Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

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1 CONTROLE PREDITIVO APLICADO A UM ROBÔ OMNIDIRECIONAL UTILIZANDO O PREDITOR DE SMITH FILTRADO PEDRO X. ALCANTARA, HUMBERTO X. ARAÚJO, TITO L. M. SANTOS Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal da Bahia Rua Aristides Novis, n. 02 Federação, Salvador, Bahia s: pxalcantara@gmail., humberto.araujo@ufba.br, tlsantos@ufba.br Abstract This paper deals with the application of a synthesis methodology based on Model Predictive Control (MPC), associated to Smith Predictor, applied to a three-wheeled omnidirectional mobile robot for trajectory tracking. The approach makes use of an objective function for finite horizon and is based on Linear Matrix Inequality (LMI) framework. The actuator constraints can also be taken in account by this controller. The stability of the closed loop system is performed by means of restrictions associated with non-increasing monotonicity of the objective function. The Filtered Smith predictor approach is used in order to pensate time delay and to attenuate high frequency measurement noise. A simulation study is presented in order to evaluate the proposed strategy with respect to the advantages associated to high frequency noise attenuation. Keywords Smith Predictor, Model Predictive Control (MPC), Omnidirectional Robot, Trajectory Control, Closed-loop Stability, Actuator Constraints, Linear Matrix Inequalities (LMIs). Resumo Este trabalho apresenta uma aplicação da estratégia de Controle Preditivo baseado em Modelo (MPC) juntamente o Preditor de Smith no controle de trajetória de um robô móvel omnidirecional de três rodas. O MPC horizonte de previsão finito é desenvolvido no contexto das desigualdades matriciais lineares (LMIs), e pode tratar de restrições associadas ao sinal de controle e sua variação. A garantia de estabilidade do sistema em malha fechada é realizada por meio de restrições relacionadas a monotonicidade não crescente da função objetivo. O Preditor de Smith filtrado é utilizado no tratamento do tempo de atraso do sistema e na atenuação de ruídos de alta frequência. São realizadas simulações para avaliar as vantagens associadas à técnica proposta no que diz respeito à atenuação de ruído de altas frequências. Palavras-chave Preditor de Smith, Controle Preditivo Baseado em Modelo (MPC), Robô Omnidirecional, Controle de Trajetória, Estabilidade, Restrições, Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs). 1 Introdução A robótica vem se tornado uma alternativa cada vez mais viável para as mais diversas utilizações e aplicações. Os robôs omnidirecionais (Conceição et al., 2011) têm se destacado entre os robôs móveis, pelo fato de poderem se mover em qualquer direção, sem a necessidade de reorientação. Essa classe de robôs possui grande poder de manobra e são muito difundidos para aplicações em ambientes dinâmicos. Essas características os colocam em vantagem, por exemplo, em relação aos robôs nas configurações Ackerman e diferencial (Li e Zell, 2007). As técnicas MPC têm provado bom desempenho em aplicações práticas, uma vez que são capazes de lidar não linearidades, restrições do sinal de controle e sistemas multivariáveis, características presentes na robótica móvel. Exemplos de MPC em robótica móvel são (Maurovic et al., 2011), (Oliveira e Carvalho, 2003), dentre outros. A abordagem MPC utilizando-se as desigualdades matriciais lineares (LMIs) foi primeiramente apresentada em (Kothare et al., 1996), para horizonte de previsão infinito. Desde então, trabalhos utilizando LMIs vêm aumentando em número e relevância (Casavola et al., 2003), (Mao, 2003). Uma das vantagens do uso das LMIs é que os problemas de otimização baseados nessas desigualdades podem ser resolvidos em tempo polinomial, convergência global garantida, permitindo assim seu uso em tempo real. Outras vantagens