Prof. Clodoaldo Valverde Universidade Estadual de Goiás Orientador. Prof. Renato Medeiros. Prof. Elber Magalhães Torres. Prof. XXYYXX.

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1 1 O USO DE FRAÇÕES CONTÍNUAS PARA RESOLVER ASSOCIAÇÃO INFINITA DE RESISTORES: UMA ABORDAGEM DESCOMPLICADA GUILHERME HENRIQUE SOUSA ALVES E CLODOALDO VALVERDE Artigo científico apresentado ao Curso de Licenciatura em Física como requisito para aprovação na Disciplina de TCC, sob orientação do Prof. Clodoaldo Valverde e avaliação dos seguintes docentes: Prof. Clodoaldo Valverde Universidade Estadual de Goiás Orientador Prof. Renato Medeiros Universidade Estadual de Goiás Prof. Elber Magalhães Torres Universidade Estadual de Goiás Prof. XXYYXX Universidade Estadual de Goiás (Suplente) Anápolis,12 de fevereiro de 2015

2 2 O Uso De Frações Contínuas Para Resolver Associação Infinita De Resistores: Uma Abordagem Descomplicada Resumo: Os circuitos infinitos têm grande aplicação prática, pois podem ser aproximados a sistemas menores e a utilização de frações contínuas representa boa estratégia para a resolução de circuitos infinitos. Este artigo tem como objetivo verificar se as frações contínuas e suas aplicações na aproximação números atuam como facilitadoras na resolução de exercícios de Física envolvendo tais circuitos. Para tanto, utilizou-se diversos exemplos envolvendo associação infinita de resistores, sendo que os exercícios utilizados são pouco conhecidos e apresentam certa dificuldade de resolução. Os resultados encontrados evidenciaram que, embora a associação mista de resistores seja infinita, podemos aproximá-la em uma associação de no máximo quatro malhas. Palavras-chave: Frações contínuas; associação de resistores; circuitos infinitos. Introdução Vários autores dedicam parte do capítulo relativo à eletrodinâmica, a fim de proporcionar aos alunos os conhecimentos básicos necessários ao desenvolvimento do assunto. Possibilitando a realização de um trabalho pedagógico capaz de chegar a resultados surpreendentes em relação ao ganho na aprendizagem. [1,2]. Nesse trabalho, apresenta-se o cálculo analítico da resistência equivalente de alguns tipos de associações infinitas de resistores [3]. É um estudo importante, pois permite que os estudantes, que deveriam ser familiarizados com diferentes conceitos matemáticos - tais como séries infinitas e frações contínuas -, possam ter a oportunidade de rever/ver e aplicar alguns desses conceitos, muitas vezes transmitidos sem uma articulação com a formação de ideias e a interdisciplinaridade [4] [5]. Matemática e Física são duas Ciências que se entrelaçam de forma interdisciplinar 1. Por isso, usamos os conceitos de frações contínuas para resolver questões referentes à associação infinita de resistores, propondo uma abordagem descomplicada. As frações contínuas apesar de serem conceitualmente simples é um assunto extremamente rico de conceitos 1 Conforme Piaget (1964). matemáticos, tendo aplicações em várias ciências como à Engenharia, à Astronomia e à Física, além de muitas subáreas da própria Matemática, como a Teoria dos Números, Sistemas Dinâmicos e Equações Diofantinas. Geralmente não são abordadas nas salas de aula, como muitos outros conteúdos igualmente importantes, tanto na Educação Básica quanto no Ensino Superior [6]. Estudos mostram que a maioria dos alunos e professores não conseguem resolver exercícios que requerem a aplicação desse importante conteúdo matemático [7]. Séries infinitas simples também podem ser utilizadas para resolução de alguns circuitos infinitos, sem muita complexidade, e de igual importância [6]. Neste artigo, não se pretende fazer uma introdução aos conceitos básicos ou aspectos históricos acerca das frações contínuas. No mais, é importante destacar que suas aplicações na aproximação de números são fundamentais para o objetivo do trabalho. Detalhes sobre o assunto podem ser encontrados em Andrade e Bracciali (2004) [6]; Júnior e Lima (2006) [7]; Lima (2010) [8]; Olds (1963) [9] e Pommer (2009) [10]. Sendo assim, questiona-se: O uso de frações contínuas na eletricidade é uma boa estratégia para a resolução de circuitos infinitos? Neste artigo, será apresentada a

