Universidade Federal de Juiz de Fora Curso de Arquitetura e Urbanismo Estudo da Forma AULA 11 SUPERFICIES GERADAS POR RETAS NÃO DESENVOLVIVEIS

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1 Universidade Federal de Juiz de Fora Curso de Arquitetura e Urbanismo Estudo da Forma AULA 11 SUPERFICIES GERADAS POR RETAS NÃO DESENVOLVIVEIS

2 31/08/ As superfícies não desenvolvíveis Hiperbolóide c/rvulk4jb/preview.html>. AULA 11 Catedral de Brasília < pc7qfvv_qgy/t5q2vcafbxi/aaaaaaaacfg/rd5akt9cyy8/s1600/p jpg>. Acesso em: 10 jan Superfícies geradas por retas não desenvolvíveis Na aula anterior, estudamos as geodésicas. Embora elas se pareçam com as esferas, não podemos chamá-las de esferas, pois as geodésicas são passíveis de planificação. Lembre-se de que é impossível construir o desenvolvimento perfeito de uma superfície esférica, ou seja, sua planificação perfeita. A superfície esférica é considerada não desenvolvível, ela é uma superfície curva de revolução gerada por uma linha curva. Desenvolvimento pelo método dos paralelos. < trica/php/gd_t/gd_15t.php>. Acesso em: 10 out Desenvolvimento pelo método dos meridianos. < trica/php/gd_t/gd_15t.php>. Acesso em: 10 out Desenvolvimento pelo método dos paralelos. < trica/php/gd_t/gd_15t.php>. Acesso em: 10 out Superfícies desenvolvíveis X superfícies não desenvolvíveis Uma linha reta pode gerar uma superfície curva. Um exemplo é o cone e o cilindro, porém essas duas superfícies são desenvolvíveis. Algumas superfícies de revolução são consideradas superfícies não desenvolvíveis Mas existem superfícies que são curvas e geradas por retas e não podemos planificá-las, e por isto são chamadas superfícies regradas não desenvolvíveis. Um exemplo é o hiperbolóide de revolução de uma folha. Cone e cilindro: superfícies desenvolvíveis. < Hiperbolóide de revolução: superfície não desenvolvível. < Capitulo_4/Imagens/hiperboloide2.gif>. Esfera Elipsóide Hiperbolóide Toro Superfícies de revolução < 5 6 Características das superfícies não desenvolvíveis Tipos de superfícies não desenvolvíveis São características das superfícies chamadas regradas não desenvolvíveis: 1. Não podem ser desenvolvidas sobre um plano. 2. Duas geratrizes infinitamente próximas se cruzam. 3. O plano tangente à superfície em um ponto contém a geratriz que passa pelo dito ponto, mas não é tangente à superfície em outros pontos da geratriz citada. Superfície não desenvolvível. Fonte: Barison (2007,p.1). Os tipos de superfícies regradas não desenvolvíveis são classificados de acordo com a posição da geratriz, diretriz e do plano diretor. Na geração do parabolóide hiperbólico ao lado, temos uma reta (geratriz) que se move apoiada em duas retas (diretrizes) reversas, isto é, que não pertencem ao mesmo plano. Diretrizes e geratrizes. Fonte: Barison (2007,p.2). 1

