Pontos Interiores versus Lagrangeano Aumentado na Otimização do Despacho Hidrotérmico

Transcrição

1 Pontos Interiores versus Lagrangeano Aumentado na Otimização do Despacho Hidrotérmico Ana P. Oening, Débora C. Marcilio, Marcelo R. Bessa Instituto de Tecnologia para o Desenvolvimento LACTEC , Curitiba, Pr. ana.oening@lactec.org.br, debora@lactec.org.br, bessa@lactec.org.br Luis C. Matioli, Mariana Kleina Universidade Federal do Paraná - Departamento de Matemática , Centro Politécnico, Curitiba, Pr. matioli@ufpr.br, marianakleina@hotmail.com Márcio Luís Bloot COPEL Companhia Paranaense de Energia Curitiba, Pr. mlbloot@copel.com Resumo: O problema do despacho hidrotérmico consiste na otimização do despacho das usinas hidro e termelétricas, onde a principal decisão é o quanto se deve despachar nas usinas hidrelétricas: se a decisão tomada for utilizar a água no presente despachando as usinas hidrelétricas e no futuro as afluências forem baixas, ter-se-á um custoso déficit de energia. Por outro lado se a decisão for de economizar água despachar as usinas térmicas e as afluências futuras forem altas, o resultado será em vertimento de água, o que significa que não foi aproveitado todo o potencial hidráulico do sistema. A proposta deste trabalho tem como finalidade otimizar o problema do despacho hidrotérmico formulado como um problema de otimização não linear, tendo como objetivo a minimização dos custos operacionais da geração térmica e do custo de eventuais déficits de energia. As restrições consideradas são: o atendimento à demanda, balanço hídrico e defluência mínima total para o reservatório. Adicionalmente, são consideradas as restrições operativas que estão representadas pelos limites inferior e superior das variáveis. Quando modelado matematicamente o problema do despacho é um problema de otimização não linear, cuja solução depende de métodos de otimização robustos. Neste trabalho foram utilizados os métodos matemáticos Lagrangeano Aumentado e Pontos Interiores. Para efeito de comparação das metodologias e análise dos resultados, foi elaborado um sistema teste reduzido composto por 20 usinas hidráulicas e 32 usinas térmicas distribuídas em dois subsistemas além de um terceiro subsistema composto apenas pela usina Itaipu, onde a geração dessa usina é utilizada nos outros dois subsistemas. Introdução Atualmente, o Operador Nacional do Sistema Elétrico ONS utiliza uma cadeia de softwares desenvolvidos pelo Centro de Pesquisas de Energia Elétrica CEPEL, onde o modelo principal é o NEWAVE que trata da otimização do despacho hidrotérmico no médio prazo. O NEWAVE foi desenvolvido com base na tecnologia de Programação Dinâmica Dual Estocástica PDDE [11] e [12], cuja base consiste na decomposição de Benders [1] e na hipótese simplificadora de reservatórios equivalentes. No entanto, deve-se ressaltar que desde a criação da primeira versão desses softwares, o Setor Elétrico Brasileiro SEB sofreu grandes transformações: O SEB era predominantemente estatal e centralizado, com forte predominância hidrelétrica e com uma folga na geração que permitia acomodar as imprecisões decorrentes das linearizações adotadas. Dessa forma, considera-se de grande relevância para o SEB a pesquisa que envolve o desenvolvimento de outros modelos de otimização do despacho hidrotérmico, que melhor se 1162

