O Método de Pontos Interiores Aplicado ao Problema do Despacho Hidrotérmico

Transcrição

1 O Método de Pontos Interiores Aplicado ao Problema do Despacho Hidrotérmico Mariana Kleina, Luiz Carlos Matioli, Programa de Pós Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia, UFPR Departamento de Matemática e Construção Civil, , Curitiba, PR marianakleina@hotmail.com, matioli@ufpr.br Débora Cintia Marcilio, Ana Paula Oening, Instituto de Tecnologia para o Desenvolvimento (Lactec), , Curitiba, PR debora@lactec.org.br, ana.oening@lactec.org.br Resumo: Este artigo apresenta uma modelagem do problema de otimização do despacho hidrotérmico. O objetivo geral do modelo é a minimização dos custos envolvidos na geração de energia elétrica, que engloba o custo de geração térmica e custo de déficit. A metodologia proposta para resolução deste problema é o Método de Pontos Interiores, o qual é bastante utilizado em problemas de grande porte, combinado com as ideias do bem conhecido método de Gauss-Newton em programação não linear. A metodologia é aplicada para um sistema teste brasileiro, apresentando resultados satisfatórios e ótimo desempenho computacional. Introdução Neste trabalho é apresentado uma nova metodologia que envolve dois métodos importantes e bem conhecidos na literatura. A saber, Método de Gauss-Newton [1] e o Método de Pontos Interiores [9]. O primeiro é, em geral, aplicado na minimização do resíduo em quadrados mínimos, que é equivalente a um problema de minimização irrestrita (ou na resolução de um sistema de equações não lineares). Já o segundo tem sido aplicado com sucesso em problemas lineares e não lineares com restrições. Ambos utilizam o método de Newton. O primeiro faz uma aproximação da direção de Newton desprezando o termo que envolve a matriz Hessiana da função objetivo, e em problemas em que a matriz Hessiana não tem grande influência, estes tem obtido muito sucesso. O segundo utiliza o Método de Newton para resolver o sistema não linear gerado a cada iteração. A metodologia proposta consiste no método de Pontos Interiores para a solução do problema hidrotérmico para o sistema brasileiro. O problema, após modelado, é não linear, não convexo e envolve restrições de igualdades, desigualdades e limites nas variáveis. Adicionalmente, o problema apresenta uma restrição, aqui chamada de atendimento a demanda, que é não linear, com matriz Hessiana difícil de ser calculada analiticamente e sua aproximação é computacionalmente inviável para a dimensão do problema a ser resolvido. Devido à estrutura de grafo do modelo, esta matriz é bastante esparsa e em vários testes realizados, constatou-se que possui pouca influência nos resultados numéricos finais. Portanto, ao desprezar o termo que envolve a Hessiana da restrição não linear no método de Pontos Interiores faz-se uma espécie de Gauss-Newton para resolução de sistemas não lineares. Isto não comprometerá a convergência do método de Pontos Interiores como será analisado no decorrer deste trabalho. Características do Modelo Hidrotérmico Brasileiro O Brasil é um país privilegiado em termos de disponibilidade de recursos hídricos; em números [3], 73,6% da produção de energia provém de sistemas hidrelétricos, 26,14% de sistemas termelétricos e,26% de demais sistemas geradores. A água não possui custo e é um recurso renovável. Entretanto, somente a geração hidrelétrica não atende a demanda dos consumidores, sendo necessária a utilização das termelétricas, o que envolve um custo de geração elevado devido ao alto preço dos combustíveis (carvão, gás, petróleo, entre outros). O sistema elétrico brasileiro é interligado em sua quase totalidade e essa condição de intercâmbio entre os subsistemas exige um equilíbrio entre a geração térmica e hidrelétrica nas diversas usinas, visando a operação como um todo, reduzindo assim os custos envolvidos. 81

