Teoria da Computação. Unidade 2 Programas, máquinas e computação: Equivalência de programas. Referência Teoria da Computação (Divério, 2000)

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1 Unidade 2 Programas, máquinas e computação: Equialência de programas Reerência (Diério, 2000)

2 Programas, Máquinas e Computações a

3 Programas, Máquinas e Computações Exercício - Fazer a computação e eriicar se a computação é inita ou ininita programa Recursio duplica duplica é R onde R de (se zero então senão sub; R; ad; ad)

4 Programas, Máquinas e Computações duplica é R onde R de (se zeroentão senão sub; R; ad; ad) Computação de duplica (R,, 2) (se zero então senão (sub; R; ad; ad); ; 2) (sub; R; ad; ad); ; 2) (R; ad; ad); ; 1) (se zero então senão (sub; R; ad; ad); ad; ad ; 1) (sub; R; ad; ad; ad; ad ; 1) (R; ad; ad; ad; ad ; 0)...

5 Programas, Máquinas e Computações (R; ad; ad; ad; ad ; 0) (se zero então senão (sub; R; ad; ad); ad; ad; ad; ad ; 0) ( ; ad; ad; ad; ad ; 0) (ad; ad; ad ; 1) (ad; ad ; 2) (ad ; 3) ( ; 4) A computação é inita

6 Conclusão A partir do conceito de unção computada são apresentadas noções de equialências de programas e máquinas: programas equialentes ortemente e programas equialentes em uma máquina; É apresentado um algoritmo para eriicar se programas monolíticos (ou iteratios) são equialentes ortemente. Até o momento não existe um algoritmo para programas recursios; Posteriormente, será apresentado o conceito de máquina uniersal.

7 Programas, Máquinas e Computações a

8 Equialência de Programas e Máquinas 1. Relação Equialência Forte de Programas: Um par de programas pertence a relação se as correspondentes unções computadas coincidem para qualquer máquina 2. Relação Equialência de Programas em uma Máquina: Um par de programas pertence a relação se as correspondentes unções computadas coincidem para uma dada máquina 3. Relação Equialência de Máquinas: Um par de máquinas pertence a relação se as máquinas podem se simular mutuamente. A simulação de uma máquina por outra pode ser eita usando programas dierentes.

9 Equialência Forte de Programas 1. Relação Equialência Forte de Programas, Programas Equialentes Fortemente Sejam P e Q dois programas. Então o par (P, Q) está na Relação Equialência Forte de Programas, denotadopor:p Q Se, e somente se, para qualquer máquina M as correspondentes unções computadas são iguais, ou seja: <P,M> = <Q,M> Neste caso, P e Q são ditos Programas Equialentes Fortemente

10 Equialência Forte de Programas 1. Programas Equialentes Fortemente: partida PM 1 partida PM 2 parada PI 3 enquanto aça (F) F PR 4 parada F parada P 4 é R onde R de (se então F;R senão )

11 Equialência Forte de Programas É importante considerar a relação Equialência Forte de Programas por árias razões, como: Permite identiicar dierentes programas em uma mesma classe de equialência, ou seja, identiicar dierentes programas cujas unções computadas coincidem, para qualquer máquina; As unções computadas por programas equialentes ortemente têm a propriedade de que os mesmos testes e as mesmas operações são eetuados na mesma ordem, independentemente do signiicado dos mesmos Fornece subsídios para analisar a complexidade estrutural de programas. Por exemplo, analisando os programas monolíticos equialentes ortemente PM 1 e PM 2, pode-se concluir quepm 1 é estruturalmente mais otimizado que PM 2, pois contém um teste a menos.

12 Equialência Forte de Programas Veriica-se que: Para todo iteratio, existe um monolítico equialente ortemente Para todo monolítico, existe um recursio equialente ortemente Para todo iteratio, existe um recursio equialente ortemente Programas Recursios Programas Monolíticos Programas Iteratios

13 Equialência Forte de Programas Equialência Forte de Programas Iteratio Monolítico Monolítico Recursio Iteratio Recursio Recursio Monolítico Monolítico Iteratio

14 Equialência Forte de Programas Equialência Forte de Programas Iteratio Monolítico Monolítico Recursio Iteratio Recursio Recursio Monolítico Monolítico Iteratio

