Superálgebras com Superinvolução

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1 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Superálgebras com Superinvolução por Herlisvaldo Costa Santos Orientadora: Professora Doutora Irina Sviridova Brasília 2017

2 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Superálgebras com Superinvolução por Herlisvaldo Costa Santos Orientadora: Professora Doutora Irina Sviridova Brasília 2017

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4 Ficha catalográfica elaborada automaticamente, com dados fornecidos pelo(a) autor(a) S237s Santos, Herlisvaldo C. Superálgebras com Superinvolução / Herlisvaldo C. Santos; orientador Irina Sviridova. -- Brasília, p. Dissertação (Mestrado Mestrado em Matemática) Universidade de Brasília, Superálgebras. 2.Superideal. 3.Superinvolução. I.Sviridova, Irina, orient. II. Título.

5 Dedico este trabalho à: Florinda Dos Santos Telles. Svetlana Eliakova. A todos os amigos.

6 Agradecimentos A professora Irina Sviridova, orientadora acadêmica, pela orientação, incentivo e dedicação que sempre me prestou durante a elaboração desta dissertação. Acima de tudo, agradeço a ela pela paciência e profissionalismo que tem ao ensinar e por transmitir com clareza e simplicidade certos conceitos matemáticos complexos. Aos professores da banca examinadora Alexei Krassilnikov e Diogo Diniz Pereira da Silva e Silva pela leitura atenta e pelas correçoes que enriquceram este trabalho. Aos professores da UNB que sem dúvida contribuíram para meu crescimento profissional e, em especial ao professor Luís Henrique de Miranda. Aos professores de graduação da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro pela minha formação e incentivo, em especial aos professores Orlando Santos Pereira e Marcia Costa Chaves. A Elaine Cristine de Souza Silva por sua amizade e pelo seu apoio. Aos amigos e colegas do Departamento de Matemática-UNB, pela inúmeras experiências, apoio e incentivo. Especialmente, Wenison, Antonio Marcos, Valter, John Freddy. Também, a Quintino por está feliz com minha partida. A Svetlana Eliakova por ser a minha companheira nesta jornada.

7 Resumo Nosso objetivo nesse trabalho é proporcionar às superálgebras associativas primitivas uma estrutura análoga àquelas para álgebras encontradas em [6, 7, 8] e classificar superálgebras primitivas com superinvolução tendo um superideal minimal. Finalizamos o trabalho com a classificação das superálgebras associativas de divisão com superinvolução e superálgebras simples com superinvolução. Palavras-chave: superálgebra, superideal, superinvolução.

8 Abstract Our objective in this work is to provide primitive associative superalgebras a structure analogous to those for the algebras found in [6, 7, 8] and to classify primitive superalgebras with superinvolution having a minimal superideal. We conclude the work with the classification of associative division superalgebras with superinvolution and simple superalgebras with superinvolution.

9 Sumário Introdução 1 1 Preliminares Anéis Graduados Anéis graduados de divisão Álgebras Graduadas Módulos Graduados Homomorfismos Graduados Anéis Graduados Primitivos Teorema da Densidade para Álgebras Graduadas Produto Tensorial de Álgebras Álgebras Com Involuções e Superinvoluções Superálgebras Involuções e Superinvoluções Supermódulos Super-centralizador Supermódulos Irredutíveis Teorema da Densidade para Superanéis Superálgebras Associativas de Divisão Superálgebras de Divisão com Superinvolução ix

10 3.2 Superálgebras Simples com Superinvolução Índice Remissivo 91 Referências Bibliográficas 92 x

11 Introdução O teorema da densidade de Jacobson é bem conhecido na literatura. Ele afirma que um anel primitivo é um subanel denso do anel de transformações lineares de um espaço vetorial sobre um anel de divisão (veja [8]). Usando uma teoria análoga, Racine, em [10], provou um teorema análogo ao teorema de Jacobson para superanéis. No mesmo artigo, ele classifica as superálgebras com superinvoluções. O principal objetivo desta dissertação é apresentar para superálgebras associativas uma teoria clássica análoga para álgebras associativas encontradas nos livros [7, 6, 8]. A dissertação está organizada da seguinte maneira. No capítulo 1 apresentamos os conceitos básicos e é assumido o conhecimento por parte do leitor de álgebra, teorema da densidade de Jacobson e conceitos relacionados. Iniciamos com a definição de anéis graduados, apresentamos a definição de álgebras associativas graduadas, módulos graduados, homomorfismo graduados e resultados relacionados. Por fim, apresentamos a definição de produto tensorial que é importante para entendimento do segundo capítulo. No capítulo 2 consideramos as K-álgebras com característica diferente de 2, onde K é um corpo. Em seguida, definimos uma K-superálgebras que é o tema central desta dissertação, apresentamos a definição de superinvolução. Finalizamos o capítulo, com o teorema da densidade para superanéis que é análogo ao teorema de Jacobson para anéis não graduados e algumas aplicações. No capítulo 3 concluímos o trabalho com a classificação de todas às superálgebras de divisão com superinvolução e as superálgebras simples com superinvolução. 1

12 Capítulo 1 Preliminares 1.1 Anéis Graduados Nesta seção, apresentaremos algumas propriedades de anéis graduados. As definições, teoremas e exemplos apresentados, são análogos aos dos livros [3] e [6]. Sejam (R,+, ) um anel (associativo) e G um grupo qualquer. Definição 1.1. O anel R é dito G -graduado se R pode ser escrito como soma direta de subgrupos aditivos R = g G R g tais que para todos g, h G, R g R h R g h. Segue da definição que qualquer r R pode ser unicamente escrito como uma soma r = r g com r g R g. O subgrupo R g é chamado componente homogênea de g G R, g G. Um elemento 0 r R é homogêneo se existe g G tal que r R g, neste caso, dizemos que r tem grau g e escrevemos: deg r = g. Um subgrupo aditivo S R é graduado (ou homogêneo) se S = (S R g ). Ou g G seja, S é graduado se, para qualquer s S, s = s g implica que s g S, para todo g G. Similarmente, podemos definir subanéis graduados, ideais graduados. de R. g G Note que, se H é um subgrupo de G, então S = R h é um subanel graduado h H 2

13 No caso em que I é um ideal graduado de R então o anel quociente R/I = {x+i x R} é um anel graduado com componentes homogêneas definidas por: (R/I ) g := (R g + I )/I = {r g + I r g R g }, g G. trivial. É fácil ver que todo anel possui a seguinte graduação que é chamada de graduação Exemplo 1.2 (Graduação Trivial). Sejam R um anel e G um grupo qualquer, a graduação trivial em R é definida por: R e = R e R g = {0} para g e, onde e G é o elemento neutro do grupo G. Exemplo 1.3. Sejam R um anel e x 1,, x k indeterminadas sobre R. Para m = (m 1,,m k ) N k, defina x m := x m 1 1 x m k k. Então o anel polinomial S = R[x 1,, x k ] é um anel Z- graduado, onde S n = { m N k r m x m r m R e m m k = n U (R) é o conjunto dos elementos inversíveis de R. Proposição 1.4. Sejam e o elemento neutro do grupo G e R um anel G -graduado. Então R e é um subanel de R. Demonstração. Como R é graduado, por definição, R e R e R e, ou seja, R e é fechado em respeito de multiplicação, logo R e é um subanel de R. Proposição 1.5. Seja R = g G R g um anel G -graduado unitário. Então as seguintes afirmações são verdadeiras: 1. 1 R e, onde e é o elemento neutro do grupo G. 2. R g é um R e -bimódulo, g G. 3. O inverso r 1 de um elemento homogêneo r U (R) é homogêneo. }. 3