2 Contudo, a geração hidrotérmica traz consigo um risco associado tanto com incertezas na demanda de energia quanto nas afluências naturais. A questão a ser respondida é: quanto gerar de energia através das hidrelétricas a fim de economizar com combustíveis nas termelétricas e quanto gerar de energia através das termelétricas a fim de preservar o nível dos reservatórios hidrelétricos? Atualmente, para médio prazo (5 anos), no caso brasileiro é utilizado o modelo NEWAVE como base para o despacho hidrotérmico. Porém, este modelo faz diversas simplificações, devido a metodologia utilizada e a dimensão do sistema brasileiro. Por isso, surgiu a necessidade de novas tecnologias, que respondam mais realisticamente a situação do parque brasileiro com relação ao despacho hidrotérmico brasileiro. Esta pesquisa faz parte desta nova proposta e é financiada pela ANEEL através do Projeto Estratégico de Pesquisa e Desenvolvimento ANEEL PE /29, Otimização do Despacho Hidrotérmico, com o apoio das concessionárias COPEL, DUKE, CGTF, CDSA, BAESA, ENERCAN, CPFL PAULISTA, CPFL, PIRATININGA, RGE, AES TIETÊ, AES URUGUAIANA, ELETROPAULO, CEMIG e CESP. Modelagem Matemática O modelo de programação não linear para o problema de otimização energética é: Sujeito à: (1) (2) (3) (4) (5) As variáveis envolvidas na descrição do modelo estão relacionadas a seguir: geração da usina térmica durante o período [ ]; - volume armazenado no reservatório para o período [ ]; vazão turbinada do reservatório durante o período [ ]; vazão vertida do reservatório durante o período [ ]; - intercâmbio de energia na linha i no período [ ]; déficit do subsistema durante o período [ ]. A função objetivo (1) é de minimização do valor presente dos custos de geração térmica ( é uma função que representa o custo da usina térmica para o período [ ], depende do tipo de combustível utilizado na usina e é aproximada por um polinômio de grau 2) e de déficit ( é uma função de custo de déficit do subsistema s [ ], representa o impacto causado pelo não suprimento da demanda de energia e é representada por um polinômio de grau 2), onde é o coeficiente de valor presente para o período. 82

3 A restrição de balanço hídrico (2) relaciona o volume de um reservatório com o volume do período anterior, as afluências ao reservatório e as perdas, onde representa a afluência natural ao reservatório durante o período [ ], representa o conjunto de reservatórios imediatamente a jusante do reservatório. Para que seja possível realizar as operações matemáticas em (2), é necessária uma mudança de unidades, transformando o volume de para. Dessa maneira o volume é multiplicado por, onde e corresponde ao número de segundos no mês. A restrição de atendimento a demanda de energia (3) tem por objetivo garantir o atendimento da carga do subsistema, onde é a demanda de energia no subsistema no período [ ], representa o conjunto de subsistemas diretamente conectados ao subsistema, o conjunto de usinas térmicas no subsistema, o conjunto de usinas hidráulicas no subsistema e é a energia gerada no reservatório r no período t. A restrição de defluência mínima total para o reservatório (4) garante a utilização dos recursos hídricos para outras atividades além da geração de eletricidade, como controle de cheias, navegabilidade de rios, irrigação, etc., onde representa a vazão total mínima de defluência do reservatório no período [ ]. A restrições de limite das variáveis (5) significam as limitações de: geração termelétrica, volumes dos reservatórios hidrelétricos, volumes de turbinagem e vertimento, intercâmbio de energia entre subsistemas e déficit de energia de cada subsistema, respectivamente. O Método de Pontos Interiores O problema do despacho hidrotérmico, com as características abordadas nessa pesquisa, quando escrito matematicamente tem o seguinte formato: (6) onde é o vetor das variáveis de decisão, que para essa modelagem envolvem: geração térmica, vazões vertida e turbinada, volume do reservatório, intercâmbio entre subsistemas e déficit, é a função objetivo não linear, são restrições não lineares que representam o atendimento à demanda, e são restrições lineares que representam respectivamente o balanço hídrico e defluência total, e finalmente representam os limites inferior e superior das variáveis de decisão, O método adotado para resolver o problema energético é o Método de Pontos Interiores para programação não linear. Primeiramente, acrescentam-se variáveis de folga não negativas r, s, t nas desigualdades no problema original (8), assim como em [7] e [8]. (7) Penalizam-se as variáveis que devem ser não negativas acrescentando a função Barreira logarítmica na função objetivo do problema: onde é o parâmetro barreira e tende a zero quando se aproxima da solução ótima. A função Lagrangeana associado ao problema penalizado é: (8) 83

