Folha 1 PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

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1 Folha 1 PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1. Num processo de produção de um certo tipo de T-shirts, estas são consideradas defeituosas se apresentarem manchas no algodão ou costuras deficientes. Verificou-se que o processo de produção conduz a: 10% de T-shirts com manchas, 5% com costuras deficientes e 1% com os dois tipos de defeitos. a) Seleccionada uma T-shirt ao acaso da produção diária calcule a probabilidade de ela não ser considerada defeituosa. b) Como é evidente estas imperfeições notam-se e podem afectar o preço da T-shirt. A probabilidade de se registar uma alteração do preço quando a T-shirt possui manchas é de 0,01, aumentando para 0,0 caso tenha costuras deficientes. Para além disso, se a T-shirt possuir manchas e costuras deficientes a referida probabilidade é igual a 0,05, passando para 0,001 quando a T-shirt não está defeituosa. Calcule a probabilidade de o preço de uma T-shirt seleccionada ao acaso, ser afectado. c) Um funcionário encarregado da inspecção de 150 T-shirts, seleccionadas aleatoriamente de um grande lote, deverá contactar de imediato o responsável pelo controlo de qualidade, caso detecte pelo menos 15 T-shirts defeituosas. Determine a probabilidade do referido funcionário efectuar tal contacto.. A agência de modelos SUCESSO decidiu reavaliar os currículos de todos os jovens que representa e constatou que: todos tinham condições para fazer reportagem fotográfica de moda; 0% tinham condições para fazer representação e de entre estes 15% podiam também fazer apresentação de eventos. Constatou ainda que 10% dos jovens eram capazes de apresentar eventos mas não de representar. a) Escolhido ao acaso um desses jovens determine a probabilidade de ele ser capaz de representar ou fazer apresentação de eventos. b) Sabendo que um dado jovem seleccionado ao acaso não tem condições para representar ou não pode fazer apresentação de eventos, calcule a probabilidade de esse jovem ser capaz de representar. c) Considere agora que um representante da TV± pretende seleccionar três jovens para a sua próxima novela e que para esse efeito vai consultar aleatoriamente os currículos dos jovens inscritos na agência SUCESSO. Determine a probabilidade do agente completar a sua selecção após a análise de 0 currículos. 3. Depois de analisar a informação disponibilizada pela empresa XYZ elaborou-se o seguinte quadro relativo ao destino e meio de transporte dos seus produtos (em %): Destino Produtos Meio de transporte expedidos RN CP Outros Norte Centro Sul d) Determine a probabilidade de que um determinado produto siga pela RN? e) Admita que uma dada embalagem seguiu pela RN e se perdeu o rótulo de destino na gare comum de partida. Qual o destino que sugeriria para a embalagem? Justifique numericamente a sua resposta.

2 4. Uma companhia seguradora procede à selecção de angariadores de seguros de vida, baseando-se num índice de aptidão, construído a partir de uma gama completa de testes. Os candidatos são classificados em três categorias: a. índice de aptidão elevado; b. índice de aptidão médio; c. índice de aptidão baixo. A partir de resultados anteriores sabe-se que: 60% dos classificados com índice de aptidão elevado, tiveram êxito nas vendas; 0% dos classificados com índice de aptidão médio, tiveram êxito nas vendas; 0% tiveram índice de aptidão baixo; 0% tiveram êxito nas vendas e nenhum dos classificados com índice de aptidão baixo teve êxito nas vendas. a) Determine a probabilidade de um candidato, escolhido ao acaso, ter um índice de aptidão elevado. b) Determine a probabilidade de um candidato, escolhido ao acaso, apresentar um índice de aptidão elevado, sabendo que teve êxito nas vendas. c) Sabendo que um dado candidato não teve êxito nas vendas qual a probabilidade de não ter sido classificado com um índice de aptidão médio. 5. Os trabalhadores da multinacional EuroPar foram classificados em três níveis de acordo com o grau de instrução: formação mínima, média ou superior. Sabe-se que: Desses trabalhadores 55% têm salário superior a 150 ; 40% dos trabalhadores com formação média têm salário superior a 150 ; 30% dos trabalhadores com formação superior têm salário inferior a 150 ; nenhum dos trabalhadores com formação mínima tem salário superior a 150 ; a percentagem de trabalhadores com formação mínima é de 10%. a) Calcule a probabilidade de um trabalhador escolhido ao acaso nessa companhia ter formação média. b) Determine a probabilidade de um trabalhador seleccionado ao acaso ter formação superior ou mínima sabendo que ganha menos de 150. c) Seleccionados dois trabalhadores ao acaso de um conjunto de 100 com formação superior, qual a probabilidade de ambos terem salário superior a 150.

