UM BREVE RELATO DO DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÃO

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1 UM BREVE RELATO DO DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÃO Viviane Dal Molin de Souza Departamento de TI, Universidade Tuiuti do Paraná - UTP Rua Sydnei Antônio Rangel Santos, 238, Santo Inácio, , Curitiba, PR. Viviana Cocco Mariani - viviana.mariani@pucpr.br Pontifícia Universidade Católica do Paraná, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Rua Imaculada Conceição, 1155, Prado Velho, , Curitiba, PR. Resumo. Alguns séculos se passaram para que o conceito de função atingisse uma das formas que atualmente é apresentada nas instituições de ensino. A evolução deste conceito aconteceu de maneira gradativa por meio de noções vagas e inexatas. Segundo alguns pesquisadores esta evolução teve seu inicio há cerca de 4000 anos e somente nos três últimos séculos apresentou verdadeiramente o desenvolvimento da noção de função. Assim, este trabalho pretende apresentar uma breve explanação cronológica da formalização desse conceito até os nossos dias. Muitos estudiosos contribuiram para a formalização do conceito, notação e classificação das funções, que hoje são ferramentas usadas por matemáticos e por cientistas para descrever as relações entre quantidades variáveis e, assim, desempenham um papel central no cálculo e nas aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento. Palavras-chave. funções, educação matemática, história. 1. INTRODUÇÃO Investigando a história, em específico da matemática, notamos que o conhecimento matemático disponível, que hoje conhecemos e divulgamos, não foi concebido de um momento para o outro, em um momento único e isolado. Muitos pesquisadores e pensadores contribuiram durante milênios para a formalização da Matemática. Resumindo, foram muitas as dificuldades vivenciadas por esses matemáticos para chegar ao formalismo disponível hoje e que usamos sem se quer refletirmos. Assim, a história da matemática está presente no nosso dia a dia, porque a Matemática ainda está sendo construída, não é uma ciência acabada. Sabemos que em quase todos os ramos da Ciência o processo de desenvolvimento é tanto no sentido de correção quanto de extensão, contudo na Matemática o enfoque principal é a extensão. Todo o conhecimento matemático já disponível é base para o desenvolvimento de novos teoremas, aplicações e conjecturas, fazendo com que a Matemática continue evoluindo. O objetivo principal deste trabalho é apresentar uma breve revisão histórica sobre o desenvolvimento de um conceito matemático utilizado em diversas áreas, função. Só para o desenvolvimento formal deste conceito foram

2 1244 necessários mais de 4000 anos, o que demonstra o rigor exigido pelos matemáticos até a sua formalização. A investigação no presente trabalho da evolução da noção de função se justifica porque de acordo com Garcia Blanco (1998) o conceito de função é um conceito vivo dos mais importantes e centrais em todos os níveis. Além do que muitos matemáticos educadores preocupam-se com os processos de ensino e aprendizagem de funções podendo citar os trabalhos recentes de Zuffi (2001), Sá et al. (2003) e Costa (2004). 2. ASPECTOS HISTÓRICOS Não sabemos como surgiu o conceito de função, contudo acreditamos que tal conceito surgiu de forma intuitiva da necessidade de resolver problemas práticos onde havia interdependência entre duas grandezas distintas. Segundo Zuffi (2001),... não parece existir consenso entre os autores, a respeito da origem do conceito de função [talvez pelo seu próprio aspecto intuitivo]. Alguns deles consideram que os Babilônios (2000 a.c.) já possuíam um instinto de funcionalidade [grifos do autor] (...) em seus cálculos com tabelas sexagesimais de quadrados e de raízes quadradas (...) que eram destinadas a um fim prático. As tabelas, entre os gregos, que faziam a conexão entre a Matemática e a Astronomia, mostravam evidência de que estes percebiam a idéia de dependência funcional, pelo emprego de interpolação linear. Chaves e Carvalho (2004) acreditam que esta noção surgiu em tempos mais remotos, conforme segue, Nós, porém, reportamo-nos a tempos mais remotos, pois entendemos que todas as relações criadas pelas civilizações antigas para a invenção do número, necessidade primeira da matematização, já constituía o instinto de funcionalidade citado anteriormente. Quando associaram os dedos às quantidades, e quando viram que estes já não eram mais suficientes e buscaram outros elementos para contar/enumerar estavam vivenciando a interdependência de variáveis que fluíam para a formação de sistemas de numeração cada vez mais adequados/práticos. Para Youschkevich (1976) o desenvolvimento da noção de função divide-se em três etapas principais, sendo elas: Antigüidade: Nesta época verifica-se o estudo de alguns casos de dependência entre duas quantidades, sem ainda destacar a noção de variáveis e funções; Idade Média: Época em que se expressavam as noções de funções sob forma geométrica e mecânica,