das LMIs podem ser encontradas em (Kothare et al., 1996 ) e (Boyd et al.,1994). Sabe-se que estratégias de controle preditivo podem lidar o problema do atraso de maneira natural. No entanto, a predição ótima, inerente às estratégias MPC convencionais, tem algumas limitações no que diz respeito à especificação de requisitos de malhas a exemplo da robustez (Normey-Rico e Camacho, 2007). No contexto da robótica móvel, esta limitação já foi demonstrada formalmente e experimentalmente para o caso sem restrições (Normey-Rico et al., 1999), ao se parar a predição ótima o preditor de Smith filtrado (Normey-Rico e Camacho, 2007). Além do exposto, demonstrou-se num trabalho recente, que as vantagens associadas à utilização do preditor de Smith filtrado (PSF) são diretamente extensíveis a estratégias MPC restrições (Santos e Normey-Rico, 2012). A despeito das vantagens do PSF no que diz respeito à melhoria do portamento robusto, esta estratégia de pensação de atraso pode ser utilizada para atenuar ruídos de altas frequências, o que tem sido pouco utilizado em trabalhos recentes. A depender dos sensores utilizados para obtenção da velocidade e da posição, pode-se observar uma degradação significativa na relação sinal/ruído em robótica móvel. Neste artigo, a estratégia de controle MPC associada ao preditor de Smith filtrado é proposta o solução do problema de atraso de tempo e ruídos de medição em um robô omnidirecional. Esta técnica MPC é formulada as desigualdades matriciais lineares (LMIs), e tem estabilidade garantida via monotonicidade não crescente da função objetivo (Scokaert e Clarke, 1994), (Zheng e Morari, 1993) e (Oliveira et al., 2000). A lei de controle utilizada é desen- 1792

2 volvida no espaço de estados e minimiza uma função objetivo de horizonte finito, sujeita a restrições nos sinais de entrada. Diferentemente do que foi apresentado em (Normey-Rico et al., 1999), que utilizou o preditor de Smith para melhorar a robustez, utilizando um algoritmo MPC sem restrições, pretende-se discutir a respeito das potencialidades do PSF num algoritmo MPC restrições vistas a reduzir o efeito indesejado do ruído de medição. Na Seção 2, é desenvolvida a modelagem do robô. Na Seção 3, é feita uma introdução sobre a técnica MPC em forma de LMIs. O Preditor de Smith filtrado é analisado na Seção 4. Na Seção 5, são analisados os resultados obtidos nos experimentos. Na Seção 6, são apresentadas as conclusões desse trabalho. 2 Modelagem do robô O robô estudado é posto de duas peças de fibra de vidro que se encaixam, onde ficam alocados os motores de modelo A-max 22 R179, da Maxon Motors, conforme Figura 1. Os motores são fixados às rodas holonômicas do tipo Vex Omni Wheels. Os parâmetros foram levantados através de ensaios práticos (Ribeiro et al., 2011). Nesta seção, o modelo matemático do robô móvel omnidirecional é apresentado. Figura 1. Robô móvel 2.1 Modelo Cinemático Figura 2. Sistema de coordenadas Conforme a Figura 2, os vetores de velocidade das rodas e as velocidades do centro de massa do robô satisfazem as seguintes equações (Conceição et al., 2009):, cos sen, cos sen. (1) As equações (1) podem ser reescritas o: 0 1 cos sen, (2) cos sen, i=1, 2 e 3. (3) O valor de é π/6 rad. As velocidades do robô podem ser escritas em função das velocidades angulares dos motores, considerando-se as equações (3), sendo r i, o raio da roda i, e l i, a relação de redução do motor i. Assim, obtém-se o seguinte modelo:, 2.2 Modelo Dinâmico e 0 0. (4) As equações que descrevem o portamento dinâmico do robô da Figura 1 são apresentadas em (Conceição et al., 2009). Neste trabalho, considera-se um modelo simplificado, levando-se em conta os efeitos dos atritos de Coulomb e viscoso e desprezando-se aqueles do atrito estático. Assim, tendo-se o referencial o robô, o modelo dinâmico é descrito por:, (5), (6) Γ, (7) 1, 0, 0, 0, (8) 1, 0, e Г representa o vetor