3 Folha PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1. Seja X uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade: Sabendo que ( X ) 0, 1 E = : f) Calcule a variância de X. f X 1 + kx 0 g) Determine a função de distribuição ( ( x ) ) h) Calcule P[ X 0.5 X > 0.5 ] <. x 1,1 ( ) [ ] x =, k R outros valores F X da variável aleatória X.. Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de distribuição: d) Determine o valor de k. e) Calcule P X 0.5 X < E( X ) F X [ ] f) Calcule a variância de X. >. 0 x 30 1 x < 1 ( x ) = 1 x k, k R x k 3. Considere três atiradores A, B e C que executam cada um, um tiro para um alvo. A probabilidade de acertar no alvo é para cada um dos atiradores a seguinte: P ( A ) = 0. 7, ( B) 0. 4 ( C) 0. 6 P = e P =. Considere também a variável aleatória X nº de projécteis que atingem o alvo. i) Determine a distribuição de probabilidade ( ( x ) ) j) Calcule a variância de X. k) Calcule P[ 1 X 4] <. p X de X.

4 4. Considere a transmissão de uma mensagem com três dígitos através de uma determinada linha e admita que a probabilidade de ocorrência de erro na transmissão é igual a 0.4 por dígito. Considere ainda a variável aleatória X nº de dígitos errados na mensagem recebida. a) Determine a distribuição de probabilidade ( ( x ) ) p X de X. b) Calcule a probabilidade de haver mais do que um dígito errado na mensagem recebida c) Calcule o desvio padrão de X. 5. O consumo por semana de um determinado produto é uma variável aleatória X cuja função densidade de probabilidade é a seguinte: f X 1 5 ( x ) = k ( 5 x ) 0 0 x.5.5 < x 5 outros valores a) Calcule o valor de k. b) Calcule a função de distribuição acumulada ( ( x ) ) F X da variável aleatória X. c) Qual a quantidade de produto que deverá existir em stock no início da semana, de modo que seja de 0.05 a probabilidade de ruptura no abastecimento.

5 Folha 3 PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1. A variável aleatória X tem a seguinte função de probabilidade: k P = i [ X = i ] = i 1,,3,... a) Calcule o valor da função de distribuição acumulada nos pontos 1, e 4. b) Seja Y uma nova variável aleatória tal que: X < 3 Y = 3 3 X 6 5 X > 6 Calcule a função de probabilidade ( ( y) ) c) Calcule P [ X 5 X > ] <. p Y da variável aleatória Y.. Considere uma variável aleatória Z com a seguinte função densidade de probabilidade: a) Calcule o valor de k. b) Calcule [ Z ] P. c) Seja Y 4 Z 16 variável aleatória. f Z ( ) = kz z 3 z 0 k R ( ) =. Calcule a função densidade de probabilidade ( y ) f Y para esta 3. Uma variável aleatória contínua tem função densidade de probabilidade dada por: [ 0, ] [,4 ] k x x f X ( x ) = k > 0 8k k x x a) Calcule o valor médio e a variância de X. Y = X 1 qual a função densidade de probabilidade de Y? b) Se ( )