14 Demonstração. 1. Sejam 1 R R a unidade de R e 1 R = x g, onde x g R g, (1.1) g G a decomposição de 1 R em componentes homogêneas. Observe que em (1.1), x g 0 para um número finito de g G. Então para todo h G, x h = x h 1 R = x h x g = x h x g. g G g G Por comparação de grau, tem-se x h = x h x e. Portanto, x e = 1 R x e = ( x g )x e = x g x e = x g = 1 R. g G g G g G Consequentemente, x e = 1 R R e. 2. Segue da Proposição 1.4 que R e é um subanel de R. Temos pela definição de anel graduado que R e R g R g e R g R e R g, g G, logo, R g é um R e -bimódulo para todo g G. 3. Suponha que r h U (R) R h com h G. Seja r R tal que r h r = r r h = 1. Como R é graduado então r = r g1 + + r gn com r gi R gi, i = 1,,n. Logo, 1 = r h r = r h (r g1 + + r gn ) = r h r g1 + + r h r gn R e, g i G, i = 1,,n. Comparando os graus dos elementos e pela unicidade do elemento inverso do grupo G, concluímos que existe um l tal que hg l = e, r h r gl = r gl r h = 1 e r h r gk = 0 para todo k l com 1 k n. Logo g l = h 1, portanto, r R h 1. 4

15 Definição 1.6. Sejam R e R dois anéis G -graduados, um homomorfismo de anéis G - graduados f : R R é um homomorfismo de anéis tal que f (R g ) R g, g G. Um homomorfismo de anéis graduados f é chamado isomorfismo se f é bijetivo. E quando existir um isomorfismo entre anéis graduados, escreveremos R = R. Lema 1.7. Sejam R, R dois anéis G -graduados e f um isomorfismo de R em R. Então a inversa de f, denotada por f 1, é um isomorfismo de anéis graduados. Demonstração. Seja f 1 : R R a inversa de f. Então f 1 é um isomorfismo de anéis. Logo, para provar que f 1 é um isomorfismo de anéis graduados, é suficiente observar que f (R g ) = R g para todo g G, e portanto R g = f 1 (R g ), g G. 1.2 Anéis graduados de divisão Nesta seção, R representará um anel G -graduado associativo com unidade, onde G é um grupo qualquer. Representaremos por e o elemento neutro do G. Definição 1.8. Um anel G -graduado R é chamado anel graduado de divisão se todo elemento homogêneo não nulo do R é inversível. É claro que se R é um anel graduado de divisão, então R e é um anel de divisão. Todo anel de divisão com qualquer G -graduação é graduado de divisão, entretanto, existem anéis graduados de divisão que não são anéis de divisão. Exemplo 1.9 (Álgebra de Grupos). Para um grupo G, a álgebra de grupo KG, onde K é um corpo, tem uma graduação natural KG = g G (G ) g, onde (KG ) g = Kg. KG é um anel G -graduado de divisão. Considere G = Z 2, então KZ 2 = Kη 0 + Kη 1 é graduado de divisão, onde η i η j = η i+j, i, j Z 2. Entretanto, não é um anel de divisão, pois 0 η 0 + η 1 KZ 2 não possui inverso. 5

16 Dado um anel G -graduado R, podemos definir um novo anel chamado anel oposto de R representado por R op. Definição 1.10 (Anel oposto R op ). Seja R um anel G -graduado. O anel oposto de R, R op, é o grupo aditivo R com a multiplicação dada por r op r := r r para quaisquer r, r R. Nessas condições, R op também é um anel G -graduado, com (R op ) g = R g. 1.3 Álgebras Graduadas Seja K um corpo de característica diferente de dois. Definição Uma K-álgebra A é G -graduada se existe uma família de K-espaços vetoriais {A g } g G tal que i. A = g G A g ; ii. A g A h A g h para todo g,h G. Observamos que toda álgebra graduada é, em particular, um anel graduado. Da mesma forma que definimos subanel graduado, ideal graduado e anel graduado de divisão podemos definir subálgebra graduada, ideal graduado de uma álgebra graduada e álgebra graduada de divisão. As definições são análogas às feitas acima. Exemplo Sejam n inteiro positivo e A = M n (K) a álgebra de matrizes com entrada no corpo K. Considere G = Z m. Dado (g 1,, g n ) Z n m, considere o subespaço A σ =< e i j g 1 i g j = σ >, 6

17 onde e i j = j 0 i, 1 i, j n, e e i j e kl = δ j k e i l, com δ j k = { 1 se j = k 0 se j k. (1.2) Como {e i j 1 i, j n} é uma base de A, então A = todo e i j A σ1 e e ks A σ2, com σ 1,σ 2 Z m, temos: 1. e i j e ks = 0 A σ1 σ 2, se j k; 2. e i j e ks = e i s, se j = k. Neste caso, e i j e ks A σ1 σ 2, pois g 1 i j = k. Logo, g 1 i g s = g 1 i (g j g 1 k )g s = (g 1 i g j )(g 1 k g s) = σ 1 σ 2. σ Zm A σ. Agora, observe que para g j = σ 1, g 1 k g s = σ 2 e Portanto, A é uma K-álgebra Z m -graduada. Em particular, tomando m = 2 e (0,1) Z 2 2 ou (1,0) Z 2 2 obtemos: M 2 (K) = A σ, σ Z 2 {( ) } {( ) } a 0 0 c onde A 0 = a,b K e A 1 = c,d K. Os pares ordenados (0,0), (1,1) 0 b d 0 Z 2 2 geram a graduação trivial. Exemplo Sejam M 3 (K) e G = Z 3. Considere (0,1,2), (0,1,1), (1,0,1) Z ) Para (0,1,2), obtemos: Elementos de grau 0, deg e 11 = = 0 = deg e 22 = deg e 33. Elementos de grau 1, deg e 12 = = 1, deg e 31 = = 1, deg e 23 = = 1. 7

18 Elementos de grau 2, deg e 21 = = 2, deg e 13 = = 2, deg e 32 = = 2. Logo, A 0 = A 2 = a e i 0 0 c d h 0 a,e,i K, A 1 = c,d,h K 0 b f g 0 0 b, f, g K,. (1.3) 2) Para (0,1,1), obtemos: Elementos de grau 0, deg e 11 = = 0 = deg e 22 = deg e 33, deg e 32 = = 0, deg e 23 = = 0. Elementos de grau 1, deg e 12 = = 1, deg e 13 = = 1. Elementos de grau 2, deg e 21 = = 2, deg e 31 = = 2. Logo, a 0 0 A 0 = 0 e f a,e, f,h,i K, A 1 = 0 h i A 2 = d 0 0 d, g K g b c b,c K,. (1.4) 8

19 3) Para (1,0,1), obtemos: Elementos de grau 0, deg e 11 = 0 = deg e 22 = deg e 33, deg e 13 = = 0, deg e 31 = = 0. Elementos de grau 1, deg e 21 = = 1, deg e 23 = = 1. Elementos de grau 2, deg e 12 = = 2, deg e 32 = = 2. Logo, a 0 c A 0 = 0 e 0 a,c,e, g,i K, A 1 = g 0 i 0 b 0 A 2 = d, g K 0 h d 0 f d, f K,. (1.5) Observe que a ordem dos g i em (g 1, g 2, g 3 ) Z 3 3 é importante. Exemplo Seja n um número inteiro positivo. Seja T = M n (A ) a K-álgebra de matrizes n n com entradas na K-álgebra G -graduada A. Então T tem uma G -graduação definida da seguinte maneira: a g 11 a g a g 1l 1n (T ) g := a g a g a g a g l1 l l ln i j A g, 1 i, j n, g G a g n1 a g a g nl nn 9

