Caro(a) trabalhador(a),

Transcrição

1 Fazendo contas

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3 f a z e n d o c o n t a s Caro(a) trabalhador(a), As atividades deste módulo foram elaboradas para que você possa rever ou conhecer alguns conteúdos importantes de matemática. Saber calcular, medir, raciocinar, antecipar resultados, resolver problemas, identificar e reconhecer formas geométricas, entre outras coisas, ajudará você a perceber como a matemática está presente no nosso dia a dia, sem nos darmos conta disso. Sabemos matemática e não sabemos que sabemos! Este módulo o ajudará não só a conhecer melhor essa disciplina tão temida, como também a entender e se relacionar melhor com o mundo do trabalho. 57

4 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais Unidade 1 Quem tem medo da matemática? andré sarmento A matemática está presente em muitas situações de nosso dia a dia, como: quando fazemos um crediário e calculamos os juros que pagaremos; quando pintamos a casa e compramos a quantidade de tinta considerando a área, ou seja, o tamanho do quarto, da sala, da cozinha etc.; quando pesamos frutas numa balança e lemos o número que aparece; quando pensamos na quantidade de ingredientes de uma receita culinária e no tempo de cozimento desse prato. Isso significa que todos nós, de alguma forma, temos conhecimentos matemáticos, só que às vezes não percebemos. Se você não está convencido disso, faça a atividade a seguir. Atividade 1 A matemática no dia a dia 1 A proposta é simples: forme dupla com um colega e, juntos, leiam o texto da próxima página. No item 2, vocês vão completar os espaços em branco com valores que tornem o texto compreensível. Dica importante: vocês podem escolher qualquer valor inicial, mas é preciso que, no final, sua conta esteja correta, a fim de que o texto faça sentido para quem está lendo. 58 Para entenderem melhor a proposta, analisem o exemplo. Fiquem atentos às palavras e aos números destacados em negrito.

5 f a z e n d o c o n t a s Reynaldo Stavale/SEFOT-Secom Congresso Nacional, Brasília. No dia 14 de fevereiro, uma segunda feira, cerca de 650 pessoas participaram de uma manifestação em frente ao Congresso Nacional, em Brasília. Os manifestantes, a maioria de São Paulo, caminharam por 90 dias, aproximadamente 11 quilômetros por dia, completando um trajeto de 900 quilômetros. Observem: se os manifestantes caminharam 90 dias, aproximadamente 11 quilômetros por dia, eles teriam completado o percurso totalizando 990 (90 11) quilômetros, e não 900, como menciona o texto. Parece que os números foram colocados de forma aleatória, sem reflexão sobre seu significado, deixando a conta final incorreta e o texto sem sentido. 2 Agora é a vez de vocês! No dia 14 de fevereiro, uma segunda feira, cerca de pessoas participaram de uma manifestação em frente ao Congresso Nacional, em Brasília. Os manifestantes, a maioria de São Paulo, caminharam dias, aproximadamente quilômetros por dia, completando uma caminhada de quilômetros. Para comemorar a chegada do grupo de cerca de pessoas a Brasília, um grupo assentado forneceu bois, que foram abatidos e assados no local. Foram consumidos ainda quilos de pão e litros de água. Os organizadores da manifestação armaram barracas em frente ao Congresso, para que os participantes pernoitassem no local, utilizando metros quadrados de plástico. Também foram confeccionadas faixas. Adaptado de: Proposta curricular para a educação de jovens e adultos, Brasília, MEC/SEF, Para realizarem essa atividade, você e seu colega tiveram de usar vários conhecimentos matemáticos: escrever números, multiplicar, reconhecer unidades de medida 59

6 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais (quilômetros, quilos e litros), estimar resultados e relacionar as informações. Isso prova que a matemática não é apenas fazer contas; ela tem um caráter prático, pois permite que as pessoas resolvam problemas cotidianos. A resolução de um problema nem sempre necessita de um cálculo exato. Quando vamos ao supermercado fazer compras e sabemos que só podemos gastar determinada quantia, estimamos ou seja, calculamos de forma aproximada quanto vamos gastar, arredondando os preços. Se um produto custa R$ 5,70, arredondamos para R$ 6,00. Isso porque fazer contas usando números inteiros é mais simples. Também, em algumas situações, não precisamos de lápis e papel para descobrir o resultado, como, por exemplo, para saber quanto é ou Podemos fazer esses cálculos simples de cabeça. Mas, se alguém nos perguntar quanto é 234,25 dividido por 23 (234,25 23), é muito difícil imaginarmos o resultado, e a forma mais rápida de fazermos essa conta é usando uma calculadora. 60 O que são números inteiros? Os números naturais são formados pelos números inteiros não negativos (0, 1, 2, 3, 4 etc.). Esse conjunto de números é infinito e contável, ou seja, pode ser contado. Utilizamos os números naturais em diversas situações e, em cada uma delas, nós os lemos de diferentes formas. Quer ver só? Como você lê este número de telefone: ? E como você lê este ano: 1968? Como você diz o número desta placa de automóvel: CII 2128? E este número: 13 o andar? Viu só? Em diferentes situações, a forma de leitura dos números muda. Ela depende do que estamos falando. Atividade 2 Desafio Preencha os espaços em branco, sem fazer contas, usando o sinal correspondente: > (maior que), < (menor que) ou = (igual a) Veja agora algumas respostas: é menor que porque o primeiro número das duas contas é o mesmo, mas na segunda estamos somando um número maior é maior que porque o primeiro número das duas contas é o mesmo, mas na primeira estamos subtraindo um número menor. Pense nisso quando deparar com uma situação que envolva cálculo.