6 4. Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por: f X 1 x θ ( ) e x = se x > 0 θ 0 0 se x 0 a) Prove que o valor médio de X é θ +. b) Determine a função densidade de probabilidade da variável aleatória c) Sabendo que E ( X ) θ + 4( θ + ) =, calcule a variância de Y. θ X Y =. 5. Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por: x π 0 0 < x < k ( x ) = k R f X outros valores a) Calcule o valor de k. b) Seja Y = sen( X ). Calcule a função de distribuição acumulada ( ( y ) ) aleatória. c) Calcule o valor médio de Y. F Y para esta variável

7 Folha 4 PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1. De um grupo de três Sociais-democratas, dois Socialistas e um Independente, seleccionaram-se aleatoriamente duas pessoas para constituir uma comissão. Seja: Determine: X = Y = { número de Sociais democratas na comissão} { número de Socialistas na comissão} a) A função de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional ( X,Y). b) A função de probabilidade de X condicionada por Y = 1, isto é, p ( x 1) c) A covariância de X e Y ( ( X,Y )) cov. X Y = 1 i.. De um grupo de três Sociais-democratas, dois Socialistas e um Independente, seleccionaram-se aleatoriamente duas pessoas para constituir uma comissão. Seja: Determine: X = Y = { número de Sociais democratas na comissão} { número de Socialistas na comissão} a) A função de distribuição conjunta da variável aleatória bidimensional ( X,Y). b) A função de distribuição de Y ( ( y) ) c) Estude a independência entre X e Y. F Y. 3. Seja (,Y) X uma variável aleatória bidimensional contínua com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta: f XY k x y 0 ; 0 x 1, 0 y 1 ( x, y ) = k R ; outros valores a) Calcule o valor de k. b) Determine a função de distribuição conjunta da variável aleatória bidimensional ( X,Y). c) Calcule P( X 1, Y 3 4) e P( X 3 4 Y 1 ).

8 4. Seja (,Y) X uma variável aleatória bidimensional contínua com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta: f XY 4 x y 0 ; 0 x 1, 0 y 1 ( x, y ) = k R ; outros valores a) Determine as funções densidade de probabilidade de X e Y, dados Y = y e X = x, respectivamente, isto é, fx Y = y ( x y ) e f X x ( y x ) b) Determine P( X 1 Y 3 4 ). Y =. ( ) c) Calcule o coeficiente de correlação de X e Y corr( X,Y ) independência das variáveis aleatórias X e Y. ρ e verifique a X Y = 5. Seja (,Y) X uma variável aleatória bidimensional contínua com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta: f XY ( x, y ) ; 0 < x < y, 0 < y < 1 = 0 ; outros valores a) Determine as funções densidade de probabilidade marginal de X e Y, respectivamente, f X ( x) e f Y ( y). b) Determine E [ X Y = y] e [ Y X x ] c) Calcule a P( X Y 0) E =.

9 Folha 5 PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1. Considere três lançamentos de uma moeda equilibrada e seja X i = {número de faces no i-ésimo lançamento}, i = 1,, 3. Nestas condições determine: a) A função de probabilidade conjunta do vector aleatório ( X,X, ) X =. 1 X3 b) A função de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional (, ) c) Considere agora duas novas variáveis Y 1 e Y tais que: X 1 X. Y = + e Y = X3 X 1 X1 + X X3 e determine a função de probabilidade conjunta do par aleatório ( Y, ) 1 Y. Seja (,Y) X uma variável aleatória bidimensional contínua com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta: f XY k ; 0 < x < 4, 0 < y < 1 0 ; outros valores ( x, y ) = k R a) Calcule o valor de k. b) Calcule E ( Y X ). c) Sendo X + Y Z = e calcule a função densidade de probabilidade de Z. 3. Considere uma variável aleatória bidimensional (X,Y) cujo espaço amostral está representado na figura. Sabendo que a função de densidade de probabilidade conjunta é: Y f XY (x,y)= K 1, -1 y<0 K, 0 y<1 e que Prob(Y 0)=0,3 1 a) Determine os valores de K 1 e K b) Calcule Prob(X<0) -1 1 X c) Determine a f.d.p. de R= X +Y d) Determine a curva de regressão E(X Y = y) -1