15 Equialência Forte de Programas Iteratio Monolítico Justiicatia: a obtenção de um programa monolítico a partir de um iteratio é direta, a partir do mapeamento das construções elementares de um programa iteratio em sequências de construções equialentes em um programa monolítico. Como as mesmas operações são executadas na mesma ordem em ambos os programas, as unções computadas são idênticas

16 Equialência Forte de Programas Iteratio Monolítico Para qualquer programa iteratio P i, existe um programa monolítico P m,tal quep i P m a) Para a operação azia corresponde ao luxograma elementar: b) Para cada identiicador de operação F de P i F

17 Equialência Forte de Programas Iteratio Monolítico c) Suponha que é um identiicador de teste e que V, W são programas iteratios usados na construção de P i. Então, para cada um dos seguintes tipos de composição é apresentadoocorrespondenteluxogramade P m. c.1) Composição sequencial. V;W V W

18 Equialência Forte de Programas Iteratio Monolítico c.2) Composição condicional. (Se então V senão W) V W

19 Equialência Forte de Programas Iteratio Monolítico c.3) Composição enquanto. ( Enquanto aça (V)) V

20 Equialência Forte de Programas Iteratio Monolítico c.4) Composição até. ( Até aça (V)) V

21 Equialência Forte de Programas Iteratio Monolítico Exemplo: aça o mapeamento do programa iteratio para um programa monolítico até a_zero aça (subtrai_a; adiciona_b)

22 Iteratio até a_zero aça (subtrai_a; adiciona_b) Equialência Forte de Programas Iteratio Monolítico 1: se a_zero então á_para 4 senão á_para 2 2: aça subtrai_a á_para 3 3: aça adiciona_b á_para 1 Partida Instruções rotuladas Fluxograma adiciona_b subtrai_a a_zero Parada

23 Equialência Forte de Programas Equialência Forte de Programas Iteratio Monolítico Monolítico Recursio Iteratio Recursio Recursio Monolítico Monolítico Iteratio

24 Equialência Forte de Programas Monolítico Recursio Para qualquer programa monolítico P m, existe um programa recursiop r,talquep m P r Seja P m um programa monolítico qualquer onde L = {r 1, r 2,, r n } é o correspondente conjunto de rótulos. Suponha que de P m, r n é o único rótulo inal. Então P r é um programa recursio construídoapartir dep m eétalque: P r é R 1 onde R 1 de E 1, R 2 de E 2,, R n de onde,parak {1,2,...,n-1},E k é deinidocomo:

25 Equialência Forte de Programas Monolítico Recursio a)operação.se r k éda orma: r k : aça F á_para r k ' entãoe k éaseguinteexpressãode sub-rotinas: F;R k ' b)este.se r k éda orma: r k : se então á_para r k ' senão á_para r k " entãoe k éaseguinteexpressãode sub-rotinas: (se então R k ' senão R k ")

26 Equialência Forte de Programas Monolítico Recursio Exemplo: aça o mapeamento do programa monolítico (instruções rotuladas) para recursio 1: se a_zero então á_para 4 senão á_para 2 2: aça subtrai_a á_para 3 3: aça adiciona_b á_para 1

27 Equialência Forte de Programas Monolítico Recursio Exemplo: aça o mapeamento do programa monolítico para recursio R é R 1 onde 1 R 1 de (se a_zero então R 4 senão R 2 ) R 2 de (aça subtrai_a; R 3 ) R 3 de (aça adiciona_b; R 1 ) R 4 de Monolítico 1: se a_zero entãoá_para 4 senãoá_para 2 2: aça subtrai_a á_para 3 3: aça adiciona_b á_para 1

28 Equialência Forte de Programas Equialência Forte de Programas Iteratio Monolítico Monolítico Recursio Iteratio Recursio Recursio Monolítico Monolítico Iteratio

29 Programas, Máquinas e Computações Exercícios: 2.12 ao 2.14 Eniar por (oliete@ct.unesp.br) até o dia 22/03

30 Equialência Forte de Programas Recursio Monolítico Dado um programa recursio qualquer, não necessariamente existe um programa monolítico Um programa de qualquer tipo não pode ser modiicado dinamicamente, durante uma computação; Um programa, para ser ortemente equialente a outro, não pode conter ou usar acilidades adicionais como memória auxiliar ou operações ou testes extras; para que um programa monolítico possa simular uma recursão sem um número inito e predeinido de quantas ezes a recursão pode ocorrer, seriam necessárias ininitas opções de ocorrências das diersas operações ou testes enolidos na recursão em questão;

