UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO. Prof.ª Danielle Casillo

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO CURSO: CIÊNCIA DA COMPUAÇÃO EORIA DA COMPUAÇÃO Aula 09 Equialência Forte de Programas Monolíticos Pro.ª Danielle Casillo

2 Equialência orte de programas monolíticos Conceito: A união disjunta de conjuntos garante que todos os elementos dos conjuntos componentes constituem o conjunto resultante, mesmo que possuam a mesma identiicação. Considera-se que os elementos são distintos, mesmo que possuam a mesma identiicação. Exemplo: para os conjuntos A = {a, x} e B = {b, x}, o conjunto resultante da união disjunta é: {a A, x A, b B, x B } = {a, x A, b, x B } eoria da Computação - Aula 09 2

3 Sejam: Equialência orte: união disjunta Q = (I Q, q) e R = (I R, r) dois programa monolíticos especiicados usando instruções rotuladas compostas. P q = (I, q) e P r = (I, r) programas monolíticos onde I é o conjunto resultante da união disjunta de I Q e I R. Então: P q P r se, e somente se, Q R. eoria da Computação - Aula 09 3

4 Equialência orte: união disjunta O algoritmo para eriicação da equialência orte de Q e R resume-se à eriicação se P q e P r são equialentes ortemente. Para desenoler o algoritmo, é necessário considerar: Cadeia de conjunto: sequência de conjuntos ordenada pela relação de inclusão; eoria da Computação - Aula 09 4

5 Equialência orte: união disjunta Programa monolítico simpliicado: instruções rotuladas compostas que determinam ciclos ininitos são excluídas (excetuando-se a instrução rotulada por ω, se existir). A simpliicação baseiase em cadeia de conjuntos; Rótulos equialentes ortemente: o algoritmo de eriicação se P q e P r são equialentes ortemente baseia-se em rótulos equialentes ortemente de programas simpliicados. eoria da Computação - Aula 09 5

6 Cadeia de Conjuntos, Cadeia Finita de Conjuntos, Limite de uma Cadeia Finita de Conjuntos. Uma sequência de conjuntos A 0 A 1... é dita: a) Uma Cadeia de Conjuntos se, para qualquer k 0: A k A k+1 b) Uma Cadeia Finita de Conjuntos é uma cadeia de conjuntos onde existe n, para todo k 0, tal que: A n = A n+k Neste caso, deine-se o Limite da Cadeia Finita de Conjuntos é: lim A k = A n eoria da Computação - Aula 09 6

7 Identiicação de ciclos ininitos em programa monolítico Fornece um algoritmo para determinar se existem ciclos ininitos em um conjunto de instruções rotuladas compostas. A idéia básica é partir da instrução parada, rotulada por ε, determinando os seus antecessores. eoria da Computação - Aula 09 7

8 Identiicação de ciclos ininitos em programa monolítico Considere o seguinte luxograma com rotulação: 1 partida 2 G F 3 4 F G 5 6 F A correspondente cadeia inita de conjuntos é: A 0 = {ε} A 1 = {6, ε} A 2 = {5, 6, ε} A 3 = {3, 4, 5, 6, ε} A 4 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ε} A 5 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ε} 7 G ε parada eoria da Computação - Aula 09 8

9 Identiicação de ciclos ininitos em programa monolítico Logo: lim A k = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ε} Simpliicação de ciclos ininitos: (I, 7) (I, ω), pois 7 lim A k. Portanto, pode-se simpliicar um conjunto de instruções rotuladas compostas eliminando-se qualquer instrução de rótulo r ω que determine um ciclo ininito. eoria da Computação - Aula 09 9

10 Algoritmo de simpliicação de ciclos ininitos Seja I um conjunto inito de instruções rotulas compostas. O Algoritmo de Simpliicação de Ciclos Ininitos é: a. determina-se a correspondente cadeia inita de conjuntos A 0 A 1... b. para qualquer rótulo r de instrução de I tal que r lim A k, tem-se que: a instrução rotulada por r é excluída; toda reerência a pares da orma (F, r) em I é substituída por (ciclo, ω); I = I {ω: (ciclo, ω), (ciclo, ω)}. eoria da Computação - Aula 09 10