10 4. Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta: f XY ( x, y) ( 1 x y ) k ; x > 0 y > 0 x + y < 1 = 0 ; outros valores a) Determine o valor de k ( k R ). X b) Calcule a P Y > X < (indique claramente os limites de integração). 3 1 c) Determine E X Y =. 4 d) Obtenha a função densidade de probabilidade conjunta do par (Z,W) em que Z = Y X e W = Y + X. Nota: Indique o domínio de variação das novas variáveis. 5. A função densidade de probabilidade conjunta para o tempo de vida de dois tipos diferentes de componentes que fazem parte de um certo sistema é da forma seguinte: f XY ( x, y ) = 1 8 x e 1 0 ( x + y ) ; ; x > 0, y > 0 outros valores a) Determine as funções densidade de probabilidade marginais para X e Y, respectivamente x f Y y e tire conclusões quanto à dependência ou independência dessas variáveis. f X ( ) e ( ) b) Determine [ Y X x] E =. c) Calcule a função densidade de probabilidade da eficiência relativa dos dois componentes, Y sabendo que ela é medida à custa de Z =. X Nota: u dv = u v vdu Nota: A matéria respeitante às alíneas c), 3c), 4d) e 5c) não será sujeita a avaliação.

11 Folha 6 PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1. Considere o lançamento de um dado em que o jogador ganha se ocorrer o acontecimento A, definido como { 1,} A =. a) Qual a probabilidade de em 1 lançamentos se verificar o acontecimento A, 4 vezes. b) Se cada vez que ocorrer A o jogador ganhar u.m. e cada vez que isso não acontecer ele tiver que pagar 1 u.m., verifique se em média o jogador vai ter lucro ou prejuízo com esse jogo. c) Qual a probabilidade de o jogador precisar de lançar o dado 4 vezes para ocorrer A? d) Qual a probabilidade de precisar de lançar o dado 4 vezes para que A ocorra pelo menos vezes? e) Qual a probabilidade de precisar de jogar o dado 5 vezes para que o acontecimento A ocorra vezes seguidas? f) Se um dado acontecimento designado por B tiver probabilidade de ocorrência constante e igual a e se o jogo for efectuado 3 10 vezes, nas mesmas condições, qual a probabilidade de o acontecimento B ocorrer pelo menos 3 vezes?. O número de petroleiros que chegam em cada dia a uma determinada refinaria pode ser representado por uma variável aleatória de Poisson com média igual a. As actuais instalações do porto permitem atender três petroleiros por dia. Se acontecer que mais de três navios pretendam entrar no porto, os excedentes deverão seguir para outro porto alternativo. Nestas condições determine: a) A probabilidade em certo dia ser necessário enviar petroleiros para outro porto. b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações actuais para permitir manobrar todos os petroleiros que chegam ao porto em aproximadamente 90% dos dias. c) Qual o número esperado e o número mais provável de petroleiros que chegam por dia. Justifique devidamente a sua resposta. d) Qual o número esperado de petroleiros que são atendidos diariamente. e) Qual o número esperado de petroleiros que terão de dirigir-se diariamente a um porto alternativo. 3. Num armazém estão preparadas 500 embalagens de um produto para distribuição, das quais exactamente 50 estão deterioradas. Fez-se uma inspecção sobre uma amostra de 10 embalagens escolhidas ao acaso com reposição. a) Qual a probabilidade de que a inspecção rejeite o lote, sabendo que só são admitidas no máximo, 3 embalagens deterioradas por lote? b) Que dimensão deve ter a amostra para que a probabilidade de rejeição seja aproximadamente igual a 5%? c) Repita as alíneas anteriores supondo que a amostra é recolhida sem reposição e compare os resultados.

