EQUIVALÊNCIA DE PROGRAMAS E MÁQUINAS

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1 EQUIVALÊNCIA DE PROGRAMAS E MÁQUINAS Édson Wenning¹, Elias Lampert², Gustavo Claudy³, Pedro E. Camera 4. ¹Discente do Curso Ciência da Computação - Universidade de Cruz Alta ²Discente do Curso Ciência da Computação - Universidade de Cruz Alta ³Discente do Curso Ciência da Computação - Universidade de Cruz Alta 4 Discente do Curso Ciência da Computação - Universidade de Cruz Alta (edsonwenning2012@hotmail.com, eliaslampert@hotmail.com, guga.claudy@hotmail.com, pedro@triway.net.br) Resumo: Este trabalho apresenta conceitos sobre a equivalencia entre máquinas, máquina de traços e programas fortemente equivalentes. Esses conceitos são de suma importancia no estudo da teoria da computação, isso justifica-se porque através da percepção da equivalência forte de programas podemos adquirir subsídios para analisar a complexidade estrutural dos mesmos. Para o entendimento deste conceito, devemos primeiramente ter conhecimento da equivalencia de programas, para esta verificação utiliza-se a máquina de traço. A qual define que programas quando equivalentes retornam o mesmo traço. Abstract: This paper presents concepts about an equivalence between machines, dashboards and strongly equivalent programs. These concepts are of paramount importance no study of the theory of computation, this is justified because through the perception of the strong equivalence of programs we can acquire subsidies to analyze their structural complexity. For the understanding of the concept, we must first be aware of the equivalence of programs, for this verification, use the dash machine. Which defines that as many as the equivalents return the same trait. 1. INTRODUÇÃO A teoria da computação aborda conteúdos diversos de informações para a área da tecnologia de informação dentre eles, a computabilidade, complexidade de problemas computacionais e autômatos são assuntos presntes em alguns livros e artigos sobre o tema. Segundo Queiroz (1997) a complexidade avalia o grau de dificuldade de resolução de um determinado

2 programa para realizar um certo problema computacional, diferente da computabilidade que analisa todo o problema e indica se o mesmo pode ser ou não computado. Queiroz (1997) aponta ainda autômatos como modelos de computação para o processamento de texto, compiladores e projetos de hardware, permitindo assim definições formais para obter um certo resultado de programas dentre a computação. Além destes conceitos a teoria da computação explora outros assuntos. A relação existente entre os resultados obtidos na computação de programas, são abordadas com o intuito de verficar as chamadas equivalencias de programas. Para que um programa possa ser considerado equivalente as funções computadas dos mesmos devem ser iguais. Adotando alguns conceitos de equivalência percebe-se uma relação existente entre os programas, caracterizando uma hierarquia existente. Partindo da ideia que um programa é equivalente podemos verificar a existencia forte entre os programas. 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1.Equivalência de programas Um programa pode ser definido como um conjunto de instruções que capacitam a uma dada máquina a aplicar certas operações básicas e testes sobre os dados fornecidos, com o objetivo de transformar estes dados numa forma desejável conforme Campos (2000). Equivalência de programas segundo Diverio (2000), pode se definir quando uma máquina pode simular outra máquina, sendo assim equivalência de programas pode estabelecer noções com equivalência de máquinas. Uma equivalência de programas será analisada em uma certa máquina quando estiver uma caracterização de equivalência mais fraca do que uma equivalência já apresentada. Casillo (2017), diz que um par de programas pertence a relação, apenas se as correspondentes funções computadas coincidirem para uma dada máquina. Ex1 conforme Diverio (2000): Temos dois programas arbitrários, não necessariamente do mesmo tipo, e uma máquina (M) qualquer. O par (P, Q) estão na relação de equivalência de programas na máquina M denotado assim por: P Q Se essas duas correspondentes funções computadas são iguais, ou seja:

