição de água pode ser obtida através do aperfeiçoamento da operação de válvulas redutoras de pressão presentes na rede. Este aperfeiçoamento na operação pode ser realizado pela automação completa ou parcial do sistema. Vários autores (BALOGUN, HUBBARD e VRIES 1988, REDDY 1990, REDDY, DIA e OUSSOU 199) tem aplicado os conceitos da teoria de controle ótimo para a operação de sistemas de irrigação em canais. SOUZA (1998) afirma que esta técnica possui algumas características desejáveis para o projeto de controladores automáticos para redes hidráulicas. O autor demonstra que as respostas dinâmicas de um sistema de distribuição de água sob diferentes condições de operação podem ser modeladas com sucesso com o auxílio de computadores digitais usando estes conceitos de controle ótimo. A teoria do Regulador Quadrático Linear (LQR) é aplicada neste trabalho para uma análise de controle ótimo multivariável de um sistema de distribuição de água. As equações hidrodinâmicas diferenciais parciais não lineares expressas na forma de equações diferenciais ordinárias para transientes lentos ou para fluxo não permanente em condutos rígidos e fluído incompressível (modelo da coluna rígida) foram linearizadas em torno das condições de fluxo de equilíbrio e arranjadas numa forma apropriada para a aplicação da teoria de controle (SHIMADA 1989). ABES - Associação Brasileira de Engenharia Sanitária e Ambiental 1

2 A teoria do Regulador quadrático Linear (LQR) é aplicado para derivar uma expressão para a abertura ótima de válvulas redutoras de pressão. Simulações de controle linear contínuo no tempo, com entradas em impulso e degrau foram realizadas e os resultados são apresentados, demonstrando a eficiência da técnica proposta. Este trabalho representa uma passo preliminar para o uso dos conceitos da teoria de controle ótimo na prática. Um tratamento geral é proposto e as teorias desenvolvidas são aplicáveis para redes com qualquer configuração. MODELO HIDRÁULICO Equações Hidrodinâmicas Básicas A maioria dos sistemas dinâmicos, sejam mecânicos, elétricos ou hidráulicos, podem ser descritos por equações diferenciais. A resposta de um sistema dinâmico a uma dada entrada (ou função de excitação) pode ser obtida se estas equações diferenciais são resolvidas. O fluxo transiente em um conduto sob-pressão é governado pelas seguintes equações parciais diferenciais não lineares (CHAUDHRY 1979): h a + t g v = 0 x equação (1) v h fv v + g + t x d = 0 equação () onde x é a distância; t o tempo; h = h(x, t) é a energia piezométrica; v = v(x, t) é a velocidade do fluido; d é o diâmetro interno da tubulação; f é o fator de atrito de Darcy-Weissbach; a é a celeridade da onda de pressão; e g a aceleração da gravidade. A equação (1) representa a conservação de massa, enquanto que a equação () representa a conservação de momentum. Em geral não há uma solução analítica simples para esse conjunto de equações. A única forma de solução é por meio de métodos numéricos, e vários esquemas tem sido empregados para esse propósito. O primeiro passo na análise de um sistema dinâmico é obter o seu modelo. Uma vez obtido o modelo matemático de um sistema, ferramentas analíticas ou numéricas podem ser utilizadas para fins de análise. Na obtenção de um modelo, devemos estabelecer um compromisso entre a simplicidade do modelo e a precisão dos resultados da análise. O Modelo da Coluna Rígida Na dedução de um modelo, freqüentemente torna-se necessário ignorar certas propriedades físicas inerentes ao sistema, se estas propriedades pouco influenciam na resposta. Em geral, na solução de um novo problema, verificamos ser desejável inicialmente construir um modelo simplificado para posteriormente torná-lo mais complexo numa análise mais rigorosa. Devemos estar cientes do fato de que um modelo linear com parâmetros