3 31/08/ Exemplo de aplicação Tipos de superfícies não desenvolvíveis Os tipos de superfícies regradas não desenvolvíveis são classificados de acordo com a posição da geratriz, diretriz e do plano diretor. Na imagem ao lado destacam-se, os planos diretores.. Fonte: Barison (2007,p.2). Pérgola em forma de parabolóide hiperbólico. < ybyyohfis4uinhn5ajdwwvi8mxl7v1yh0/dsc03847.jpg>. Acesso em 12 fev < oloide.jpg>. Planos diretores, diretrizes e geratrizes. Fonte: Barison (2007,p.2) e Hiperbolóides e hiperbolóides são superfícies não desenvolvíveis. Vamos relembrar as diferenças entre uma parábola e uma hipérbole? Circunferência, elipse, parábola e hipérbole Parábola, hipérbole e elipse são as chamadas curvas cônicas. Elas recebem esse nome porque resultam de cortes em um cone. Parábola < o/matematica/parabola-y-x.gif>. Acesso em: 10 jan Hipérbole < ematica/hiperbole-y-x.gif>. Acesso em: 10 jan Circunferência, parábola, hipérbole e elipse Fonte: UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO. Geometria Descritiva II: apostila de apoio. P Existem dois tipos de parabolóides: elíptico e hiperbólico. O parabolóide elíptico possui um formato semelhante a uma taça. O parabolóide hiperbólico possui um formato semelhante a uma sela. Parabolóide de revolução <httphttp:// /thumb/9/9c/paraboloidofrevolution.png/220px- ParaboloidOfRevolution.png>. Observe o Planetário, projetado por Niemeyer, para o Parque do Ibirapuera. Por fora é um parabolóide. Vocês de lembram de outros projetos do Niemeyer que, aparentemente, também configuram-se como parabolóides? Planetário do Parque Ibirapuera < >. <httphttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thum b/4/4a/hyperbolicparaboloid.png/220px- HyperbolicParaboloid.png>. 2

4 31/08/ No Congresso Nacional têmse duas parabolóides circulares. A Oca, do Parque do Ibirapuera, assemelha-se a um parabolóide. Congresso Nacional < Oca, do Parque Ibirapuera < Acesso em: 10 jan Oca, do Parque Ibirapuera < O Museu da República, em Brasília, parte de um parabolóide. No restaurante Los Manantiales, de Félix Candelaas, também destacam-se os parabolóides. Museu da República, Brasília < Acesso em: 10 jan Museu da República, Brasília < Estrutura do restaurante Los Manantiales < 00px_manantiales_diagrama-530x315.jpg>. Acesso em: 10 jan Restaurante Los Manantiales / Félix Candela. Foto de Erik Eugenio Martínez Parachini. < enio_mart nez_parachini-530x397.jpg> Vamos assistir ao filme sobre esse projeto!!! Paraboloide hiperbolico. Vídeo (3 47 ). < GBknZJDTYRU>. Acesso em: 12 fev Pavilhão do Rio Grande do Sul para a Feira Internacional do IV Centenário de São Paulo, em 1954, de Jaime Luna dos Santos. Ele tem a forma de um parabolóide hiperbólico. Restaurante Los Manantiales / Félix Candela. Foto de Erik Eugenio Martínez Parachini. < enio_mart nez_parachini-530x397.jpg>. Pavilhão do Rio Grande do Sul. < 20/Pq+Ibirapuera+-+Pavilh%C3%A3o+do+Rio+Grande+do+Sul.jpg>. Acesso em: 10 jan

5 31/08/ Cobertura da piscina do Departamento de Educação Física, projeto de Ícaro de Castro Mello, entre 1951 e Ela também tem a forma de um parabolóide hiperbólico. Em estruturas tensionadas, recorrentemente destacam-se os parabolóides. < _I/AAAAAAAAA4M/IaOtGp359HA/s1600/membrana+3.jpg>. Corbertura de piscina em Água Branca, SP. < Acesso em: 10 jan hiperbólicos hiperbólicos Sobre triângulos A superfície parabolóide hiperbólico de cobertura do losango AGBH, pode ser usada para cobertura do triângulo ABG, sendo que uma parte da superfície avança exteriormente à projeção horizontal do triângulo. Fonte: Barison (2007,p.5). Fonte: Barison (2007,p.5). Fonte: Barison (2007,p.5). < AwTv9u/paraboloide.JPG > hiperbólicos hiperbólicos Quiosques da Orla de Vila Velha. Foto: Frederico Braida, < >.. < >. Acesso em: 10 jan