força no corpo do robô e o momento de torque no seu centro de gravidade. Considera-se que o centro de gravidade é igual ao centro geométrico. é o momento de inércia e, a massa do robô. A partir da Figura 2, obtêm-se as seguintes relações entre as forças no robô e nas rodas, na forma matricial: 0 cos cos 1 sen sen. (9) Γ O portamento de cada motor pode ser descrito pelas seguintes equações:, (10), (11) sendo a indutância da armadura do motor,, a resistência de armadura e, a constante da força eletromotriz. Com valor pouco significativo, a indutância de armadura é desprezada neste trabalho. A força de tração em cada roda, i=1,2,3, é dada por:, (12) sendo que é o torque de rotação. A Tabela 1 mostra os parâmetros geométricos e dinâmicos do motor estimados em (Conceição et al., 2011). Tabela 1: Parâmetros do modelo Símbolo Descrição Valor r 1; r 2; r 3 (m) raio das rodas 0,035 l 1, l 2, l 3 relação de redução do motor 19 I n (Kg.m 2 ) momento de inércia do robô 0,025 M (Kg) Massa do robô 1,258 B v (N.s/m) atrito viscoso relativo a v 2 B vn (N.s/m) atrito viscoso relativo a v n 1,5 B ω (N.s/m) atrito viscoso relativo a ω 0,024 C v (N) atrito de Coulomb relativo a v 1,2 C vn (N) atrito de Coulomb relativo a v n 0,8 C ω (N) atrito de Coulomb relativo a ω 0,0035 R a1, R a2, R a3 (Ω) resistência de armadura 1,66 K t1, K t2, K t3 (V.s/rad) constante emf 0,0059 L (m) distância das rodas ao centro de massa 0,1 1793

3 2.3 Representação em espaço de estados O modelo do robô no espaço de estados apresenta um termo não linear devido ao atrito de Coulomb, ou seja:, (13), (14),, (15) , 0 0 (16) , (17) Assumindo-se a presença de um segurador de ordem zero, obtém-se o seguinte modelo discreto, no espaço de estados: 1, (18). (19) Definindo-se Δ 1, (20) Δ 1, (21) obtém-se o seguinte modelo: Δ 1 Δ Δ (22) 1, 1 Δ 1. (23) A não linearidade devido ao atrito de Coulomb em (22) não é levada em consideração no cálculo da lei de controle, mas nas simulações em malha fechada. Sistemas de controle em tempo discreto estão sujeitos a atrasos de tempo devido ao processamento da lei de controle e ao tempo para unicação de dados. A literatura especializada (Åstrom e Wittenmark, 1996) reenda que esses atrasos sejam inferiores a 10% do período de amostragem a fim de que sua influência no desempenho do sistema em malha fechada possa ser desprezada. Para o sistema de controle do robô da Figura 1, o tempo de processamento e de unicação pode variar entre 40 e 60 ms, o que é significativo face ao período de amostragem aqui utilizado, que é de 50ms. Assim sendo, se o atraso for inserido na modelagem, o modelo do robô resultante será mais fidedigno na descrição do seu portamento dinâmico, resultando em uma melhoria de desempenho do sistema de controle. Para obter um modelo no espaço de estados que considere o atraso de um período de amostragem, pode-se realizar a seguinte modificação: Δ 1 Δ 0 0 Δ Δ 1 0 Δ, (24) Δ (25) Δ 3 Controlador MPC O algoritmo MPC utilizado neste trabalho foi proposto em (Araújo et al., 2011). Uma condição suficiente para a estabilidade em malha fechada é imposta ao controlador. Esta condição é definida pela imposição de uma monotonicidade não crescente da função objetivo a cada iteração. Essa lei de controle também leva em consideração restrições no sinal de controle e em sua variação. 