3 1245 porém ainda prevalecendo as descrições gráficas ou verbais; Período moderno: A partir do século XVI e especialmente durante o século XVII, começam a prevalecer às expressões analíticas de função, sendo que o método analítico de introdução à função revoluciona a matemática devido a sua extraordinária eficácia e assegura a esta noção um lugar de destaque em todas as ciências exatas. Kleiner (1989) descreveu em seu trabalho alguns estágios da evolução do conceito de função, partindo do instinto de funcionalidade presente em tabelas elaboradas por astrônomos babilônicos ou em estudos geométricos referentes ao cálculo de áreas desenvolvidos pelos gregos. No período de 20 séculos antes de Cristo até o século XIV, as relações funcionais eram, na sua maioria, descritas de maneira verbal ou por meio de relações númericas expressas por tabelas (Costa, 2004). A civilização babilônica registrava suas informações em tabletes de argila, sendo que alguns apresentavam tabelas com duas colunas. Como por exemplo, pode-se mencionar as tábuas de multiplicação, em que para cada número apresentado na primeira coluna, havia um número na segunda coluna que representava o resultado da multiplicação do número da primeira coluna por um valor fixo. Assim, nas tábuas babilônicas já aparecia uma representação de função em forma de tabelas sexagemais de quadrados e raízes quadradas, podendo ser entendidas como funções tabuladas, isto há 2000 anos a. C. (Youschkevich, 1976). Saindo das primeiras idealizações sobre o conceito de função e chegando na Idade Moderna, o conceito de função apareceu mesmo pela primeira vez com Oresme ( ) que descreveu graficamente a dependência entre a velocidade e o tempo usando linhas verticais e horizontais, para um corpo que se move com aceleração constante. Ao longo da reta horizontal ele marcou pontos representando instantes de tempo (ou longitudes), e para cada instante ele traçou perpendicularmente à reta de longitude de um segmento de reta (latitude) cujo comprimento representava a velocidade. Os termos latitude e longitude que Oresmes usou são equivalentes num sentido amplo à ordenada e abscissa e a sua representação gráfica assemelha-se a geometria analítica.

4 1246 A representação gráfica de funções, conhecida então como latitude de formas continuou a ser um tópico popular desde o tempo de Oresme até o de Galileu. Oresme chegou a sugerir uma extensão a três dimensões de sua latitude de formas em que uma função de duas variáveis independentes era representada como um volume formado de todas as ordenadas segundo uma regra dada, em pontos no plano de referência (Boyer, 1996). Kline (1972) destacou que durante os séculos XVI e XVII, ao longo da história do desenvolvimento do estudo dos movimentos, originou-se o conceito de função ou uma relação entre as variáveis, o qual foi fundamental para praticamente todo o trabalho dos próximos duzentos anos. Para descrever fenômenos da natureza através da Matemática, Galileu Galilei ( ) utilizou grandezas físicas que se inter relacionavam como uma maneira de modelar funções, de forma a ter uma variável que dependia da outra. Diferentemente de seus contemporâneos, seu interesse não era descobrir a causa desses fenômenos, mas descrevê-los algebricamente para que, de posse das condições iniciais, pudesse prever o comportamento de determinados acontecimentos mediante as equações (Boyer, 1996). A primeira definição explicita de função foi apresentada em 1667 por James Gregory ( ). Gregory era matemático e astrônomo escocês nascido em Drumoak. Na Itália estudou com Stefano Degli Angeli, desenvolvendo trabalhos com séries de funções e processos infinitos. Segundo Kline (1972) a definição de James Gregory sobre funções se perdeu. René Descartes ( ) estabeleceu uma relação de dependência entre quantidades variáveis utilizando uma equação em x e y, possibilitando o cálculo de valores de uma variável a partir dos valores da outra. Numa tentativa de algebrizar a geometria, Descartes introduziu formas euclidianas dentro de um plano bidimensional determinados por dois eixos perpendiculares entre si, mais tarde chamado de plano cartesiano. Círculos, triângulos, cônicas, etc., eram determinados por equações que mantinham dependência entre suas variáveis (Chaves e Carvalho, 2004). As primeiras contribuições efetivas para a construção do conceito de função surgiram com os trabalhos de Isaac Newton ( ) e GottFried Wilhelm Leibniz ( ). Newton estabeleceu pela primeira vez um termo específico para funções, ao utilizar o nome fluentes para representar algum