2 ISSN adeque ao cenário atual, visando atender ao mercado de energia elétrica com o menor custo possível e garantindo a oferta futura de recursos energéticos. A modelagem do despacho hidrotérmico adotada nesse trabalho tem como objetivo a minimização dos custos provenientes da geração de energia através das usinas termelétricas e o custo de déficit gerado por uma possível falta de energia, levando em consideração restrições de atendimento à demanda, balanço hídrico, restrições de defluência mínima e restrições operativas. Matematicamente, tem-se um problema não linear de grade porte, não convexo e diferenciável, cuja solução depende de métodos robustos. Os métodos de programação não linear utilizados foram Lagrangeano Aumentado e Pontos Interiores, que são conhecidos na literatura por resolver problemas com as características do problema do despacho hidrotérmico. Dessa maneira tem-se uma gama de resultados oriundos da aplicação dos dois métodos, no sistema teste formulado, que podem ser comparados e analisados. Despacho Hidrotérmico Nesta seção, são apresentados os principais componentes de um sistema hidrotérmico de geração, visando o modelo matemático do problema sob o ponto de vista energético. O modelo considerado consiste na minimização dos custos de geração termelétrica e de déficit energético do sistema, levando em consideração as restrições operativas das usinas, balanço hídrico, atendimento à demanda, defluência mínima total dos reservatórios e limites das variáveis. O modelo matemático do problema é dado por: [ ] 1 Sujeito à: As variáveis envolvidas na descrição do modelo estão relacionadas a seguir: geração da usina térmica durante o período [ - volume armazenado no reservatório para o período [ vazão turbinada da usina durante o período [ vazão vertida da usina durante o período [ para o subsistema - intercâmbio de energia saindo do subsistema [ déficit do subsistema durante o período [ ] no período

3 A função objetivo 1 adotada nesse trabalho consiste em minimizar o valor presente dos custos de geração térmica e de déficit. O custo de geração térmica é uma função que representa o custo da usina térmica para o período e é aproximada por um polinômio de grau 2. O custo de déficit é uma função que representa o custo de déficit do subsistema, ou seja, representa o impacto causado pelo não suprimento da demanda de energia e é aproximado por um polinômio de grau 2. A constante representa o coeficiente de valor presente para o período. A restrição não linear de igualdade 2 tem por objetivo garantir o atendimento da demanda de energia do subsistema no período, representada por. representa o conjunto de subsistemas diretamente conectados ao subsistema, o conjunto de usinas térmicas no subsistema, o conjunto de usinas hidráulicas no subsistema e é a energia gerada na usina no período. As restrições lineares de igualdade 3 e de desigualdade 4 representam, respectivamente, o balanço hídrico e a restrição de defluência total mínima. A restrição 3 relaciona o volume de um reservatório com o volume do período anterior, as afluências do reservatório e as perdas, onde representa a afluência incremental ao reservatório durante o período [ ], representa o conjunto de reservatórios imediatamente a jusante do reservatório. A restrição 4 garante a utilização dos recursos hídricos para outras atividades além da geração de eletricidade, como controle de cheias, navegabilidade de rios e irrigação, entre outras, e a variável representa a vazão total mínima de defluência do reservatório no período [ ]. Os limites das variáveis de otimização estão descritas em 5 e tem como finalidade representar as limitações inerentes a cada variável de decisão. Vale ressaltar que a modelagem do despacho hidrotérmico utilizada nessa pesquisa leva em consideração tanto as usinas hidrelétricas quando as usinas termelétricas de forma individualizada, agregando apenas as usinas pertencentes a um mesmo subsistema na restrição de atendimento à demanda 2. Métodos Matemáticos O método de Pontos Interiores PI [17] é um método de penalidade que consiste basicamente em trabalhar com problemas compostos somente com restrições de igualdade. As restrições de desigualdade são transformadas em igualdades através do acréscimo de variáveis de folga não negativas [13] e [16] Estas são penalizadas na função objetivo através de uma função barreira [7], neste trabalho é usada a função barreira logarítmica. A função barreira tem