20 1.4 Módulos Graduados Seja R um anel associativo G -graduado, onde G é um grupo qualquer. Denotaremos por e o elemento neutro do grupo G. Seja N um R e -módulo à esquerda. Para cada g G, consideramos M g := R g N, Re ou seja, M g é o produto tensorial dos R e -módulos N e R g. Dado r h R h com h G, defina r h (r g n) := (r h r g ) n, n N, r g R g, g G. (1.6) Re Re Observamos que r h (r g n) M hg, pois r h r g R hg. Estendemos a ação (1.6) em todo Re R e M g por aditividade. Seja M = M g = R g N, então M é um R-módulo Re g G G -graduado, isto é, M é R-módulo tal que g G R h M g M hg para quaisquer g,h G. Existem R-módulos graduados que não são induzidos por R e -módulos. Em geral, temos a seguinte definição. Definição Seja M um R-módulo à esquerda. Dizemos que M é um R-módulo graduado se existe uma família de subgrupos aditivos {M g } g G de M tal que 1. M = g G M g ; 2. R g M h M g h, g,h G. De modo semelhante, podemos definir R-módulo graduado à direita. O conjunto X = g G M g é o conjunto dos elementos homogêneos de M ; um elemento não nulo u M g é dito ser homogêneo de grau g. É claro que se R é um anel graduado, então R é um R-módulo à esquerda graduado. 10

21 Exemplo Sejam M um R-módulo graduado e g 0 um elemento de G. Para cada g, h G, defina M g := M g g 0 e seja M = g G M g. Logo, r h m g M hg g 0 = M hg, r h R h, m g M g, h, g G. Então M é um R-módulo graduado. Dizemos que N é um submódulo graduado de um R-módulo M se N é um R- submódulo e N = g G (M g N ), ou equivalente, todas as componentes homogêneas de todo elemento do N pertencem a N, ou seja, se n N tal que n = m g1 + +,m gk, então m gi N para todo 1 i k. Em particular, um ideal à esquerda G -graduado é um submódulo graduado do R. Dado um submódulo graduado N de um R-módulo graduado M, podemos considerar o R-módulo quociente M /N. O M induz uma graduação em M /N. As componentes homogêneas de M /N são dadas por: (M /N ) g := {m g + N m g M g }. É evidente que um R-módulo graduado M (M {0}) tem no mínimo dois submódulos graduados, {0} e M, os quais são chamados de triviais. Dado um subconjunto S de um R-módulo graduado à esquerda M, definimos o anulador à esquerda de S como sendo Ann l ( R S) = {r R r s = 0, s S}, de forma semelhante, podemos definir anulador para um módulo à direita. Lema Seja M um R-módulo graduado à esquerda. Então, Ann l ( R M ) é um ideal bilateral graduado de R. Demonstração. Para cada g G, considere (Ann l ( R M )) g = {r g R g r g m = 0, m M }. Observamos que (Ann l ( R M )) g é um subgrupo de Ann l ( R M ) para todo g G. Por outro lado, se r (Ann l ( R M )) g (Ann l ( R M )) h, então r = 0, pois R g g h G 11

22 R h = (0). Logo, a soma (Ann l ( R M )) h é direta. Seja r Ann l ( R M ), então r = r h, com r g R h. Para todo m g M g e g G, temos r m g = 0 para todo g h G g h G h G m M. Em particular, 0 = r m g = r h m g para todo g G. Como M é graduado, h G temos r h m g = 0 para todo g G, daí segue que r h Ann l ( R M ). Logo, Ann l ( R M ) g G (Annl ( R M )) g. Portanto, Ann l ( R M ) = (Ann l ( R M )) g. g G Similarmente, o anulador de um R-módulo à direta graduado é um ideal bilateral graduado de R. Definição Um R-módulo graduado M é dito ser fiel se Ann l ( R M ) = (0). Definição Um R-módulo graduado M diz-se simples (ou irredutível) se RM 0 e 0 e M são seus únicos submódulos graduados. Definição Seja R um anel graduado. Dizemos que R é simples (ou graduado simples) se não tiver ideais graduados próprios não nulos. Lema Todo o anel (álgebra) graduado de divisão é graduado simples. Demonstração. Seja D é um anel graduado de divisão. Suponha que exista um ideal graduado {0} I. Logo, existe 0 x g I, com g G. Sendo D anel graduado de divisão, existe x g 1 D g 1 tal que 1 = x g 1 x g I, ou seja, I = D. Sabemos que todo anel (álgebra) de divisão é graduado de divisão, com graduação trivial (ou qualquer outra graduação), logo é um anel (álgebra) graduado simples, pelo Lema Assim, temos as seguintes implicações: anéis de divisão anéis simples (com qualquer graduação ) (com qualquer graduação ) anéis graduado de divisão anéis graduados simples As implicações do diagrama acima não são inversíveis. No exemplo 1.9 vimos que KZ 2 é um anel graduado de divisão, mas não é um anel de divisão. Usando Lema

23 concluímos que KZ 2 é um anel (K-álgebra) Z 2 -graduado simples, entretanto, como anel (K-álgebra) não é simples, pois K(η 0 +η 1 ) KZ 2 é um ideal próprio não graduado de KZ 2. Exemplo Seja M n (K) o anel de matrizes com entradas no corpo K. Quando n > 1, M n (K) é um anel simples, mas não é anel de divisão. M n (K) com Z m -graduação é graduado simples, mas não é graduado de divisão, veja [8]. 1.5 Homomorfismos Graduados Nesta seção, consideraremos G um grupo abeliano, M um R-módulo à esquerda, onde R é um anel (K-álgebra) G -graduada. E a operação do grupo G será representada por +. Seja M um R-módulo à esquerda G -graduado, denotaremos por End( R M ) o anel de todos os R-endomorfismos de M. É bom lembrar que End( R M ) é um anel com as operações usuais, soma e composição de funções. Definição 1.23 (Homomorfismo graduado). Sejam M = M β e M = M β dois β G β G R-módulos graduados. Um homomorfismo de módulos graduados (ou homogêneo) de grau γ G é um homomorfismo de R-módulos f : M M tal que f (M β ) M β+γ para todo β G. Lema Sejam M e N dois R-módulos graduados e f um homomorfismo homogêneo de R-módulos graduados de M em N. Então 1. K er (f ) = {m M f (m) = 0} é um submódulo graduado de M. 2. Im(f ) = {f (m) N m M } é submódulo graduado de N. Demonstração. Seja f um homomorfismo de módulos graduados de M em N de grau γ. Provaremos que K er (f ) = K er β (f ), a prova de que Im(f ) = Im β (f ) segue de β G β G maneira similar. 13