concentrados (modelo empregando equações diferenciais ordinárias), que pode ser válido em operações de baixa freqüência, poderá não ser válido em freqüências suficientemente altas se as propriedades desprezadas dos parâmetros distribuídos tornam-se um fator importante no comportamento dinâmico do sistema. Os sistemas hidráulicos envolvem relações não lineares entre as variáveis. Os procedimentos para determinar as soluções de problemas não lineares, em geral, são extremamente complicados. Devido a esta dificuldade matemática inerente aos sistemas não lineares, normalmente é necessário representá-los por sistemas lineares equivalentes. Estes sistemas lineares equivalentes somente são válidos dentro de uma faixa limitada de operação. Uma vez que um sistema não linear é aproximado por um modelo matemático linear, várias ferramentas lineares podem ser aplicadas. A seguir apresenta-se o modelo hidráulico adotados para a análise e controle de transientes lentos em sistemas de distribuição de água e coloca-se a formulação do problema. As equações parciais diferenciais não ABES - Associação Brasileira de Engenharia Sanitária e Ambiental

3 lineares do fluxo hidrodinâmico (equações 1 e ) são transformadas em equações diferenciais ordinárias, linearizadas, e rearranjadas numa forma desejável para aplicar a teoria de controle linear. O modelo da coluna rígida é particularmente eficiente para simular o escoamento em uma rede quando sujeita a pequenas perturbações, como é o caso das variações de consumo ou operação lenta de uma válvula. A equação diferencial não linear de movimento do modelo da coluna rígida em uma das suas formas é dada: dq L = H FWq q equação (3) com L = l/ ga t e FW = fl/( gda t ), onde l é o comprimento da tubulação, g a aceleração da gravidade, a t é a área transversal da tubulação, q é a vazão na tubulação, t o tempo, H é a perda de carga no trecho, f é o coeficiente de atrito de Darcy-Weisbach, e d é o diâmetro da tubulação. A equação (3) juntamente com a equação da continuidade e das equações de contorno descrevem a dinâmica do fluxo transiente pelo modelo da coluna rígida. Sistema de Equações Para uma rede hidráulica com diferentes tipos de elementos e especificações, o seguinte sistema de equações de estado foi proposto por SHIMADA (199): dqi f 1 = = WI EY + PIQ T equação (4) dh1 f = = C [A1q + Q 1(h1)] equação (5) onde os vetores de estado q I e h 1 são numericamente integráveis em função do tempo, t t t dq E Y = P[ f (q) + A1h1 + A 3h 3], QT = L A R, f(q) é o vetor perda de carga, cujo j-ésimo elemento é dado por F jq j q j ; F j é um coeficiente geral de perda de carga que pode ser escrito como F j = f jl j / gd ja tj + f vj / ga tj, f j é o fator de atrito de Darcy-Weisbach; f vj é o coeficiente de perda de carga da válvula e d j é o diâmetro da tubulação j, L é a matriz diagonal cujo j-ésimo elemento L jj é dado por l j /( ga tj), C é uma matriz diagonal cujo i-ésimo elemento diagonal C i, i corresponde a área da superfície livre 1 suposta para o reservatório de nível variável no i-ésimo nó. W = L t t (I S), S = A R A L, R = A L A, I é a matriz identidade, PWP = [WI WD ], P = [PI PD ] é uma matriz de transformação linear, q I é o vetor de vazões independentes, q D = A D (A IqI + Q ), A P = [A I A D ], e finalmente, A 1, A, A 3, h 1,h, h 3, Q 1, Q, Q3 são respectivamente as matrizes de incidência, os vetores de energia e de consumo correspondentes aos nós com energia e consumo desconhecido, nós de consumo conhecido e energia desconhecida e nós com energia conhecida e consumo desconhecido. Linearização das Equações de Estado As equações de estado (4) e (5) não lineares do sistema contínuo podem ser arranjadas em um vetor na forma: dx = f(x, U, t) equação (6) ABES - Associação Brasileira de Engenharia Sanitária e Ambiental 3