5 1247 relacionamento entre variáveis, descrevendo suas idéias de função ligadas à noção de curva e a taxas de mudanças de quantidades que variavam continuamente. Leibniz ( ) não é o responsável pela moderna notação para função, mas é a ele que se deve a palavra função, praticamente no mesmo sentido que é usada hoje. Ele introduziu este conceito em 1694 para descrever quantidades relacionadas a uma curva, tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da curva, atualmente denotadas por funções diferenciáveis formando a base do cálculo infinitesimal. Em 1676 Leibniz fala sobre funções racionais, irracionais, algébricas ou transcendentes (palavra que Leibniz inventou). Posteriormente o termo foi utilizado para quantidades dependentes ou expressões. Também introduziu as palavras: constantes, variáveis e parâmetros (Boyer, 1996, Ferreira, 2005). Mais tarde, em 1698 Jean Bernoulli ( ), adota a terminologia de Leibniz para função de x. Uma função de um valor variável é uma expressão analítica, que é composta de valor variável e valores constantes. Em 1718 Bernoulli faz a distinção entre função e o valor da função, mas não fala da unicidade, sendo esta a primeira definição de função; considerou função como uma expressão formada de uma variável e algumas constantes. Bernoulli experimentou várias notações para uma função, das quais fx é a que mais se aproxima da atualmente utilizada (Boyer, 1996). Nesse momento a definição de função era uma conjectura puramente abstrata voltada para o campo conceitual da matemática e demonstrava um certo encantamento pela álgebra onde função é dada como uma expressão algébrica (Zuffi, 2001). O desenvolvimento posterior, essencial do conceito de função, foi trabalho de Leonard Euler ( ), discípulo de Bernoulli, que aplicou a idéia de fluentes de Newton para a Análise que é um ramo mais abrangente da Matemática. Euler apresentou como exemplo uma função contendo raízes quadradas, mostrando que ainda não se considerava a unicidade para o valor da função. Não se falava em domínio nem em contradomínio. Para Euler função só eram as contínuas, também não era somente a expressão analítica, mas a curva traçada a mão livre, e sem cantos.

