VIII MARATONA DE PROGRAMAÇÃO UERJ 06/12/2014. Este caderno contém 12 páginas com a descrição de 11 problemas 1 definidos a seguir:

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1 VIII MARATONA DE PROGRAMAÇÃO UERJ 06/1/01 Este caderno contém 1 páginas com a descrição de 11 problemas 1 definidos a seguir: A - DNA B Pesagem C Vírus D - Rede sob ataque! E Somando F Subtraindo G Quadratura do retângulo H Vetores I Burlando a Balança J - Parênteses e mais parênteses. K - Homem Primata 1. Resolva os problemas conforme orientação anterior.. Não usar nenhum recurso eletrônico extra (pen-drives, tablet, celular). Não utilizar Internet.. Permitida a consulta a qualquer material escrito. 5. Tenha muita atenção e calma. Boa sorte. 1 Autoria de Paulo Eustáquio Duarte Pinto e Fabiano de Souza Oliveira. 1

2 Problema A DNA A Biologia computacional trabalha com a representação do DNA em cadeias de genes e estuda transformações genéticas que podem ter ocorrido, ao longo dos séculos, nessas cadeias. Em alguns processamentos os genes são identificados com os números 1 a n e as cadeias podem ter sofrido transformações que embaralharam esses genes. Dada uma cadeia contendo n números você deve fazer um programa para indicar se os n genes iniciais, numerados de 1 a n, estão presentes na cadeia. Haverá vários casos de teste. A primeira linha da entrada é um inteiro t (1 t 10000) que indica quantos serão os casos de teste. A seguir são descritos t testes. Cada teste consiste de duas linhas de entrada. Na primeira linha existe um inteiro n (1 n 100), que indica o número de genes na cadeia. Na segunda linha existem n inteiros positivos quaisquer indicando o número do gene na cadeia. Para cada caso de teste imprima 'S' se a cadeia continua com os n genes iniciais ou 'N', caso contrário para o exemplo de entrada S N

3 Problema B Pesagem As balanças de dois pratos ainda são encontradas em feiras, em laboratórios especiais e em museus. Em um dos pratos coloca-se o objeto a ser pesado e, no outro os pesos até equilibrar a balança. Somam-se os pesos e obtém-se o peso do objeto. Mas também podem ser colocados alguns pesos junto com o objeto a ser pesado e, nesse caso, tem-se que subtrair esses pesos da soma dos pesos do lado oposto. Por exemplo, um objeto de peso 15 pode ser pesado colocando-se do outro lado da balança os pesos 8,,, 1, pois 15 = Mas também pode ser pesado colocando-se o peso 16 do lado oposto e o peso 1 junto com o objeto pois 15 = Neste problema, os pesos são todos as potências de e somente há um peso de cada valor. Você deve descobrir o esquema que pesa dado objeto de peso inteiro, usando o menor número de pesos do tipo descrito. A primeira linha da entrada é um inteiro t (1 t 10000) que indica quantos serão os casos de teste. Cada teste consiste de uma linha contendo um inteiro n (1 n 08). Para cada caso de teste imprima o número mínimo de pesos necessários para pesar o objeto dado para o exemplo de entrada 1

4 Problema C Vírus Estamos em um país da África, onde um vírus perigosíssimo acaba de chegar em uma grande cidade. O país vai ter que tomar medidas extremas para que ele não se propague. A única saída será bloquear estradas que chegam nas cidades infectadas. Mas o país só tem dinheiro para bloquear um único trecho de estrada. A Vigilância Sanitária quer descobrir se existe um trecho de estrada que, quando bloqueado, separa o resto do país da área infectada. Você vai ajudar, fazendo um programa para identificar se existe um tal trecho e indicar qual o número máximo de cidades que podem ser isoladas do vírus. Observe que pode haver mais de um trecho de estrada entre duas cidades. Haverá vários casos de teste. A primeira linha da entrada é um inteiro t (1 t 10000) que indica quantos serão os casos de teste. A seguir são descritos t testes. Cada teste é descrito em várias linhas. A primeira contém inteiros: n (1 n 1000), o número de cidades do país, m (n-1 m 10000), o número de interligações entre as cidades e c (1 c n), o número da cidade infectada. A seguir vêm m linhas com inteiros indicando todos os pares de cidades interligadas. Para cada caso de teste imprima o número máximo de cidades que podem ser isoladas com o bloqueio de um trecho de estrada. Se não houver um trecho com as características procuradas, responda para o exemplo de entrada 0