7 f a z e n d o c o n t a s andré sarmento Unidade 2 Grandezas e unidades de medida O que se pode medir? O que pode ser usado para medir? As medidas estão sempre presentes em nossas atividades: quando olhamos o relógio para saber as horas, quando vamos ao supermercado fazer compras e até mesmo quando calculamos o tempo que será gasto para realizar um trabalho. Quanto melhor soubermos usar as medidas, mais chances teremos de resolver situações práticas de modo satisfatório. Por exemplo: como os pintores de parede cobram por seu serviço? Geralmente, o trabalho desses 1 m profissionais é cobrado por metro quadrado. Para tanto, eles precisam entender como é medida uma superfície ou área e, com isso, determinar o tamanho do espaço a ser pintado e quais instrumentos podem utilizar para facilitar a tarefa. O que é metro quadrado? O metro quadrado é a medida correspondente à superfície ou área de um quadrado com 1 metro de lado. Seu símbolo é m². 1 m Área = 1 m 1 m = 1 m 2 Nesta unidade, vamos refletir sobre as coisas que podem ser medidas, conhecer as grandezas de medida, suas respectivas unidades e os instrumentos adequados para cada situação. 61

8 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais Atividade 1 Para cada medida, um instrumento 1 Para começar, pense sobre as questões que abrem a unidade: a) O que se pode medir? b) O que pode ser usado para medir? Escreva no quadro tudo aquilo de que você se lembrar. Se achar necessário, troque ideias com seus colegas. O que se pode medir Leite Unidades de medida que podem ser usadas Litro Para preencher o quadro, você teve de pensar em coisas que podem ser medidas, como tempo, velocidade, massa (peso), comprimento, volume e temperatura. Na matemática, essas coisas são chamadas de grandezas de medida (porque podem ser medidas ou contadas). Você também precisou relacionar essas grandezas com suas unidades de medida. Grandezas de medida Massa ou peso Temperatura Comprimento Unidades de medida mais comuns grama (g), quilograma (kg) grau Celsius (ºC) Superfície, área metro quadrado (m 2 ) Tempo Capacidade Velocidade centímetro (cm), metro (m), quilômetro (km) segundo (s), minuto (min), hora (h) litro (L), mililitro (ml) quilômetro por hora (km/h), metro por segundo (m/s) 62

9 f a z e n d o c o n t a s 2 No dia a dia utilizamos vários instrumentos de medida. Qual grandeza pode ser medida com os instrumentos indicados no quadro? Instrumentos Cronômetro Grandezas de medida Velocímetro Termômetro Trena ou metro andré sarmento Termômetro. andré sarmento Trena. andré sarmento andré sarmento Cronômetro. Velocímetro. 63

10 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais Para saber mais Você sabia que a marcação do tempo já era feita antes da invenção do relógio? A passagem do tempo pode ser determinada pela posição do Sol. Conforme essa posição muda, também muda a projeção de sua sombra, ou seja, muda a forma como a sombra aparece na superfície da Terra, além de sua posição e seu tamanho. Pela manhã, a sombra de um objeto é longa e está de um lado dele; ao meio dia, é mais curta e fica bem embaixo desse objeto; à tarde, volta a alongar, mas do outro lado. Esse fato ou fenômeno foi observado pelos povos antigos, que colocavam varas espetadas no chão ou construíam monumentos a fim de determinar as horas. Esse princípio é a base do funcionamento do relógio de sol. Atividade 2 Contando o tempo Além dos que estão mostrados na Atividade 1, existem outros instrumentos de medida é o caso do relógio. A medida de tempo é utilizada de muitas formas, inclusive para cobrar alguns serviços, como estacionamentos, lan houses, ligações telefônicas, diárias de hotel, locação de DVDs e aluguel de carros, entre outros. 1 Vamos agora aproveitar a medida de tempo para calcular quanto deveríamos cobrar das pessoas que deixassem seus carros neste estacionamento. 2 Agora calcule. Horário de entrada e saída do estacionamento Marina entrou no estacionamento às 9h00 e saiu às 11h00 Total a ser cobrado Folha press/image source/ simon battensby Júlio entrou no estacionamento às 15h00 e saiu às 15h50 João deixou seu carro no estacionamento das 7h35 às 19h00 Relógio de sol. Carmem parou no estacionamento por 5 horas e meia 64

11 f a z e n d o c o n t a s Unidade 3 Grandezas e unidades de medida de massa É comum encontrarmos anúncios, classificados e rótulos que trazem grandezas e unidades de medida. Mas será que entendemos o que elas representam? Atividade 1 Como ler etiquetas de produtos 1 Observe a etiqueta acima e responda às questões a seguir. Se encontrar alguma dificuldade, discuta com seus colegas e com o professor. a) O que é peso (L) ou peso líquido? b) O que significa a escrita 0,200 kg? c) O que quer dizer R$/kg 16,00? 65

12 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais Um fato curioso é que, quando compramos queijo, por exemplo, pedimos em gramas. Então, por que a embalagem marca quilogramas? Porque as balanças indicam quilogramas, e não gramas, e essas unidades são equivalentes: 1 kg equivale a g. Para transformar quilogramas em gramas, basta multiplicar por o número expresso em quilogramas. Por exemplo: 0,200 x g E para transformar gramas em quilogramas, basta dividir o número por 1.000: ,200 kg A principal unidade de medida de massa é o grama. Para medir quantidades de massa pequenas, existem unidades menores, como o miligrama. Para medir grandes massas, em vez do grama ou quilograma, usa se a tonelada (uma tonelada equivale a kg). O quadro a seguir apresenta algumas unidades usadas para medir quantidades de massa maiores e menores do que o grama e suas equivalências Quilograma (kg) Hectograma (hg) Decagrama (dag) Unidade principal Grama (g) Decigrama (dg) Centigrama (cg) Miligrama (mg) g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g Quando utilizamos a palavra grama referindo nos à unidade de medida de massa, devemos pronunciá la no masculino. Por exemplo: 200 g lê se duzentos gramas. 2 Ainda em relação às informações que estão na etiqueta apresentada na página anterior, responda no caderno. a) Para que serve saber que 1 kg de queijo custa R$ 16,00? b) Se eu comprar 0,200 kg, vou pagar mais ou menos do que R$ 16,00? c) Quanto, exatamente, eu vou pagar nesse caso? Se você achar melhor, pode usar a calculadora. 66