a propriedade de tender ao infinito quando o ponto se aproxima da fronteira do conjunto viável [7]. Um parâmetro de penalidade positivo, conhecido como parâmetro barreira, é multiplicado à função barreira e tende a zero quando a solução se aproxima da solução ótima [13]. As condições de otimalidade de primeira ordem, conhecidas como condições de Karush-Kuhn- Tucker KKT [16] são aplicadas a função Lagrangeano [13] e [10] associada ao problema penalizado resultando em um sistema de equações não lineares. Nesse sistema é utilizado o método de Newton [10] para encontrar a solução e então o tamanho do passo é calculado [16]. Por fim atualizam-se as variáveis e o parâmetro barreira. Esse processo iterativo é realizado até que sejam satisfeitas as condições de KKT. O método de Pontos Interiores necessita do cálculo das derivadas de primeira e segunda ordem do problema. No caso do problema do despacho hidrotérmico a derivada segunda associada à restrição de atendimento à demanda resulta em uma matriz Hessiana, cuja estrutura é bastante esparsa e de difícil cálculo analítico. Dessa maneira optou-se por uma simplificação, que se baseia no método de Gauss-Newton, onde essa informação é desconsiderada [6]. Métodos de Lagrangeanos Aumentados LA [10] são iterativos e baseados em penalização e a cada iteração transformam o problema original restrito em um problema irrestrito. Para tanto a estratégia utilizada é a de penalização. As restrições consideradas de difícil trato são acrescidas à função objetivo juntamente com um parâmetro de penalidade e multiplicadores de Lagrange. 1164

4 Assim, cada iteração o método resolve um problema irrestrito, gerado pela penalização das restrições. O critério de convergência utilizado nesse processo é a condição de otimalidade e a viabilidade com relação ao problema original, onde a cada passo em que esses critérios não forem satisfeitos os multiplicadores de Lagrange e o parâmetro de penalidade são atualizados. O método de Lagrangeano Aumentado implementado nesse trabalho emprega a função penalidade definida por Powell Hestenes e Rockafellar [15], as atualizações dos multiplicadores de Lagrange são realizadas de maneira usual forçando satisfazer as condições de KKT. A atualização do parâmetro de penalidade se baseia na metodologia adotada no artigo [2], onde os autores monitoram o atendimento as restrições, para aumentar, diminuir ou manter constante esse parâmetro. A metodologia adotada para a utilização do método Lagrangeano Aumentado se baseia nos artigos [3] e [4], onde os autores penalizam as restrições lineares de desigualdade e igualdade e não linear de desigualdade. Dessa penalização resulta um problema de minimização onde a função objetivo é a função Lagrangeano Aumentado restrita a limitações nas variáveis. Para resolver esse problema é usado o método de Gradiente Espectral Projetado SPG. O método SPG se origina do principio que o método do Gradiente Projetado é de fácil implementação e bastante eficiente. A partir desse conceito, os autores em [3] combinaram esse método a dois ingredientes de otimização. Primeiro, estenderam as estratégias de globalização típicas associadas a estes métodos para o esquema de busca linear não monótona desenvolvido por Grippo, Lampariello e Lucidi em [4] para o método de Newton o que representou uma grande melhoria em relação aos métodos de gradiente projetado tradicionais. Segundo, propuseram a associação do passo espectral, introduzido por Barzilai e Borwein [13] e analisado por Raydan [14]. O passo espectral é um quociente de Rayleigh relacionado com uma média da matriz Hessiana. Esta escolha do tamanho do passo requer pouco esforço computacional e aumenta a velocidade de convergência dos métodos de gradiente projetados. Sistema Teste e Resultados O sistema teste considerado nesse trabalho é composto por 32 usinas térmicas e 21 usinas hidráulicas, tendo como