5 Problema D Rede sob ataque! Ataques a servidores importantes numa rede de computadores constituem uma ameaça constante. As formas de ataque são muitas e, quando uma equipe de Segurança da Informação detecta um servidor comprometido, desliga-o imediatamente para evitar perda de informações sigilosas e que uma possível infecção se alastre. A grande desvantagem desta abordagem é que os servidores são utilizados como pontes (gateways) para troca de mensagens entre os outros servidores. Assim, quando um servidor sai do ar, ele deixa de ser um possível intermediário na comunicação entre dois outros servidores. Quando todos os caminhos de um servidor A a outro B possuem como servidor intermediário um certo nó C, dizemos que C é um ponto de vulnerabilidade da rede. Sua missão é escrever um programa que ajude no estudo de uma rede, detectando seus pontos de vulnerabilidade. A intenção é usar este estudo como base para uma avaliação de quão robusta é uma rede (quanto menos pontos de vulnerabilidade, mais robusta é considerada a rede).. Haverá vários casos de teste. A primeira linha da entrada é um inteiro t (1 t 1000) que indica quantos serão os casos de teste. A seguir são descritos t testes. Cada teste é descrito em várias linhas. A primeira contém inteiros: n (1 n 1000) representando o número de servidores na rede, e m (n-1 m ), o número de interligações entre pares de servidores por onde uma mensagem pode transitar, Em seguida, há m linhas com inteiros indicando todos os pares de servidores interligadas. Para cada caso de teste imprima o número de pontos de vulnerabilidades encontrados Exemplo de saída

6 Problema E Somando Um problema clássico é o de determinar todos os subconjuntos cuja soma é determinado valor, dado um conjunto de inteiros positivos. Agora você tem que calcular algo mais simples. Dado um conjunto de n numeros inteiros e um valor s, você deve apenas calcular quantos subconjuntos têm a soma de seus elementos igual ou superior a s. Haverá vários casos de teste. A primeira linha da entrada é um inteiro t (1 t 1000) que indica quantos serão os casos de teste. A seguir são descritos t testes. Cada teste é descrito em duas linhas. A primeira contém dois inteiros n (1 n 100), o número de elementos do conjunto e s (1 s 100), o valor mínimo que a soma dos elementos dos subconjuntos procurados deve ter. Na segunda linha vêm n inteiros ordenados de forma não decrescente, todos entre 1 e Para cada caso de teste imprima o número de subconjuntos cuja soma é igual ou superior a s para o exemplo de entrada

7 Problema F Subtraindo Cinco amigos de várias idades se encontram para almoçar e começam a especular qual seria a maior diferença de idade entre dois amigos no grupo. Você é um dos amigos e pode calcular isso, pois quem disser mais rápido esse valor não pagará a conta do restaurante. Faça rápido um programa para obter o resultado. Haverá vários casos de teste. A primeira linha da entrada é um inteiro t (1 t 10000) que indica quantos serão os casos de teste. A seguir são descritos t testes. Cada teste é descrito em uma linha com 5 inteiros, as idades dos amigos. Para cada caso de teste imprima a diferença máxima de idade entre dois amigos do grupo. EXEMPLO DE ENTRADA EXEMPLO DE SAÍDA