31 Veriicação de Equialência Forte de Programas A eriicação de que dois programas monolíticos são equialentes ortemente usa os seguintes conceitos: Máquina de raços: Produz um rastro ou histórico (denominado traço) da ocorrência das operações do programa. Neste contexto, dois programas são equialente ortemente se são equialentes em qualquer máquina de traços. Programa Monolítico com Instruções Rotuladas Compostas: Instruções rotuladas compostas constituem uma orma alternatia de deinir programas monolíticos. Ex.: r 1 :se então aça F á_parar 2 senão aça Gá_para r 3

32 Instruções Rotuladas Compostas A eriicação da equialência orte de dois programas monolíticos pode ser realizada usando uma representação baseada em conjuntos de instruções rotuladas compostas. Instruções rotuladas compostas possuem somente uma única orma, ao contrário das instruções rotuladas, as quais podem ser de duas ormas: operação ou teste. De ato, uma instrução rotulada composta combina ambas em uma única orma.

33 Instrução Rotulada Composta É uma sequência de símbolos da seguinte orma: r 1 :se entãoaça F á_para r 2 senão aça G á_para r 3 Adicionalmente: r 2 e r 3 são ditosrótulossucessores de r 1 r 1 é ditorótuloantecessor der 2 er 3

34 Programa Monolítico com Instruções Rotuladas Compostas Um Programa Monolítico com Instruções Rotuladas Compostas Péumparordenado onde: P=(I, r) I Conjunto de Instruções Rotuladas Compostas o qual é inito; r Rótulo Inicial o qual distingue a instrução rotulada inicial em I Adicionalmente, relatiamente ao conjunto I tem-se que: não existem duas instruções dierentes com um mesmo rótulo; um rótulo reerenciado por alguma instrução o qual não é associado a qualquer instrução rotulada é dito Rótulo Final.

35 Programa Monolítico com Instruções Rotuladas Compostas Considerando um único identiicador de teste, uma instrução rotulada composta da orma: r 1 :se entãoaça F á_para r 2 senão aça Gá_para r 3 pode ser abreiada simplesmente por: r 1 :(F, r 2 ), (G,r 3 )

36 Algoritmo: FluxogramaRotuladas Compostas Rotulação de Nós. Rotula-se cada nó do luxograma. Existe uma parada associada ao identiicador ε (palara azia). PartidaéoRótuloInicial doprogramap. Instruções Rotuladas Compostas. este: r 1 : (F, r 2 ), (G, r 3 ) Operação: r 1 : (F, r 2 ), (F, r 2 ) Parada: r: (parada,ε), (parada,ε) estes Encadeados: r 1 : (F, r 2 ), (G, r 3 ) estes Encadeados em Ciclo Ininito. r 1 : (F, r 2 ), (ciclo, ω)

37 Algoritmo: FluxogramaRotuladas Compostas este r 1 r 2 F G r 3 este: r 1 : (F, r 2 ), (G, r 3 )

38 Algoritmo: FluxogramaRotuladas Compostas r 1 r 2 F Operação Operação: r 1 : (F, r 2 ), (F, r 2 )

39 Algoritmo: FluxogramaRotuladas Compostas r ε parada Parada Parada: r: (parada,ε), (parada,ε)

40 Algoritmo: FluxogramaRotuladas Compostas r 1 estes Encadeados r 2 F r 4 H G r 3 estes Encadeados: r 1 : (F, r 2 ), (G, r 3 )

41 Algoritmo: FluxogramaRotuladas Compostas r 2 F r 1 estes Encadeados em Ciclos Ininitos estes Encadeados em Ciclo Ininito. r 1 : (F, r 2 ), (ciclo, ω)

42 Algoritmo de Equialência Forte de Programas Monolíticos Passos para eriicação: a) Especiicação do programa usando instruções rotuladas compostas; b) Conjunto de instruções rotuladas compostas; c) Identiicação dos ciclos ininitos; d) Simpliicação dos ciclos ininitos; e) União disjunta dos conjuntos I Q e I R, excetuando-se a instrução rotulada ω; )Veriicar se Q R