4 onde f é uma função vetorial não linear, U é o vetor de entrada do mecanismo de controle, X é um vetor de estado composto das variáveis de estado: U = [ f v ] equação (7) q I X = equação (8) h1 Para analisar os transientes próximos a um estado final permanente, a equação de estado linearizada (9): dx = Ax + Bu equação (9) é obtida usando as seguintes perturbações: X = x + equação (10) X f U = u + equação (11) U f onde x é o vetor de estado perturbado, u é o vetor de entrada perturbado (valores dos desvios dos coeficientes de perda de carga das válvulas), e f é um subscrito que denota o regime permanente final. X e U satisfazem a relação: f(xf,u f,t) = 0 equação (1) e f(x, U,t) A = equação (13) X Xf,Uf, Wf f f f(x, U, t) B = equação (14) U Xf,Uf, Wf Note que as restrições vetor. x < X e u U devem ser satisfeitas, onde. denota uma dada norma de f < f CONTROLE ÓTIMO Um sistema de controle ótimo é um sistema que otimiza (maximiza ou minimiza) o valor de uma função escolhida, definida como índice de desempenho. O controle do sistema será representado pela seqüência de manobras exercidas sobre as válvulas (coeficientes de atrito) de forma a atender aos objetivos especificados. Esta seqüência de manobras (regras de operação) é definida conhecendo-se os dados relativos ao sistema, o seu estado atual e os estados provisionais embasados em cadastros de consumo. O controle automático realimentado pode grandemente aumentar a eficiência operacional da distribuição de água em redes, e aumentar os benefícios associados com o seu uso. Regulador Quadrático Linear O regulador quadrático linear especifica a seguinte função custo quadrática em tempo contínuo (KWAKERNAAK e SIVAN 197): ABES - Associação Brasileira de Engenharia Sanitária e Ambiental 4

5 1 J(u) = equação (15) t t [ x (t)qx(t) + u (t)ru(t)] 0 onde a matriz peso Q, é denominada de matriz custo de estado, e a matriz peso R, é chamada de matriz custo de controle. As matrizes custos Q e R são matrizes semi-definida positiva e definida positiva respectivamente. Pode ser mostrado que a lei de realimentação tem a estrutura simples dada por: u(t) = Kx(t) equação (16) t t t onde K = R B P com A P + PA PBR B P + Q = 0. O sistema realimentado resultante é finalmente dado por: [ A BK] x(t) x! (t) = equação (17) A figura (1) mostra o diagrama de bloco para sistemas contínuos realimentados. u(t) B + + xt! () 1/sI x(t) C y(t) A K t Fig. 1 - Diagrama de bloco para um sistema contínuo realimentado. Portanto, o projeto de sistemas de controle ótimo baseado em tais índices de desempenho quadrático se resume na determinação dos elementos da matriz K. Uma grande ação de controle pode requerer alta energia de entrada, enquanto que para uma pequena ação de controle, o sistema pode retornar à condição de equilíbrio muito lentamente. Então, há uma ponderação ótima entre a taxa de retorno à condição de equilíbrio e o alto custo de energia de entrada ao sistema. RESULTADOS E DISCUSSÕES Aplicações do regulador quadrático linear e os resultados das simulações do sistema usando o modelo da coluna rígida combinado com o método da incidência são apresentados e discutidos. Simulações de controle linear contínuo no tempo, com entradas em impulso e degrau arbitrárias foram realizadas numa rede exemplo de estudo. Rede Exemplo A rede hidráulica proposta por SHIMADA (199) é selecionada para implementar o controle quadrático linear realimentado. Segundo ele, a rede é simples, mas realística. Além disso, o sucesso da aplicação desta técnica é independente do tamanho do sistema. Idealmente, a técnica pode ser aplicada em qualquer sistema, desde que as suposições da teoria linear na qual ela está baseada não sejam violadas. A figura () mostra a rede exemplo selecionada. A rede possui 5 tubulações, reservatórios de nível variável com extravasores (nós 1 e ), nós de consumo (nós 3 e 4), reservatórios de nível constante (nós 5 e 6) e 4 válvulas redutoras de pressão (tubulações 1, 3, 4, e 5). ABES - Associação Brasileira de Engenharia Sanitária e Ambiental 5

