Apresentação do Curso. 10 ÚLTIMAS PROVAS DE MATEMÁTICA DA EEAR Prof. Arthur Lima e Hugo Lima

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1 Apresentação do Curso 10 ÚLTIMAS PROVAS DE MATEMÁTICA DA EEAR Prof. Arthur Lima e Hugo Lima

2 Sumário SUMÁRIO...2 APRESENTAÇÃO DO CURSO... 3 ESCOLA DE ESPECIALISTAS DA AERONÁUTICA LISTA DE QUESTÕES GABARITO de 29

3 Apresentação do Curso Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima. Neste breve encontro pretendo apresentar a proposta do curso 10 ÚLTIMAS PROVAS DE MATEMÁTICA DA EEAR. Antes, porém, vou me apresentar brevemente para aqueles que não me conhecem ainda. Sou professor de cursos preparatórios para concursos há mais de 7 anos, sempre atuando nas disciplinas de exatas: Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística. Esta também é a minha área de formação: sou Engenheiro Aeronáutico pelo ITA. Sempre gostei muito de exatas e, felizmente, eu tenho bastante facilidade nesta área. Sei que ESTA NÃO É A REALIDADE da maioria dos meus alunos, e tomo todos os cuidados para apresentar a matemática da maneira mais compreensível possível. Gosto sempre de me direcionar àqueles alunos que tem mais dificuldade na disciplina, que tem um verdadeiro trauma com as ciências exatas. Ah, eu também já fui concurseiro! Fui aprovado nos concursos da Receita Federal para os cargos de Auditor- Fiscal e Analista-Tributário, tendo exercido o cargo de Auditor por 6 anos. Hoje, felizmente, posso me dedicar integralmente a vocês, fazendo o que tanto amo: LECIONAR. Este curso será produzido por mim em conjunto com o prof. Hugo Lima, veja a apresentação dele abaixo: Olá! Meu nome é Hugo Lima e sou Engenheiro Mecânico-Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Trabalhei por 5 anos e meio na Força Aérea Brasileira, como oficial engenheiro, sendo que, no período final, tive que conciliar o trabalho com o estudo para o concurso da Receita Federal. Fui aprovado para o cargo de Auditor-Fiscal em 2012, cargo que exerço atualmente. Trabalho com concursos públicos desde 2014 sempre com as matérias de exatas! Mas, afinal de contas, o que pretendemos levar a você neste curso de questões de Matemática da Escola de Especialistas da Aeronáutica? Como o próprio nome do curso diz, o nosso objetivo é resolvermos as últimas 10 provas de Matemática da EEAR com o objetivo de praticar adequadamente todos os temas que mais caem. É importante deixar claro que este curso NÃO TEM por objetivo rever a teoria de todos os assuntos de matemática. Este curso foi elaborado especialmente para você que está com o tempo muito escasso de agora até a data da prova, e precisa focar naquilo que tem maior probabilidade de ser cobrado. Para isso, nada melhor que resolver muitas questões de prova! Veja a seguir o cronograma deste nosso curso: Número da aula Data de disponibilização Assunto da aula 00 6-fev Prova resolvida fev Prova resolvida 3 de 29

4 02 26-fev Prova resolvida 03 6-mar Prova resolvida mar Prova resolvida mar Prova resolvida 06 6-abr Prova resolvida abr Prova resolvida abr Prova 2014 resolvida 09 6-mai Prova resolvida Vale lembrar que, como em todos os nossos cursos no DIREÇÃO CONCURSOS, você poderá baixar todas as aulas em PDF para o seu computador, tablet, celular etc. Desta forma você pode estudar onde, quando e como quiser! Espero que você goste deste curso, e que ele seja bastante útil na sua preparação! Vou ficar na torcida para que, assim como vários dos meus ex-alunos nestes 7 anos como professor, você seja aprovado e venha me contar a sua história de sucesso! Vamos já resolver a última prova da EEAR! Saudações, Prof. Arthur Lima 4 de 29