43 Equialência Forte de Programas Monolíticos a) Especiicação do programa utilizando instruções rotuladas compostas 1. Representar o programa monolítico na orma de luxograma 2. Atribuir rótulos numéricos para todas as operações 3. Atribuir o rótulo ε paraainstrução parada dee ser único 4. Considerar que os rótulos seguem os nós 5. Acadarótulo numérico i, criari: (F,i ) (G, i ) se: A condição erdadeira para o teste implica na execução de F Após a execuçãode Fopróximo rótulo atingidoéi Acondiçãoalsaparaoteste implica na execuçãode G Após a execuçãode G o próximo rótulo atingido é i Se a execução de uma operação lear a um loop ininito, dee-se usar (ciclo, w) e acrescentar a instrução rotulada composta w: (ciclo, w), (ciclo, w) ao programa

44 Equialência Forte de Programas Monolíticos a) Especiicação do programa utilizando instruções rotuladas compostas 1. Representar o programa monolítico na orma de luxograma 2. Atribuir rótulos numéricos para todas as operações 3. Atribuir o rótulo ε para a instrução parada dee ser único 4. Considerar que os rótulos seguem os nós 5. Acadarótulo numérico i, criari: (F,i ) (G, i ) se: A condição erdadeira para o teste implica na execução de F Após a execuçãode Fopróximo rótulo atingidoéi Acondiçãoalsaparaoteste implica na execuçãode G Após a execuçãode G o próximo rótulo atingido é i Se a execução de uma operação lear a um loop ininito, dee-se usar (ciclo, w) e acrescentar a instrução rotulada composta w: (ciclo, w), (ciclo, w) ao programa

45 Equialência Forte de Programas Monolíticos Exemplo: luxograma rotulado e instruções rotuladas compostas 1 partida Programa P 2 G F 3 4 F G 5 6 F 7 G ε parada

46 Algoritmo de Equialência Forte de Programas Monolíticos Passos para eriicação: a) Especiicação do programa usando instruções rotuladas compostas; b) Conjunto de instruções rotuladas compostas; c) Identiicação dos ciclos ininitos; d) Simpliicação dos ciclos ininitos; e) União disjunta dos conjuntos I Q e I R, excetuando-se a instrução rotulada ω; )Veriicar se Q R

47 Equialência Forte de Programas Monolíticos a) Especiicação do programa utilizando instruções rotuladas compostas 1. Representar o programa monolítico na orma de luxograma 2. Atribuir rótulos numéricos para todas as operações 3. Atribuir o rótulo ε paraainstrução parada dee ser único 4. Considerar que os rótulos seguem os nós 5. Acadarótulo numérico i, criari: (F,i ) (G, i ) se: A condição erdadeira para o teste implica na execução de F Após a execuçãode Fopróximo rótulo atingidoéi Acondiçãoalsaparaoteste implica na execuçãode G Após a execuçãode G o próximo rótulo atingido é i Se a execução de uma operação lear a um loop ininito, dee-se usar (ciclo, w) e acrescentar a instrução rotulada composta w: (ciclo, w), (ciclo, w) ao programa

48 Equialência Forte de Programas Monolíticos Exemplo: luxograma rotulado e instruções rotuladas compostas 1 partida Programa P b) Instruções rotuladas compostas 2 G F 3 4 F G 5 6 F 1: (G, 2), (F, 3) 2: (G, 2), (F, 3) 3: (F, 4), (G, 5) 4: (F, 4), (G, 5) 5: (F, 6), (ciclo, ω) 6: (parada, ε), (G, 7) 7: (G, 7), (G, 7) ω: (ciclo, ω), (ciclo, ω) 7 G ε parada

49 Algoritmo de Equialência Forte de Programas Monolíticos Passos para eriicação: a) Especiicação do programa usando instruções rotuladas compostas; b) Conjunto de instruções rotuladas compostas; c) Identiicação dos ciclos ininitos; d) Simpliicação dos ciclos ininitos; e) União disjunta dos conjuntos I Q e I R, excetuando-se a instrução rotulada ω; )Veriicar se Q R

50 Equialência Forte de Programas Monolíticos c) Identiicação dos ciclos ininitos; A união disjunta de conjuntos garante que todos os elementos dos conjuntos componentes constituem o conjunto resultante, mesmo que possuam a mesma identiicação. Neste caso, considera-se que os elementos são distintos, mesmo que possuam a mesma identiicação. Por exemplo, para os conjuntos A={a, x} e B={b,x}, o conjunto resultante da união disjunta é: {a A,x A,b B, x B } Quando a identiicação or única, o índice pode ser omitido {a,x A,b,x B }