6 q1 5 q q V1 q4 V3 q5 V4 V 1 Fig. - Rede exemplo - Modelo da coluna rígida. As características das tubulações e dos nós são dadas nas tabelas (1), () e (3). E nas tabelas (4) e (5) encontram-se as condições de equilíbrio de fluxo calculadas pelo algoritmo proposto por SOUZA (1994). Tabela 1 - Características das tubulações. Tubulação Comprimento (m) Diâmetro (m) Fator de Atrito i li d i f i Tabela - Características dos nós 1 e (Tipo 1). Número do Nó Nível da Crista (m) Área ( m ) Coeficiente de Descarga j hcrj Cstj C j onde Q j (t) = C j(h j hcrj) se h j h crj ( j = 1, ) e Q j (t) = 0 se h j < h crj. Tabela 3 - Características dos nós 5 e 6 (Tipo 3). Número do Nó Energia do Reservatório (m) j h j Tabela 4 - Vazões nos trechos e coeficientes de perda das válvulas nominais. Tubulação 3 Vazão ( m / s ) Fator de Atrito da Válvula i f q i i ABES - Associação Brasileira de Engenharia Sanitária e Ambiental 6

7 Tabela 5 - Energias nominais nos nós. Número do Nó Energia (m) j h j As condições nominais de fluxo são as condições de equilíbrio de operação da rede. As vazões de consumo ou de demanda nos nós 3 e 4 são assumidas ser inicialmente iguais a zero. Matrizes de Estado As condições nominais foram usadas para calcular a matriz dinâmica A do sistema e a matriz de distribuição de controle B. Estas matrizes são necessárias para o problema regulador. As dimensões das matrizes A e B dependem do número de variáveis de estado do sistema, ou seja, da dimensão da rede. Para a rede exemplo, A é uma matriz 5 x 5 e B uma matriz 5 x 4, e foram obtidas pela formulação apresentada nas equações (13) e (14) respectivamente: A = equação (18) B = equação (19) onde os desvios das vazões nas tubulações, 4 e 5, e os desvios de energias nos nós 1 e, são as variáveis de estado selecionadas x 1, x, x 3, x 4 e x5 respectivamente. Sistema Não Realimentado Para determinar as características do sistema hidráulico, foi necessário avaliar os autovalores e os correspondentes autovetores do sistema não realimentado (autovalores da matriz A). A estabilidade do sistema não realimentado foi verificada, ou seja, todos os autovalores da matriz A possuem partes reais negativas (tabela 6). Este resultado já era esperado, pois o sistema é inerentemente estável hidraulicamente. No entanto, a composição dos autovalores mostra que alguns dos modos são lentos, ou seja, alguns autovalores são pequenos ou próximos do eixo imaginário do plano complexo. Tabela 6 - Autovalores da matriz do sistema A. Número Autovalor ABES - Associação Brasileira de Engenharia Sanitária e Ambiental 7

8 O autovalor mais distante do eixo imaginário é -0.45, enquanto que o mais próximo é Autovalores muito próximos do eixo imaginário pode tornar o controle do sistema difícil ou muito lento. Um dos propósitos do projeto realimentado é exatamente recolocar esses autovalores (pólos) em posições mais distantes do eixo imaginário. A figura (3) mostra os autovalores (pólos) do sistema não realimentado plotados no plano complexo. Im Re Fig. 3 - Autovalores do sistema não realimentado. Com o objetivo de validar a acurácia do modelo linearizado para sistemas de distribuição de água, simulações foram realizadas para o sistema não realimentado ( x! = Ax ). Duas formas de excitação foram consideradas. Uma excitação pulso de duração igual a 1 segundo e uma excitação degrau de duração igual ao da simulação, ambas criadas pelo fechamento das válvulas redutoras de pressão em 0% em relação aos valores de equilíbrio, ou seja, f v = u = [ ]. Este vetor representa o desvio dos coeficientes de atrito das quatro válvulas em relação aos