5 Escola de Especialistas da Aeronáutica EEAR ) Dentre as 7 notas musicais, dois músicos escolherão, individualmente, uma nota. A probabilidade de que eles escolham notas iguais é a) 1/7 b) 2/7 c) 1/49 d) 2/49 Temos dois músicos A e B. Sendo que as notas musicais são pertencentes ao conjunto {n 1, n 2, n 3, n 4, n 5, n 6, n 7}. A título de exemplo, a probabilidade do músico A escolher a nota n 1 vale 1. O mesmo equivale também para o 7 músico B, isto é, a probabilidade do músico B escolher a nota n 1 vale 1 7. Assim, a probabilidade dos músicos A e B escolherem a nota n 1 vale: 1 7 x 1 7 = 1 49 Repare que isto vale para apenas uma das notas, o que significa que para qualquer das setes notas, a probabilidade dos músicos A e B escolherem nota iguais vale: Resposta: A 7 x 1 49 = 7 49 = EEAR ) O 6º termo da sequência 2, 8, 32, 128,... é um número cuja soma dos algarismos é a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 Repare que os termos da sequência apresentada são todos potência de 2. Ou seja: 1º termo: 2 1 2º termo: 2 3 3º termo: 2 5 4º termo: de 29

6 ... Note que os expoentes estão progredindo conforme uma P.A. De modo que as duas próximas potências têm-se 5º termo e 6º termo como sendo 2 9 e Assim, o 6º termo vale 2 11 =2048. Portanto, a soma dos algarismos deste número vale ( ) = 14 unidades. Resposta: C 3. EEAR ) a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 Um cilindro equilátero tem 196 cm2 de área lateral. O raio da base desse cilindro mede cm. Um cilindro equilátero tem diâmetro (2.R) igual à altura (2.R). Onde R é a medida do raio. Repare ainda que a área lateral corresponde á área retangular que é o produto da área da base pela altura, ou seja: A LATERAL= (2.π.R).(2.R) 196 = (2.π.R).(2.R) 196 = 4.R 2 R 2 = 49 R = 7 cm Resposta: C 6 de 29

7 4. EEAR ) Considere uma roda de 20 cm de raio que gira, completamente e sem interrupção, 20 vezes no solo. Assim, a distância que ela percorre é m. a) 100 b) 80 c) 10 d) 8 Note que uma volta completa em torno do ponto P vale: 2.π.R = 2.π.20 cm = 40.π.cm Logo, vinte voltas completas em torno do ponto P vale: 20 x 40.π.cm = 800.π.cm Uma vez que 100 cm equivale a 1 m, então: 800.π.cm = 8.π.m Resposta: D 5. EEAR ) Um maestro escolherá 5 músicas distintas, dentre as 10 que dispõe, e montará uma apresentação. Para a escolha das músicas e da ordem que elas serão tocadas, o maestro possui um número de possibilidades cujo algarismo das unidades é a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 7 de 29

8 Repare que a ordem das escolhas das músicas é irrelevante. Com isso, podemos aplicar a combinação simples para encontrar o total de possibilidades, isto é: C (10, 5) = C (10, 5) = 10! 5! x 5! 10 x 9 x 8 x 7 x 6 C (10, 5) = 6 x 7 x 6 C (10, 5) = 252 Resposta: B EEAR ) O complemento do suplemento do ângulo de 112 mede a) 18 b) 28 c) 12 d) 22 Temos o seguinte raciocínio: O complemento do suplemento do ângulo de 112 = O complemento de ( ) = O complemento de 68 = (90º - 68º) = 22 Resposta: D 7. EEAR ) Os pontos B, C e D dividem o segmento AE em 4 partes iguais, conforme a figura. Se A(2, 7) e E(6, 1), então a abscissa de B é a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 Em relação à abcissa, podemos observar que: 8 de 29

9 Do ponto A até o ponto E, temos uma variação de (6-2) unidades = 4 unidades. Uma vez que as 4 divisões são iguais, então cada segmento de reta produz um avanço de 4 unidades/4 = 1 unidade no deslocamento de um ponto para outro. Assim, x B = x A + 1 x B = x B = 3. Resposta: D 8. EEAR ) O triângulo ABC está inscrito na circunferência. Se BC = 8, a medida do raio é a) 4 2 b) 2 2 c) 4 d) 2 Usando a lei dos senos, teremos: BC Sen(45 ) = 2.R = 2.R 16 2 = 2.R 8 2 = R = R 9 de 29