51 Equialência Forte de Programas Monolíticos Equialência Forte: União Disjunta. Sejam: Q = (I Q, q) e R = (I R, r) dois programas monolíticos especiicados usando instruções rotuladas compostas P q = (I, q) e P r = (I, r) programas monolíticos onde I é o conjunto resultante da união disjunta de I Q e I R. Então: P q P r se, e somente se, Q R

52 Equialência Forte de Programas Monolíticos O algoritmo para eriicação da equialência orte de Q e R resume-se à eriicaçãose P q e P r sãoequialentes ortemente. cadeia de conjuntos: sequência de conjuntos ordenada pela relação de inclusão; programa monolítico simpliicado: instruções rotuladas compostas que determinam ciclos ininitos a serem excluídos (excetuando-se a instrução rotulada por ω, se existir). A simpliicação baseia-se em cadeia de conjuntos; rótulos equialentes ortemente: o algoritmo de eriicação se P q e P r são equialentes ortemente baseia-se em rótulos equialentes ortemente de programas simpliicados.

53 Cadeia de conjuntos, Cadeia inita de Conjuntos, Limite de uma Cadeia Finita de Conjuntos. Umacadeia deconjuntosa 0 A 1...édita: UmaCadeiadeConjuntosse, paraqualquerk 0, A k A k+1 Uma Cadeia Finita de Conjuntos é uma cadeia de conjuntos onde existe n, para todo k 0, tal que: A n = A n+k Neste caso, deine-se o Limite da Cadeia Finita de Conjuntos como segue: lima k = A n

54 Identiicação de Ciclos Ininitos em Programa Monolítico Identiicação de Ciclos Ininitos em Programa Monolítico. ornece um algoritmo para determinar se existem ciclos ininitos em um conjunto de instruções rotuladas compostas. A ideia básica é partir da instrução parada, rotulada por ε, determinando os seus antecessores. Por exclusão, uma instrução que não é antecessor da parada determina um ciclo ininito.

55 Identiicação de Ciclos Ininitos em Programa Monolítico Se I é um conjunto de n instruções rotuladas compostas. Seja A 0 A 1...uma sequência de conjuntos de rótulos deinida como segue A 0 ={ε} 0 A 1 = A k {r r é rótulo de instrução antecessora de alguma instrução rotulada A k } Então A 0 A 1... é uma cadeia inita de conjuntos e, para qualquer rótulo r de instrução I, tem-se que (I,r) (I, ω) se, e somentese, r lim A k Proporciona uma maneira ácil de determinar se algum rótulo caracteriza ciclos ininitos

56 Exemplo: Identiicação de Ciclos Ininitos em Programa Monolítico 1 partida 2 G F 3 Programa P Instruções rotuladas compostas 1: (G,2),(F,3) 2: (G,2),(F,3) 3: (F,4),(G, 5) 4: (F,4),(G, 5) 5: (F,6),(ciclo, ω) 6: (parada, ε), (G,7) 7: (G,7),(G, 7) ω: (ciclo, ω), (ciclo, ω) 4 F G F G ε parada

57 1 partida Programa P 2 G F 3 4 F G 5 6 F A correspondente cadeia inita de conjuntos é: A 0 = {ε} A 1 = {6, ε} A 2 = {5, 6, ε} A 3 = {3, 4, 5, 6, ε} A 4 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ε} A 5 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ε} Logo:limA k = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ε} 7 G Simpliicação de ciclos ininitos: (I,7) (I, ω), pois7 lima k. A ideia básica é partir da instrução parada, rotulada por ε, determinando os seus antecessores. ε parada Portanto, pode-se simpliicar um conjunto de instruções rotuladas compostas eliminando-se qualquer instrução de rótulo r ω que determine um ciclo ininito.

58 Algoritmo de Equialência Forte de Programas Monolíticos Passos para eriicação: a) Especiicação do programa usando instruções rotuladas compostas; b) Conjunto de instruções rotuladas compostas; c) Identiicação dos ciclos ininitos; d) Simpliicação dos ciclos ininitos; e) União disjunta dos conjuntos I Q e I R, excetuando-se a instrução rotulada ω; )Veriicar se Q R

59 Algoritmo de Equialência Forte de Programas Monolíticos Passos para eriicação: d) Simpliicação de ciclos ininitos Seja I um conjunto inito de instruções rotuladas compostas. Algoritmo: Identiicação de ciclos ininitos Paraqualquer rótulorde instruçãoital que r lim A k A instrução rotulada por r é excluída odareerência a paresda orma (F, r) é substituída por (ciclo, ω)