base as bacias dos rios Paranapanema, Iguaçu e Uruguai que estão distribuídas nos subsistemas denominados Sub1 e Sub2. O subsistema 3 Sub3 é composto apenas pela usina Itaipu, sendo constituído somente de geração de energia, que pode ser utilizada tanto no Sub1 quanto no Sub2. A capacidade de geração térmica do Sub1 é de e do Sub2 é de MWmédio, a Figura 1 contém o esquema de distribuição das usinas hidráulicas por subsistemas e a capacidade de geração hidráulica por subsistema é dado por: MWmédio para o Sub1, para o Sub2 e para o Sub3. A demanda considerada é de para o Sub1 e de para o Sub2 as quais são constantes para todo o período a ser otimizado. Existe uma linha de intercâmbio entre os subsistemas 1 e 2. Tanto pode haver intercâmbio do Sub1 para o Sub2 como do Sub2 para o Sub1. A capacidade de transmissão dessa linha é de Para a transmissão da geração do Sub3 é considerado duas linhas: uma para o Sub1 com capacidade de e outra para o Sub2 com capacidade de transmissão de

5 ISSN SUBSISTEMA 1 Rio Paranapanema SUBSISTEMA 2 Rio Iguaçu Rio Jordão JURUMIRIM PIRAJU G. B. MUNHOZ STA. CLARA PR CHAVANTES OURINHOS Rio Tibagi SEGREDO FUNDÃO Rio Uruguai L. N. GARCEZ S. SANTIAGO CANOAS II MAUÁ CANOAS I MACHADINHO S. OSÓRIO CAPIVARA ITÁ S. CAXIAS TAQUARUÇU ROSANA Legenda Reservatório de acumulação ITAIPU Reservatório a fio dágua SUBSISTEMA 3 Figura 1: Distribuição das usinas hidráulicas por subsistema Todas as rotinas foram programadas em MATLAB 2010a. Para agilizar o processamento das 73 séries históricas de 1931 a 2003 foi utilizado um cluster composto por 1 head-node nó de controle e 18 worker-nodes nó de processamento. Cada um dos nós do cluster é composto por 2 processadores com 6 núcleos de processamento físico e mais 6 núcleos de processamento lógico o que totaliza um poder de processamento de 24 núcleos por nó, totalizando 432 núcleos de processamento. A distribuição das 73 séries históricas nos núcleos de processamento foi feito por meio de um Job, o qual foi responsável por alocar 6 núcleos de processamento para cada uma das séries, sendo que para cada conjunto o código foi o mesmo variando apenas os dados de entrada. O gráfico apresentado na Figura 2 é composto pelos despachos ótimos dos 73 testes, para melhor compreensão foram calculadas as médias das variáveis otimizadas: geração térmica GT média e geração hidráulica GH média. A distinção entre os métodos aparece em frente às variáveis otimizadas como LA e PI, a demanda e a geração térmica máxima GT máxima são as mesmas para todos os testes. LA x PI Mwmédio GT média LA GH média LA GT média + GH média LA GT média PI GH média PI GT média + GH média PI demanda GT máxima Figura 2: Comparação entre os métodos LA e o PI

6 ISSN A diferença entre a curva que representa a soma das médias da geração térmica e hidráulica GT média + GH média com a reta que representa a demanda pode ser interpretada como o déficit gerado no período, ou seja, ambos os métodos não conseguiram atender integralmente a demanda considerada naquele período, fato que pode ser justificado por períodos de afluências baixas. Quando analisados os testes separadamente nota-se que em ambas as metodologias a geração hidráulica acompanhou as afluências do período, o que caracteriza um aproveitamento hidráulico satisfatório. Os dois métodos tiveram o mesmo comportamento em relação à geração de energia proveniente das usinas hidráulicas e térmicas, conforme Figura 2. A diferença básica entre os métodos é o tempo de processamento, o método LA teve um tempo médio de 23 minutos para o processamento de cada série enquanto o PI demorou 27 minutos em média. Na Figura 3 pode-se notar que alguns testes não convergiram ou o tempo de processamento do PI é bastante elevado em comparação ao tempo do LA, essa diferença pode ser originada devido às características hidrológicas dos períodos correspondentes. Ou seja, dependo da