6 31/08/ hiperbólicos Sobre quadrados hiperbólicos Sobre triângulos e quadrados A associação de quatro parabolóides hiperbólicos permite a cobertura de uma superfície quadrada. Hiperbolóide-parabólico Fonte: Barison (2007,p.7). Hiperbolóide-parabólico Fonte: Engel (2003,p.261) hiperbólicos de papel Com dobraduras é possível construir uma forma que se aproxima a uma parabolóide hiperbólico. hiperbólicos de papel Conjugando-se os parabolóides hiperbólicos, formase a figura ao lado. Vamos construí-la? < Parabolóide hiperbólica < z2iezqa9hoejbvxqvjawtv9u/paraboloide.jpg >. < Hiperbolóides Hiperbolóides Existem dois tipos de hiperbolóides: de uma folha e de duas folhas. Um hiperbolóide de uma folha pode ser obtido girando-se uma hipérbole ao redor de seu eixo transversal. Um hiperbolóide de duas folhas pode ser obtido através da rotação de uma hipérbole ao redor de seu eixo focal. Hiperbolóide de uma folha <httphttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thum b/4/4a/hyperbolicparaboloid.png/220px- HyperbolicParaboloid.png>. O hiperbolóide de revolução pode ser gerado pela revolução de uma hipérbole em torno de um eixo (geratriz e eixo no mesmo plano). O hiperbolóide de revolução também pode ser gerado pela revolução de uma reta em torno do eixo de rotação, sendo que esta reta deve ser reversa ao eixo, portanto com geratriz e eixo em planos diferentes. Hiperbolóide de uma folha < ns/hiperboloide1.gif>. hiperbolóide de duas folhas <httphttp:// /thumb/9/9c/paraboloidofrevolution.png/220px- ParaboloidOfRevolution.png>. As superfícies geradas pelas duas maneiras são exatamente iguais, porém o uso de geratrizes retas sempre facilita o processo de geração. Hiperbolóide de uma folha < ns/hiperboloide2.gif>. 5

7 31/08/ Hiperbolóides hiperbolóide de revolução de uma folha só. gerada por uma reta (diretriz), que gira em torno de um eixo vertical reverso à mesma, isto é, a reta AB pertence a um plano diferente daquele que contém o eixo. Construção do hiperbolóide de revolução de uma folha só hiperbolóide de revolução Fonte: Barison (2007,p.9). hiperbolóide de revolução Fonte: Barison (2007,p.10). hiperbolóide de revolução : superfície regrada não desenvolvível Fonte: Barison (2007,p.4) Hiperbolóides A Catedral de Brasília configura-se como um hiperbolóide. Tipos de superfícies não desenvolvíveis Cilindróide gerado por uma reta que se desloca paralelamente a um plano diretor, apoiando-se sempre sobre duas curvas (diretrizes). Cilindróide: superfície regrada não desenvolvível Fonte: Barison (2007,p.3). Hiperbolóide ew.html>. Catedral de Brasília < pc7qfvv_qgy/t5q2vcafbxi/aaaaaaaacfg/rd5akt9cyy8/s1600/p jpg >. Acesso em: 10 jan Tipos de superfícies não desenvolvíveis Conóide gerado por uma reta que se desloca paralelamente a um plano diretor e se apóia em duas diretrizes: uma reta e uma curva que não pertencem ao mesmo plano. Conclusão Para conclusão desta aula teórica, vamos assistir ao filme sobre diversos projetos que lançam mão de parabolóides e de hiperbolóides. O conóide se diz reto quando a diretriz reta é perpendicular ao plano diretor. Conóide : superfície regrada não desenvolvível Fonte: Barison (2007,p.3). Paraboloide hiperbolico. Vídeo (16 54 ). < Acesso em: 12 fev Conóide reto: superfície regrada não desenvolvível Fonte: Barison (2007,p.3). 6

8 31/08/ Referências bibliográficas BARISON, Maria Bernardete. Superfícies regradas não desenvolvíveis, Geométrica, vol.2, n.17a, < Acesso em 05 fev ENGEL, Heino. Sistemas estruturais. 3. ed. Barcelona: Gustavo Gili, Vídeos Parábolas e Hipérboles. Vídeo. < >. Acesso em: 12 fev Paraboloide hiperbolico. Vídeo. < Acesso em: 12 fev