8 Problema G Quadratura do retângulo a+b a b No século XX muitos matemáticos trataram da decomposição de retângulos e quadrados em quadrados distintos e, surpreendentemente, a solução para esse problema encontra aplicações em circuitos elétricos. Neste problema, você vai trabalhar com uma partição em quadrados especial definida na figura acima. Em tal partição, o menor quadrado tem lado a (número inteiro), o segundo menor tem lado b (número inteiro) e os lados dos demais quadrados podem ser inferidos a partir da soma dos lados de algum subconjunto de quadrados menores, conforme a figura. Você vai fazer um programa no qual, dados a e b, deve-se calcular o perímetro do retângulo correspondente, caso seja possível construí-lo, Haverá vários casos de teste. A primeira linha da entrada é um inteiro t (1 t 10000) que indica quantos serão os casos de teste. A seguir são descritos testes. Cada teste é descrito em uma linha, contendo dois inteiros a e b, representados em bits, indicando, respectivamente, o lado do menor e do segundo menor quadrados da partição. Para cada caso de teste imprima um valor inteiro representando o perímetro do retângulo, se ele puder ser construído ou 0, caso contrário para o exemplo de entrada

9 Problema H Vetores Vetores são ferramentas matemáticas muito úteis e tornam muitos cálculos bem fáceis. Vetores de duas dimensões podem ser desenhados no plano. Para desenhar o vetor (, ) toma-se o retângulo de dimensões x e o vetor é a diagonal desse retângulo que começa na posição (0, 0) e termia na posição (, ). Vetores podem ser justapostos deslocando-se o começo de um deles para o final do outro. Dessa forma, podemos ter uma área compreendida pelos vetores justapostos e o eixo x. A figura mostra a justaposição de três vetores: (, ), (, 0), (8, ), gerando uma área de = 70. Observe que se tivéssemos trocado a ordem da justaposição dos dois últimos vetores, teríamos obtido uma área de 6+8+=86. Neste problema você vai receber uma série de vetores e determinar qual a maior área que pode ser formada pela justaposição dos mesmos. Haverá vários casos de teste. A primeira linha da entrada é um inteiro t (1 t 10000) que indica quantos serão os casos de teste. A seguir são descritos t testes. Cada teste é descrito em duas linhas. Na primeira vem o número n de vetores (1 n 1000). Na segunda linha vêm n pares de inteiros positivos, representando as dimensões x e y de cada vetor. Essas dimensões variam de 0 a Para cada caso imprimir uma linha contendo um valor real, com uma decimal, indicando a área máxima que pode ser conseguida justapondo-se convenientemente os vetores. Exemplo de Exemplo de

10 Problema I Burlando a Balança Algumas crianças de uma escola descobriram que se pesassem em uma máquina de pesagem aos pares, e depois trocassem de lugares - um de cada vez, poderiam obter o peso correto de todos, pagando apenas uma vez. O grupo tinha 5 crianças e eles obtiveram as seguintes pesagens: 101, 10, 10, 10, 10, 10, 105, 105, 106, 107. Os pesos de cada um eram 50, 51, 5, 5, 5. Como pesar dessa forma e achar o peso de cada criança separadamente? Dada um valor n e as pesagens de todos os pares de crianças do grupo, determinar o pesos de cada criança, sabendo-se que esse peso varia entre 0 e 70. Haverá vários casos de teste. A primeira linha da entrada é um inteiro t (1 t 10000) que indica quantos serão os casos de teste. A seguir são descritos t testes. Cada teste contém duas linhas. A primeira linha contém o número n de crianças ( n 100). Na segunda linha vêm n(n-1)/ inteiros ordenados, representando os pesos de todos os pares distintos de crianças. Cada valor varia entre 80 e 10. Para cada caso de teste imprima, ordenadamente, os pesos de cada uma das n crianças para o exemplo de entrada