24 Para cada β G, defina K er β (f ) = {m β M β f (m β ) = 0}. Primeiramente, observemos que K er β (f ) é um subgrupo de K er (f ) para todo β G. Por outro lado, se m K er β (f ) K er α (f ), então m M β M α. Como M β M α = {0}, temos β α G β α G β α G que m = 0. Com isso, a soma M α é direta. Seja m K er (f ), então m = β, onde β G β Gm m β M β para todo β G e f (m) = 0. Como f é homomorfismo graduado temos que 0 = f (m) = f ( m β ) = f (m β1 )+ + f (m βn ). Logo, f ( m αi ) = f (m αj ), ou seja, β G αi αj G f (m αi ) N αi+γ N αj +γ, onde 1 i, j n. Assim, como N é graduado, temos αi αj G que N αi+γ N αj +γ = {0}. Logo f (m αi ) = 0 para todo 1 i n, com αi G. αi αj G Com isso, temos que K er (f ) β G K er β (f ). Portanto, K er (f ) = β G K er β (f ). Não é difícil ver que se φ é um homomorfismo graduado de grau γ de anéis G - graduados, então γ = e. O conjunto de todos os homomorfismos graduados de grau γ é um subgrupo aditivo Hom R (M,N ) γ do grupo Hom R (M,N ). Consideramos Hom g r R (M,N ) = γ G Hom R (M,N ) γ Facilmente, verifica-se que se f Hom R (M,N ) γ γ α G Hom R (M,N ) γ então f = 0 e, portanto Hom g r (M,N ) = R Hom R(M,N ) γ é um grupo abeliano graduado. γ G Um endomorfismo graduado (ou homogêneo) de módulos graduados de grau γ é um endomorfismo de grupo f : M M tal que f é um homomorfismo graduado. O conjunto de todos os endomorfismos graduados de grau γ é um subgrupo aditivo Hom R (M,M ) γ do grupo Hom R (M,M ). Observamos que Hom g r (M,M ) = R Hom R(M,M ) γ é um anel graduado como as operações usuais de funções, que γ G denotaremos por End g r (M ). R Em geral, temos Hom g r R (M,N ) Hom R(M,N ). Entretanto, é conhecido que se o módulo M é finitamente gerado ou se G é um grupo finito então End R (M ) = End g r (M ) [[4], Cor oll ar y A.I.2.11.]. R 14

25 1.6 Anéis Graduados Primitivos Apresentaremos alguns resultados da teoria de anéis graduados primitivos. Definição Seja R um anel G -graduado, R 0. Dizemos que R é um anel G - graduado primo se para quaisquer ideais bilaterais graduados não nulos I, J teremos I J (0). Dado um anel graduado R, podemos considerar R como um R-módulo à esquerda graduado. Denotaremos por Ann( R R) o anulador de R à esquerda. Lema Seja R um anel graduado primo. Então Ann( R R) = (0). Demonstração. Seja R um anel primo. Pelo Lema 1.17 Ann( R R) é um ideal bilateral graduado do R. Temos que R é um ideal bilateral graduado de R diferente de zero e R Ann( R R) = (0). Pela definição de anel graduado primo, segue que Ann( R R) = (0). Lema Seja I um ideal à esquerda graduado (ou à direita) de um anel graduado R, então I R (RI ) é um ideal bilateral graduado do anel R. Demonstração. Não é difícil prova que I R é um ideal bilateral do R. Para provarmos que I R é graduado, é suficiente observamos que R = R β e I = I α. Logo, I R = β G α G ( I α )( R β ) = I α R β. α G β G α G β G Utilizando o Lema 1.27, mostraremos que na definição de anel graduado primo, podemos considerar ideais unilaterais graduados. Lema Um anel graduado R é primo se, e somente se, para quaisquer ideais à esquerda (à direita) graduados não nulos I e J de R tem-se I J (0). Demonstração. Seja R um anel graduado primo. Sejam I e J dois ideais à esquerda não nulos do R. Pelo Lema 1.27 I R e JR são ideais bilaterais graduados de R. Pelo Lema 1.17 Ann( R R) é um ideal bilateral graduado do R. Observamos que r R e 15

26 a Ann( R R), r a = 0, logo R Ann( R R) = (0), e portanto (Ann( R R)) 2 = (0). Como R é um anel graduado primo, segue do Lema que Ann( R R) = (0), pois caso contrário teríamos (Ann( R R)) 2 (0). Como Ann( R R) = (0) então I R e JR são ideais bilaterais graduados não nulos de R. Como R é um anel graduado primo, I R JR (0). Logo, I R J (0) e (0) I R J I J. Portanto, I J (0). Para a recíproca, observamos que todo ideal bilateral graduado é em particular um ideal à esquerda (ou à direita) graduado. Definição Um anel G -graduado R é dito semiprimo se I n = (0), para n 1, implica I = (0), para qualquer ideal bilateral graduado I de R, ou seja, R não possui ideais bilaterais graduados nilpotentes não nulos. Análogo a Proposição 1.8, obtemos a seguinte preposição. Proposição Um anel graduado R é graduado semiprimo se, e somente se, R não contém ideais à esquerda (ou à direita) graduados nilpotentes. Demonstração. Seja R um anel graduado semiprimo. Lembramos que Ann( R R) é um ideal bilateral graduado de R e (Ann( R R)) 2 = (0). Como R é graduado semiprimo, segue que Ann( R R) = (0). Seja I um ideal à esquerda graduado não nulo de R, então I R é um ideal bilateral graduado não nulo. Logo, I n R (I R) n (0), portanto I n (0) para todo n 1. Para a recíproca é suficiente observar que todo ideal bilateral graduado é um ideal à esquerda graduado. Definição Um anel G -graduado R é dito primitivo à esquerda se existe um R- módulo graduado à esquerda simples e fiel. Um anel graduado primitivo à direita é definido de forma análoga para R-módulo graduado à direita. A caracterização usual de um anel graduado primo R é dado pelo seguinte lema. Lema Seja R um anel graduado. Então R é graduado primo se, e somente se, a α Rb β {0} para todo 0 a α R α, b β R β com α, β G. 16

27 Demonstração. Sejam R um anel graduado primo, 0 a α R α e 0 b β R β, α, β G. Pelo Lema 1.27 Ann( R R) = (0). Assim, Ra α e Rb β são ideais à esquerda graduados não nulos de R. Pelo Lema 1.28 Ra α Rb β (0). Portanto, a α Rb β (0). Reciprocamente, suponha que para quaisquer elementos não nulos a α R α e b β R β tenhamos a α Rb β {0}. Se I e J são ideais bilaterais graduados não nulos do R, então existem elementos homogêneos não nulos a α I α R α e b β J β R β para alguns α, β G. Logo, (0) a α Rb β I R J I J. Portanto, I J {0}. Para anéis graduados semiprimos, obtemos um resultado similar ao anterior, cuja a demonstração não é difícil. Lema Um anel R é graduado semiprimo se, somente se, a α Ra α (0) para qualquer elemento homogêneo não nulo 0 a α R α e todo α G. As relações entre anel graduado primitivo, anel graduado primo e anel graduado semiprimo são dadas pelos seguintes resultados. Lema Seja R um anel graduado primitivo à esquerda, então R é graduado primo. Demonstração. Sejam I, J ideais bilaterais graduados não nulos de R. Sendo R um anel graduado primitivo, então existe um R-módulo à esquerda graduado irredutível e fiel M. Sendo M fiel, I M (0) e JM (0), observamos que I M e JM são submódulos graduados do M. Assim, pela irredutibilidade M, segue que I M = JM = M. Logo, (0) I M = I JM = M. Logo, I J (0), portanto, R é graduado primo. Corolário Seja R um anel graduado primo, então R é semiprimo. Em particular, todo anel graduado primitivo é semiprimo. Demonstração. Seja I um ideal bilateral graduado não nulo de R. Suponha por absurdo que existe n 1 tal que I n = (0). Observe que (0) = I I n 1 como I (0) e R é primo, segue que I n 1 = (0). Utilizando o mesmo argumento anterior, concluímos que I = 0, absurdo. Logo, I n (0) e, portanto, R é um anel graduado primo. 17