13 f a z e n d o c o n t a s Atividade 2 Como usar a calculadora Que tal conhecer melhor a calculadora? Assim, você poderá pensar sobre as funções dela e observar suas características, o que o ajudará a usá la cada vez mais e melhor. 1 Pegue uma calculadora e responda: a) Quantas teclas há nela? andré sarmento b) Aperte a tecla de um número de 1 a 9 até preencher todo o visor. Quantos números (ou dígitos) aparecem? O que mais o visor mostra? andré sarmento c) Compare suas respostas com as de um colega. Elas são iguais? istockphoto Não se preocupe se suas respostas forem diferentes das de seu colega, pois existem variações entre uma calculadora e outra. Algumas têm poucas funções e realizam apenas as operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão); outras são bastante complexas e geralmente são chamadas de calculadoras científicas, como aquelas utilizadas pelos economistas e matemáticos, por exemplo. 67

14 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais 68 2 Agora, verifique o que acontece nas situações apresentadas abaixo e anote os resultados que forem aparecendo no visor. a) 3 2 = = = b) 5 = = = = c) 1 6 = d) % = Na situação a, ao repetir o sinal =, o primeiro resultado que apareceu foi o número 6. Depois, continuando a apertar a tecla =, podem ter aparecido os números 18 e 54. Isso ocorreu porque a calculadora continuou multiplicando os resultados por 3: 3 2 = 6; 6 3 = 18; 18 3 = 54. Outras calculadoras continuam multiplicando os resultados pelo segundo número e não pelo primeiro, ou seja, nessa situação, o 2: 6 2 = 12; 12 2 = 24; 24 2 = 48. A isso chamamos de função constante. Você já havia observado essa função da calculadora? E ela vale não só para multiplicação, mas também para divisão, adição e subtração. Agora você já sabe que, quando for realizar cálculos em que precisar continuar multiplicando, dividindo, somando ou diminuindo um mesmo número, basta apertar a tecla =. A situação b é outro exemplo de função constante: os resultados continuam a ser multiplicados por 5. Mas saber o nome da função é o de menos. O importante é perceber que as calculadoras, às vezes, realizam operações (ou contas) de modo diferente e que saber utilizar suas funções pode nos ajudar a ganhar tempo na resolução de muitos problemas. Usando a calculadora, também descobrimos outras formas de cálculo (por exemplo, fazer a adição de números iguais como para calcular ou para calcular 7 + 9). Na situação c, podem ter aparecido dois tipos de resultado: 0, até o final do visor ou apenas 0,16. O resultado da operação 1 6 é uma dízima periódica, número

15 f a z e n d o c o n t a s em que um ou mais algarismos da parte decimal (ou seja, aquela que vem depois da vírgula), a partir de certo ponto, se repetem indefinidamente: 0, Enquanto algumas calculadoras mostram o resultado real, com a repetição do algarismo, outras simplificam o resultado. Até aqui você observou algumas regularidades da calculadora e descobriu como ela faz para simplificar alguns números racionais. Pode ser que você não use essas informações com muita frequência no dia a dia, mas com certeza elas o ajudarão a descobrir algumas estratégias de cálculo. Por exemplo: se você apertar as teclas 5, +, = e continuar a apertar =, terá todos os resultados da tabuada do 5. Por falar nisso, você já reparou que todos os números dessa tabuada terminam com o algarismo 5 ou 0? Continue a brincar com a calculadora e, com certeza, descobrirá muitas curiosidades sobre os números e as operações. O que são números racionais? Números racionais são aqueles que podem ser escritos como frações. Por exemplo: quando lemos uma receita de bolo, vemos escrito: coloque de xícara de leite. Esse é a forma escrita de um número racional. Ele também pode ser escrito de outro modo, como número decimal, isto é, com vírgula. Quer ver? Quanto custa a passagem de ônibus? R$ 2,70. Agora, fique atento à explicação da situação d, pois esse procedimento poderá ser bastante usado em seu cotidiano. Nessa situação, você usou uma tecla nova: a de porcentagem (%). A porcentagem pode nos ajudar, por exemplo, a calcular um aumento de salário. Imagine que uma costureira ganha R$ 850,00 e receberá um aumento de 12%. Quanto ela passará a receber? Para saber o resultado, basta fazer a operação %. 69

16 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais Atividade 3 Como calcular grandezas Na atividade anterior, você conheceu melhor a calculadora. É hora, então, de pôr mãos à obra. 1 Observe novamente a etiqueta da atividade 1 e descubra quanto vai pagar se comprar 0,200 kg de queijo. a) Pense e escreva a conta em seu caderno, ou seja, elabore uma forma por escrito que o ajude a descobrir o valor total da compra com as informações da etiqueta. Depois, use a calculadora para conferir o resultado. b) Discuta a resposta com o professor e seus colegas. Converse, principalmente, sobre como você chegou a esse resultado. c) Mais adiante você vai comparar as soluções encontradas por sua turma com outros exemplos. Registre todas essas possibilidades em seu caderno. 2 Compare as soluções que você anotou no caderno com os exemplos a seguir. Não importa a forma como você resolveu o problema anterior sobre o preço de 0,200 kg de queijo, desde que tenha chegado ao mesmo resultado. Antes, vamos relembrar o problema: O quilograma do queijo custa R$ 16,00. Se eu comprar 0,200 kg, quanto vou pagar? Exemplo 1 Sabendo que o preço é calculado por quilograma, basta multiplicarmos o peso líquido pelo custo do quilo: 0,200 16,00 = 3,2. Exemplo 2 Você já sabe que 0,200 kg equivale a 200 g e que 1 kg equivale a g, certo? O preço está em quilograma; então, se dividirmos 16 por 1.000, saberemos o valor de 1 grama. Depois, será suficiente multiplicarmos por 200 para saber o preço total da compra. Veja: = 0, = 3,2. Exemplo 3 Para começarmos a resolver o problema, podemos organizar os dados que já sabemos e o que queremos saber. Observe a tabela. 70