3.1 Função Objetivo A função objetivo utilizada pela lei de controle, horizonte finito, é dada por: 1, (26) sendo, o horizonte de previsão,, o horizonte de controle, >0 e >0, as matrizes de ponderação, e 1, as saídas previstas no instante e os valores ótimos dos incrementos dos sinais de controle no instante 1, respectivamente, putados no instante, e, a referência no instante. A lei de controle é obtida por:. (27) O sinal de controle é considerado constante nos instantes posteriores a 1, ou seja, 0 para. Em cada iteração, o vetor u, contendo a sequência ótima dos incrementos do sinal de controle, é calculado, obedecendo ao princípio do horizonte móvel. Na síntese do controlador, considera-se que o modelo do sistema a ser controlado é definido pelas equações no espaço de estados: 1, (28) 1 1, (29) sendo que e são as saídas medidas e as variações dos estados do sistema, respectivamente. Deste modo, definindo-se os vetores 1 y 2 1 e u, (30) 1 as saídas previstas podem ser calculadas no horizonte de previsão finito através da seguinte equação (Araújo et al., 2011): y Hu Fxk yk, (31) CS B CS B CS B 0 0 H CS B CS B CS B 0, CS N B CS N B CS N B CS N N B (32), e. (33) Assim, a função objetivo apresentada na equação (26) é equivalente a Jk T Q u T Ru, (34) 1794

4 ,,,, (35) 1 2 e. (36) O vetor r contém os sinais de referência. Assumese que os estados do sistema estão disponíveis a cada período de amostragem. Neste trabalho, os estados do sistema são as próprias saídas. 3.2 Restrições na Entrada Neste artigo, as restrições nos atuadores destinam-se a estabelecer os limites inferior e superior do sinal de controle e de seus incrementos :,, 1, 2,, ; 0; 0 1, (37) sendo que é igual ao número de entradas da planta, e, os limites inferior e superior do sinal de controle, na entrada, no instante de previsão, respectivamente, e e, os limites inferior e superior da variação do sinal de controle, na entrada i, no instante de previsão, respectivamente. Como (38) as restrições no sinal de controle podem ser manipuladas utilizando o plemento de Schur, resultando nas seguintes desigualdades: , , 1 1, i 1, 2,, n ; k 0. (39) A notação (M) i significa que apenas a linha i da matriz M é considerada. As restrições nas variações do sinal de controle em (37) podem ser reescritas de forma similar υ I N. u υ, i 1, 2,, n ; k 0; 0 j N 1. (40) Para a definição da condição de estabilidade, que será apresentada na sequência, exige-se o cálculo do valor ótimo de u, ou seja, os valores ótimos dos incrementos do sinal de controle calculados na iteração posterior, ou seja, putados no instante 1. uk 1 k 1 u uk 2 k 1. (41) uk N k 1 As restrições no sinal de controle também são levadas em consideração no instante 1. Definindose a matriz T T I R N, (42) de forma análoga às desigualdades apresentadas em (39) e (40), calculadas no instante, podem ser determinadas no instante 1: , , 1 1, i 1, 2,, n ; k 0. (43)., 1, 2,, ; 0; 1 1. (44) 3.3 Lei de Controle A minimização da função objetivo é realizada o auxílio de um limitante superior 0: Jk γ. (45) Considerando-se a equação (34), pode-se reescrever (45) da seguinte forma: H Fxk yk T Q H Fxk yk (46) T R γ. Utilizando-se o plemento de Schur, é possível reescrever a inequação (50) o: γ H Fxk yk T Q T R I 0 0. (47) I O símbolo * é utilizado para indicar uma estrutura simétrica. Para determinar a condição de estabilidade, é necessário definir as matrizes: 2 3,, (48) (49) A matriz pode ser particionada da seguinte forma:. (50) A seguir é apresentado o problema MPC garantia de estabilidade (Pitanga et al., 2012). Teorema 1: A lei de controle, garantia de estabilidade, considerando-se as restrições no sinal de controle e em seus incrementos, pode ser calculada a partir do seguinte problema de otimização: sujeito a (51),,, γ H Fxk yk T Q T R I 0 0, (52) I V 0 0 0, 0 (53), (54), (55), (56) 1795

5 Figura 3. Estratégia de controle pensação de atraso. sinal de controle, a partir da saída prevista, é descrita o segue: acrescido das restrições (39), (40), (43) e (44). é o valor ótimo de calculado no instante 1. A cada iteração, duas sequências de variações dos sinais de controle são calculadas,, iniciando do instante, e, a partir do instante 1. Apenas o primeiro elemento do vetor é aplicado no instante. Na primeira iteração, a LMI (54) não é usada pelo fato de ainda não existir um valor para. A LMI (53) é obtida de forma similar à desigualdade (52), porém calculada no instante k+1, e é o limitante superior