11 Problema J Parênteses e mais parênteses... Em Matemática, a avaliação de expressões envolvendo múltiplos operadores requer a definição da precedência de aplicação de tais operadores. Por exemplo, é definido o padrão de que numa expressão algébrica, multiplicações e divisões vêm antes de adições e subtrações, de modo que + x 5 é igual a. Mas quando a precedência dos operadores deve ser outra daquela definida por convenção, o uso dos parênteses se torna necessário, de modo que ( + ) x 5 resulta em 5. Embora a ordem de precedência de operadores de qualquer expressão possa ser totalmente definida por parênteses, é comum utilizar outros tipos de parênteses para facilitar a leitura, como as chaves e os colchetes. O problema da avaliação da expressão parentizada bem formada é aquele de decidir se, dada uma expressão parentizada, se a todo parêntese aberto de um determinado tipo correspondente unicamente um parêntese fechado de mesmo tipo (e viceversa) e que a sub-expressão entre tal par de abre-e-fecha parênteses é uma expressão parentizada bem formada. Neste problema, você deve verificar se uma expressão parentizada, que pode envolver um número arbitrário de tipos de parênteses, está bem formada. Por simplicidade, apenas os parênteses são informados na expressão, omitindo-se quaisquer outros elementos. Uma expressão parentizada é dada por uma sequência de duplas X Y, onde X denota se corresponde a um abre-parêntese (quando X = A), ou a um fecha-parêntese (quando X = F) e o tipo do parêntese sendo aberto ou fechado é dado por um valor numérico, valor de Y. Assim, a dupla A significa que um parêntese do tipo está sendo aberto na expressão, enquanto a dupla F representa que um parêntese do tipo está sendo fechado na expressão. Seu trabalho é escrever um programa que determine se expressões que só possuam parênteses, e codificados como acima, são bem formadas ou não. Haverá vários casos de teste. A primeira linha da entrada é um inteiro t (1 t 00) que indica quantos serão os casos de teste. A seguir são descritos t testes. Cada teste é descrito em duas linhas. A primeira inicia um inteiro n (1 n ) representando o número de parênteses contidos na expressão. Na segunda linha, há n duplas X Y separadas por espaço, onde X é igual a A (abertura) ou F (fechamento) e Y (1 n ) representa o tipo de parêntese sendo aberto ou fechado. Para cada caso de teste, imprima S se a expressão parentizada é bem-formada ou N no caso contrário. A 1 A F F 1 A 1 A F 1 F 16 A 1 A A F A A F A F F A 1 F 1 F A F F 1 16 A 1 A A F A A F A F F A 1 F 1 F A F 1 F Exemplo de saída S N S N 11

12 Problema K Homem Primata A Teoria Evolucionista consiste da hipótese de que as diversas espécimes de vida, caracterizadas pela sua estrutura de DNA, foram geradas a partir de mutações de estruturas de DNA de outras formas de vida com o passar do tempo. Os seres mutantes que eram adaptados às condições de vida sobreviveram e se reproduziram, estabelecendo, assim, uma nova espécime de seres vivos. Um grupo de cientistas evolucionistas de um reconhecido centro de pesquisas conjecturam que a probabilidade de uma espécime A derivar diretamente de uma espécime B possui relação com o número mínimo necessário de mutações para se transformar uma cadeia de DNA de A numa daquela de B. Quanto menor tal número, mais chances há de uma derivação direta. Você foi contratado por este centro de pesquisas para auxiliá-los neste projeto. Os quatro subtipos de nucleotídeos são simbolizados por T, A, G e C. Uma cadeia de DNA é caracterizada, de forma simplificada, por uma sequência de nucleotídeos. Uma mutação em uma cadeia de DNA consiste de um dentre os seguintes acontecimentos: (i) a aparição de um nucleotídeo em uma posição arbitrária da cadeia; (ii) a mudança de um nucleotídeo numa posição arbitrária da cadeia por outro; ou (iii) o desaparecimento de um nucleotídeo numa posição arbitrária da cadeia. Sua tarefa é escrever um programa de computador para determinar, dadas duas cadeias de DNAs A e B, o número mínimo de mutações para que A se transforme em B. Haverá vários casos de teste. A primeira linha da entrada é um inteiro t (1 t 1000) que indica quantos serão os casos de teste. A seguir são descritos t testes. Cada teste é descrito em duas linhas. Cada linha contém um string representando uma das cadeias de DNA. Cada cadeia tem de 1 a 1000 nucleotídeos. Para cada caso de teste, imprima o número de mínimo de mutações para se transformar a primeira cadeia na segunda.. CTC ATCG ACTG AAG para o exemplo de entrada 1