3 3 resposta dessa pergunta utilizando a associação infinita de resistores. Associações de Resistores Circuitos elétricos mistos, na verdade, são associações simples de dois tipos de circuitos básicos: circuitos em série e em paralelo. Embora esse tipo de circuito nos pareça complexo, podemos encontrar o resistor equivalente. Ele é um resistor que sozinho pode substituir em valor todos os outros resistores que compõe o circuito, sem alterar a característica do sistema: tem a mesma ddp (diferença de potencial) e corrente. Para isso, basta fazer uma análise por partes do problema. Lembramos que a associação em série de duas resistências e leva a uma resistência equivalente, ao passo que a associação em paralelo leva a uma resistência equivalente dada por. [11],ou seja, Associações Infinitas De Resistores Em Série Na associação em série de resistores, o resistor total ou equivalente é igual à soma de todos os resistores que fazem parte da associação. A resistência equivalente será sempre maior que o maior resistor da associação. [3] Circuito 1: A resistência equivalente em um circuito com infinitos resistores associados em série, conforme mostra a Figura 1, é: Figura 1 - Um circuito com infinitos resistores, iguais, associados em série. (1) como todos os resistores são iguais, podemos escrever a resistência equivalente como: (2) onde n é o numero de resistores iguais do circuito. Ou, no caso de infinitos resistores, Circuito 2: Na Figura 2 mostra-se uma associação em série cujo os valores das resistências crescem a uma razão constante Figura 2 - Um circuito com infinitos resistores associados em série. Assim, a resistência equivalente é: então: Pelo que vimos, essa resistência equivalente pode ser representada da seguinte forma: (3) (4) Quando a associação de resistores está em serie, a resistência equivalente tende ao infinito se o número de resistores for muito grande, e isso está de acordo com a equação (2). Nesse casso a corrente elétrica tenderia a zero, segundo a lei de Ohm, ou. Um circuito desse tipo necessitaria de uma corrente elétrica de valor muito grande para passar por todos os resistores. Associações Infinitas De Resistores Em Paralelo Na associação em paralelo de resistores, todos eles são submetidos à mesma ddp (diferença de potencial), e a soma das correntes que atravessam cada resistor é igual à corrente total que atravessa o resistor equivalente. A

4 4 resistência equivalente de uma associação em paralelo será sempre menor que o resistor de menor resistência da associação. [3] Figura 4 - Circuito com infinitos resistores associados em paralelo. A resistência equivalente é dada por: Figura 3 - Um circuito com infinitos resistores iguais associados em paralelo. (7) Circuito 3: A resistência equivalente do circuito da Figura 3, pode ser escrita da seguinte forma: (5) Como todos os resistores são iguais podemos simplificar essa expressão desta forma: Onde, n é o numero de resistores no circuito. Portanto, (6) Se o número de resistores, nesse tipo de circuito for muito grande a resistência equivalente tenderá para zero. Nesse caso a corrente elétrica tenderia ao infinito, segundo, novamente, a lei de Ohm, ou. Um circuito desse tipo necessitaria de uma corrente elétrica de valor muito grande para passar por todos os resistores. Nesse caso, devido à redução da resistência, ocorreria curto-circuito, pois a passagem de corrente elétrica seria acima do normal. Circuito 4: Analisemos, através da Figura 4, o que ocorre com o próximo circuito com infinitos resistores associados em paralelo. Que pode ser apropriadamente representada pelo seguinte somatório: (8) Nesse caso, se o valor de r for muito grande, as frações que têm potências grandes terão valores tão pequenos que poderão ser desprezadas no somatório. Se, ao contrário, o valor de r for muito pequeno as frações terão valores muito grandes e, portanto, a resistência equivalente assumirá um valor muito próximo à zero. Associações Infinitas Mistas Em um mesmo circuito podem ser encontrados resistores em série e em paralelo. Para calcular a resistência total do circuito misto, usa-se como estratégia, primeiro calcular a resistência equivalente dos resistores que estão somente em paralelo ou em série. De posse desse valor o consideramos como se fosse mais um resistor em série. Vamos ver agora uma série de exemplos. Circuito 5: Consideremos como um primeiro modelo a associação mista infinita de resistores da Figura 5:

