GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos

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1 Universidade Federal do Paraná Programa de Pós-Graduação em Geologia GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos Saulo P. Oliveira Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná

2 Aula 14 Derivada via FFT (continuação) GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 1/6

3 Cálculo da derivada via FFT d dx = T 1 (i2πκ ˆ) = T 1 (i2πκt ()) Passos do cálculo: >> k = (-N/2+1):(N/2); >> kappa = (k - 1)/(b-a); >> F = dx*t(); >> F = tshit(f); >> F = exp(-i*2*pi*a*kappa).*f; >> df = I*(2*pi)*kappa.*F; >> df = exp(i*2*pi*a*kappa).*df; >> df = itshit(df); >> d = (1/dx)*it(dF); GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 2/6

4 Cálculo da derivada via FFT d dx = T 1 (i2πκ ˆ) = T 1 (i2πκt ()) Passos do cálculo: >> k = (-N/2+1):(N/2); >> kappa = (k - 1)/(b-a); >> F = dx*t(); >> F = tshit(f); >> F = exp(-i*2*pi*a*kappa).*f; >> df = I*(2*pi)*kappa.*F; >> df = exp(i*2*pi*a*kappa).*df; >> df = itshit(df); >> d = (1/dx)*it(dF); OBS: compare tshit(tshit(1:11)) com itshit(tshit(1:11)) GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 2/6

5 Cálculo da derivada via FFT Correção nas bordas: buscamos uma extensão de (x) da orma F (x) = ( A + Bx + Cx 2) e Dx GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 3/6

6 Cálculo da derivada via FFT Correção nas bordas: buscamos uma extensão de (x) da orma F (x) = ( A + Bx + Cx 2) e Dx Escolhemos o parâmetro D para decaimento/crescimento em x = 0 GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 3/6

7 Cálculo da derivada via FFT Correção nas bordas: buscamos uma extensão de (x) da orma F (x) = ( A + Bx + Cx 2) e Dx Escolhemos o parâmetro D para decaimento/crescimento em x = 0 Escolhemos A, B, C tais que F (0) = (0), df d (0) = dx dx (0), d 2 F dx 2 (0) = d2 dx 2 (0) GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 3/6

8 Cálculo da derivada via FFT Correção nas bordas: buscamos uma extensão de (x) da orma F (x) = ( A + Bx + Cx 2) e Dx Escolhemos o parâmetro D para decaimento/crescimento em x = 0 Escolhemos A, B, C tais que F (0) = (0), df d (0) = dx dx (0), d 2 F dx 2 (0) = d2 dx 2 (0) Resultado: A = (0), B = d dx (0) AD, C = d2 (0) 2BD AD2 dx2 GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 3/6

9 Cálculo da derivada via FFT Correção nas bordas: buscamos uma extensão de (x) da orma F (x) = ( A + Bx + Cx 2) e Dx Escolhemos o parâmetro D para decaimento/crescimento em x = 0 Escolhemos A, B, C tais que F (0) = (0), df d (0) = dx dx (0), d 2 F dx 2 (0) = d2 dx 2 (0) Resultado: A = (0), B = d dx (0) AD, C = d2 (0) 2BD AD2 dx2 Em geral: F (x) = ( A + B(x x) + C(x x) 2) e D(x x), A = ( x), B = d ( x) AD, dx C = d2 ( x) 2BD AD2 dx2 GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 3/6

10 Vimos que y2 GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 4/6

11 Vimos que y2 Transormada de Fourier 2D: T () = ˆ(κ x, κ y ) = (x)e i2πκxx e i2πκyy dxdy GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 4/6

12 Vimos que y2 Transormada de Fourier 2D: T () = ˆ(κ x, κ y ) = (x)e i2π(κxx+κyy) dxdy GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 4/6

13 Vimos que y2 Transormada de Fourier 2D: T () = ˆ(κ x, κ y ) = Transormadas das derivadas parciais: ( ) T = (i2πκ x )T (), T x (x)e i2π(κxx+κyy) dxdy ( ) = (i2πκ y )T () y GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 4/6

14 Vimos que y2 Transormada de Fourier 2D: T () = ˆ(κ x, κ y ) = Transormadas das derivadas parciais: T x 2 = (i2πκ x ) 2 T (), T (x)e i2π(κxx+κyy) dxdy y 2 = (i2πκ y ) 2 T () GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 4/6

15 Vimos que y2 Transormada de Fourier 2D: T () = ˆ(κ x, κ y ) = Transormadas das derivadas parciais: T x 2 = (i2πκ x ) 2 T (), T OBS: κ = (κ x, κ y ) é o vetor de onda (x)e i2π(κxx+κyy) dxdy y 2 = (i2πκ y ) 2 T () ( ) κ = κ 2 x + κ 2 y GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 4/6

16 y2 No domínio de Fourier, T z 2 = T ( ) 2 x 2 2 y 2 GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 5/6

17 y2 No domínio de Fourier, T z 2 = T x 2 T y 2 GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 5/6

18 y2 No domínio de Fourier, T z 2 = (i2πκ x ) 2 T () (i2πκ y ) 2 T () GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 5/6

19 y2 No domínio de Fourier, T z 2 = (i) 2 (2πκ x ) 2 T () (i) 2 (2πκ y ) 2 T () GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 5/6

20 y2 No domínio de Fourier, T z 2 = (2πκ x ) 2 T () + (2πκ y ) 2 T () = (2π κ ) 2 T () GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 5/6

21 y2 No domínio de Fourier, T z 2 = (2πκ x ) 2 T () + (2πκ y ) 2 T () = (2π κ ) 2 T () Segundo Blakely (p. 326), ( ) T = 2π κ T (), κ = z κ 2 x + κ 2 y GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 5/6

22 y2 No domínio de Fourier, T z 2 = (2πκ x ) 2 T () + (2πκ y ) 2 T () = (2π κ ) 2 T () Segundo Blakely (p. 326), ( ) T = 2π κ T (), κ = z κ 2 x + κ 2 y Usando a transormada inversa, z = T 1( ) 2π κ T (). GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 5/6

23 Em 1D, ( ) z = T 1 2π κ T (). Exemplo: anomalia gerada por um dique ininito [ ( (x, z) = A cos Q tan 1 x + a tan 1 x a ) + sin Q 12 h h ln (x a)2 + h 2 ] (x + a) 2 + h 2 A: amplitude Q: ângulo eetivo a: meia-largura h: proundidade GEOL7048: Tópicos Especiais em Geologia Exploratória II Métodos semiquantitativos 6/6