12 4. Dois jogadores A e B vão jogar uma partida de ténis constituída por 3 sets. Sabendo que: Os resultados dos sets são independentes; A probabilidade do jogador A ganhar um qualquer set é p A = 0, 6. a) Calcule a probabilidade do jogador A ganhar uma partida de 3 sets em que estes são sempre jogados independentemente do evoluir do resultado. b) Calcule a probabilidade do jogador A ganhar uma partida à melhor de 3, isto é, uma partida que termine logo que um jogador ganhe dois sets. c) Qual o valor esperado do número de sets de uma partida jogada à melhor de Dois jogadores A e B vão jogar uma partida de ténis constituída por 3 sets. Sabendo que: Os resultados dos sets são independentes; A probabilidade do jogador A ganhar um qualquer set é p A = 0, 6. a) Calcule a probabilidade do jogador B ganhar pelo menos 3 partidas num conjunto de 6 em que cada partida é constituída por 3 sets em que estes são sempre jogados independentemente do evoluir do resultado. b) Quantos sets será necessário jogar, em média, para que o jogador B ganhe um? c) Admita agora que, por cada set ganho pelo jogador A, este recebe de B uma quantia de 100 euros. Quanto é que A deve pagar a B por cada set ganho por este jogador para que, numa partida constituída por n sets, ambos tenham um lucro esperado de 0 (zero) euros?

13 Folha 7 PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1. Numa certa zona industrial trabalham operários. O seu salário tem distribuição normal, admitindo-se que metade deles ganhe menos de 00 u.m. e que 4% deles ultrapassem as 17,5 u.m.. Nestas condições calcule: a) A percentagem de operários que ganham mais de 30 u.m.. b) O melhor salário no grupo dos 000 operários pior pagos. c) O menor salário no grupo dos 1000 operários melhor pagos. d) A probabilidade de que em 10 operários, seleccionados aleatoriamente, haja 6 que ganhem mais de 0,5 u.m... Os acidentes que ocorrem numa empresa de construção civil são estatisticamente independentes e o número de acidentes tem uma distribuição de Poisson com média de 6 por mês. Considere a variável aleatória T que representa o intervalo de tempo entre acidentes consecutivos. Suponha que o estaleiro está em laboração contínua. a) Identifique a distribuição de T. b) Qual a probabilidade de não ocorrerem acidentes na próxima semana? c) Qual a probabilidade de ocorrerem acidentes em, pelo menos, 3 das próximas 6 semanas? 3. Em determinada linha de fabrico uma máquina enche sacos de adubo. O peso de cada saco obedece a uma lei normal com média 10kg e desvio padrão 0,5kg. À medida que os sacos são cheios, são empilhados em grupos de10 num tabuleiro mecânico que os transporta para o armazém de expedição. Todavia, o tabuleiro não suporta pesos superiores a 103kg; quando tal acontece, ele não arranca e os sacos desperdiçam-se. Por outro lado, se o peso dos sacos for inferior a 96kg o tabuleiro ganha velocidade excessiva, deixando cair um saco pelo caminho. a) Seleccionados aleatoriamente 10 sacos na linha de fabrico, determine a probabilidade de haver pelo menos dois com peso superior a 9,75kg. b) Qual a probabilidade de o tabuleiro não arrancar? c) Suponha que por cada saco que se enche na linha de fabrico e que não chega ao armazém, a empresa tem um prejuízo de 5u.m.; por cada saco que chega, um lucro de 1u.m.. Qual o lucro esperado num dia de laboração, sabendo que a linha de fabrico enche 1000 sacos.