60 Programa P Algoritmo de Equialência Forte de Programas Monolíticos Instruções rotuladas compostas A correspondente cadeia inita de conjuntos é: A 0 = {ε} A 1 = {6, ε} A 2 = {5, 6, ε} A 3 = {3, 4, 5, 6, ε} A 4 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ε} A 5 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ε} Logo:limA k = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ε} Simpliicação de ciclos ininitos: (I,7) (I, ω), pois7 lima k. Portanto, pode-se simpliicar um conjunto de instruções rotuladas compostas eliminando-se qualquer instrução de rótulo r ω que determine um ciclo ininito. 1: (G,2), (F, 3) 2: (G,2), (F, 3) 3: (F, 4), (G, 5) 4: (F, 4), (G, 5) 5: (F, 6), (ciclo, ω) 6: (parada, ε), (G, 7) 7: (G,7), (G, 7) ω: (ciclo, ω), (ciclo, ω) Instruções rotuladas compostas e simpliicadas 1: (G, 2), (F, 3) 2: (G, 2), (F, 3) 3: (F, 4), (G, 5) 4: (F, 4), (G, 5) 5: (F, 6), (ciclo, ω) 6: (parada, ε), (ciclo, ω) ω: (ciclo, ω), (ciclo, ω)

61 8 Programa Q Algoritmo de Equialência Forte de Programas Monolíticos partida a) Especiicação do programa usando instruções rotuladas compostas; 9 G F 10 G 11 8: (G, 9), (F, 10) 9: (G, 9), (F, 10) 10:(F, 10), (G, 11) 11:(F, 12), (F, 13) 12:(parada, ε), (F, 13) 13:(F, 13), (F, 13) 12 F F 13 parada ε

62 Programa Q Algoritmo de Equialência Forte de Programas 8 partida Monolíticos b.2) Identiicação de ciclos ininitos A 0 = {ε} A 1 = {12, ε} A 2 = {11, 12, ε} A 3 = {10, 11, 12, ε} A 4 = {8, 9, 10, 11, 12, ε} A 5 = {8, 9, 10, 11, 12, ε} Portanto: lim A k = {8, 9, 10, 11, 12, ε} 9 G F 10 G F F 13 parada ε (I r, 13) (I, ω), pois lim A k

63 Algoritmo de Equialência Forte de Programas Monolíticos Instruções rotuladas compostas 8: (G, 9), (F, 10) 9: (G, 9), (F, 10) 10:(F, 10), (G, 11) 11:(F, 12), (F, 13) 12:(parada, ε), (F, 13) 13:(F, 13), (F, 13) Instruções rotuladas compostas simpliicadas 8:(G, 9), (F, 10) 9:(G, 9), (F, 10) 10:(F, 10), (G, 11) 11:(F, 12), (ciclo, ω) 12:(parada, ε), (ciclo, ω) ω: (ciclo, ω), (ciclo, ω) lim A k = {8, 9, 10, 11, 12, ε} (I r, 13) (I, ω), pois lim A k

64 Algoritmo de Equialência Forte de Programas Monolíticos Relatiamente à aplicação do algoritmo, tem-se que: Passo 1: Seja I a união disjunta dos conjuntos I Q e I R, executando-se a instrução rotulada ω, como segue: Seja I um conjunto de n instruções 1:(G, 2), (F, 3) compostas e simpliicadas. 2:(G, 2), (F, 3) Sejam r e s dois rótulos de instruções de 3:(F, 4), (G, 5) I. 4:(F, 4), (G, 5) Deine-se, indutiamente, a sequência de 5:(F, 6), (ciclo, ω) conjuntos B 0 B 1...por: 6: (parada, ε), (ciclo, ω) B 0 = {(r, s)} 8: (G, 9), (F, 10) B k+1 = {(r", s") r" e s" são rótulos 9: (G, 9), (F, 10) sucessores de r e s, respectiamente, 10: (F, 10), (G, 11) (r, s ) B k e (r", s") B i, (0 i k)} 11: (F, 12), (ciclo, ω) Então B 0 B 1... é uma sequência que 12: (parada, ε), (ciclo, ω) conerge para o conjunto azio, e r, s ω: (ciclo, ω), (ciclo, ω) são rótulos equialentes ortemente se, e somente se, qualquer par de B k é constituído por rótulos consistentes.