11 Exemplo Considere o Programa com instruções rotuladas compostas isto na aula anterior: Programa com Instruções Rotuladas Compostas: 1: (G, 2), (F, 3) 2: (G, 2), (F, 3) 3: (F, 4), (G, 5) 4: (F, 4), (G, 5) 5: (F, 6), (ciclo, ω) 6: (parada, ε), (G, 7) 7: (G, 7), (G, 7) ω: (ciclo, ω), (ciclo, ω) O Conjunto de instruções rotuladas compostas com simpliicação de ciclos ininitos é: 1: (G, 2), (F, 3) 2: (G, 2), (F, 3) 3: (F, 4), (G, 5) 4: (F, 4), (G, 5) 5: (F, 6), (ciclo, ω) 6: (parada, ε), (ciclo, ω) ω: (ciclo, ω), (ciclo, ω) eoria da Computação - Aula 09 11

12 Rótulos consistentes Seja I um conjunto inito de instruções rotuladas compostas e simpliicadas. Sejam r e s dois rótulos de instruções de I, ambos dierentes de ε. Suponha que as instruções rotuladas por r e s são da seguinte orma, respectiamente: r: (F 1, r 1 ), (F 2, r 2 ) s: (G 1, s 1 ), (G 2, s 2 ) Então: r e s são consistentes se, e somente se, F 1 = G 1 e F 2 = G 2. eoria da Computação - Aula 09 12

13 Determinação de Rótulos equialentes ortemente Seja I um conjunto de n instruções compostas e simpliicadas. Sejam r e s dois rótulos de instruções de I. Deine-se, indutiamente, a sequência de conjuntos B 0 B 1... por: B 0 = {(r, s)} B k+1 = {(r", s") r" e s" são rótulos sucessores de r e s, respectiamente, (r, s ) pertence a B k } eoria da Computação - Aula 09 13

14 Determinação de Rótulos equialentes ortemente Então B 0 B 1... é uma sequência que conerge para o conjunto azio, e r, s são rótulos equialentes ortemente se, e somente se, qualquer par de B k é constituído por rótulos consistentes. eoria da Computação - Aula 09 14

15 Algoritmo de Veriicação da Equialência Forte de Programas Monolíticos. Sejam Q e R dois programas monolíticos especiicados usando instruções rotuladas compostas e simpliicado. Algoritmo de Veriicação da Equialência Forte de Programas Monolíticos Q e R é determinado pelos passos: eoria da Computação - Aula 09 15

16 Algoritmo de Veriicação da Equialência Forte de Programas Monolíticos. Passo 1: Sejam P q = (I, q) e P r = (I, r) programas monolíticos onde I é o conjunto resultante da união disjunta de I Q e I R, excetuando-se a instrução rotulada ω, se existir, a qual ocorre, no máximo, uma ez em I. Passo 2: Se q e r são rótulos equialentes ortemente, então B 0 ={(q, r)}. Caso contrário, Q e R não são equialentes ortemente, e o algoritmo termina. eoria da Computação - Aula 09 16

17 Algoritmo de Veriicação da Equialência Forte de Programas Monolíticos. Passo 3: Para k 0, deine-se o conjunto B k+1, contendo somente os pares (q", r") de rótulos sucessores de cada (q', r') B k. Passo 4: Dependendo de B k+1, tem-se que: B k+1 = : QeRsão equialentes ortemente, e o algoritmo termina; B k+1 : se todos os pares de rótulos de B k+1 são equialentes ortemente, então á para o Passo 3; caso contrário, Q e R não são equialentes ortemente, e o algoritmo termina. eoria da Computação - Aula 09 17

18 Exemplo Algoritmo de Veriicação da Equialência Forte de Programas Monolíticos Q e R Considere os programas monolíticos especiicados na orma de luxograma Q (apresentado na aula passada) e R (dado a seguir): Programa Q com Instruções Rotuladas Compostas simpliicado: 1: (G, 2), (F, 3) 2: (G, 2), (F, 3) 3: (F, 4), (G, 5) 4: (F, 4), (G, 5) 5: (F, 6), (ciclo, ω) 6: (parada, ε), (ciclo, ω) ω: (ciclo, ω), (ciclo, ω) 1 partida 2 G F 3 4 F G 5 7 G 6 F ε parada eoria da Computação - Aula 09 18

19 Exemplo Algoritmo de Veriicação da Equialência Forte de Programas Monolíticos Q e R 8 partida 9 G F 10 G 11 Conjunto de Instruções Rotuladas Compostas: 8: (G, 9), (F, 10) 9: (G, 9), (F, 10) 10: (F, 10), (G, 11) 11: (F, 12), (F, 13) 12: (parada, ε), (F, 13) 13: (F, 13), (F, 13) 12 F F 13 Portanto: lim A k = {8, 9, 10, 11, 12, ε} (I R, 13) (I, ω), pois 13 lim A k. parada ε Identiicação de ciclos ininitos (cadeia inita de conjuntos) A 0 = {ε} A 1 = {12, ε} A 2 = {11, 12, ε} A 3 = {10, 11, 12, ε} A 4 = {8, 9, 10, 11, 12, ε} A 5 = {8, 9, 10, 11, 12, ε} eoria da Computação - Aula 09 19