6 1248 Os estudos de Euler foram essenciais para o desenvolvimento do conceito de função, trazendo grandes contribuições para a linguagem simbólica e as notações utilizadas hoje, como por exemplo, foi Euler quem formalizou a notação y = f(x) para representar uma função qualquer envolvendo variáveis e constantes (Youschkevich, 1976; Boyer, 1996). Para Boyer (1996) Euler foi o fundador da Análise, uma vez que a organizou e colocou numa base formal, isolada da Geometria. E apesar de Euler não ter sido o precusor no que se refere à noção de função, foi ele o primeiro a tratar o Cálculo como uma teoria formal de funções. Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar estranhos objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente foram tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano. Kline (1972) afirma que o matemático francês Jean-Louis Lagrange ( ) define função de uma ou mais variáveis como qualquer expressão em que estas variáveis intervem de qualquer maneira. Para Lagrange as funções representam operações distintas que se realizam sobre quantidades conhecidas para obter os valores de quantidades desconhecidas. Ou seja, uma função é uma combinação de operações. D Alembert ( ) tinha instrução ampla, em direito, medicina, ciência e matemática, ao estudar o problema das cordas vibrantes ele obteve a equação diferencial parcial 2 u t = u x cuja solução é u = f(x + t) + g(x - t), onde f e g são funções arbitrárias. Euler fez progressos nesse ramos da análise obtendo para a equação mais geral u t = a u x cuja solução é u = f(x + at) + g(x - at). (Boyer, 1996). Talvez o mais influente da nova geração de matemáticos ativos em 1820 em Paris fosse Joseph Fourier ( ). A contribuição principal de Fourier foi a idéia, percebida por Daniel Bernoulli, de qualquer função y = f(x) poder ser representada por uma série da forma conhecida na atualidade como série de Fourier. Tal representação fornece uma generalidade muito maior que a série

7 1249 de Taylor, quanto ao tipo de funções que podem ser estudadas. Mesmo que existam muitos pontos em que a derivada não exista ou em que a função não é contínua a função pode ter expansão em série de Fourier (Boyer, 1996). Bernhard Bolzano ( ) nasceu em Praga e foi um dos pioneiros da exigência de total formalização e rigor lógico das demonstrações matemáticas em que, até então, se admitia a introdução de conclusões com base na intuição. É tido como um solitário no seu trabalho que veio a ser, no entanto, retomado e continuado por outros matemáticos notáveis como Cauchy, George Cantor e Richard Dedekind, na linha de uma progressiva formalização e rigor. Num trabalho publicado em 1817, Bolzano apresentou definições rigorosas de função contínua e de derivada de uma função, tendo ainda estabelecido formalmente as relações entre derivabilidade e continuidade de uma função. Durante o século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construisse o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética ao invés de sobre a Geometria, o que favorecia a definição de Euler em relação à de Leibniz. No final do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática usando teoria de conjuntos conseguindo obter definições de todos os objetos matemáticos em termos desta teoria. Assim, notamos que a formalização do conceito de função teve que ultrapassar muitos obstáculos ferramentais, pois esses pesquisadores trabalhavam com linhas de raciocínio não coincidentes entre si, mas conseguiram desenvolver idéias que quando apresentadas no século XIX tiveram em Dirichlet a definição de função mais próxima da que temos hoje. Dirichlet ( ) em 1837 sugeriu uma definição geral para função, considerada a definição formal de função moderna, onde função é um caso especial de uma relação. Se uma variável y está relacionada com uma variável x de modo que, sempre que um valor numérico é atribuído a x, existe uma regra de acordo com a qual é determinado um único valor y, então se diz que y é função da variável independente x. Isto está próximo do ponto de vista moderno de uma correspondência entre dois conjuntos de números, mas os conceitos de conjunto e de número real não tinham ainda sido estabelecidos (Boyer, 1996).