associado. Essa lei de controle que considera os valores ótimos de, calculados no instante anterior, presente e futuro, garante que o limite superior da função objetivo seja monotonicamente não crescente, conduzindo à BIBO estabilidade em malha fechada. A LMI (52) relaciona-se o limitante superior da função objetivo. A LMI (53) é similar à LMI (52), porém relativa a, Δ acrescida do termo, sendo uma nova matriz de ponderação, e ela o esforço de controle associado aos elementos de também é otimizado. A agressividade do controlador pode então ser ajustada, dependendo dos valores das matrizes de ponderação, e. As LMIs (54) e (55) garantem estabilidade em malha fechada, através da imposição da monotonicidade não crescente do limitante superior da função objetivo:, 0, (57) e a notação (*) significa o valor ótimo solução do problema (51). 4 Preditor de Smith Filtrado. (58) Desta maneira, lei de controle (58) pode ser determinada a partir de um modelo sem atraso. Conforme discutido em (Santos e Normey-Rico, 2012), dado um sistema atraso definido por: 1, (59) a descrição para o sistema posto pelo conjunto processo-preditor, pode ser realizada por: 1, (60) sendo e incertezas aditivas não mensuráveis e. Em sistemas reais, o preditor cumpre uma função importante, na medida em que o efeito das incertezas do modelo, do ruído e o portamento da rejeição de perturbação dependem da estratégia de pensação de atraso escolhida (Normey-Rico e Camacho, 2007). Neste contexto, o preditor de Smith filtrado tem sido utilizado sucesso em diversas aplicações práticas, incluindo robótica móvel (Normey-Rico et al., 1999). Para o caso em que todos os estado são mensuráveis, a estrutura de implementação do preditor de Smith pode ser representada conforme Figura 4, sendo, e um filtro estável de ganho estático unitário e a variável plexa associada à Transformada-. A pensação de atraso explícita (Normey- Rico e Camacho, 2007) pode ser utilizada o uma ferramenta para aumentar a robustez, atenuar ruído ou alterar a rejeição de perturbação em estratégias de controle preditivo voltadas para sistemas atraso. Neste tipo de estratégia, o pensador de atraso tem o papel de determinar a predição da saída, antecipando o portamento futuro devido ao efeito do atraso. Assim, a relação entre o controle atual,, e a saída prevista,, não apresenta atraso, sendo o atraso nominal em tempo discreto, conforme indicado na Figura 3. A lei que define o Figura 4. Estrutura unificada do Preditor de Smith Filtrado. A grande vantagem desta estrutura de pensação de atraso está no fato de que o filtro de robustez,, permite alterar o desempenho da malha sem modificar o portamento nominal. Da Figura 1796

6 4, observa-se que os estados medidos passam diretamente pelo filtro. Há de se enfatizar que a incerteza aditiva,, pode representar qualquer diferença entre o valor esperado para 1, dado o modelo nominal, e o valor efetivamente medido. Essa diferença contempla erros de modelagem, ruído e perturbações externas. Adicionalmente, foi demonstrado em (Santos e Normey-Rico, 2012) que a incerteza aditiva, que afeta a malha de controle no caso do preditor de Smith filtrado, está relacionada a incerteza do sistema original, ou seja:. (61) Assim, o efeito do ruído sob 1 pode ser atenuado, reduzindo o impacto negativo que o mesmo imporia à malha de controle. Portanto, o filtro de robustez representa um grau de liberdade adicional para atender os requisitos de malha, o que não está disponível no caso em que se utiliza a pensação de atraso intrínseca à estratégia MPC. Desta maneira verifica-se que o filtro de robustez pode ser utilizado para atenuar ruídos de medição, pois o portamento de altas frequências, observado em, pode ser atenuado por meio de um filtro passa-baixas. Considerando um filtro de robustez de segunda ordem descrito por: z1 a z z a, (62) observa-se, para diferentes valores da constante, as respostas