10 4. 2 = R R = 4 2 Resposta: A 9. EEAR ) Considere o conjunto de valores x, 90, 72, 58, 85, 55. Se 58 < x < 72 e a mediana desse conjunto é 66, então x é a) 59 b) 60 c) 65 d) 68 Dispondo os valores em ordem crescente, sem o valor x, teremos: 55, 58, 72, 85, 90 Repare que 58 < x < 72, o que significa que x é o terceiro termo, ou seja: 55, 58, x, 72, 85, 90 Note que temos exatamente 6 termos. Uma vez que a quantidade de termos é par, então a mediada corresponde à média aritmética dos termos centrais, ou seja: Resposta: B Mediana = 3º termo+4º termo 2 66 = x = x + 72 x = x = EEAR ) Hoje, o dobro da idade de Beatriz é a metade da idade de Amanda. Daqui a 2 anos, a idade de Amanda será o dobro da idade de Beatriz. A idade de Beatriz hoje é ano(s). a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 10 de 29

11 Supondo que Beatriz tenha B anos e Amanda tenha A anos. O que ocorre é que: Hoje, o dobro da idade de Beatriz é a metade da idade de Amanda. Ou seja: 2.B = A 2 (I): A = 4.B Daqui a 2 anos, a idade de Amanda será o dobro da idade de Beatriz. Note que daqui a 2 anos, Amanda terá (A + 2) anos, enquanto que a Beatriz terá (B + 2) anos. Neste futuro próximo, teremos a relação: A + 2 = 2.(B + 2) A + 2 = 2.B + 4 (II): A = 2.B + 2 Substituindo (I) em (II), teremos: A = 2.B B = 2.B B - 2.B = 2 2.B = 2 B = 1 Assim, a idade de Beatriz hoje é 1 ano, já Amanda é 4 anos. Resposta: A 11.EEAR ) Uma esfera E foi dividida em 3 partes: A, B e C, como mostra o desenho. Se os volumes dessas partes são tais que: V(A) = V(B) = V(C) 2 e V(C) = 486 cm3, então o raio da esfera é cm. a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 O volume da esfera é dado por: V esfera = 4.π.R de 29

12 V(A) + V(B) + V(C) = 4.π.R3 3 V(C) 2 + V(C) + 2.V(C) V(C) 2 = 4.π.R3 3 V(C) 2 = π.r π 2 = π.r = R = R = R = R 3 R = = 3 2 R = 9 = 4.π.R3 3 Resposta: B 12. EEAR ) Se A(x, y) pertence ao conjunto dos pontos do plano cartesiano que distam d do ponto C(x0, y0), sendo d > 2, então a) (x x0) 2 + (y y0) 2 + d 2 = 0 b) (x x0) 2 + (y y0) 2 = d 2 c) (x x0) 2 + (y y0) 2 = 2d d) y y0 = d(x x0) 12 de 29

13 Repare que o lugar geométrico onde a distância entre os pontos A(x, y) e C(x 0, y 0) sempre é constante uma circunferência de raio d. De modo que a distância d varre uma área circular. Note que a distância entre os pontos A e C pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras, ou seja: (AC) 2 = (BC) 2 + (AB) 2 d 2 = (x x 0) 2 + (y y 0) 2 Resposta: B 13. EEAR ) Se f(x) = 1 + 3x x + 3, com x IR e x 3, é uma função invertível, o valor de f 1 (2) é a) 2 b) 1 c) 3 d) 5 Observe que se f 1 (2) = m, então f(m) = 2. Ou seja: f(m) = m m = m m (m + 3) = m 2.m + 6 = m 6 1 = 3.m 2.m m = 5 f 1 (2) = 5 13 de 29