4 (9) onde são os multiplicadores de lagrange, As condições de otimalidade de primeira ordem, também conhecidas como condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT), [5], [6] e [9], são condições necessárias que uma solução ótima deve satisfazer, são aplicadas ao problema, resultando num sistema não linear. O método de Newton é então aplicado, resultando em um sistema linear a ser resolvido: (1) onde d é a direção de Newton, é o gradiente da função Lagrangeana (9),, é a matriz Jacobiana da restrição,,,,, e são matrizes diagonais, com os elementos diagonais dados, respectivamente, pelas componentes do vetores,,,, e, e representa a matriz identidade de tamanho apropriado. Após alguns cálculos, reduz-se o sistema (1) no seguinte sistema linear: onde F é um vetor constante,, onde é uma matriz diagonal composta pelos elementos do vetor. As matrizes são definidas de modo análogo. Resolvendo o sistema (11), encontram-se e. Com isso, encontram-se as demais direções. Depois de encontrada a direção de Newton, calcula-se o comprimento do passo que será dado nessa direção a fim não violar a não negatividade de algumas variáveis. Por último, atualiza-se o parâmetro barreira, onde na literatura existem heurísticas que sugerem fórmulas alternativas para sua atualização (ver [7] e [8]). Neste trabalho está sendo utilizada a seguinte fórmula: Repete-se o processo, até que o ponto encontrado satisfaça algum critério de parada. Uma grande dificuldade em se aplicar o método ao problema do despacho, como descrito acima, é o cálculo da matriz Hessiana das restrições não lineares (2). Esta restrição é a soma de dois polinômios de quarto grau, um calculado no volume médio e o outro na soma das variáveis vazões vertida e turbinada; o polinômio resultante é multiplicado pela variável vazão turbinada. Logo, o cálculo exato da matriz Hessiana é bastante complexo, sendo este feito por aproximação. Porém, esse cálculo aproximado exige um esforço computacional muito grande e é requerido em cada iteração do método de Pontos Interiores, deixando o método lento e conforme a dimensão do problema aumenta, a resposta é cada vez mais demorada. (11) (12) (13) 84

5 Sabe-se que se a matriz dos coeficientes em (11) é inversível, então o sistema têm solução e ela é única. Segundo [4], para que isto ocorra, deve ser positiva definida (o que, conforme a proposta apresentada a seguir, será provado) e deve ter posto coluna completo, o que neste trabalho estará sendo suposto como verdadeiro. A proposta feita aqui é usar a ideia do método de Gauss-Newton, que desconsidera informações de segunda ordem do problema, isto é, elimina-se o termo que envolve a matriz Hessiana das restrições não lineares na equação (12), isto é Lema 1: Sejam,,,, e com dados respectivamente em (7), (9) e (1); a função objetivo dada em (1) e a matriz dos coeficientes das restrições de desigualdades lineares do problema (7). Então os seguintes itens são verdadeiros: i. e, ou seja, são matrizes positivas definidas; ii., ou seja, é positiva definida; iii., ou seja, a matriz Hessiana de é positiva definida. Prova: i. e são matrizes diagonais com elementos positivos, logo são positivas definidas ; ii. Seja, então: (14) iii. é positiva definida pois a função é a soma de dois polinômios de segundo grau com os coeficientes do termo quadrático sendo positivos. Logo é convexa e sua matriz Hessiana é positiva definida. Teorema 1: A matriz do sistema reduzido (11), dada na relação (14), é positiva definida. Prova: De fato, seja e, então por (21): Do Lema 1, segue que é a soma de matrizes positivas definidas, logo Testes Computacionais e Análise dos Resultados Nesta seção, será abordada a implementação da metodologia proposta nesta pesquisa. Uma vez que o Teorema 1 garante que a direção de Newton pode ser determinada, o sistema reduzido (11) e consequentemente, o sistema (1) terá solução, a menos de erros de arredondamentos (computacionais). Toda a modelagem matemática, assim como o Método de Pontos Interiores foram implementados em Matlab 7.1. (R21a). Neste trabalho, os resultados que serão apresentados referem-se a um sistema teste composto por 21 usinas hidrelétricas, 32 térmicas e 3 subsistemas. O período considerado foi de janeiro de 1952 a janeiro de 1957, que foi um período de afluências baixas. O subsistema 1 é composto por 1 hidrelétricas, 18 térmicas com demanda total de 1374 MWmês. O subsistema 2 é composto por 1 hidrelétricas, 14 térmicas com demanda total de 9918 MWmês. O subsistema 3 não possui demanda pois é composto apenas pela usina hidrelétrica de Itaipu, a qual somente gera energia, que pode ser utilizada no subsistema 1 e subsistema 2. O ponto para o método segue a premissa de que toda a afluência é turbinada. Os volumes iniciais dos reservatórios são tomados como sendo o volume máximo e os volumes finais devem ficar entre 7% e 1% do volume máximo. Os parâmetros usados na implementação do algoritmo são:, os multiplicadores de Lagrange e as variáveis de folga são inicializadas como vetores de 1 s de tamanhos apropriados. As condições de KKT ou um número máximo de iterações foram adotados como critério de parada. Os gráficos a seguir são dados em Energia (MWmês) x Tempo (mês). 85