em frequência indicadas na Figura 5. Figura 5. Resposta em frequência do filtro de 2ª ordem, para diferentes valores de. Para um filtro de primeira ordem, o portamento é similar, porém o corte é menos acentuado. Deve-se ressaltar que há um promisso natural entre a velocidade da resposta de rejeição à perturbação e a robustez/atenuação de ruído mesmo na presença de restrições (Santos e Normey-Rico, 2012). Ao se elevar o valor de a, aproximando-o de 1, reduzse o efeito das incertezas e do ruído de alta frequência na malha de controle, contudo, perde-se em desempenho em termos da resposta de rejeição à perturbação problema regulador. 5 Resultados O robô utilizado nesse trabalho apresenta um significativo atraso de transporte provocado pelo tempo de processamento e de unicação, o já mencionado. Em (Pitanga et al., 2012), o atraso provocado pelo processamento foi tão crítico, que os forçou a utilizar N 1 e N 1, para não prometer de forma considerável o desempenho do controlador. Além disto, ruídos de medição significativos podem ser observados nos experimentos o robô. Com o objetivo de tratar estes problemas, o atraso de tempo e o ruído de medição, melhorando a robustez do sistema, o controlador MPC garantia de estabilidade foi utilizado em conjunto o Preditor de Smith Filtrado. Simulações foram realizadas considerando-se um ruído de medição amplitude aleatória variando de -0,3 a 0,3, e o atraso de um período de amostragem no modelo do robô. As matrizes de ponderação utilizadas foram: , , 2,, 1,2,,, (63) e o valor de foi escolhido 0,01, N 5 e N 3. A velocidade de navegação do robô é 0,6 m/s. O parâmetro do filtro dos preditores foi ajustado, simulações, em 0,9. Os sinais de controle podem assumir valores no intervalo [-6V,6V], variações limitadas em 1V. 5.1 Rastreamento de trajetória Para analisar o desempenho do controlador MPC Preditor de Smith, simulações foram feitas para o rastreamento de uma trajetória quadricular, lados de um metro de primento. As simulações foram realizadas três configurações distintas. O MPC em conjunto o Preditor de Smith, o Preditor de Smith Filtrado filtro de primeira ordem, e o Preditor de Smith Filtrado filtro de segunda ordem. Todas elas na presença e na ausência de ruído. Para simular o ruído, foi gerado um sinal através do ando rand do MATLAB, e somado à saída realimentada do processo. Figura 6. Comparação de trajetórias o Preditor de Smith sem filtro. 1797

7 Figura 10. Sinais de controle o Preditor de Smith. Figura 7. Comparação de trajetórias o Preditor de Smith filtro de primeira ordem. Figura 11. Sinais de controle o Preditor de Smith filtro de primeira ordem. Figura 8. Comparação de trajetórias o Preditor de Smith filtro de segunda ordem. Figura 12. Sinais de controle o Preditor de Smith filtro de segunda ordem. 6 Conclusão Figura 9. Comparação das três trajetórias, ruído. A partir das 6 a 9, pode-se observar que, na presença de ruído, o Preditor de Smith Filtrado, filtro de segunda ordem apresenta um melhor desempenho, sobretudo em relação ao Preditor de Smith. Elas mostram ainda que o sistema de controle apresenta um bom desempenho, apesar dos desvios em relação à trajetória desejada. Nas Figuras 10 a 12, pode-se ver os sinais de controle para as três simulações. Nota-se que as restrições nos sinais de controle e em suas variações são respeitadas. Neste trabalho, foram apresentados resultados de simulação para avaliar a influência do Preditor de Smith e do Preditor de Smith Filtrado no desempenho do controlador MPC garantia de estabilidade e restrições. Foram considerados os problemas levantados na implementação e que prometeram o desempenho do sistema de controle, problemas o atraso de unicação e processamento e ruídos de medição. Foram realizadas simulações para atestar a efeito da presença de ruído para o bom desempenho do controlador, considerando-se um atraso de período de amostragem no modele do robô. Além disso, foram levadas em consideração restrições nos sinais de controle, satisfazendo-se as limitações de tensão e corrente dos atuadores. Observou-se que a utilização do Preditor de Smith apresenta um desempenho bastante prometido pela presença do ruído, problema esse solucionado a implementação do Preditor de Smith Filtrado. O uso de um filtro passa-baixa de segunda ordem apresentou melhoras significativas e um desempenho bastante satisfatório. Para trabalhos futuros, sugere-se aplicação da lei de controle proposta no robô estudado, em tempo real. 1798