14 4. O tempo de vida de um componente electrónico é uma variável aleatória distribuída exponencialmente com média igual a anos. a) Se ao fim de anos esse componente estiver ainda em funcionamento, por quanto mais tempo em média é que esse componente irá ainda funcionar? b) Suponha que esse componente é parte vital de um sistema devendo ser imediatamente substituído se avariar e que existem r 1 = 4 exemplares de reserva. Mostre que o tempo de vida do sistema (até não ser possível substituir um componente avariado) tem distribuição Gama com parâmetros λ e r ( G ( r, λ) ). Qual o valor esperado para o tempo de vida do sistema? Qual a probabilidade do sistema durar mais de 8 anos? Nota: Sejam X1 ~ G ( r1, λ ) e X ~ G ( r, λ ) que: + X ~ G ( r + r, λ ) X1 1. P[ "G( r, λ )" x ] = P[ "Po( λ x )" r ] v.a. independentes então temos c) Suponha que um sistema contém n = 5 desses componentes funcionando independentemente e que avaria assim que um dele falhar. Mostre que a duração de vida (T) de tal sistema tem distribuição exponencial. Qual é o seu valor esperado? Sugestão: Calcule P[ T t ] = P[ T > t T > t T t] >. 1 n > 5. Suponha que o consumo diário de água, X, numa certa localidade, se distribui segundo uma lei normal de média 00 m 3 e desvio padrão 10 m 3. A capacidade do reservatório que apenas abastece essa zona é de 440 m 3. Quando o nível de água desse reservatório cai 10% abaixo da sua capacidade é accionado um sistema de alarme. a) Qual a probabilidade de, num determinado dia o consumo estar compreendido entre 180 m 3 e 35 m 3? b) Ao longo de uma semana (7 dias) qual a probabilidade de haver no máximo três dias com consumo inferior a 16,45 m 3? c) Suponha que no início de certo dia a quantidade de água no reservatório se situa 5% abaixo da sua capacidade; o abastecimento do referido reservatório processa-se nesse dia por uma quantidade aleatória de distribuição normal de média 100 m 3 e desvio padrão 30 m 3. Qual a probabilidade do alarme ser accionado?

15 Folha 8 e 9 PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1. O número médio de disparos de flash que determinado tipo de pilhas assegura (500 para as pilhas A1 e 40 para as A) segue uma distribuição aproximadamente normal com σ = 81. Suponha que a empresa FUTURE importadora do respectivo material recebeu um grande lote de pilhas para distribuição imediata, mas que desconhece qual o tipo de pilhas em causa, visto que a respectiva especificação se perdeu. Foi então decidido testar nove pilhas e classificar o lote em função dos resultados obtidos nesta amostra. Tendo-se estipulado um nível de significância de 5% e as seguintes hipóteses: H o : µ = 500 H 1 : µ < 500 Nestas condições: a) Identifique os erros que podem decorrer da da decisão a tomar. Calcule as suas probabilidades admitindo que o verdadeiro valor de µ = 40. b) Se α = 0,01 ( α - probabilidade de um erro de tipo I ) que valor resultará para β ( β - probabilidade de um erro de tipo II ) nas mesmas condições da alínea anterior, isto é, admitindo que o verdadeiro valor de µ = 40? c) Que decisão tomaria para um nível de significância de 5%, se nas nove pilhas testadas, o número médio de disparos fosse de 436? E se esse valor fosse igual a 438?. Numa determinada escola a duração das aulas das disciplinas PET e CyberT segue uma distribuição Normal. Mediu-se a duração em minutos, de algumas aulas dessas disciplinas e obtiveram-se os seguintes resultados: PET CyberT a) Construa um intervalo de confiança a 95% para a duração média das aulas da disciplina PET. b) Construa um intervalo de confiança a 99% para o desvio padrão da duração das aulas da disciplina CyberT. 3. Uma amostra de 4 elementos de uma população normal apresenta: 4 i = 1 x i = i = 1 x i = a) Calcule um intervalo de confiança a 90% para a variância da população. b) Se na distribuição dada tiver µ = 50 e σ = 6, qual a probabilidade de numa amostra de 4 elementos a variância amostral ser inferior a 7,07?