28 1.7 Teorema da Densidade para Álgebras Graduadas Comecemos por alguns resultados que são análogos aos resultados clássicos para anéis (K-álgebras) não graduados. Primeiramente, começaremos com o seguinte lema. Lema Sejam R um anel (K-álgebra) graduado, M um R-módulo à esquerda graduado e D = End g r (M ) o anel dos R-endomorfismos graduados de M. Então M é um R D-módulo graduado à direita com ação m f = (m)f. Demonstração. Sejam R um anel graduado, M um R-módulo à esquerda graduado e D = End g r (M ). Então, m, n M, f, g D: R 1. m (f g ) = ((m)f )g = (m f ) g. 2. (m + n) f = (m + n)f = (m)f + (n)f = m f + n f. 3. m (f + g ) = (m)(f + g ) = (m)f + (m)g = m f + m g. 4. m 1 D = (m)i d M = m. Dados f γ D γ e m β M β, temos m β f γ = (m β )f γ M β+γ. Portanto, M β D γ M β+γ. Lema Seja R um anel graduado. Sejam M um R-módulo à esquerda graduado, f β um isomorfismo de R-módulos graduado, com grau β G e f a sua inversa. Então f é um isomorfismo graduado de grau β. Demonstração. Como f β é um isomorfismo de R-módulos, então f também é um isomorfismo de R-módulos. Agora, dado m α M α, pela bijeção f β, existe m M tal n que m α = ( m)f β. Sendo M um R-módulo graduado, temos m = m γi, com m γi M, γ i G para todo 1 i n. Logo, i=1 n m α = ( m)f β = ( i=1 n m γi )f β = ( m γi )f β = ( m γ1 )f β + + ( m γn )f β. i=1 18

29 Comparando os graus dos elementos e pela unicidade do elemento inverso do grupo G, concluímos que existe um l tal que m α = ( m γl )f β para algum 1 l n. Observamos que ( m γl )f β M γl +β. Como m α M α e m α = ( m γl )f β, temos que m α = ( m γl )f β M γl +β M α. Teremos que verificar dois casos: i. ( m γl )f β = 0; ii. ( m γl )f β 0. No caso i., ( m γl )f β = 0 então ( m γl )f β M δ, δ G. Segue daí que m γl = 0, pois f β é um homomorfismo bijetivo. No caso ii., ( m γl )f β 0 então M γl +β = M α, pois caso contrário teríamos ( m γl )f β M γl +β M α = {0}, uma contradição. Logo, M γl +β = M α. Como M γl +β = M α, segue que γ l + β = α, ou seja, γ l = α β. Em ambos os casos, concluímos que m γl M α β, ou seja, m γl = m α β. Logo, (m α )f = (( m α β )f β )f = ( m α β )(f β f ) = ( m α β )i d M = m α β. Portanto, f é um isomorfismo graduado de grau β. Definição Sejam R e D dois anéis G -graduados. Dizemos que M é um (R,D)- bimódulo G -graduado se M é um R-módulo à esquerda G -graduado e um D-módulo à direita G -graduado tal que (r α m β )d τ = r α (m β d γ ) para quaisquer r α R α, d γ D τ, m β M β e α, β, γ G. Observamos que dado um R-módulo à esquerda graduado M, então M é um (R, End g r (M ))-bimódulo graduado. R 19

30 Definição Sejam D um anel graduado de divisão, R um anel graduado e M um (R, D)-bimódulo graduado. Dizemos que R age densamente em M sobre D se para qualquer inteiro positivo n, quaisquer elementos homogêneos vα 1,, v α n M α linearmente independentes sobre D 0 e quaisquer w 1 β,, w n β M β, existe r β α R β α tal que r β α vα i = w i β. O seguinte lema já é conhecido na teoria anéis. Lema 1.40 (Lema de Schur). Seja R anel (K-álgebra) graduado. Suponha que M, N são dois R-módulos à esquerda graduados irredutíveis e f β um R-homomorfismo homogêneo de grau β de M em N, com β G. Se f β 0 então f β é inversível. Demonstração. Seja 0 f β um homomorfismo graduado de grau β de M em N. Então a imagem de f β, Im f β, é um submódulo graduado de N não nulo. Pela irredutibilidade de N, Im f β = N, logo f β é sobrejetiva. O núcleo de f β, K er f β, é um submódulo graduado propriamente contido em M. Pela irredutibilidade de M, segue que K er f β = {0}, logo f β é injetiva. Logo, f β é uma bijeção e, portanto, f β é inversível. Utilizando o Lema 1.40, obtemos o seguinte resultado. Lema 1.41 ([1], Lemma 2.4). Seja R um anel (K-álgebra) graduado. Suponha que V é um R-módulo à direita graduado irredutível. Então D = End g r (V ) é um anel (Kálgebra) graduado de R divisão. Demonstração. Segue do Lema 1.40 tomando V = M = N. Teorema 1.42 ([1], Theorem 2.5). Seja R uma K-álgebra graduada. Suponha que V seja um R-módulo à esquerda graduado irredutível e seja D = End g r R (V ). Se v 1,, v n V são elementos homogêneos linearmente independentes sobre D, então para quaisquer w 1,, w n V, existe r R tal que r v i = w i para todo i = 1,,n. 20

31 1.8 Produto Tensorial de Álgebras Definição 1.43 (Produto Tensorial). Sejam E e F dois espaços vetoriais sobre K, com bases {e i i I } e {f j j J}, respectivamente. O produto tensorial de E e F denotado por E F é o espaço vetorial com base {e i f j }. Os elementos da forma e f são chamados K de tensores e satisfazem: 1. (e 1 + e 2 ) f = (e 1 f ) + (e 2 f ); 2. e (f 1 + f 2 ) = (e f 1 ) + (e f 2 ); 3. r (e f ) = (r e) f = e (r f ), para quaisquer e 1,e 2,e E, f 1, f 2, f F e r K. Definição 1.44 (Produto tensorial de álgebras). Sejam A e B duas K-álgebras. Consideremos o K-espaço vetorial A B com o produto K-bilinear definida por K (A B) (A B) A B (a b, a b ) (a b)(a b ) = aa bb a, a A, b,b B. O espaço vetorial A K B, munido com esta multiplicação é uma K-álgebra chamada de produto tensorial das álgebras A e B. Sejam G e H dois grupos abelianos. Lema Sejam A = A g e B = B h duas K-álgebras associativas graduadas, g G h H G -graduada e H -graduada, respectivamente. Então A B é uma K-álgebra associativa G H -graduada com sua componente homogênea de grau (g,h) G H K dada por: (A B) (g,h) := A g B h. Demonstração. Veja [9]. 21

32 Exemplo Seja A uma K-álgebra. A transformação linear ϕ : M n (K) A M n (A ) (1.7) e i j a ae i j onde ae i j = a , 1 i, j n é um isomorfismo de álgebras. Observe que {ae i j 1 i, j n, a B} é uma base para M n (A ) como espaço vetorial, onde B é uma base de A. A inversa de ϕ é: ϕ 1 : M n (A ) M n (K) A (1.8) ae i j e i j a. Portanto, M n (K) A = M n (A ). De modo semelhante, podemos provar que se A = M m (K) então M n (K) M m (K) = M n (M m K) = M nm (K). 22

33 Capítulo 2 Álgebras Com Involuções e Superinvoluções Neste capítulo, K representará um corpo de característica diferente de Superálgebras Devemos salientar que a soma direta será representada por + ou. Por exemplo uma K-álgebra (anel) Z 2 -graduada A será representada como A = A 0 + A 1 ou A = A 0 A 1. Definição 2.1 (Variedade). Uma classe não vazia K de álgebras é chamada de variedade se as seguintes condições são válidas: 1. Se B K e B é uma subálgebra de B então B K. 2. Se B K e B é uma imagem de um homomorfismo de B, então B K. 3. Se B i K, para todo i I então i IB i K. 23