17 f a z e n d o c o n t a s Quilograma Valor ,200 X A letra X representa o valor desconhecido do problema. Podemos dizer que, nesse caso, peso e valor são proporcionais. Isso porque, quando o peso aumenta, o preço aumenta na mesma proporção. Assim, é correto pensar que 1 quilograma corresponde ao preço de (ou está para) 16 reais, da mesma forma que 0,200 quilograma corresponde ao preço de (ou está para) X reais. Na matemática, essa ideia é representada da seguinte forma: 1 16 = 0,200 X Ou assim: 1 0,200 = 16 X Podemos, então, desdobrar essa operação nas seguintes: 1 X = 0, Lembre-se de que 1 X = X. 0, X = 1 X = 3,2 Ou seja, 0,200 kg de queijo custa R$ 3,20. O exemplo 3 apresenta um processo de resolução que chamamos de regra de três. Esse é um método prático para resolver problemas que envolvem quatro valores, dos quais só não conhecemos um. Devemos, portanto, determinar um valor com base nos três já conhecidos. Atividade 4 Resolução de problemas com regra de três 1 Forme um grupo com mais dois ou três colegas. Vocês vão resolver os próximos exercícios no caderno usando a regra de três. Utilizem as etapas do exemplo 3 como modelo de resolução. Se precisarem, peçam ajuda ao professor. a) Dois pintores gastam 18 horas (h) para pintar uma parede. Quanto tempo quatro pintores levariam para fazer o mesmo serviço? 71

18 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais b) Cinco operários constroem uma casa em 360 dias. Quantos dias serão necessários para que 15 operários concluam a mesma construção? c) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas for reduzido para 5, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? 2 Confiram os resultados com os dos demais grupos da classe. Até o momento você realizou uma série de atividades nas quais usou vários conhecimentos matemáticos. Refletiu sobre coisas que podem ser medidas, conheceu grandezas de medida, suas respectivas unidades e os instrumentos adequados para cada situação. Aprendeu um pouco mais sobre como usar a calculadora e resolver problemas utilizando a regra de três. Antes de continuar os estudos sobre outras grandezas e unidades de medida, pense se restou alguma dúvida a respeito das unidades de medida de massa ou peso e esclareça as com o professor. 72

19 f a z e n d o c o n t a s Unidade 4 Grandezas e unidades de medida de superfície ou área Com base na análise de um classificado e de um anúncio, você vai, nesta unidade, explorar as unidades de medida referentes à superfície ou área. Veja os anúncios destacados a seguir: 73

20 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais Nos dois classificados em destaque na página anterior aparece o símbolo m², que, como você viu na Unidade 2, significa metro quadrado. Lembre se: o metro quadrado é a medida correspondente à superfície ou área de um quadrado com 1 metro de lado. 1 m 1 m Área = 1 m 1 m = 1 m 2 Atividade 1 Em quais situações é importante medir a área? As medidas de superfície ou área servem para identificar o tamanho de um espaço e respondem a algumas perguntas bem comuns em nosso dia a dia. Por exemplo: qual é a área do apartamento a ser pintado? Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir a cozinha? Qual é a área da parede que será pintada e quantos litros de tinta serão necessários para isso? Quanto vou cobrar para pintar a casa do meu amigo? As unidades de medida de superfície mais usadas no cotidiano são o metro quadrado e o quilômetro quadrado (km²). Na zona rural, são utilizados o hectare (ha) e o alqueire (que não tem símbolo). Vamos voltar ao anúncio do pintor. Imagine que você quer pintar uma parede da sala de sua casa e vai contratar esse profissional para fazer o serviço. O que você precisa saber para calcular quanto vai gastar? Você já sabe, pelo anúncio, que o pintor cobra R$ 5,00 de mão de obra por metro quadrado pintado. Sabe que a área da superfície a ser trabalhada permitirá calcular o custo total da mão de obra e a quantidade de tinta necessária. 74

21 f a z e n d o c o n t a s Como se mede a área de uma superfície? As paredes de uma casa normalmente têm a forma de um quadrado ou um retângulo. Então, pense e responda: Como se mede a área de uma superfície quadrada? E uma área retangular? Para medir a área de uma superfície quadrada, ou seja, em que todos os lados são iguais, basta multiplicar as medidas de dois lados: lado lado. Veja a ilustração: L A = L L Aqui, A simboliza área e L, lado. No retângulo não há quatro lados iguais. Dois deles têm uma medida e dois, outra. Mas o raciocínio não é diferente. Também é necessário multiplicar as medidas de dois lados, porém utilizando o maior e o menor. E, em vez de lado lado, usa se a expressão base altura. a a b b A área do retângulo é o resultado (ou produto) da multiplicação da base (representada por b) pela altura (a): A = b a 75

22 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais Vamos supor que a parede que você precise medir (saber a área) tenha a forma retangular com as seguintes medidas: 5 m de comprimento e 2,60 m de altura. Agora você já pode calcular a área em metros quadrados. Basta multiplicar a base pela altura: 5 2,60 = 13 m². 1 Quanto você terá de pagar para o pintor, lembrando que ele cobra R$ 5,00 de mão de obra por metro quadrado pintado? Utilize a regra de três. está para, assim como está para. 2 A qual resultado você chegou? Compare esse resultado com o de seus colegas e com o do professor e veja se você acertou. Para saber mais O texto A história das medidas de comprimento: do corpo humano ao padrão universal complementa e amplia as discussões realizadas até aqui. Leia o texto BRASIL. Grandezas e medidas. Brasília: MEC/SEB, 2007, p (Pró letramento: programa de formação continuada de professores dos anos/ séries iniciais do ensino fundamental: matemática, 5.) 3 Falta calcular o custo da tinta. Supondo que 1 litro é suficiente para pintar 2 m² de superfície, quantos litros de tinta você vai precisar comprar? Sabendo também que 1 litro de tinta custa em média R$ 3,00, qual será sua despesa total com a compra da tinta? 4 Agora, é só somar o custo da tinta com o da mão de obra para saber o gasto total para pintar a parede. Se você chegou ao valor total de R$ 84,50, muito bem. Caso contrário, refaça suas contas. 76