20 Exemplo Algoritmo de Veriicação da Equialência Forte de Programas Monolíticos Q e R 8 partida Simpliicação de ciclos ininitos 9 G F 10 G F F 13 8: (G, 9), (F, 10) 9: (G, 9), (F, 10) 10: (F, 10), (G, 11) 11: (F, 12), (ciclo, ω) 12: (parada, ε), (ciclo, ω) ω: (ciclo, ω), (ciclo, ω) parada ε eoria da Computação - Aula 09 20

21 Exemplo Algoritmo de Veriicação da Equialência Forte de Programas Monolíticos Q e R Relatiamente à aplicação do algoritmo, tem-se que: Passo 1: Seja I a união disjunta dos conjuntos I Q e I R, excetuando-se a instrução rotulada ω, como segue: 1: (G, 2), (F, 3) 2: (G, 2), (F, 3) 3: (F, 4), (G, 5) 4: (F, 4), (G, 5) 5: (F, 6), (ciclo, ω) 6: (parada, ε), (ciclo, ω) 8: (G, 9), (F, 10) 9: (G, 9), (F, 10) 10: (F, 10), (G, 11) 11: (F, 12), (ciclo, ω) 12: (parada, ε), (ciclo, ω) ω: (ciclo, ω), (ciclo, ω) 3: (F, 4), (G, 5) Para eriicar se Q R, É suiciente eriicar se (I, 1) (I, 8). eoria da Computação - Aula 09 21

22 Exemplo Algoritmo de Veriicação da Equialência Forte de Programas Monolíticos Q e R Passo 2: Como 1 e 8 são rótulos equialentes ortemente, então: B 0 = {(1, 8)} Passos 3 e 4: Para k 0, construção de B k+1 é como segue: B 1 = {(2, 9), (3, 10)} pares de rótulos equialentes ortemente B 2 = {(4, 10), (5, 11)} pares de rótulos equialentes ortemente B 3 = {(6, 12), (ω, ω)} pares de rótulos equialentes ortemente B 4 = {(ε, ε)} pares de rótulos equialentes ortemente B 5 = Logo (I, 1) (I, 8), e, portanto, Q R. Conclui-se que o programa de instruções rotuladas compostas Q e R são equialentes ortemente. eoria da Computação - Aula 09 22

23 Exemplo 2: Algoritmo de Veriicação da Equialência Forte de Programas Monolíticos. Os programas monolíticos (luxogramas) reproduzidos abaixo com os nós rotulados são equialentes ortemente. A especiicação de P 1 usando instruções rotuladas compostas (simpliicadas) é: 1: (F, 2), (parada, ε) 2: (F, 2), (parada, ε) A especiicação de P 2 usando instruções rotuladas compostas (simpliicadas) é: 3: (F, 4), (parada, ε) 4: (F, 4), (parada, ε) eoria da Computação - Aula 09 23

24 Exemplo 2: Algoritmo de Veriicação da Equialência Forte de Programas Monolíticos. Os correspondentes conjuntos de instruções rotuladas compostas são iguais, a menos dos rótulos. Aplicação do algoritmo: Passo 1: é ácil eriicar que (I, 1) (I, 3). Passo 2: B 0 = {(1, 3)} Passo 3: B1 = {(2, 4), (ε, ε)} B2 = Logo (I, 1) (I, 3), e, portanto, P 1 P 2. Conclui-se que o programa de instruções rotuladas compostas P 1 e P 2 são equialentes ortemente. No caso, P 1 é estruturalmente mais otimizado que P 2. eoria da Computação - Aula 09 24

25 Conclusão Foram introduzidos os conceitos de programa e de máquina, os quais são usados para construir as deinições de computação e de unção computada. Foram estudados três tipos de programas: monolítico, iteratio e recursio. Os recursios são mais gerais que os monolíticos os quais, por sua ez, são mais gerais que os iteratios. eoria da Computação - Aula 09 25

26 Conclusão Apresentaram-se as noções de equialência de programas e de máquinas. Mostrou-se a existência de um algoritmo para eriicar se programas monolíticos (ou iteratios) são ortemente equialentes. eoria da Computação - Aula 09 26

27 Conclusão Programas Máquinas Computações Funções Computadas Programas Equialentes Máquinas Equialentes Funções Computáeis Máquina Uniersal eoria da Computação - Aula 09 27

28 Dúida nos exercícios? eoria da Computação - Aula 09 28