respectivos valores de equilíbrio. As mudanças operacionais de fluxo foram limitadas em 0% das condições de equilíbrio com o objetivo de satisfazer a validade do modelo linearizado. Todas as simulações foram realizadas usando um incremento de tempo integral de 0.5 segundos. A figura (4) mostra os resultados obtidos para o primeiro caso (excitação pulso) x Legenda: x1 x x3 x4 x5 Fig. 4 - Desvios das variáveis de estado para a simulação do sistema não realimentado devido à uma entrada pulso. Os estados x 1, x, e x 3 são os desvios das vazões independentes nos tubos, 4 e 5 respectivamente, e os estados x 4 e x 5 são respectivamente os desvios de energia nos nós do tipo 1, ou seja, nos nós 1 e. Os desvios das vazões nos trechos e 4 ( x1 e x ) diminuem instantaneamente, e em seguida se aproximam da ABES - Associação Brasileira de Engenharia Sanitária e Ambiental 8

9 condição de equilíbrio como esperado. O desvio da vazão no trecho 5 ( x 3 ), por sua vez, aumenta no instante da excitação. Este aumento é justificado pelo fechamento da válvula no tubo 3. Estes resultados das vazões confirmam o comportamento das energias nos nós 1 e. O desvio de energia no nó 1 ( x 4 ) diminui inicialmente e logo em seguida se aproxima de zero, e o desvio de energia no nó ( x 5 ) tem um comportamento oposto devido ao aumento da vazão no trecho 5 ( x 3 ), mas também tende ao valor de equilíbrio. Embora os desvios máximos das variáveis de estado sejam diferentes e em tempos distintos, eles se aproximam de zero aproximadamente após 150 segundos. Este tempo de aproximação ou de acomodação não pode ser reduzido ou aumentado no sistema não realimentado. Esta é uma das desvantagens do controle de um sistema não realimentado. Os efeitos de autovalores lentos ou rápidos do sistema não realimentado não podem ser modificados. A segunda simulação (excitação degrau) também se comportou como esperado. A figura (5) mostra os resultados para este caso. 10 x Legenda: x1 x x3 x4 x5 Fig. 5 - Desvios das variáveis de estado para a simulação do sistema não realimentado devido à uma entrada degrau. A tendência do desvio das variáveis de estado do caso anterior imediatamente após a excitação impulso foram confirmadas nesta simulação com a excitação degrau. As vazões nos trechos e 4 ( x1 e x ) diminuíram, e a vazão no trecho 5 ( x 3 ) aumentou, e gradativamente atingiram as novas condições de equilíbrio. Desvios positivos indicam um aumento na quantidade perturbada do equilíbrio, enquanto que desvios negativos indicam uma diminuição. Note que após 150 segundos aproximadamente, todas as variáveis de estado tornam-se paralelas, indicando o atendimento das novas condições de equilíbrio. Sistema Realimentado Uma inspeção do critério de controlabilidade (ISERMANN 197) foi realizada, e verificou-se que o sistema é completamente controlável. A matriz ganho de controle K usada para calcular a lei de controle realimentado da equação (16) foi obtida através da solução da equação de Riccati. A matriz de realimentação do regulador ótimo para a simulação com pólos em no plano complexo devido à uma entrada pulso é fornecida abaixo: = equação (0) K 10 ABES - Associação Brasileira de Engenharia Sanitária e Ambiental 9

10 Essa matriz de controle é facilmente obtida através da especificação das matrizes peso Q e R, juntamente com a matriz do sistema dinâmico A e a matriz de distribuição de controle B. Para a rede exemplo, a matriz K tem ordem (4 x 5), lembrando que a rede possui 4 válvulas redutoras de pressão e 5 variáveis de estado. A escolha dos elementos das matrizes Q e R (ou matriz K) é ditada pela resposta desejada do sistema realimentado. A escolha dos elementos destas matrizes foi baseada no método apresentado por SAIF (1989). Este método determina uma lei de realimentação de estado para que o sistema