8 Agradecimentos Os autores agradecem o apoio do CNPq. Referências Bibliográficas Araújo, H., Conceição, G., Oliveira, G. e Pitanga, J. (2011). Model Predictive Control based on LMIs Applied to an Omni-directional Mobile Robot. Proc. of the 18th IFAC World Congress. Åström, K. e Wittenmark, B. (1996). Computer- Controlled Systems: Theory and Design. 3 rd Ed. Prentice-Hall. Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron E. e Balakrishnam, V. (1994). Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. Vol. 15 of Studies in Applied Mathematics, Society for Industrial and Applied Mathematics. Casavola, A., Famularo, D. e Franze, G. (2004). Robust Constrained Predictive Control of Uncertain Norm-bounded Linear Systems. Automatica, 40, p Conceição, A. S., Moreira, A. P. e Costa, P. J. (2009). Practical Approach of Modeling and Parameters Estimation for Omnidirectional Mobile Robots. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 14(3), p Conceição, A., Correia, M., Santos, J. e Ribeiro, T. (2011). Modelagem de um Robô Móvel Omnidirecional de Três Rodas incluindo Compensação de Atrito. X Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, p Kothare, M., Balakrishnan, V. e Morari, M. (1996). Robust constrained model predictive control using linear matrix inequalities. Automatica, 32(10): Li, X. e Zell, A. (2007). Motion Control of an Omnidirectional Mobile Robot. ICINCO-RA, pp Mao, W. (2003). Robust Stabilization of Uncertain Timevarying Discrete Systems and Comments on "An Improved Approach for Constrained Robust Model Predictive Control". Automatica, 39(6), p Maurovic, I., Baotic, M. e Petrovic, I. (2011). Explicit Model Predictive Control for trajectory tracking with mobile robots. IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics (AIM), p , Budapeste, Hungria. Normey-Rico e Camacho, E. (2007). Control of Dead-time Processes. London: Springer-Verlag. Normey-Rico, J. e Gómez-Ortega, J. e Camacho, E. (1999) A Smith-predictor-based generalized predictive controller for mobile robot path-tracking. Control Engineering Practice, 7(6): Oliveira, G., Amaral, W., Favier, G. e Dumont, G. (2000). Constrained Robust Predictive Controller for Uncertain Processes Modeled by Orthonormal Series Functions. Automatica, 36(4), p Oliveira, G. e Carvalho, J. (2003). A non-linear predictive control scheme for nonholonomic mobile robots. IFAC Symposium on Robot Control (SYROCO), Proc. of the 7th IFAC on Symposium on Robot Control. Pitanga, J. R., Araújo, H. X., Conceição, A. G. S. e Oliveira, G. H. C. (2012). Controle Preditivo A- plicado a um Robô Móvel Omnidirecional. XIX Congresso Brasileiro de Automática, Campina Grande, Brasil. Ribeiro, T., Santos, J., Santos Jr., J., Costa, A. e Conceição, A. S. (2011). Sistema Microprocessado para Controle em Tempo Real de Robôs Móveis Omnidirecionais. X Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente. Santos, T. e Normey-Rico, J. (2012). Sobre o efeito do atraso nominal na robustez de estratégias pensação de atraso. XIX Congresso Brasileiro de Automática. Scokaert, O. e Clarke, D. (1994). Stabilising Properties of Constrained Predictive Control. IEE Proceeding: Control Theory, 141(5), p Zheng, Z. e Morari, M. (1993). Robust Stability of Constrained Model Predictive Control. Proc. of American Control Conference, p