3 <P, M> = <Q, M> Neste caso então, P e Q são programas equivalentes na máquina M ou simplesmente serão programas M-Equivalentes. Existem máquinas nas quais não se pode provar sua existência de um algoritmo, ou seja, se dados dois programas, se eles serão ou não M-Equivalentes. Assim sendo, de fato, existem maquinas muito simples para as quais prova-se que, o problema é não- solucionável Equivalência de Máquinas Segundo o autor Diverio (2000), a teoria de equivalência de programas, pode-se estabelecer noções de equivalências de máquinas. Afirma-se que duas máquinas são equivalentes se uma pode simular a outra e vice-versa. Inicialmente é introduzido o conceito de simulação forte de máquina. Esse conceito pode ser feito usando diferentes tipos de programas, para que o mesmo ocorra, deverá ser observado se existe igualdade entre os conjuntos de dominio e contradominio, os mesmos deveram ter igualdade nas funções, os mesmos conjuntos de valores de entrada e tambem o mesmo valor de saida. 2.3.Equivalência Forte de Programas Segundo o autor Diverio (2000),para que ocorra Equivalência Forte de Programas, é necessário que para qualquer máquina M, as funções parciais computadas sejam iguais, ou seja, um par de programas pertence à relação se as correspondentes funções computadas coincidem para qualquer máquina. Portando: <P,M>=<Q,M> Através da Relação Equivalência Forte de Programas, podemos: Identificar diferentes programas cujas funções computadas coincidem, para qualquer máquina; Nas funções computadas por programas equivalentes fortemente são efetuadas na mesma ordem independente do significado dos mesmos; Fornece subsídios para analisar a complexidade estrutural de programas. Por exemplo, analisando os programas equivalentes P1 e P2 pode-se concluir que P1 é estruturalmente mais otimizado que P2, pois possui um teste a menos. Os programas P1 e P2 estão representados no quadro abaixo.

4 Quadro 1 - Programas Equivalentes Fonte: Os autores embasado Diverio (2000) Conforme Cassillo (2017), podemos observar todo programa iterativo, tem um programas monolítico equivalente fortemente, todo monolítico, possui um recursivo equivalente fortemente. 2.4.Equivalência Forte de Programas: Iterativo -> Monolítico Diverio e Menezes (2009) definem que para qualquer Pi, existe um Pm, tal que Pi Pm. A obtenção de um programa monolítico a partir de um iterativo é direta, a partir do mapeamento das construções elementares de um programa iterativo em sequencias de construções equivalentes em um programa monolítico. Em virtude de que as mesmas operações são executadas em ordem idêntica em ambos os programas, as funções computadas são as mesmas. Exemplo: Fazer o mapeamento do programa iterativo para um programa monolítico, a Figura 1 é o exemplo do fluxuograma.

5 Até a_zero faça (subtrai_a;adiciona_b) Instruções rotuladas: 1: se a_zero então vá_para 4 senão vá_para 2 2: faça subtraia_a vá_para 3 3: faça adiciona_b vá_para 1 Fluxograma: Figura 1 Fluxograma Fonte: Os autores embasado Diverio (2000) 2.5.Equivalência Forte de Programas: Monolítico -> Recursivo Para qualquer programa monolítico Pm, existe um programa recursivo Pr, tal que Pm Pr. Exemplo: No Quadro 2, está o mapeamento de um programa monolítico (instruções rotuladas) para recursivo. 1: se a_zero então vá_para 4 senão vá_para 2 2: faça subtraia_a vá_para 3 3: faça adiciona_b vá_para 1 Recursivo: R é R1 onde R1 def (se a_zero então R4 senão R2) R2 def (faça subtraia_a;r3) R3 def (adiciona_b,r1)

6 R4 def Quadro 2: Mapeamento Monolítico -> Recursivo Fonte: Os autores (embasado Diverio(2000)) 2.6.Equivalência Forte de Programas: Iterativo -> Recursivo Para qualquer programa iterativo Pi, existe um programa recursivo Pr, tal que Pi Pr. 2.7.Equivalência Forte de Programas: Recursivo -> Monolítico Para um programa recursivo, não necessariamente existe um programa monolítico fortemente equivalente. Para um programa ser considerado fortemente equivalente, a função computada deve conter as operações executadas na mesma ordem. O ciclo de operações não pode ser executado indefinidamente. Portanto com um registrador, não é possível fazer o controle do ciclo e, ainda, utilizá-lo como acumulador, pois o controlador é subtraído uma unidade e como o acumulador é somado duas unidades, resulta em ciclo executado indefinidamente. Exemplo: Caso exista um programa recursivo e uma máquina de um_reg, que possua como função computada <duplica, um_reg>:n -> N é tal que, para qualquer n N: <duplica, um_reg>(n) = 2n Suponha que existe um programa monolítico Pm que computa a mesma função, ou seja, que <Pm,um_reg>: N -> N e: <duplica, um_reg> = <Pm, um_reg> Pm é constiruído de K operações ad. Suponha n N tal que n >= k. Então para que <Pm, um_reg>(n), é necessário que Pm execute n vezes a operação ad. Mas, com n >= K, então pelo menos uma das ocorrências de ad será executada indefinidamente. Não configurando um programa fortemente equivalente. 2.8.Equivalência Forte de Programas: Monolítico -> Iterativo Dado um programa monolítico, não necessariamente existe um programa iterativo. Exemplo: Considere o programa monolítico, representado pela Figura 3.