tenha um conjunto de autovalores pré-definidos. A figura (6) mostra o resultado da simulações realizada. Este resultado mostra um significativo aperfeiçoamento nas características de resposta quando comparado com a simulação do sistema não realimentado, pois permite obter uma flexibilidade na resposta transiente através do posicionamento dos pólos do sistema (equação 17). Este aperfeiçoamento não é possível pela simulação do sistema não realimentado cuja resposta transiente é dependente somente da matriz do sistema A e seus respectivos autovalores x Legenda: x1 x x3 x4 x5 ts () Fig. 6 - Desvios das variáveis de estado para a simulação do sistema realimentado devido à uma entrada pulso com pólos em -0.1 no plano complexo. Pode-se notar que as condições de equilíbrio são atingidas mais rapidamente, pois os pólos do sistema realimentado se situam mais à esquerda do plano complexo. O tempo de acomodação é consideravelmente mais curto. Esta característica do controle realimentado em possibilitar uma escolha desejada do comportamento da resposta transiente através da colocação dos pólos do sistema realimentado em posições adequadas, aperfeiçoa dramaticamente a eficiência do controle quando comparado ao caso de controle não realimentado. Quando se tem suficiente energia de controle, os pólos do sistema realimentado podem ser virtualmente colocados em qualquer lugar no plano esquerdo complexo. Mas na seleção das posições dos pólos, é importante ter em mente que o esforço de controle requerido está relacionado com quão longe os pólos do sistema não realimentado são movidos pela realimentação. Em situações práticas, o controle u deve ser menor do que a máxima abertura possível e maior do que a mínima abertura possível da válvula redutora de pressão. Idealmente, estas variações devem ser menores do que 0%, para as equações linearizadas serem válidas. A figura (7) exemplifica o coeficiente de atrito da válvula redutoras de pressão 4 (entrada de controle u). A lei de controle para cada válvula redutora de pressão foi calculada através da equação (16). As válvulas reagem instantaneamente para contraporem-se aos efeitos da excitação pulso e posteriormente se aproximam das condições originais de equilíbrio. No entanto, os movimentos das válvulas encontram-se dentro de uma faixa admissível, uma vez que os esforços máximos de controle foram as entradas impulsos iniciais limitadas em 0% dos valores de equilíbrio. ABES - Associação Brasileira de Engenharia Sanitária e Ambiental 10

11 f v4 ts () ts () Fig. 7 - Coeficiente de atrito da válvula redutora de pressão 4 devido à uma entrada pulso para a simulação do sistema realimentado com pólos em -0.1 no plano complexo. Embora as leis de controle resultantes dessas válvulas não tenham uma taxa constante de abertura ou fechamento, este problema pode ser superado através de uma análise discreta ao invés de uma análise contínua no tempo. CONCLUSÕES O propósito deste trabalho foi mostrar que técnicas poderosas de controle ótimo em tempo contínuo podem ser aplicadas para a operação de um sistema de distribuição de água através de leis de controle de válvulas redutoras de pressão na presença de distúrbios arbitrários. As equações diferenciais parciais hidrodinâmicas não lineares básicas foram transformadas em equações diferenciais ordinárias, e linearizadas em torno do estado permanente inicial ou de equilíbrio. As equações linearizadas são então rearranjadas para formar um conjunto de equações, que são chamadas de equações de estado na teoria de controle. O controle é representado pelo fator de atrito das válvulas redutoras de pressão na equação de perda de carga. A matriz dinâmica do sistema e a matriz de distribuição de controle para os estados perturbados em torno das condições nominais são compostas dos coeficientes das