23 f a z e n d o c o n t a s Caso você resolva pintar a sala inteira, não é preciso calcular a área de todas as paredes separadamente. É só somar o comprimento das paredes da sala isto é, o perímetro da sala e multiplicar o resultado pela altura do cômodo. Veja a ilustração: 5 m 3 m 5 m + 3 m + 5 m + 3 m = 16 m 16 2,60 = 41,60 m 2 77

24 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais Unidade 5 Grandezas e unidades de medida de comprimento e capacidade O que você já mediu hoje? São muitas as situações em que é preciso medir as coisas. Por isso, não é possível pensar em ser cidadão e desconhecer um conteúdo tão importante. Vamos agora conhecer as unidades de medida de comprimento e de capacidade. Um pouco de informação sobre as medidas de comprimento Para medirmos comprimentos em milímetros, centímetros e metros, podemos usar a régua, a fita métrica, o metro de madeira e a trena. Para grandes distâncias, como a distância entre São Paulo e Campinas, a medida a ser utilizada é o quilômetro. Quilômetro (km) Metro (m) Centímetro (cm) Milímetro (mm) m 1 m 0,01 m 0,001 m 78

25 f a z e n d o c o n t a s Do mesmo modo que é possível transformar quilogramas em gramas, é possível transformar quilômetros em metros, metros em centímetros, centímetros em milímetros. E também o inverso: transformar milímetros em centímetros, centímetros em metros, metros em quilômetros. Se eu preciso percorrer 2 km e quero saber como expressar essa distância em metros, devo multiplicar o valor em quilômetros por 1.000: 2 km = m. Se eu quero saber quanto dá, em metros, uma distância expressa em quilômetros, divido o valor em quilômetros por 1.000: m = 2 km. Para transformar metros em centímetros, multiplica se o valor em metros por 100: um tecido de 2 m de comprimento mede 200 cm (2 m 100). Para transformar centímetros em metros, divide se o valor em centímetros por 100: uma fita de 50 cm mede 0,5 m de comprimento (50 cm 100). Um pouco de informação sobre as medidas de capacidade A capacidade de um objeto é o volume que ele pode conter, ou seja, a quantidade de algum produto que cabe dentro dele. A principal unidade de medida de capacidade é o litro (L), mas alguns produtos são medidos em mililitros (ml): 1 litro é igual a mililitros e 1 mililitro equivale a 0,001 litro. Para transformar mililitros em litro, divide se o valor em mililitros por 1.000: uma lata de 350 ml de refrigerante tem 0,350 litro (350 ml 1.000). Para transformar litros em mililitros, multiplica se o valor em litros por 1.000: uma garrafa de 0,5 L de água tem 500 ml (0,5 L 1.000). As medidas são um conhecimento construído há muito tempo pela humanidade. Desde a Antiguidade, diferentes civilizações se dedicaram à comparação de grandezas. Entre tantas outras coisas, as antigas civilizações precisavam medir as terras que margeavam os rios e eram fundamentais para sua sobrevivência e expressar as medidas em números (de forma numérica). Na prática da medição, o homem percebeu que usar números inteiros (1, 2, 3, 4 ) não era suficiente para o que eles precisavam. As unidades escolhidas como padrão raramente correspondiam a um número inteiro na grandeza a medir. Foi assim que surgiram os números racionais, um de nossos próximos assuntos. 79

26 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais Para saber mais Como as informações deste módulo não esgotam todas as possibilidades de medidas, você deve continuar seus estudos. Sugerimos a leitura do livro Medidas, escrito por Ivan Bulloch e publicado pela Editora Nobel em Nele você encontrará atividades interessantes e diversificadas sobre medidas de comprimento, de massa e outras. Atividade 1 Vamos preparar um bolo? Você fará esta atividade em duas etapas, retomando a ideia de medidas de massa (peso) e capacidade (volume de líquido). Primeiro, em sala de aula, vamos trabalhar com as medidas e, depois, em casa, você prepara este ou outro bolo ou pão. No dia seguinte, todos farão uma festa na classe! Cada um poderá trazer um pedaço do que preparou para que a turma inteira divida bons momentos. 1 Leia a receita. Bolo de fubá Ingredientes 500 g de fubá 250 g de farinha de trigo 250 ml de óleo de milho 500 ml de leite 325 g de açúcar 3 ovos 1 colher de sopa de fermento químico em pó Como preparar Bater tudo no liquidificador. Acrescentar o fermento por último. Untar uma assadeira grande com buraco no meio: passar óleo ou margarina e depois polvilhar com farinha de trigo. Colocar a mistura em forno preaquecido. Manter o fogo médio. Assar por mais ou menos 20 minutos. 2 Agora, vamos transformar todas as medidas do bolo! Cada item deve ser transformado em litro ou em grama, conforme o caso. Ingredientes Litro Grama 500 g de fubá 250 g de farinha de trigo 250 ml de óleo de milho 500 ml de leite 325 g de açúcar 80

27 f a z e n d o c o n t a s Unidade 6 A escrita dos números Por que escrevemos 283 desse jeito? O número 283 possui três algarismos. Nas atividades desta unidade, você vai pensar na posição desses algarismos e nos valores que eles representam. Atividade 1 A posição dos algarismos 1 Você sabe o que significam as palavras unidade, dezena, centena e milhar? Converse a respeito com os colegas e anote suas conclusões no caderno. Essa conversa ajudará você a responder ao exercício a seguir. 2 O número 45 tem dois algarismos. Onde devo colocar mais um algarismo 4 para formar o maior número possível? Ele pode ser colocado antes ou depois do 45, formando dois novos números: 445 ou 454. Agora ficou fácil saber qual é o maior? Para explicar sua resposta, você pode argumentar que, na sequência dos números inteiros, o 454 vem depois do 445, por isso é maior. Mas a resposta não é tão simples. Nosso sistema de numeração é decimal, ou de base 10. Isso quer dizer que utiliza dez algarismos para representar os números reais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Os números reais são usados para representar uma quantidade contínua. Neles se incluem todos os números inteiros ou frações, o número zero e os números negativos. Encontramos os números reais todos os dias. Quer ver? Se vamos comprar um queijo e o preço é R$ 5,45, estamos diante de um número real Um aspecto importante da representação de um número é o valor posicional dos algarismos que o compõem, ou seja, o valor de cada algarismo numa ou noutra posição. Por exemplo: no número 445 (lê se: quatrocentos e quarenta e cinco), o primeiro algarismo 4 possui valor posicional 400, o segundo algarismo 4 possui valor posicional 40 e o algarismo 5 possui valor posicional 5. Podemos escrever 234 assim: O mesmo vale para o número 454. Podemos escrever: Dessa forma, é possível afirmar que os números podem ter muitos algarismos e cada um deles ocupa uma posição ou ordem, representando valores diferentes, como mostra a tabela a seguir. 81