5 5 (10) Figura 5 - Circuito com infinitos resistores associados de forma mista. Como temos que: (11) Deseja-se obter a resistência equivalente deste circuito. Vamos fazer isso analisando o circuito em três partes, com o decorrer do trabalho notaremos que essas partes são suficientes para determinar a resistência equivalente. 1º passo: No primeiro passo vamos analisar apenas uma malha do circuito, segundo a Figura 6: 3º passo: Agora, no terceiro passo serão analisadas três malhas do circuito, segundo a Figura 8: Figura 8 As três primeiras malhas, da esquerda para direita, do circuito da Figura 5. Figura 6 Primeira malha, da esquerda para direita, do circuito da Figura 5. A resistência equivalente, agora, será dada pela equação: (12) A resistência equivalente é expressão: a (9) Tal equação é equivalente a: 2º passo: Agora vamos analisar duas malhas do circuito, como se segue na Figura 7: (13) Observando os três primeiros passos, é possível notar que existe um padrão recursivo para esse tipo de circuito, e nós podemos usar esse detalhe para facilitar os cálculos da resistência para n resistores. Observe: Figura 7 As duas primeiras malhas, da esquerda para direita, do circuito da Figura 5. A resistência equivalente entre os pontos A e B é: (14) De acordo com a Tabela 1, podemos assumir que, visto que,

6 6 Tabela 1: Padrão recursivo para o circuito. O valor do resistor equivalente por Razão entre um passo e outro passo Sendo assim, podemos escrever a resistência equivalente ou total, entre os pontos A e B, como: (15) Através da equação (15), podemos facilmente chegar à equação do segundo grau: (16) O resultado encontrado, para a resistência equivalente desse circuito, após a solução da equação, é dado por, já que não serve como resultado físico. Circuito 6: Consideremos agora, através da Figura 9, um segundo modelo de associação mista infinita de resistores: Figura 10 Primeira malha, da esquerda para direita, do circuito da Figura 9. 2º passo: Agora vamos analisar duas malhas do circuito, como segue na Figura 11: Figura 11 As duas primeiras malhas, da esquerda para direita, do circuito da Figura 9. A resistência equivalente entre os pontos A e B é dada pela equação: Figura 9 - Circuito com associação mista. 1º passo: No primeiro passo vamos analisar apenas uma malha do circuito Vejamos na Figura 10. Pelo que se observa, a resistência equivalente é dada por: (18) (17)

7 7 3º passo: Agora, no terceiro passo serão analisadas três malhas do circuito, como segue na Figura 12: E pode ser representado com segue na Figura 13: Figura 12 As três primeiras malhas, da esquerda para direita, do circuito da Figura 9. A resistência equivalente, nesta fase, será dada por: Figura 13 O circuito da Figura 9 pode ser representado desta forma. Isso pode ser verificado através da Tabela 2. Dela, podemos inferir que a resistência equivalente entre o ponto A e B pode ser encontrada resolvendo a equação do segundo grau: (21) (19) Assim usando o mesmo princípio do Circuito 5 (Figura 5), podemos fazer o seguinte: A solução é e, onde apenas a solução serve como resultado físico. Circuito 7: O terceiro modelo será a associação mista infinita de resistores da Figura 14: (20) Figura 14 - Circuito com associação mista infinita. 1º passo: Nesse primeiro passo vamos analisar a primeira malha do circuito, segundo a Figura 15: Tabela 2: Razão entre os passos. O valor do resistor equivalente por passo Razão entre um passo e outro

8 8 (27) Figura 15 Primeira malha, da esquerda para direita, do circuito da Figura 14. 3º passo: No terceiro passo serão analisadas três malhas do circuito, como segue na Figura 17: por: A resistência equivalente é dada (22) 2º passo: Agora vamos analisar duas malhas do circuito, como a seguir na Figura 16: Figura 17 - Uma parte do circuito da Figura 14. A resistência equivalente, agora, será dada por: Figura 16 - As duas primeiras malhas, da esquerda para direita, do circuito da Figura 14. (28) A resistência equivalente entre os pontos A e B é dada por: (23) Nesse caso seria, obviamente, incorreto propor que: (24) (29) Observe que, e por isso vamos ter que reorganizar a equação (24) de forma que ela apresente o padrão recursivo. Vejamos: (25) (26)