34 Observamos que uma variedade também pode ser definida como classe de álgebras que satisfazem algum conjunto de identidades polinomiais. Neste caso, nossa definição é uma consequência do teorema de Birkhoff, veja [2]. Dizemos que uma variedade é homogênea se ela é definida por identidades multihomogêneas. Exemplo 2.2. Seja K a classe de todas álgebras associativas, ou seja, se A K então x, y, z A teremos x(y z) = (x y)z. Então K é uma variedade homogênea. Definição 2.3 (Álgebra de Grassmann). Seja K X a álgebra livre unitária de posto enumerável livremente gerada por X = {x 1, x 2, }. Se I é o ideal bilateral de K X gerado pelo conjunto de polinômios {x i x j + x j x i i, j 1}, consideramos G = K X /I. G chamase a K-álgebra de Grassmann infinitamente gerada unitária. Se escrevemos e i = x i + I, para i = 1,2,, obtemos e i e j = (x i + I )(x j + I ) = x i x j + I = x i x j (x i x j + x j x i ) + I = x j x i + I = (x j + I )(x i + I ) = e j e i, para todo i, j 1. Então G tem a seguinte apresentação G = 1,e 1,e 2, e i e j = e j e i, para todo i, j 1. Os elementos 1 e e i1 e i2 e ir, com i 1 < i 2 < < i r, formam uma K-base da álgebra G, a prova desse fato pode ser encontrado em [2]. Sejam { G 0 = span K ei1 e i2k 1 i 1 < < i 2k, k 0 }, { G 1 = span K ei1 e i2k+1 1 i 1 < < i 2k+1, k 0 }, não é difícil provar que G 0 G 0 +G 1 G 1 G 0 e G 1 G 0 +G 0 G 1 G 1 e G = G 0 G 1 (G 0 G 1 = (0)). Logo, G é uma álgebra associativa Z 2 -graduada. Definição 2.4 (Envelope de Grassmann). Sejam A = A 0 + A 1 uma K-álgebra associativa Z 2 -graduada e G = G 0 + G 1 a K-álgebra de Grassmann infinitamente gerada. A subálgebra da álgebra A K G G(A ) = (A 0 K G 0 ) + (A 1 K G 1 ) 24

35 é chamada de envelope de Grassmann de A. Observamos que G(A ) também é uma K-álgebra (anel) associativa Z 2 -graduada com componentes homogêneas G(A ) α = A α K G α, α Z 2. Exemplo 2.5. Sejam G a álgebra de Grassmann e M n (K) a K-álgebra de matrizes com entradas no corpo K. A transformação linear ϕ : M n (K) K G M n (G) (2.1) e i j g g e i j onde g e i j é a matriz de M n (G) que tem g na entrada (i j ) e zero nas demais, é um isomorfismo de K álgebras. Observamos que {g e i j 1 i, j n, g B} é uma base para M n (G) como espaço vetorial, onde os elementos de B são 1ee i1 e i2 e ir, com i 1 < i 2 < < i r. Considere a transformação linear Φ : M n (G) M n (K) G (2.2) g e i j e i j g. Temos que 1. ϕ(φ( g i j e i j )) = ϕ( e i j g i j ) = g i j e i j. i,j i,j i,j 2. Φ(ϕ( e i j g i j )) = Φ( g i j e i j ) = e i j g i j. i,j i,j i,j Assim, ϕ 1 = Φ e, portanto, ϕ é bijetiva. Antes de mostrarmos que ϕ é um homomorfismo de K-álgebra, observamos que para todos g e i j, te sm elementos da base de M n (G) temos: g e i j te sm = g te i j e sm = { 0, se j s g te i m, se j = s. (2.3) 25

36 Como ϕ é linear, é suficiente verificar o homomorfismo para os elementos da base. Sejam e i j g, e sm t M n (K) G. Então ϕ((e i j g )(e sm t)) = ϕ(e i j e sm g t) = Se j s, teremos { ϕ(0 g t), se j s ϕ(e i m g t), se j = s { = 0, se j s g te i m, se j = s. ϕ((e i j g )(e sm t)) = ϕ(0 g t) = 0 = e i j e sm g t = (e i j g )(e sm t) = ϕ(e i j g )ϕ(e sm t). Se j = s, obtém-se ϕ((e i j g )(e sm t)) = ϕ(e i m g t) = g te i m = e i j e sm g t = (e i j g )(e sm t) = ϕ(e i j g )ϕ(e sm t). Logo M n (K) K G = M n (G). Considerando M n (K) como uma K-graduada, concluímos que o envelope de Grassman de M n (K) é uma subálgebra de M n (G). Agora, definiremos V -superálgebras que é o tema central da dissertação. Definição 2.6 (Superálgebra). Seja V uma variedade homogênea de álgebras. Uma K- álgebra Z 2 -graduada A = A o + A 1 é uma V -superálgebra se o envelope de Grassmann dela está contido em V. Observamos que em geral, A V. Por exemplo, uma Superálgebra de Lie não é uma álgebra de Lie, em geral. A = A 0 +A 1 é uma superálgebra de Lie se, e somente se, satisfaz [a α,[b β,c λ ]] = [[a α,b β ],c λ ] + ( 1) α β [b β,[a α,c λ ]](superidentidade de Jacobi); [x α, y β ] = ( 1) α β [y β, x α ](superanticomutatividade), a α, x α A α, b β, y β A β, c γ A γ α,β,γ Z 2. Observamos que se A é uma superálgebra de Lie, então para todo x 1, x 2 A 1 teremos [x 1, x 2 ] = 1( 1) 1 1 [x 2, x 1 ] = [x 2, x 1 ]. 26

37 Proposição 2.7. Seja A uma K-álgebra (anel). Então o envelope de Grassmann G(A ) é associativo se, e somente se, A é associativa. Demonstração. Sejam a, b, c A e g, h, f G então a g, b h, c f G(A ). Desde que G(A ) é associativo, temos (ab)c g h f = ((ab g h))(c f ) = ((a g )(b h))(c f ) = (a g )((b h)(c f )) = a(bc) g h f. Logo, ((ab)c a(bc) g h f. Tomando g, h, f G tais que g h f 0, obtemos (ab)c a(bc), ou seja, (ab)c = a(bc). Reciprocamente, suponha que A é associativa. Então G(A ) = A 0 G 0 + A 1 G 1 é associativo, pois a álgebra de Grassmann é associativa. Usando Proposição 2.7, podemos concluir que uma superálgebra associativa é, simplesmente, uma K-álgebra associativa Z 2 -graduada, em particular, um superanel associativo R é um anel associativo Z 2 -graduado. Nessa dissertação vamos considerar superálgebras e superanéis associativos. Seja A = A 0 +A 1 uma superálgebra. Então A é uma superálgebra supercomutativa se a α b β = ( 1) αβ b β a α, a α A α, b β A β, α, β Z 2. Diremos neste caso que os elementos de A super-comutam. Observe que no caso em que A 1 = {0}, teríamos a definição de álgebra comutativa. Exemplo 2.8. Seja G = G 0 + G 1 a álgebra de Grassmann, então G é uma superálgebra supercomutativa. Lembramos que { G 0 = span K ei1 e i2k 1 i 1 < < i 2k, k 0 }, { G 1 = span K ei1 e i2k+1 1 i 1 < < i 2k+1, k 0 }, Logo, G α é formado pela combinação de palavras elementos de comprimento par se α = 0; 27