9 EXERCÍCIO EM SALA TÍTULO Composições com superfícies geradas por retas não desenvolvíveis 02 DATA DE REALIZAÇÃO Este exercício deverá ser realizado durante a aula 11 e entregue na aula VALOR Todos os exercícios em sala somam 20 pontos. Universidade Federal de Juiz de Fora Curso de Arquitetura e Urbanismo Estudo da Forma Profs. Frederico Braida 04 OBJETIVO Produzir uma cobertura em forma de um parabolóide hiperbólico. 05 ORGANIZAÇÃO Esta é uma atividade que será realizada em GRUPOS DE, no máximo, QUATRO ALUNOS. 06 DESCRIÇÃO Cada aluno produzirá, com a técnica do origami, um parabolóide hiperbólico. Depois de construídos, cada grupo de quatro alunos fará a união de suas peças para conceber uma estrutura para cobrir uma área quadrada. 07 MATERIAIS NECESSÁRIOS PARA EXECUÇÃO Papel sulfite ou pardo Cola Estilete Base e régua para corte 08 AVALIAÇÃO Os critérios de avaliação são: capricho e correção. 09 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA PARA EXECUÇÃO BRAIDA, Frederico; CURY, Mariana. Superfícies geradas por retas não desenvolvíveis. Juiz de Fora: UFJF, Notas de aula.

10 10 PASSO-A-PASSO PARA A CONSTRUÇÃO Universidade Federal de Juiz de Fora Curso de Arquitetura e Urbanismo Estudo da Forma Profs. Frederico Braida Figura 01: Passo-a-passo para a construção de uma parabolóide hiperbólica < J98eHekaQft5S3akklz84ea7Yud2xxnuoI*2dAMofZzz2ieZqa9hOEJBvxqvJAwTv9u/p araboloide.jpg >.

11 11 EXEMPLOS Universidade Federal de Juiz de Fora Curso de Arquitetura e Urbanismo Estudo da Forma Profs. Frederico Braida Foto 01: Parabolóide hiperbólica (Dobradura). < Foto 02: União de quatro parabolóides hiperbólicas (Dobradura). < Acesso em: 10 jan

12 Universidade Federal de Juiz de Fora Curso de Arquitetura e Urbanismo Estudo da Forma Profs. Frederico Braida Cole aqui a foto do seu paraboloide hiperbólico

13 EXERCÍCIO EM EXTRACLASSE TÍTULO Das superfícies geradas por retas não desenvolvíveis ao espaço arquitetônico. 02 DATA DE REALIZAÇÃO Este exercício deverá ser entregue na aula VALOR Todos os exercícios extraclasse somam 20 pontos. Universidade Federal de Juiz de Fora Curso de Arquitetura e Urbanismo Estudo da Forma Profs. Frederico Braida 04 OBJETIVO Contextualizar a forma de um parabolóide hiperbólico no campo da arquitetura. 05 ORGANIZAÇÃO Esta é uma atividade que será realizada INDIVIDUALMENTE. 06 DESCRIÇÃO Cada aluno deverá tomar a estrutura desenvolvida em sala de aula como uma obra arquitetônica. Sobre a foto da estrutura arquitetônica, desenhar o entorno e os elementos que dão ideia de escala. 07 MATERIAIS NECESSÁRIOS PARA EXECUÇÃO foto da composição com paraboloide hiperbólico 08 AVALIAÇÃO Os critérios de avaliação são: capricho e correção. 09 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA PARA EXECUÇÃO BRAIDA, Frederico; CURY, Mariana. Superfícies geradas por retas não desenvolvíveis. Juiz de Fora: UFJF, Notas de aula.

14 Universidade Federal de Juiz de Fora Curso de Arquitetura e Urbanismo Estudo da Forma Profs. Frederico Braida Cole aqui a foto e faça o desenho sobre ela