28 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais Número 7 a ordem 6 a ordem 5 a ordem 4 a ordem 3 a ordem 2 a ordem 1 a ordem Unidade de milhão Centena de milhar Dezena de milhar Unidade de milhar Centena Dezena Unidade Você já ouviu falar no ábaco? O ábaco O ábaco é um antigo instrumento de cálculo. Podemos dizer que foi a primeira máquina de calcular criada pelo homem. Você sabia que ele possui a mesma lógica de nosso sistema de numeração? Há vários tipos de ábaco, mas todos obedecem basicamente aos mesmos princípios. Vamos nos referir ao mais simples deles. Em uma moldura de madeira, são fixados alguns fios de arame (ou pedaços de madeira). Dez bolinhas correm em cada fio. As do primeiro fio representam as unidades; as do segundo fio, as dezenas; as do terceiro fio, as centenas, e assim por diante. 82

29 f a z e n d o c o n t a s unidades dezenas centenas unidades de milhar dezenas de milhar centenas de milhar unidades de milhão Vamos imaginar que temos de contar as crianças que entram na escola, passando uma a uma pelo portão. Inicialmente, todas as bolinhas devem estar do lado esquerdo do ábaco. 1. Para cada criança que passa, deslocamos uma bolinha do primeiro fio para a direita. 2. Quando as dez bolinhas do primeiro fio estiverem à direita, deslocamos uma bolinha do segundo fio para a direita e voltamos as dez bolinhas do primeiro fio para a esquerda. 83

30 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais 3. Prosseguimos a contagem até as dez bolinhas do segundo fio ficarem à direita. 4. Então, deslocamos uma bolinha do terceiro fio para a direita e as bolinhas do segundo fio para a esquerda. 5. Vamos supor que, ao terminar a contagem das crianças, esta seja a disposição das bolinhas no ábaco: 84

31 f a z e n d o c o n t a s Podemos registrá la desse modo: centenas dezenas unidades O número total de alunos é: 3 bolinhas que valem 100 cada uma Ou seja: + 6 bolinhas que valem 10 cada uma = = bolinhas que valem 1 cada uma Vejamos outro exemplo, agora de uma conta de adição utilizando um ábaco de varetas, em que a primeira vareta representa as centenas (c), a segunda as dezenas (d) e a terceira as unidades (u). Começaremos por um exemplo simples, adicionando (somando) 123 a Representamos 530 no ábaco. c d u 2. A seguir, acrescentamos 123 aos 530 representados no ábaco, ou seja, acrescentamos 1 centena, 2 dezenas e 3 unidades. + 1c + 2d + 3u c d u 85

32 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais 3. Agora, lemos o resultado obtido: 6 centenas, 5 dezenas e 3 unidades ou = 653. c d u É importante perceber a relação entre o que acontece no ábaco e o que fazemos com os símbolos de nosso sistema de numeração: c d u Atividade 2 Aprendendo um pouco mais sobre o ábaco Agora é com você: vamos fazer um novo exercício. 1 O número representado no ábaco é:. c d u 86

33 f a z e n d o c o n t a s 2 O número que está sendo acrescentado é:. + 1c + 6d + 7u 3 Qual é o resultado dessa adição? c d u a) Primeiro, junte um grupo de dez unidades e troque por uma dezena. Dica Como nosso sistema de numeração é decimal, você po de ter no máximo nove anéis em cada ordem/vareta. c d u b) Depois, junte um grupo de dez dezenas e troque por uma centena. c d u 87

34 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais c) O resultado é:. 88 c d u Vamos estabelecer agora uma relação entre o que foi feito com o ábaco e os cálculos que fazemos usando a técnica do algoritmo. Algoritmo é uma forma prática de fazer operações matemáticas, criada para facilitar a execução de uma tarefa. Entre as estratégias de cálculo, os algoritmos das quatro operações básicas (adição, subtração, divisão e multiplicação) ocupam um lugar de destaque. Aproveite para ver se você acertou o resultado da atividade 2, pois os números aqui usados são os mesmos que foram representados no ábaco. 1. Nessa técnica, o primeiro passo é somar as unidades: Observe que vai um é, na verdade, vai uma dezena, pois = 12, ou seja, Vamos agora somar as dezenas: Observe que esse vai um é, na verdade, vai uma centena, pois = 130, ou seja, Agora, somamos as centenas: = 400 Portanto, = 432. Adaptado de:

35 f a z e n d o c o n t a s Pronto, você acabou de conhecer um grande segredo de nosso sistema de numeração: o valor posicional. O zero São comuns opiniões sobre o zero afirmando que ele não vale nada, não conta, é neutro. Mas será verdade? No número 10, por exemplo, o algarismo 0 não representa nada? Como vimos antes, não é bem assim. No número 10, o zero sinaliza uma posição da ordem das unidades. Se tirarmos o algarismo 0 do número 10, ele se transforma em 1. Então, não é verdade que o zero não vale nada. E como o zero se comporta nas quatro operações? Quando somamos um número ao zero, obtemos sempre o mesmo número: = = 5 Na subtração, isso não acontece, porque o resultado da primeira subtração é um número negativo. 0 5 = = 5 Um número negativo pode ser utilizado, por exemplo, para calcularmos nossas dívidas. Se não tenho dinheiro e faço uma compra fiada de R$ 5,00, passo a dever esses R$ 5,00 para o dono da loja. Isso equivale a dizer que eu tinha 0 (zero) real e agora tenho 5 reais. Observe o papel do zero na multiplicação: 5 0 = = = 3 0 = = 0 a 0 = 0 a = 0 A letra a, na expressão acima, representa qualquer número. E na divisão? Por exemplo: 0 7 = 0, pois 0 7 = 0. Agora, vamos analisar outro caso. Dividir 2 por 0 é encontrar um número multiplicado por 0 que seja igual a 2. No entanto não existe um número que, multiplicado por zero, seja igual a 2, pois todo número multiplicado por 0 dá 0. Logo, tal divisão é impossível. Para saber mais No livro Em busca dos números perdidos, o leitor é responsável por descobrir por que os números estão desaparecendo. Utilizando as quatro operações, você pode desenvolver sua habilidade com os números e descobrir o lado divertido da matemática. Vale a pena ler! A obra foi escrita por Michael Thompson e publicada pela Editora Melhoramentos em