14 Resposta: D 14. EEAR ) Os quatro primeiros termos da sequência definida por an = ( 1)n.n + 1, n *, são tais que a) formam uma PA de razão 4 b) formam uma PG de razão 2 c) a1 + a3 = a2 + a4 d) a1 + a2 = a3 + a4 Usando a lei de formação a n = ( 1) n.n + 1, teremos: Para n = 1 a 1 = ( 1) a 1 = 0 Para n = 2 a 2 = ( 1) a 2 = 3 Para n = 3 a 3 = ( 1) a 3 = -2 Para n = 4 a 4 = ( 1) a 4 = 5 Note que: = Resposta: D a 1 + a 2 = a 3 + a EEAR ) O valor de sen 1270 é igual a a) cos 10 b) sen 30 c) sen 10 d) cos 30 A única diferença entre dois arcos côngruos é o número de voltas. Nesse sentido, ao dividir o ângulo 1270 em voltas de 360º, chegamos á expressão: 1270º = 3 x º. O que significa que o ângulo 1270º partindo de um ponto percorre três voltas completas mais 190. Sendo que coincide com este último. Assim, os ângulos 190 e 1270 são arcos côngruos que se diferenciam apenas pelo número de voltas, mas coincidem na mesma extremidade. Deste modo, no ciclo trigonométrico, teremos: 14 de 29

15 Sen(1270 ) = Sen(190º) Observe que: Podemos observar que Sen(190 ) = - k e Sen(10 ) = k. Portanto, teremos: Sen(190 ) = - Sen(10 ) Sen(1270 ) = - Sen(10 ) Resposta: C 16. EEAR ) Seja ABCD um paralelogramo com AB // CD e BC // AD. Se a interseção de AC e BD é o ponto O, sempre é possível garantir que a) AO = BO b) AB = CB c) DO = BO d) AD = CD Conforme o enunciado, podemos fazer a seguinte construção geométrica: 15 de 29

16 Podemos observar que os triângulos AOD e BOC são congruentes, uma vez que temos os ângulos internos iguais e os lados AD e BC paralelos e iguais. Com isso, temos: AD = BC, AO = OC e DO = BO. Resposta: C 17. EEAR ) Dado o número complexo z = a + bi, se z + z = 10 e z z = 16i, então a + b é a) 6 b) 3 c) 2 d) 8 Conforme o enunciado, temos: (I): z + z = 10 (a + bi) + (a + b. i) = 10 (a + bi) + (a - bi) = 10 2.a = 10 a = 5 e (II): z - z = - 16i (a + bi) - (a + b. i) = - 16i (a + bi) - (a - bi) = - 16i 2.bi = - 16i 16 de 29

17 b = - 8 Assim, o valor de a + b vale: 5 + (- 8) = - 3. Resposta: B 18. EEAR ) Na função f(x) = 27 x + 2 x, tal que x 0, o valor de x para que f(x) = 3 6, é um número a) divisível por 2 b) divisível por 3 c) divisível por 5 d) divisível por 7 O que temos é a seguinte equação exponencial: Repare que x = 2 é divisível por 2. Resposta: A f(x) = x + 2 x = (3 3 ) 2 27 x + 2 x = 27 2 x + 2 x = 2 x + 2 = 2x x = EEAR ) Seja BDEF um losango de lado medindo 24 cm, inscrito no triângulo ABC. Se BC = 60 cm, então AB = cm. a) 36 b) 40 c) 42 d) de 29

18 Uma vez que BDEF é um losango, então a reta FE é paralelo à reta BC, o que significa que os triângulos AFE e ABC são semelhantes. Deste modo, obtemos a seguinte proporção: Resposta: B AF = FE AB BC AB BF AB AB 24 AB AB 24 AB = FE BC = = AB 120 = 2.AB 5.AB 2.AB = AB = 120 AB = AB = 40 cm 20. EEAR ) Sejam os polinômios A(x) = x3 + 2x2 x 4, B(x) = ax3 bx2 4x + 1 e P(x) = A(x) B(x). Para que P(x) seja de grau 2, é necessário que a) a 1 e b = 2 b) a = 1 e b = 2 c) a = 1 e b 2 d) a 1 e b 2 A diferença dada entre os polinômios é: 18 de 29