8 1250 A definição dada por Dirichlet foi explicitamente a primeira a limitar o domínio de uma função a um intervalo, o que antes era compreendido por todo o conjunto dos reais, além disso, esse matemático foi o primeiro a trabalhar a noção de função como uma correspondência arbitrária (Costa, 2004). Na maior parte dos casos de interesse prático, entretanto, as diferenças entre as definições moderna de função e a definição de Euler são desprezíveis. Na segunda metade do século XIX, uma onda de exemplos de funções baseada na definição de Dirichlet foi apresentada pelos matemáticos daquele período (Costa, 2004). Dois jovens em Göttingen (Alemanha) seriam influenciados por Dirichlet, um foi Dedekind ( ) e o outro Riemann ( ), apresentaram o conceito de função dizendo que: Uma aplicação φ de um sistema S é uma lei, que associa a cada elemento s de S uma certa coisa, que é chamada imagem de s e que escrevemos φ (s), onde o domínio e o contradomínio podem ser qualquer conjunto, não somente de números, mas de matrizes, vetores, e mesmo de funções (Boyer, 1996). A definição geral de função proposta por Dirichlet foi amplamente aceita até meados do século XX, sendo generalizada cem anos mais tarde por Bourbaki (1935 -?) e utilizada atualmente. A axiomatização mais radical, abrangendo todas as matemáticas, é, sem dúvida, a de Bourbaki. Bourbaki é apenas um personagem inventado por um grupo de matemáticos franceses, cuja ocupação era estudar e desenvolver teorias matemáticas. O nome dos criadores de Bourbaki são Henri Cartan, Elie Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsart, Jean Dieu. O grupo foi crescendo e ainda hoje existe; a maioria dos componentes do grupo possui menos de cinqüenta anos e seu método é a critica impiedosa de cada um a respeito das idéias novas que surgem. O que há de concreto a respeito dos Bourbaki é a obra, já são trinta e cinco volumes admirados no mundo inteiro, fonte de pesquisa completa de álgebra, análise, geometria e topologia, segundo métodos altamente axiomáticos. Dando maior ênfase à área da álgebra abstrata a definição proposta em 1939 por Bourbaki utiliza a teoria dos conjuntos, abrangendo as relações entre dois conjuntos de elementos, não só de números, mas também de qualquer objeto e é expressa por:

9 1251 Uma função é uma terna ordenada (X, Y, f), Sejam X e Y conjuntos, uma relação entre uma variável x X e uma variável y Y é dita relação funcional se qualquer que seja x X existe um único elemento y Y, que esteja na relação considerada. Com esta definição o conceito de função pode ser definido de uma maneira simbólica e formal. Sua importância não está mais em uma regra de correspondência, mas em uma série de correspondências entre os elementos de dois conjuntos (Pelho, 2003). A figura 1 mostra a ordem em que os matemáticos foram aprimorando o conceito de função. Deste modo ao acompanhar de forma cronológica o desenvolvimento do conceito de função, entendemos que o mesmo processo construtivo do saber, pode também se desenvolver na aprendizagem na sala de aula onde cabe ao professor, a partir dos conhecimentos já adquiridos por seus alunos, provocar questionamentos que os levem, de forma gradativa, à elaboração de novos conceitos. FIgura 1 Matemáticos e o aprimoramento do conceito de função. 3. LIVROS DIDÁTICOS E AS DEFINIÇÕES DE FUNÇÕES

10 1252 As funções são usadas por matemáticos e pos cientistas para descrever as relações entre quantidades variáveis e, assim, desempenham um papel central no cálculo e nas aplicações (Anton, 2000). A seguir são apresentadas diferentes definições de funções. Definição 1: Se uma variável y depende de uma variável x, de tal forma que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então diz-se que y é uma função de x (Anton, 2000, p. 19). Definição 2: Quando duas variáveis x e y são tais que cada valor de x corresponde a um valor bem determinado de y, segundo uma lei qualquer, dizse que y é uma função de x (Ávila, 1994, p. 57). Definição 3: Uma função f é um critério que associa uma única saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por x, então a saída é denotada por f(x). Conforme esta definição pode-se dizer que uma função não pode produzir saídas diferentes com a mesma entrada (Anton, 2000, p. 19). Definição 4: Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x, y) no qual dois pares ordenados distintos não têm o primeiro número do par em comun. O conjunto de todos os valores possíveis de x é chamado o domínio da função e o conjunto de todos os valores possíveis de y é chamado de imagem da função (Leithold, 1977, p. 50). Definição 5: Uma função f é uma regra ou uma correspondência que faz associar um e somente um valor da variável y para cada valor da variável x. A variável x é denominada variável independente, pode tomar qualquer valor num certo conjunto de números denominado domínio de f. Para cada valor de x no domínio de f, o valor correspondente de y é denotado por f(x) tal que y = f(x). A variável y é denominada variável dependente, visto que seu valor depende do valor de x. O conjunto de valores assumidos por y à medida que x varia no domínio é denominada a imagem de f (Munem, 1982, p. 21). Segundo Anton (2000) o método de representação de uma função depende de como surge a função, sendo que podem ser representadas de quatro maneiras básicas: numericamente, por tabelas, geometricamente, por gráficos, algebricamente, por fórmulas e verbalmente.