36 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais Como vimos, na adição, o zero é neutro. Acrescentar zero a qualquer número não o altera. Na multiplicação, quem desempenha essa neutralidade é o 1, uma vez que qualquer número multiplicado por 1 não se altera: a 1 = 1 a = a A letra a, aqui, representa qualquer número. Você sabia que é possível fazer multiplicações com os dedos das mãos? Esse método era usado, até pouco tempo, por camponeses de uma região da França. Eles sabiam de cor até a tabuada do 5 e, para multiplicar números compreendidos entre 5 e 10, como 6 9 ou 7 8, usavam os dedos. Quer ver como? Veja, por exemplo, como fazer a tabuada do 9 com os dedos das mãos. a) Coloque as mãos abertas sobre a mesa. b) Abaixe o dedinho de uma das mãos. Os 9 dedos que sobraram levantados é o resultado de 9 x 1. c) Agora, levante o dedinho e abaixe o anular. Saber a resposta de 9 x 2 é fácil: o dedinho que ficou sozinho significa uma dezena e os outros dedos das duas mãos, o número de unidades. d) Levante o anular e abaixe o médio. O dedinho e o anular são as dezenas e os outros dedos, as unidades. Não esqueça: duas dezenas valem 20; unidades = 27, que é o resultado de 9 x 3. e) E assim sucessivamente. 90

37 f a z e n d o c o n t a s Unidade 7 A vírgula na matemática Qual número é maior: 0,1 ou 0,01? Os números 0,5 0,2 0,01 e 11,7 são chamados de números decimais. Nessas representações, verificamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal. 0,01 Parte decimal Parte inteira Vamos conhecer melhor esses números? Para tanto, comece respondendo à questão que abre esta unidade. Atividade 1 Números decimais 1 Qual número é maior: 0,1 ou 0,01? Talvez você esteja pensando em responder 0,01, porque, afinal, esse número possui uma quantidade maior de algarismos. No entanto, no caso dos números decimais com parte inteira igual a zero, o número de algarismos não é um bom indicador da ordem de grandeza. Ou seja, enquanto nos números naturais inteiros quanto maior a quantidade de algarismos maior o valor do número, nos números decimais a lógica não é essa. Por exemplo: 0,1 é maior do que 0,01, porque 0,1 é um décimo, enquanto 0,01 é um centésimo! Vamos ver a seguir o que isso significa exatamente. 0,1 0,01 Qual pedaço de chocolate você prefere? 91

38 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais Dica Lembre se de que, para realizar essa operação, basta fazer 0,1 + 0,1 = e ir apertando = até o visor mostrar o número 1, contando quantas vezes você apertou essa tecla. Com a ajuda da calculadora, responda: 2 Quantas vezes é preciso somar 0,1 + 0,1 para aparecer no visor o número 1 (uma unidade)? Com base no resultado encontrado, podemos dizer que, dividindo uma unidade em 10 partes iguais, cada parte é um décimo dessa unidade. Um décimo pode ser indicado assim: 1/10. Ou então assim: 0,1. O primeiro número que vem depois da vírgula representa os décimos, o segundo, os centésimos, o terceiro, os milésimos e assim por diante. Será que já não vimos isso nas unidades anteriores? Você se lembra de que o decigrama é a décima parte (0,1) de 1 grama? E que o centímetro é a centésima parte (0,01) de 1 metro? E o mililitro é a milésima parte (0,001) de 1 litro? Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo: a fração ½ equivale ao número decimal 0,5. Quer ver uma coisa interessante? Pegue sua calculadora e faça a seguinte operação: 1 2 = 3 Que resultado apareceu no visor? 4 Ainda com a calculadora, divida agora o número 1 por 3, por 4 etc. O que aconteceu? Será que todas as vezes que dividimos um número por outro maior o resultado será um número decimal? Faça vários testes com números diversos, sempre observando o resultado. Só não esqueça que o número a ser dividido deve ser menor que o número pelo qual será dividido. Por exemplo: 2 3, 3 4, etc. Em todas essas operações, o resultado foi um número decimal. Mas será que em todas as divisões encontramos um número decimal? Claro que não! Provavelmente nas divisões que sobram resto, sim. E quando sobra resto? E quando não sobra? Essas são algumas questões sobre as quais você pode conversar com seus colegas. 92

39 f a z e n d o c o n t a s Nas Unidades 6 e 7, você teve a oportunidade de refletir um pouco mais sobre a natureza dos números. Para chegar até aqui, buscamos estratégias para resolver problemas e relacionamos nossos conhecimentos com os conteúdos trabalhados. Esperamos que esse estudo tenha ajudado você a construir atitudes mais favoráveis à compreensão da construção dos conceitos matemáticos. Isso é muito importante, uma vez que a matemática permite resolver muitos problemas do dia a dia. Ela tem várias aplicações no mundo do trabalho e no exercício da cidadania. A compreensão e a tomada de decisões diante de questões políticas e sociais dependem da leitura e da interpretação de informações complexas e muitas vezes contraditórias, que incluem, por exemplo, dados estatísticos e índices divulgados pelos meios de comunicação. Assim, para exercer a cidadania, é necessário saber calcular, medir, raciocinar, argumentar etc. E então, já perdeu o medo da matemática e quer continuar seus estudos? Você encontra a seguir algumas atividades (que podem ser feitas por você fora dos horários de aula), sugestões de leitura e indicações de sites interessantes. 93