disponibilidade hídrica para o período em questão, a matriz resultante do sistema que calcula a direção de Newton tende a ficar quase singular, acarretando um complicador para o método PI. Tempo de Processamento min LA 1 3 PI Figura 3: Comparação entre os métodos LA e o PI Conclusão Os dois métodos obtiveram resultados satisfatórios levando em consideração o sistema teste formulado. O LA obteve convergência em todas as séries hidrológicas testadas e o PI na grande maioria delas. Devido às características hidrológicas de alguns períodos nota-se que o PI tem maior dificuldade em resolver alguns problemas, o que pode ser explicado pela dificuldade que o método encontra para resolver o sistema que calcula as direções de Newton. Ou seja, dependendo da disponibilidade hídrica para o período em questão, a matriz resultante desse sistema tende a ficar quase singular. Quanto ao desempenho dos métodos, se comparados na média, tem-se que o despacho dos dois métodos é parecido conforme pode ser visualizado na Figura 2. Diferenciando apenas quando ao tempo computacional em que o PI em média demora mais que o LA para otimizar as séries hidrológicas. Agradecimentos Esta pesquisa é possível graças ao financiamento da ANEEL através do Projeto Estratégico de Pesquisa e Desenvolvimento ANEEL PE /2009, Otimização do 1167

7 Despacho Hidrotérmico através de Algoritmos Híbridos com Computação de Alto Desempenho, com o apoio das seguintes concessionárias: COPEL, DUKE, CGTF, CDSA, BAESA, ENERCAN, CPFL PAULISTA, CPFL, PIRATININGA, RGE, AES TIETÊ, AES URUGUAIANA, ELETROPAULO, CEMIG e CESP. Referências [1] J. F. Benders, Partitioning Procedures for Solving Mixed-Variables Programming Problems, Numerische Mathematik, vol. 4, 1962, pp [2] E. G. Birgin, J. M. Martínez, Augmented Lagrangian Method with Nonmonotone Penalty Parameters for Constrained Optimization, Computational Optimization and Applications, [3] E. G. Birgin, J. M. Martínez and M. Raydan, Nonmonotone Spectral Gradient Methods on Convex Sets, SIAM Journal on Optimization, vol. 10, 2000, pp [4] E. G. Birgin, J. M. Martínez and M. Raydan, SPG: Software for Convex Optimization, ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 27, 2001, pp [5] J. M. Borwein, J. Barzilai, Two Point Step Size Gradient Methods, IMA Journal of Numerical Analysis, vol. 08, 1988, pp [6] J. E. Dennis, Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations, Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, [7] A. Friedlander, Elementos de Programação Não Linear, Unicamp, Campinas, [8] L. Grippo, F. Lampariello and S. Lucidi, A Nonmonotone Line Search Technique for Newton s Method, SIAM Journal on Numercial Analysis, vol. 23, 1986, pp [9] D. G. Luenberger, Linear and Nonlinear Programming, Springer, Nova York, [10] J. Nocedal, S. Wright, Numerical Optimization. Springer, Nova York, [11] M. V. F. Pereira, Optimal Stochastic Operations Scheduling of Large Hydroelectric Systems, International Journal of Electrical Power & Energy Systems, vol. 11, 1989, pp [12] M. V. F. Pereira and L. M. V. G. Pinto, Stochastic optimization of a Multireservoir Hydroelectric Systems: a Decomposition Scheduling, Water Resources Research, vol. 21, 1985, pp [13] V. H. Quintana, G. L. Torres, On a nonlinear multiple-centrality-corrections interiorpoint method for optimal power flow, IEEE Transactions on Power Systems, vol.16, no. 2, 2001, pp [14] M Raydan. On the Barzilai and Borwein choice of Steplenght for the Gradient Method, IMA Journal of Numerical Analysis, vol. 13, 1993, pp [15] R. T Rockafellar, A dual approach for solving nonlinear programming problems by unconstrained optimization, Mathematical Programming, vol. 5, 1973, pp [16] R. J. Vanderbei, D. F. Shanno. An Interior-Point Algorithm for Nonconvex Nonlinear Programming, Comp. Optim. Appl., vol. 13, 1999, pp [17] S. J. Wright, Primal-Dual Interior-Point Methods, SIAM, Philadelphia,