11 1253 Assim, notamos que são muitas as definições para funções existentes, contudo todas descrevem a relação ou dependência entre as variáveis dependente e independente. Com os diferentes significados para a noção de função percebe-se a existência de diferentes Campos Semânticos, que foram classificados por Carneiro et al. (2003), conforme segue: 1. Campo Semântico da Relação Unívoca entre Variáveis: Dadas duas variáveis x e y, y é função de x se cada valor de x determina exatamente um único valor de y. 2. Campo Semântico Elemento/Conjunto: Dados dois conjuntos, A e B, uma função f é uma correspondência de A em B que associa a cada elemento x de A um e só um elemento y de B. 3. Campo Semântico das Transformações: Dada uma figura geométrica F (conjunto contínuo de pontos do plano ou espaço) uma função pode ser vista como uma transformação de F em outra figura T(f) (a imagem da função), através de certas regras. Em Carneiro et al. (2003) uma descrição detalhada de cada um dos Campos Semânticos foi apresentada. 4. CONCLUSÕES Este estudo teve por objetivo compreender a evolução do conceito de função. Para tanto fizemos uma busca em alguns livros e artigos que referiamse a tal tópico. Percebemos durante a realização deste trabalho que o enfoque da história matemática é importante e deveria ser apresentado aos alunos juntamente com os contéudos nas aulas. Por fim, sugerimos que pesquisas subseqüentes foquem a forma como os alunos interpretam e recebem as atividades em um contexto escolar que considere investigações da evolução histórica relacionada a um conteúdo específico. 5. REFERÊNCIAS ANTON, H.. Cálculo um Novo Horizonte. 6 a Edição, V. 1, Editora Bookman, Porto Alegre, RS, ÁVILA, G.. Cálculo I Funções de uma Variável. 6 a Edição. Editora LTC, Rio de Janeiro, RJ, 1994.

12 1254 BLANCO, M. M. G. Conocimiento Profesional del Profesor de Matmaticas. El Concepto de Función como Objeto de Ensenãnza-Aprendizaje. Grupo de Investigación en Educación Matemática. Universidade de Sevilla, BOYER, C. B.. O História da Matemática. 2 a Edição, Editora Edgard Blücher, São Paulo, CARNEIRO, V. C., FANTINEL, P. C., SILVA, R. H., Funções: Significados Circulantes na Formação de Professores, Bolema, 16, n o 19, pp , CHAVES, M. I. de A., CARVALHO, H. C. Formalização do Conceito de Função no Ensino Médio: Uma Seqüência de Ensino-Aprendizagem. VII Encontro Nacional de Educação Matemática, Recife, Anais, pp.1 18, COSTA, A. C.. Conhecimentos de Estudantes Universitários Sobre o Conceito de Função. Dissertação de mestrado em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, FERREIRA, E. S.. História do Conceito de Função. Disponível em acesso em 19 de abril de KLEINER, I. Evalution of the Function Concept: a Brief Survey. In: College Mathematics Journal. USA: n o 20. KLINE, M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. The Function Concept. New York, USA. Oxford University Press, p , LEITHOLD, L.. O Cálculo Com Geometria Analítica. Editora Harper & Row do Brasil. São Paulo, SP, MUNEM, M; FOULIS, D. Cálculo. V. 1. Editora LTC. Rio de Janeiro, YOUSCHKEVICH, A. P.. The Concept of Function. In: Arquive for History of Exact Sciences. Editions Springer, V. 16, n o 1, p.37-85, ZUFFI, E. Alguns aspectos do desenvolvimento histórico do conceito de função. Educação Matemática em Revista, 8, n o 9/10, abrail, Biografia de James Gregory. Disponível em acesso em 15 de maio de SÁ, P. F., SOUZA, G. S., SILVA, I. D. B. A Construção do Conceito de Função: Alguns Dados Históricos, Traços, Belém, V. 6, n. 11, p , ago, 2003