38 ímpar se α = 1. Seja e i1 e i2 e in 1 e in, com n > 1. Como e i e j = e j e i segue que (e i1 e i2 e in 1 e in )e j = (e i1 e i2 e in 1 )(e in e j ) Seja e j1 e j2 e jm 1 e jm, com m > 1. Logo, = (e i1 e i2 e in 1 )( e j e in ) = (e i1 e i2 e in 1 e j )e in = ( (e i1 e i2 e j )(e in 1 e in )). = ( 1) n e j (e i1 e i2 e in 1 e in ). (2.4) (e i1 e i2 e in 1 e in )(e j1 e j2 e jm 1 e jm ) = ((e i1 e i2 e in 1 e in )e j1 )(e j2 e jm 1 e jm ) (2.4) = (( 1)n e j1 (e i1 e i2 e in 1 e in )(e j2 e jm 1 e jm ). = ( 1) nm (e j1 e j2 e jm 1 e jm )(e i1 e i2 e in 1 e in ), obtemos aplicando (2.4) m 1-vezes. Observamos que se n é par então (e i1 e i2 e in 1 e in )(e j1 e j2 e jm 1 e jm ) = (e j1 e j2 e jm 1 e jm )(e i1 e i2 e in 1 e in ). Portanto, G 0 está contido no centro de G. Sejam w = c (i ) e i1 e i2m G 0 e w = G 1. Então #{i }< #{i }< c (i )e i e 1 i, w = c (i 2m )e i e +1 #{i 1 i 2m }< +1 i. w w = ( = = ( #{i }< #{i },#{i }< #{i }< c (i ) e i1 e i2m )( #{i }< c (i )e i e 1 i ) 2m +1 c (i ) c (i )e i1 e i2m e i e 1 i 2m +1 c (i )e i e 1 i )( c (i ) e 2m i1 e i2m ) = w w = ( 1) 0 1 w w. +1 #{i }< 28

39 ii. Segue das observações acima que (e i e 1 i )(e i 2m e +1 1 i ) = e i 2m e +1 1 i e i 2m e +1 1 i. 2m +1 Logo, w w = w w = ( 1) 1 1 w w. Portanto, w α w β = ( 1) αβ w β w α, w α G α, w β G β, α, β Z 2. Exemplo 2.9. A álgebra de matrizes M p,q (D), onde D é uma álgebra associativa de divisão, é uma superálgebra associativa, onde a Z 2 -graduação é definida como segue. Seja (α 1,,α p,α p+1,,α p+q ) Z p+q 2, onde α 1 = = α p e α p α p+s 1 s q. Sabemos que M p,q (D) = β Z2 A β, onde A β é o subespaço gerado por < e i j α j α i = β >. Observamos que deg e i j = α j α i, logo 0, se 1 i, j p ou p + 1 i, j p + q, deg e i j = 1 i p e p + 1 j p + q 1, se ou 1 j p e p + 1 i p + q. 29

40 Portanto, p {}}{ a 1,1 a 1,2 a 1,p 0 0 a 2,1 a 2,2 a 2,p A 0 = a p,1 a p,2 a p,p a p+1,p+1 a p+1,p+q a p+q,p+1 a p+q,p+q }{{} q p q a i,j D, q {}}{ a 1,p+1 a 1,p+q a 2,p+1 a 2,p+q A 1 = a p,p+1 a p,p+q a p+1,1 a p+1,2 a p+1,p a p+q,1 a p+q,2 a p+q,p 0 0 }{{} p p q a i,j D. Escolhendo (α 1,,α q,α q+1,,α q+p ) Z q+p 2, onde α 1 = = α q e α q α q+s 1 s p, obteremos A 0 = ( Mq (D) M q p (0) M p q (0) M p (D) ), A 1 = ( M q (0) M q p (D) M p q (D) M p (0) Essa graduação é conhecida como graduação elementar de M p,q (D). ), onde M p q (0) é a matriz nula. 30

41 2.2 Involuções e Superinvoluções Nesta seção, estudaremo o conceito de superinvolução. Nosso objetivo será definir superinvolução, entretanto, daremos a definição de involução e alguns exemplos. Caso o leitor esteja interessado em aprofundar o conhecimento sobre involução, consulte o livro [14]. Definição Seja A uma K-álgebra. Uma função K-linear : A A é uma involução de A, se satisfaz: 1. a = a; 2. (ab) = b a, para quaisquer a, b A. Exemplo Seja M k (K) a K-álgebra de matrizes k k sobre K. Para uma matriz A = (a i j ) M k (K) seja A t = (a j i ) a matriz transposta. Então = t é uma involução de M k (K), chamada involução transposta. Exemplo A aplicação s : M 2n (K) M 2n (K), definida por ( A B C D )s ( D t = C t B t ), onde A,B,C,D M n (K), é uma involução, chamada de involução simplética. Exemplo Dado uma K-álgebra A denote A op a K-álgebra oposta de A. A álgebra A A op tem uma involução, dada por: : A A op A A op (a,b) (b, a). A t Essa involução chama-se involução de troca. 31

42 Definição 2.14 (Superinvolução). Uma superinvolução de uma superálgebra A = A 0 + A 1 é uma transformação linear de grau zero : A A tal que a = a e (a α b β ) = ( 1) αβ b β a α, a α A α, b β A β, a A, α, β Z 2. No caso em que A é um superanel, uma superinvolução é uma função : A A aditiva graduada de grau zero que satisfaz a = a e (a α b β ) = ( 1) αβ b β a α, a A, a α A α, b β A β, α, β Z. Definição Seja A uma superálgebra (superanel). Considere a nova superálgebra (superanel) A sop com mesma estrutura de espaço vetorial (grupo aditivo) Z 2 -graduado como em A, mas o produto de A sop é dada por x α x β = ( 1) αβ x β x α, x α A α, x β A β, α, β Z 2. sop Chamamos essa superálgebra (superanel) de superálgebra super-oposta ( super-oposto). Logo, para todo x = x 0 + x 1, y = y 0 + y 1 A sop obtemos x sop y = (x 0 + x 1 ) sop (y 0 + y 1 ) = x 0 (y 0 + y 1 ) + x 1 (y 0 + y 1 ) sop sop = x 0 y 0 + x 0 y 1 + x 1 y 0 + x 1 y 1 sop sop sop sop = y 0 x 0 + y 1 x 0 + y 0 x 1 y 1 x 1. Seja B = A A sop a soma direta das superálgebras (superanéis) A e A sop. Isto é uma superálgebra (superanel), onde a graduação do B é dada por B 0 = A 0 A sop 0, B 1 = A 1 A sop 1. Denotamos um elemento arbitrário x do B como um par de elementos de A, isto é, x = (a,b), onde a,b A. O produto em B é dado por (a 0 +a 1,b 0 +b 1 )(a 0 +a 1,b 0+b 1) = (a 0 a 0+a 0 a 1+a 1 a 0+a 1 a 1,b 0b 0 b 1b 1 +b 0b 1 +b 1b 0 ). 32

43 Lema Sejam A sop a superálgebra oposta da superálgebra A e B = A A sop. Então : B B (x, y) (y, x) é uma superinvolução. Demonstração. Não é difícil provar que está bem definida e é uma função linear. Sejam x α B α e x β B β. Então existem a α, b α A α e a β, b β A β, com α, β Z 2 tais que x α = (a α,b α ), x β = (a β,b β ). Portanto, x α = (b α, a α ), x β = (b β, a β ). Logo, x α = (b α, a α ) = (a α,bα) = x α e (x α x β ) = ((a α,b α )(a β,b β )) (2.5) = (a α a β,( 1) αβ b β b α ) = ( 1) αβ (b β b α,( 1) αβ a α a β ) = ( 1) αβ (b β, a β )(b α, a α ) = ( 1) αβ x β x α. O lema acima, continua sendo válido para superanéis. Note que uma superinvolução : A A restrita à A 0 é uma involução. Observamos ainda que dado uma álgebra associativa A, podemos considera-lá como uma superálgebra com graduação trivial, logo uma superinvolução em A é simplesmente uma involução, neste caso. Finalizaremos está seção com o seguinte lema, cuja a demonstração não é difícil. Lema Seja uma involução graduada de uma superálgebra (ou superanel) associativa A. Então a função dada por (a α g α ) = (a α g α), α Z 2, é uma superinvolução no envolvente de Grassmann. 33