7 Figura 2 - Programa Monolítico Fonte: os autores embasado Diverio(2000) Onde existe um maquina de um_reg, onde a função computada seja <par, um_reg>:n-> N é tal que, para qualquer n N: <par, um_reg>(n) = 1, se n é par; <par, um_reg>(n) = 0, se n é impar. Suponha que existe um programa iterativo que compute a mesma função, ou seja, <Pi, um_reg>: N-> N e: <par, um_reg> = <Pi, um_reg> Suponha que Pi é constiuido de K operações sub. Suponha n N tal que n<=k. É necessário que Pi execute n vezes operações sub. Mas, como n<=k, então pelo menos uma das ocorrências sub será executada mais de uma vez, ou seja, existe um ciclo iterativo (enquanto ou até) em Pi. Em qualquer caso, o ciclo terminará sempre na mesma condição, independente se o valor for par ou ímpar. Portanto, a computação resultante é incapaz de distinguir entre os dois casos. Portanto não existe um Pi equivalente fortemente ao programa monolítico par Máquina de Traço A Máquina de Traço tem grande importância para a verificação de equivalência entre programas. Quando dois programas são semelhantes em qualquer máquina de traço, podemos dizer que nesse caso os programas são equivalentes fortemente. Casillo (2017) Essa máquina não realiza as funções dos programas, não executa os cálculos nem a operação

8 do programa que foi programado, ela apenas cria um histórico do rastro das chamadas do programa, assim denominando a máquina de traço. Casillo (2017). A Máquina de traços é representado pelo seguinte conjunto de elementos: M = (Op*, Op*, Op*,idOp*, idop*, IIF, IIT ) Op* é o conjunto de palavras operações e também pode ser todos os valores da memória de entrada e de saída do programa. idop* são as funções de entrada e saída. IIF são conjuntos de interpretações de operações. IIT conjuntos de interpretações de testes. Casillo (2017) Os efeitos das operações verificada por uma máquina de traços e acrescentar um identificar depois do valor atual da memória, especificando as interpretações dos testes. Pois todas as operações são determinadas antes. Casillo (2017) Um exemplo simples é o programa V que é monolítico, que vai passar pela máquina de traços: 1: faça X vá_para 2 2: faça X vá_para 3 3: faça F vá_para 4 4: se T1 vá_para 5 senão vá_para 1 Todo o histórico de cada interação vai sendo concatenado na memória. Ao passar a programa V na Máquina de Traços M, com uma interação falsa na decisão vai produzir o histórico abaixo: (1, Vazio)(2, X)(3, X X)(4, X XF)(1, X XF)(2, X XFX)(3, X XF XX)(4, X XF XXF)(5, X XF XX). Assim a máquina da como resultado o histórico de alteração: X XF XX pois a linha 5 não existe no sistema significando o final. Campos (2000). 3. RESULTADOS E DISCUSSÕES Foi realizada uma pesquisa teórica sobre os assuntos mencionados acima, que comportou o conhecimento em geral sobre os conceitos e suas funções distintas em cada equivalência supracitada. E ainda, levantaram-se fluxogramas de cada item explanado para demonstrar o funcionamento de cada uma. Concluímos que a equivalência de máquinas, equivalência de programas, equivalência fortemente de programa, máquinas de traços, obtém dependência uma da outra. ressaltando que, equivalência de máquinas, é representada quando uma simula a outra, mesmo sendo distintas. Por outro lado, a equivalência de programa é definida pela analise do resultado da equivalência de máquinas.

9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS CASILLO, Danielle. Teoria da Computação - Equivalência de Programas e Máquinas. Mossoró: Danielle Casillo, slides, P&B. CAMPOS, Profa. Juliana Pinheiro. Teoria da Computação Disponível em: <file:///d:/nova pasta (7)/Ciencia da computação/7º Semestre/Teoria da Computação/2_ProgramasMaquinasComputacoes.pdf>. Acesso em: 09 maio DIVERIO, Tiaraju Asmuz; MENEZES, Paulo Blauth. Teoria da Computação - Equivalência de Programas e Máquinas. Porto Alegre: Bookman Editora, p. DIVERIO, Tiaraju Asmuz. Teoria da Computação: Máquinas Universais e Computabilidade. 2. ed. Rio Grande: Luzzato, p. QUEIROZ, Ruy J. Guerra B.. Introduction to the Theory of Computation (PWS Publishing Company 1997).