19 P(x) = A(x) B(x) P(x) = x 3 + 2x 2 x 4 (ax 3 bx 2 4x + 1) P(x) = (1 - a).x 3 + (2 + b).x x 5 Para que P(x) seja de grau 2, é necessário que o coeficiente de x 3 seja nulo e o coeficiente de x 2 seja diferente de zero, isto é: 1 a = 0 a = 1 ^ 2 + b 0 b - 2 Resposta: C 21. EEAR ) Considere a matriz A = [ 1 x 1 ]. Os termos x 1, 2x, 4x 1, são, nessa ordem, termos consecutivos de uma 2x 4x 1 progressão aritmética. Dessa forma, det(a) é igual a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 A sequência dada é uma Progressão Aritmética, ou seja: P.A: (x 1, 2x, 4x 1). Observe que a razão é dado por: A matriz A é: Resposta: C Razão = 2º termo 1 termo = 3º termo 2 termo 2º termo 1 termo = 3º termo 2 termo 2x (x - 1) = 4x - 1 2x x + 1 = 2x = 2x x x = 2. A = [ 1 x 1 2x 4x 1 ] A = [ ] Det(A) = Det(A) = 3 19 de 29

20 22. EEAR ) Considere o quadrilátero ABCO, de vértices A, B e C na circunferência e vértice O no centro dela. Nessas condições x mede a) 30 b) 45 c) 55 d) 60 Perceba que o arco do ângulo AB C é metade de arco de AÔC, o qual não passa por B. Ou seja: Podemos explorar alguns ângulos na figura, ou seja: AB C = AÔC 2 AB C = AB C = 110 Perceba que: b = 50 + a e c = d + x Assim, podemos obter: b + c = 220 (50 + a) + (d + x) = 220 (a + d) + x = 170 AB C + x = º + x = de 29

21 x = x = 60 Resposta: D 23. EEAR ) Seja f: IR IR uma função. Essa função pode ser a) f (x) = x b) f (x) = x c) f(x) = 1 x d) f(x) = x Repare que o contradomínio da função é qualquer número real. De modo que: na alternativa A, x 0, logo o domínio da função é R +. na alternativa B, x pode ser qualquer número real, logo, nesse caso, o domínio da função é R. na alternativa C, x 0, logo, o domínio da função é R * ou R {0}. na alternativa D, x - 1, logo, o domínio da função é R {-1}. Resposta: B 24. EEAR ) A média aritmética de cinco números é 7. Se for retirado do conjunto o número 9, a média aritmética dos restantes será a) 6,8 b) 6,5 c) 5,9 d) 5,6 A soma dos 5 números vale 5 x 7 = 35. Ao retirar o número 9, a média aritmética dos 4 números restantes fica: Resposta: B = 26 4 = 13 2 = 6,5 Fim de aula. Até o próximo encontro! 21 de 29

22 Saudações, Prof. Hugo Lima Prof. Arthur Lima 22 de 29

23 Lista de questões 1. EEAR ) Dentre as 7 notas musicais, dois músicos escolherão, individualmente, uma nota. A probabilidade de que eles escolham notas iguais é a) 1/7 b) 2/7 c) 1/49 d) 2/49 2. EEAR ) O 6º termo da sequência 2, 8, 32, 128,... é um número cuja soma dos algarismos é a) 10 b) 12 c) 14 d) EEAR ) a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 Um cilindro equilátero tem 196 cm2 de área lateral. O raio da base desse cilindro mede cm. 4. EEAR ) Considere uma roda de 20 cm de raio que gira, completamente e sem interrupção, 20 vezes no solo. Assim, a distância que ela percorre é m. a) 100 b) 80 c) 10 d) 8 5. EEAR ) 23 de 29

24 Um maestro escolherá 5 músicas distintas, dentre as 10 que dispõe, e montará uma apresentação. Para a escolha das músicas e da ordem que elas serão tocadas, o maestro possui um número de possibilidades cujo algarismo das unidades é a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 6. EEAR ) O complemento do suplemento do ângulo de 112 mede a) 18 b) 28 c) 12 d) EEAR ) Os pontos B, C e D dividem o segmento AE em 4 partes iguais, conforme a figura. Se A(2, 7) e E(6, 1), então a abscissa de B é a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 8. EEAR ) O triângulo ABC está inscrito na circunferência. Se BC = 8, a medida do raio é a) 4 2 b) 2 2 c) 4 d) 2 9. EEAR ) Considere o conjunto de valores x, 90, 72, 58, 85, 55. Se 58 < x < 72 e a mediana desse conjunto é 66, então x é a) 59 b) 60 c) 65 d) de 29