44 2.3 Supermódulos A partir de agora, assumiremos que α,γ,δ,β Z 2 e que qualquer equação envolvendo os índices é válido para todas as escolhas possíveis. Vale lembra que uma superálgebra (superanel) é uma álgebra (anel) associativa Z 2 -graduada. Alguns destes resultados, podem ser encontrados nos livros [9] e [12]. Nesta seção, R representará um superanel associativo e D um superanel de divisão associativo. Definição 2.18 (Supermódulo). Um R-supermódulo à direita M é um R-módulo à direita Z 2 -graduado. De maneira semelhante, podemos definir supermódulos à esquerda. Segue que todas as observações feitas para módulo graduado, valem para supermódulo (veja as preliminares). Notemos que R pode ser considerado como um R-supermódulo à direita. Dizemos que um subconjunto N não-vazio de M é um sub-supermódulo de M se N é submódulo graduado de M. Definição Seja R um superanel. Dizemos que um subconjunto não vazio I de R é um superideal à direita, se I é ideal à direita graduado do R. Analogamente, podemos definir superideal à esquerda. Diremos que I é um superideal quando for um superideal à direita e à esquerda, ou seja, um ideal bilateral graduado. Seja M um R-supermódulo à direita. O anulador de um R-supermódulo M, Ann R (M ) = {r R mr = 0, m M }, é um ideal graduado bilateral do R, logo um superideal. Observemos que um superideal I é um sub-supermódulo do R-supermódulo R. Exemplo Considere a álgebra de grupo KZ 2, então KZ 2 é um KZ 2 -supermódulo. Dado um R-supermódulo à direita M, seja End(M ) = End(M R ), o anel dos R- endomorfismos de M. Sabemos que End g r (M ) é um anel associativo Z 2 -graduado, 34

45 logo End g r (M ) é um superanel. Como Z 2 é um grupo finito, segue que End(M ) é um superanel, pois neste caso, End(M ) = End g r (M ). Para as próximas secções, precisaremos da seguinte definição. Definição Um superespaço à direita (ou esquerda) sobre um superanel (superálgebra) associativo de divisão D = D 0 + D 1 é um D-supermódulo à direita (esquerda) V = V 0 V 1. Note que se V é um D-superespaço à direita (esquerda), então toda componente homogênea V β é D 0 -espaço vetorial à direita (esquerda), pois D 0 é um anel de divisão e V β é um D 0 -módulo à direita (esquerda). Para qualquer D-supermódulo à direita (esquerda) V e qualquer γ Z 2, definimos V (γ) = V γ+α, α Z2 isto é, V (γ) é o D-supermódulo V com componentes homogêneas dada por V (γ) α = V γ+α. Quando, V é um D-supermódulo finitamente gerado, temos que Hom D (V (γ),v (δ)) = End D (V )(γ δ), γ, δ Z 2, veja o lema [[12], Proposition 2.8]. Exemplo Sejam n um número inteiro positivo e (δ 1,,δ n ) Z n 2. Seja T = M n (D)(δ 1,,δ n ) o anel de matrizes n n com entradas no superanel (superálgebra) D, D D(δ 1 δ 2 ) D(δ 1 δ n ) D(δ 2 δ 1 ) D D(δ 2 δ n ) M n (D)(δ 1,,δ n ) = D(δ n δ 1 ) D(δ n δ 1 ) D. Com a seguinte graduação. Para qualquer γ Z 2 a componente de grau γ é D γ D γ+δ1 δ 2 D γ+δ1 δ n D γ+δ2 δ 1 D γ D γ+δ2 δ n T γ = D γ+δn δ 1 D γ+δn δ 2 D γ 35

46 Uma vez que D = D(δ) γ, temos T = T γ. Além disso, se A = (a i j ) T γ e B = (b i j ) γ Z2 γ Z2 T α, então cada a ìj D γ+δi δ j e b j k D α+δj δ k, assim a ìj b j k D γ+δi +α δ k =D(δ i δ k ) γ+α. Logo, AB T γ+α, A T γ, B T α e, portanto, T é um superanel. Proposição Sejam D um superanel (superálgebra) associativo de divisão, V um superespaço à direita sobre D e E = End D (V ). Se V é finitamente gerado então para todo (δ 1,,δ n ) Z n 2, End D (V (δ 1 ) V (δ n )) = M n (E)(δ 1,,δ n ), é um isomorfismo de superanéis. Demonstração. Em primeiro lugar, observemos que V = V (δ i ) como espaços vetoriais, n a graduação é diferente, para todo 1 i n. Denotemos V (δ 1 ) V (δ n ) := V (δ i ), ( Hom D V (δ1 ),V (δ 1 ) ) ( Hom D V (δ2 ),V (δ 1 ) ) ( Hom D V (δn ),V (δ 1 ) ) ( Hom D V (δ1 ),V (δ 2 ) ) ( Hom D V (δ2 ),V (δ 2 ) ) ( Hom D V (δn ),V (δ 2 ) ) H = ( Hom D V (δ1 ),V (δ n ) ) ( Hom D V (δ2 ),V (δ n ) ) ( Hom D V (δn ),V (δ n ) ) e definimos os D-homomorfismos seguintes: n n e i : V (δ i ) V (δ i )... π j : V (δ i ) V (δ j ) i=1 v (0,,0, v,0,,0)... e v = (v 1,, v j 1, v j, v j +1,, v n ) v j. i-ésima posição n n Note-se que π i e j é a aplicação identidade de V (δ i ), porque i=1 i=1 n n (v 1,, v n )( π i e i ) = (0,,0, v i,0,,0). (2.6) i=1 i=1 i=1 i=1 Além disso, e i π j = { i dv (δi ), se i = j 0, se i j, porque v V (δ i ) (v)(e i π j ) = (0,,0, v i,0,,0)π j = { v, se i = j 0, se i j. (2.7) 36

47 Definimos a função ϕ : End D (V (δ 1 ) V (δ n )) H......f ϕ(f ) = (e i f π j ) i,j, ( n isto é, dado um homomorfismo f End D V (δ i ) ) definimos f i,j = e i f π j (que são D-homomorfismos de Hom D (V (δ i ),V (δ j )) e construímos a matriz n n de homomorfismos de V (δ i n ), i=1 i=1 f 1,1 f 1,2 f 1,n f 2,1 f 2,2 f 2,n f n,1 f n,2 f n,n Facilmente, vê-se que ϕ é um homomorfismo de superanéis, f, g End D (. n V (δ i )) ϕ(f + g ) = (e i (f + g ) π j ) i,j = ((e i f + e i g )π j ) i,j = (e i f π j + e i g π j ) i,j = (e i f π j ) i,j + (e i g π j ) i,j = ϕ(f ) + ϕ(g ). ϕ(f )ϕ(g ) = (e i f π j ) i,j (e i g π j ) i,j = ( i=1 n (e i f π k ) (e k g π j )) i,j = ((e i f k=1 n (π k e k ) (g π j )) i,j = ((e i (f g ) π j )) i,j = ϕ(f g ). k=1 ϕ(i d n i=1 V (δ i )) = (e i i d n i=1 V (δ i ) π j ) i,j = (e i π j ) i,j = i d Mn (E). Por outro lado, definimos a aplicação ψ : H End D ( n V (δ i ))... i=1...(f i,j ) i,j ψ((f i,j ) i,j ) = n i,j =1 π i f i,j e j que está bem definida, porque a composição e soma de homomorfismos é um homomorfismo. 37