equações linearizadas. O problema de operação de redes foi formulado como um problema de controle ótimo, e as soluções para as aberturas e/ou fechamentos de válvulas redutoras de pressão foram obtidas diretamente usando a teoria do regulador quadrático linear com o objetivo de conduzir o sistema à uma condição desejada de equilíbrio na presença de distúrbios. Uma rede hidráulica com válvulas de controle foi usada para o projeto, síntese e demonstração da eficácia do método regulador quadrático linear. Embora uma simples rede tenha sido considerada neste trabalho para demonstrar em detalhe um procedimento para a formulação de um algoritmo de controle na presença de distúrbios, o mesmo procedimento pode ser usado para o controle de redes mais complexas, e o sucesso na aplicação da técnica independe da configuração e dimensão da rede, desde que as suposições referentes ao modelo linear não sejam violadas. Os resultados obtidos das simulações indicam que a técnica do regulador quadrático linear é eficiente na compensação dos distúrbios, e que o sistema é conduzido às condições desejadas de equilíbrio. As leis de controle dos coeficientes de atrito das válvulas redutoras de pressão foram obtidas, verificando-se que as mesmas se encontraram em uma faixa aceitável. A complexidade das trajetórias obtidas dos controles demonstraram a necessidade de regular as válvulas redutoras de pressão em estágios. O desempenho do modelo linear foi avaliado em termos das variações das variáveis de estado e controle das válvulas. O sistema foi verificado ser estável. A resposta do sistema linearizado foi simulada na presença de distúrbios conhecidos, e foi considerada aceitável para distúrbios menores do que 0% das condições de fluxo originais (nominais) ou de equilíbrio. ABES - Associação Brasileira de Engenharia Sanitária e Ambiental 11

12 Baseado nos resultados obtidos neste trabalho, pode-se concluir que o controle realimentado em sistemas de distribuição de água pode ser projetado usando a teoria de controle moderno através de um regulador quadrático linear. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. BALOGUN, O. S., HUBBARD, M., DE VRIES, J. J. - Automatic Control of Canal Flow Using Linear Quadratic Regulator Theory. Journal of Hydraulic Engineering, v. 114, n. 1, p , CHAUDHRY, M. H. - Applied Hydraulic Transients. New York, Van Nostrand Reinhold Company, p. 3. ISERMANN, R. - Digital Control Systems. Berlin, Springer-Verlag, p. 4. KWAKERNAAK, H., SIVAN, R. - Linear Optimal Control Systems. New York, John Wiley & Sons, p. 5. REDDY, J. M. - Local Optimal Control of Irrigation Canals. Journal of Irrigation and Drainage Engineering, v. 116, n. 5, p , REDDY, J. M., DIA, A., OUSSOU, A. - Design of Control Algorithm for Operation of Irrigation Canals. Journal of Irrigation and Drainage Engineering, v. 118, n. 6, p , SAIF, M. - Optimal Linear Regulator Pole-Placement by Weight Selection. Iternational Journal of Control, v. 50, n. 1, p , SHIMADA, M. - Graph-Theoretical Model for Slow Transient Analysis of Pipe Networks. Journal of Hidraulics Engineering, v. 115,n. 9, p , SHIMADA, M. - State-Space Analysis and Control of Slow Transients in Pipes. Journal of Hydraulic Engineering, v. 118,, n. 9, p , SOUZA, R. S. - Aspectos Computacionais da Análise de Redes de Distribuição de Água com Componentes Hidráulicos em Regime Permanente. São Carlos. Dissertação de Mestrado - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, SOUZA, R. S. - Controle Operacional Otimizado de Redes de Distribuição de Água Usando a Teoria do Regulador Quadrático Linear. São Carlos. Tese de Doutorado - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, WYLIE E. B., STREETER V. L. - Fluid Transients. New York, McGraw-Hill, p. ABES - Associação Brasileira de Engenharia Sanitária e Ambiental 1