25 10. EEAR ) Hoje, o dobro da idade de Beatriz é a metade da idade de Amanda. Daqui a 2 anos, a idade de Amanda será o dobro da idade de Beatriz. A idade de Beatriz hoje é ano(s). a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 11.EEAR ) Uma esfera E foi dividida em 3 partes: A, B e C, como mostra o desenho. Se os volumes dessas partes são tais que: V(A) = V(B) = V(C) 2 e V(C) = 486 cm3, então o raio da esfera é cm. a) 8 b) 9 c) 10 d) EEAR ) Se A(x, y) pertence ao conjunto dos pontos do plano cartesiano que distam d do ponto C(x0, y0), sendo d > 2, então a) (x x0) 2 + (y y0) 2 + d 2 = 0 b) (x x0) 2 + (y y0) 2 = d 2 c) (x x0) 2 + (y y0) 2 = 2d d) y y0 = d(x x0) 13. EEAR ) Se f(x) = 1 + 3x x + 3, com x IR e x 3, é uma função invertível, o valor de f 1 (2) é a) 2 b) 1 c) 3 d) EEAR ) 25 de 29

26 Os quatro primeiros termos da sequência definida por an = ( 1)n.n + 1, n *, são tais que a) formam uma PA de razão 4 b) formam uma PG de razão 2 c) a1 + a3 = a2 + a4 d) a1 + a2 = a3 + a4 15. EEAR ) O valor de sen 1270 é igual a a) cos 10 b) sen 30 c) sen 10 d) cos EEAR ) Seja ABCD um paralelogramo com AB // CD e BC // AD. Se a interseção de AC e BD é o ponto O, sempre é possível garantir que a) AO = BO b) AB = CB c) DO = BO d) AD = CD 17. EEAR ) Dado o número complexo z = a + bi, se z + z = 10 e z z = 16i, então a + b é a) 6 b) 3 c) 2 d) EEAR ) Na função f(x) = 27 x + 2 x, tal que x 0, o valor de x para que f(x) = 3 6, é um número a) divisível por 2 b) divisível por 3 c) divisível por 5 d) divisível por 7 26 de 29

27 19. EEAR ) Seja BDEF um losango de lado medindo 24 cm, inscrito no triângulo ABC. Se BC = 60 cm, então AB = cm. a) 36 b) 40 c) 42 d) EEAR ) Sejam os polinômios A(x) = x3 + 2x2 x 4, B(x) = ax3 bx2 4x + 1 e P(x) = A(x) B(x). Para que P(x) seja de grau 2, é necessário que a) a 1 e b = 2 b) a = 1 e b = 2 c) a = 1 e b 2 d) a 1 e b EEAR ) Considere a matriz A = [ 1 x 1 ]. Os termos x 1, 2x, 4x 1, são, nessa ordem, termos consecutivos de uma 2x 4x 1 progressão aritmética. Dessa forma, det(a) é igual a a) 1 b) 2 c) 3 d) EEAR ) Considere o quadrilátero ABCO, de vértices A, B e C na circunferência e vértice O no centro dela. Nessas condições x mede a) 30 b) 45 c) 55 d) EEAR ) Seja f: IR IR uma função. Essa função pode ser 27 de 29

28 a) f (x) = x b) f (x) = x c) f(x) = 1 x d) f(x) = x 24. EEAR ) A média aritmética de cinco números é 7. Se for retirado do conjunto o número 9, a média aritmética dos restantes será a) 6,8 b) 6,5 c) 5,9 d) 5,6 28 de 29

29 Gabarito 1. A 2. C 3. C 4. D 5. B 6. D 7. D 8. A 9. B 10. A 11. B 12. B 13. D 14. D 15. C 16. C 17. B 18. A 19. B 20. C 21. C 22. D 23. B 24. B 29 de 29