9 9 (30) (31) Assim, Assim como nos casos anteriores, analisando a Tabela 3, notamos que. Vamos demonstrar que o limite da razão quando, Logo, temos que: (33) Agora reescrevendo a equação (31), considerando, temos: (34) Assim, teremos: (32) (35) Agora vamos demonstrar que o limite da razão quando, Simplificando, temos que: (36) de r é: O valor de para qualquer valor (37) Reescrevendo, temos que: Tabela 3: Aglutinação dos passos quando e. Razão entre um passo e outro, quando O valor do resistor equivalente por passo Razão entre um passo e outro, quando

10 10 Note que apenas o serve como resultado físico. Assim, concluímos a demonstração proposta em todos os passos. Considerações Finais Este artigo teve como objetivo verificar se as frações contínuas atuam como facilitadoras na resolução de exercícios de Física envolvendo circuitos infinitos. Além disso, procurou-se investigar se suas aplicações na aproximação de números representam boas estratégias para a resolução de problemas que envolvem tais circuitos. Os resultados do estudo permitiram chegar a distintas conclusões e algumas apontando similaridades entre os resultados de outras pesquisas. [7] Como estratégias, utilizou-se a associação infinita de resistores, envolvendo alguns exemplos de circuitos, devidamente desmembrados passo a passo para facilitar a compreensão dos resultados. O uso de frações contínuas, utilizadas na resolução de sistemas de circuitos infinitos, mostrou-se eficaz e importante, uma vez que atuaram como facilitadoras no processo de resolução dos exercícios. Durante o desenvolvimento das questões propostas percebeu-se que os circuitos mistos infinitos de resistores podem ser aproximados a circuitos com no máximo quatro malhas. Similarmente, constatou-se que os circuitos com quatro malhas são bem factíveis. Não se pode deixar de salientar que a falta de conhecimentos matemáticos dos alunos, pode representar uma grande dificuldade às atividades propostas, trazendo consequências negativas ao ensino de Física [12]. Porém, essa condição não ofusca a possibilidade de realização de um trabalho pedagógico capaz de chegar a resultados surpreendentes. Referências [1] DORNELES, P. F. T. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Instituto de Física. Programa de Pós-Graduação em Física. Investigação de ganhos na aprendizagem de conceitos físicos envolvidos em circuitos elétricos por usuários da ferramenta computacional Modellus, Rio Grande do Sul, [2] DORNELES, P. F. T.; ARAUJO, I. S.; VEIT, E. A. Simulação e modelagem computacionais no auxílio à aprendizagem significativa de conceitos básicos de eletricidade: Parte I circuitos elétricos simples. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 28, p , [3] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, v. 3, p. [4] D AMBRÓSIO, U Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus Editora, [5] DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, v. 2, [6] ANDRADE, E. X. L. D.; BRACCIALI, C. F. Frações Contínuas: algumas propriedades e aplicações. II Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática. Salvador: [s.n.] p [7] JÚNIOR, D. P. F.; LIMA, F. M. S. Usando frações continuas para resolver um problema de eletricidade de forma criativa. Física na Escola, v. 7, p , [8] LIMA, M. A. F. D. Frações Contínuas que correspondem a séries de potências em dois pontos. Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. São Jose do Rio Preto, p [9] OLDS, C. D. CONTINUED FRACTIONS. NEW MATHEMATICAL LIBRARY, New York, [10] POMMER, W. M. Frações contínuas no Ensino Médio? SEMA FEUSP. São Paulo: [s.n.]

11 11 [11] NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica III - Eletromagnetismo. 1ª Edição. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, v. 3, [12] MOREIRA, G. E.; MANRIQUE, A. L. Challenges in Inclusive Mathematics Education: Representations by Professionals Who Teach Mathematics to Students with Disabilities. Creative Education, Desenvolvimento: desafios e conquistas. Educação Matemática em Revista, p , [14] PIAGET, J. Problemas gerais da investigação interdisciplinar e mecanismos comuns. Rio de Janeiro: Bertrand, coleção Ciências Sociais e Humanas, v. 8, [13] MOREIRA, G. E. Resolvendo problemas com alunos com Transtornos Globais do