65 Sejam r e s dois rótulos deinstruções de I. B 0 = {(r, s)} B k+1 = {(r", s") r" e s"são rótulos sucessores de r e s, respectiamente, (r, s ) B k e (r", s") B i, (0 i k)} Então B 0 B 1 Algoritmo... é uma sequência de que Equialência conerge para oforte conjunto azio, de Programas e r, s são rótulos equialentesmonolíticos ortemente se, e somente se, qualquer par de B k é constituído por rótulos consistentes. Paraeriicar se Q Résuiciente eriicar se (I, 1) (I, 8) Passo 2: como 1 e 8 são rótulos equialentes ortemente, então: B 0 = {(1, 8)}. Caso contrário, não são equialentes e o algoritmo para. Passos 3 e 4. Para k >=0, a construção de B k+1 é como segue: B 1 = {(2, 9), (3,10)} pares de rótulos equialentes ortemente B 2 = {(4, 10), (5, 11)} pares de rótulos equialentes ortemente B 3 = {(6, 12), (ω, ω)} pares de rótulos equialentes ortemente B 4 = {(ε, ε)} pares de rótulos equialentes ortemente B 5 = ø conerge para o conjunto azio - Q e R são equialentes Logo (I, 1) (I, 8) e, portanto, Q R a relação equialência orte ornece subsídios para analisar a complexidade estrutural de programas. No caso, Qé estruturalmente mais otimizado que P contem um teste a menos 1:(G, 2), (F, 3) 2:(G, 2), (F, 3) 3:(F, 4), (G, 5) 4:(F, 4), (G, 5) 5:(F, 6), (ciclo, ω) 6: (parada, ε), (ciclo, ω) 8: (G, 9), (F, 10) 9: (G, 9), (F, 10) 10: (F, 10), (G, 11) 11: (F, 12), (ciclo, ω) 12: (parada, ε), (ciclo, ω) ω: (ciclo, ω), (ciclo, ω)

66 1 Algoritmo de Equialência Forte de Programas Monolíticos partida Programa P 8 partida Programa Q 2 G F 3 9 G F 10 4 F G 5 G 11 6 F 12 F F 13 7 G parada ε ε parada a relação equialência orte ornece subsídios para analisar a complexidade estrutural de programas. No caso, Qé estruturalmente mais otimizado que P contem um teste a menos

67 Passos do Algoritmo de Equialência Forte de Programas Monolíticos Passo 1. Sejam P q = (I, q) e P r = (I, r) programas monolíticos onde I é o conjunto resultante da união disjunta de I Q e I R, excetuando-se a instrução rotulada ω, se existir, a qual ocorre, no máximo, uma ez em I. Passo 2. Se q e rsão rótulos equialentes ortemente, então B 0 ={(q, r)}. Caso contrário, Q e R não são equialentes ortemente, e o algoritmo termina. Passo 3. Para k 0, deine-se o conjunto B k+1, contendo somente os pares (q", r") de rótulos sucessores de cada(q', r') B k, tais que: q' r'; q'er' são ambos dierentes de ε; os pares sucessores (q", r")não são elementos de B 0, B 1,..., B k. Passo 4. Dependendo deb k+1, tem-se que: a) B k+1 = : Q ersão equialentes ortemente, eoalgoritmo termina; b) B k+1 : se todos os pares de rótulos de B k+1 são equialentes ortemente, então á para o Passo 3; caso contrário, Q e R não são equialentes ortemente, e o algoritmo termina.

68 Conclusão A partir do conceito de unção computada são apresentadas noções de equialências de programas e máquinas: programas equialentes ortemente e programas equialentes em uma máquina; É apresentado um algoritmo para eriicar se programas monolíticos (ou iteratios) são equialentes ortemente. Até o momento não existe um algoritmo para programas recursios; Posteriormente, será apresentado o conceito de máquina uniersal.

69 Programas, Máquinas e Computações Aplique o Algoritmo de Veriicação da Equialência Forte de Programas Monolíticos para os programas abaixo partida 1 partida 3 2 F F 4 parada ε Programa Monolítico P 1 parada ε Programa Monolítico P 2 parada ε

70 Programas, Máquinas e Computações Exercícios: 2.12 ao ao 2.25 Eniar por (oliete@ct.unesp.br) até o dia 22/03