16 4. Um fabricante produz peças de diâmetro especificado em 100 mm. Querendo estimar o verdadeiro diâmetro num grande lote a fornecer ao seu maior cliente, seleccionou 5 peças ao acaso, que depois de medidas forneceram os seguintes valores: 5 5 X i =,53 m i = i = 1 i = 1 ( X X ) 384 mm a) Apresente uma estimativa pontual para o diâmetro médio no lote. b) Admitindo que o diâmetro das peças segue uma distribuição normal, indique uma nova estimativa para o diâmetro médio no lote, usando um intervalo de confiança a 99%. Que vantagens resultam da indicação do intervalo de confiança, em relação à estimativa pontual da alínea anterior? c) Quantas peças deveriam ser incluídas na amostra, se se pretendesse aumentar a precisão do intervalo para 3mm. Justifique todos os pressupostos admitidos na resolução. 5. Suponha que a intensidade de corrente, em amperes, em determinado circuito é uma variável aleatória com distribuição normal. Uma amostra aleatória desta variável conduziu aos valores seguintes:,3 ; 1,9 ;,8 ;,3 ; 3,6 ; 1,4 ; 1,8 ;,1 ; 3, ;,0 ; 1,9 a) Construa um intervalo de confiança a 99% para o valor médio da intensidade de corrente. b) Construa um intervalo de confiança a 99% para o desvio padrão da intensidade de corrente. c) Sabe-se que uma dada percentagem das medidas registadas por esse amperímetro estão afectadas por um certo tipo de erro grosseiro. Pretende-se estimar essa proporção de medidas através de um intervalo de confiança a 95%. Que tamanho deverá ter a amostra a recolher caso se pretenda obter uma margem de erro não superior a 0,05? 6. Um analista político presume que o candidato A possa ter 0% dos votos. Feita uma sondagem, 15 dos 100 inquiridos afirmaram estar decididos a votar no candidato A. a) Que se pode concluir relativamente à convicção do referido analista, para um nível de significância de 5%? b) E se noutra sondagem em que 150 dentre 1000 inquiridos se declararam eleitores de A, qual a conclusão a tirar? Seria razoável neste caso admitir que a percentagem de votantes no candidato A será inferior a 0%, para o mesmo nível de significância?

17 7. Um fabricante de tintas pretende encontrar o tempo médio de secagem de uma nova tinta de interiores. Testes efectuados sobre 130 áreas de igual dimensão conduziram aos seguintes resultados (baseados nos tempos de secagem em minutos): 130 i = 1 x i = min Supondo conhecida a variância dos tempos de secagem, σ = 71,8 min, então: a) Será de admitir que o tempo médio de secagem é diferente de 100 min, ao nível de significância de 0,05? b) Suponha agora que o fabricante de tintas afirmava que o tempo médio de secagem das suas tintas era inferior a 100 minutos. Com base na informação disponível e para o mesmo nível de significância, podemos afirmar que ele não ludibriava os consumidores? c) O nosso fabricante de tintas é também sócio de uma firma produtora de conservas alimentares. O departamento de controlo estatístico de qualidade dessa firma especifica que o peso líquido médio por embalagem de certo produto deve ser de 500 gr, afirmando ainda que os pesos das embalagens são normalmente distribuídos. Uma amostra de 0 embalagens revelou um peso líquido médio de 49 gr, com um desvio padrão de 13, gr. Será essa informação amostral suficiente para afirmar que o verdadeiro peso médio é inferior ao especificado para um nível de significância de 5%? 8. Considere duas amostras aleatórias independentes, de tamanhos n 1 e n, obtidas de uma população X com função densidade de probabilidade f X (x), e os seguintes estimadores da média dessa população: ˆ X1 + X Θ 1 = e ˆ 1 + n1 X1 + n X Θ = n1 + n em que X 1 e X são respectivamente, as médias da primeira e da segunda amostra. Admita que n = k n1 e k 1 é um número inteiro. a) Determine o enviesamento de cada um dos estimadores. b) Determine a variância de cada um dos estimadores. c) Compare a variância dos dois estimadores. d) Determine o erro quadrático médio de cada um dos estimadores. e) Compare a eficiência dos dois estimadores quando n 1 = 10, k = 4 e σ = 1. f) Verifique se os estimadores são consistentes.