40 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais Atividades complementares A aprendizagem de matemática desenvolve se melhor quando há interação, troca de ideias. Convide alguns amigos a embarcar com você nessa viagem. Quebrando a cabeça 1 Um joalheiro tem nove pérolas, todas do mesmo tamanho, e uma delas é mais pesada. Para descobrir qual é a mais pesada, o joalheiro vai utilizar uma balança. Entretanto, só poderá usá la duas vezes. Ajude o a descobrir qual é a pérola mais pesada. 2 Mariana tem três chapéus: um amarelo e florido, um vermelho e outro azul. Ela empresta seus chapéus a Raquel, sua prima. As duas foram juntas, hoje, a uma festa usando chapéus. Siga as pistas e descubra que chapéu cada uma delas usou. Quando chove, Mariana não usa seu chapéu predileto, que é o vermelho. O chapéu com flores não serve para Raquel. Hoje choveu o dia todo. Quando Mariana usa seu chapéu amarelo, ela não sai com Raquel. 3 Um elevador parte do andar térreo. No 3 o andar, descem 5 pessoas; no 4 o, descem 2 pessoas e sobem 4; no 7 o, desce 1 pessoa e sobem 3; no último andar, descem 7 pessoas e o elevador fica vazio. Quantas pessoas estavam no elevador no andar térreo quando ele começou a subida? 4 Em uma festa há dez convidados e todos eles se cumprimentam com um aperto de mão. Quantos apertos de mão serão dados? 94

41 f a z e n d o c o n t a s Descobrindo regularidades na calculadora 1 A partir de um número registrado no visor da calculadora, sem apagá lo, faça aparecer outro número por meio de operações. Transforme: a) 459 em 409 b) em c) 354 em Elimine o 7 das seguintes escritas numéricas, sem apagá las, por meio de operações. a) b) c) Descubra o resultado das operações nas condições dadas. a) 273 = 129, sem usar a tecla que indica a adição. b) Resolva , primeiro usando só a tecla de adição, depois só a tecla de multiplicação e, finalmente, só a tecla de divisão. c) Partindo do número 572, com uma única operação, obtenha 502, depois 5.720, então 52 e, por fim, 2. d) Realize a operação , primeiro sem usar a tecla 9, depois sem usar a tecla 8, em seguida sem usar a tecla 2 e, por último, sem usar a tecla 3. 4 A tecla da multiplicação está quebrada. Como você pode realizar a operação ? 5 Indique os números obtidos quando se efetuam as operações a seguir. 9 1 = = = = = = = = = 95

42 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais 6 Indique os números obtidos quando se efetuam as operações a seguir = = = = = = = = = = = 7 O número é 91. Que regularidades você observa analisando os resultados? Como você explica o que ocorreu? 91 1 = 91 2 = 91 3 = 91 4 = 91 5 = 91 6 = 91 7 = 91 8 = 91 x 9 = 96

43 f a z e n d o c o n t a s 8 O número 37 apresenta muitas curiosidades. Efetue os cálculos da primeira coluna. Uma vez preenchida a primeira coluna, é possível fazer os cálculos da segunda sem calculadora? Como? Utilizando qual regra? 1 a coluna 2 a coluna 37 3 = = 37 6 = = 37 9 = = = = = = 9 Efetue as divisões e escreva os resultados = = = = = 9 3 = Explique o fato de todos os resultados terem sido iguais. 10 Resolva as operações a seguir, analise os resultados e pense no papel do zero na multiplicação. 2 x 3 = 2 x 30 = 2 x 300 = 5 x 5 = 5 x 50 = 5 x 500 = 6 x 1 = 6 x 10 = 6 x 100 = 12 x 4 = 12 x 40 = 12 x 400 = 15 x 8 = 15 x 80 = 15 x 800 = 20 x 9 = 20 x 90 = 20 x 900 = 97

44 Programa de Qualificação Profissional Via Rápida Emprego Conteúdos Gerais Descobrindo a tabuada X Analise as linhas e colunas preenchidas. O que você observa de interessante? 2 Agora, complete o quadro da tabuada. Pinte de amarelo os números pares. Numa multiplicação, que fatores levam a um resultado par? 3 No quadro a seguir, sem efetuar as contas, pinte de azul os quadrinhos que correspondem a resultados ímpares. O que você descobriu com este exercício? X

45 f a z e n d o c o n t a s Respostas Quebrando a cabeça 1. Coloque três pérolas em cada prato da balança. Se os pratos ficarem equilibrados, a mais pesada é uma das três que ficaram de fora. Retire as seis pérolas da balança e escolha duas das três que ficaram de fora, colocando uma em cada prato. Se os pratos se equilibrarem, a mais pesada é a que ficou de fora. Caso os pratos não se equilibrem, a mais pesada está no prato que desceu. Se na primeira tentativa os pratos não se equilibrarem, a pérola mais pesada é uma das três que estão no prato que desceu. Escolha duas dessas pérolas e coloque uma em cada prato. Se os pratos se equilibrarem, a mais pesada é a que ficou de fora. Caso contrário, a mais pesada é a que está no prato que desceu. 2. Mariana usou o chapéu azul e Raquel, o vermelho pessoas apertos de mão. Indicações de livros e sites A matemática é composta por uma série de regularidades, como as que você descobriu aqui. Se você gostou e se divertiu com os livros indicados neste módulo, nas sugestões a seguir você vai encontrar mais curiosidades sobre a matemática. Enzensberger, Hans Magnus. O diabo dos números. São Paulo: Companhia das Letras, Tahan, Malba. Matemática divertida e curiosa. Rio de Janeiro: Record, Meu anel de sete pedras. Rio de Janeiro: Record, Novas lendas orientais. Rio de Janeiro: Record, O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, Se tiver acesso à internet, dê uma olhada nestes sites:

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