6 Figura 1. Soma da geração hidráulica no Figura 2. Soma da geração hidráulica no subsistema 1. subsistema As Figuras 1, 2 e 3 representam, 14 respectivamente, a soma da energia elétrica 1 gerada pelas usinas hidráulicas dos 1 subsistemas 1, 2 e 3. É importante lembrar 8 6 que as usinas estão sendo consideradas 4 individualmente e a geração das usinas foi somada somente para melhor visualização. Quando os reservatórios das usinas são analizados individualmente, tem-se que o vertimento de água ocorre quando os Figura 3: Geração hidráulica do subsistema 3. reservatórios estão em seu limite superior e o volume turbinado está no máximo. Percebe-se também que em períodos que antecedem grandes afluências, os reservatórios são esvaziados para acomodar as afluências futuras ou se as afluências futuras serão escassas, o nível dos reservatórios é preservados de modo a garantir a geração de energia através das usinas hidráulicas Geração mínima Figura 4. Soma da geração térmica no Figura 5. Soma da geração térmica no subsistema 1. subsistema 2. As Figuras 4 e 5 mostram a geração térmica dos subsistemas 1 e 2 respectivamente, que em vários períodos gerou o máximo possível de energia para atender a demanda. Isso se justifica pois como já mencionado, o período considerado é de afluências baixas Geração mínima Intercâmbio ótimo Intercâmbio mínimo Intercâmbio máximo Figura 6. Intercâmbio de energia entre os subsistemas 1 e 2. A Figura 6 mostra o intercâmbio de energia elétrica (energia hidráulica e energia térmica) entre os subsistemas 1 e 2. Valores positivos do intercâmbio representam energia saindo do subsistema 1 e chegando no subsistema 2. Valores negativos representam justamente o contrário, isto é, energia saindo do subsistema 2 para o subsistema 1. 86

7 Intercâmbio ótimo Intercâmbio máximo Figura 7. Intercâmbio de energia entre os Figura 8. Intercâmbio de energia entre os subsistemas 1 e 3. subsistemas 2 e 3. A Figuras 7 e 8 mostram o intercâmbio de energia entre o subsistema 3 e os subsistemas 1 e 2. Como o subsistema 3 é puramente gerador, composto somente pela usina de Itaipu, não há energia chegando neste subsistema, somente saindo. Conclusão Muitos trabalhos em despacho hidrotérmico tendem a simplificar o problema com o objetivo de alcançar um modelo mais simples, possivelmente linear. Para resolver o problema de despacho hidrotérmico não linear, como é o caso deste, buscou-se um algoritmo eficiente que dê respostas rápidas e precisas. O método de Pontos Interiores, combinado com ideias dos métodos de Gauss-Newton, mostrou-se bastante eficaz quando aplicado a este problema. Não trabalhar com informações de segunda ordem da restrição não linear não afetou a convergência do método, conforme visto, e fez com que o método obtivesse ótimo desempenho computacional. A metodologia proposta nesta pesquisa foi testada para diversos períodos e demandas de energia diferentes e os resultados obtidos foram muito bons e o objetivo principal é aplicá-la a todo sistema elétrico brasileiro. Referências [1] J. E. Dennis, R. B. Shnabel, "Numerical methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations", SIAM, Philadelphia, [2] A. S. El-Bakry, R. A. Tapia, T. Tsuchiya, Y. Zhang, On the formulation and theory of the Newton Interior-Point method for nonlinear programming, J. Optim. Theory Appl., vol. 89, pp , (1996). [3] EPE - Empresa de Pesquisa Energética (Brasil), Brazilian Energy Balance 211. Disponível em: acesso em 18/11/211. [4] G. H. Golub, C. F. Van Loan, "Matrix Computations", Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences, Baltimore e Londres, [5] D. G. Luenberger, "Linear and Nonlinear Programming", Springer, Nova York, 25. [6] J. Nocedal, S. Wright, "Numerical Optimization", Springer, Nova York, 25. [7] V. H. Quintana, G. L. Torres, On a nonlinear multiple-centrality-corrections interiorpoint method for optimal power flow, IEEE Transactions on Power Systems, vol.16, pp , (21). [8] R. J. Vanderbei, D. F. Shanno, An Interior-Point Algorithm for Nonconvex Nonlinear Programming, Comp. Optim. Appl., vol 13, pp , (1999). [9] S. J. Wright, "Primal-Dual Interior-Point Methods", SIAM, Philadelphia, Intercâmbio ótimo Intercâmbio máximo 87