INTERACÇÃO ENTRE INSTABILIDADE LOCAL E DISTORCIONAL EM COLUNAS DE AÇO ENFORMADAS A FRIO DE SECÇÃO EM HAT. Rui Pedro Trindade Fena

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1 INTERACÇÃO ENTRE INSTABILIDADE LOCAL E DISTORCIONAL EM COLUNAS DE AÇO ENFORMADAS A FRIO DE SECÇÃO EM HAT Rui Pedro Trindade Fena Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Júri Presidente: Professor Doutor Fernando Manuel Fernandes Simões Orientadores: Professor Doutor Pedro Manuel de Castro Borges Dinis Professor Doutor Dinar Reis Zamith Camotim Vogal: Doutor Cilmar Donizeti Basaglia Dezembro 2011

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3 Resumo Resumo: Apresentam-se e discutem-se os resultados de um estudo sobre o comportamento de pós-encurvadura, resistência última e dimensionamento de perfis de aço enformados a frio, encastrados e com secção em hat, quando afectados por fenómenos de interacção entre modos de instabilidade locais e distorcionais. Todas as análises geométrica e fisicamente não lineares são efectuadas através do método dos elementos finitos, adoptando elementos de casca para discretizar os perfis. As colunas analisadas (i) têm secções transversais com dimensões que asseguram tensões críticas local-de-placa/distorcional com valor semelhante, (ii) contêm imperfeições geométricas com várias configurações, obtidas a partir de combinações lineares dos modos local-de-placa e distorcional, e uma amplitude comum equivalente a 10% da espessura da parede. Os resultados numéricos apresentados consistem em (i) trajectórias de pós-encurvadura elásticas e elasto-plásticas, (ii) curvas que descrevem o modo como a configuração deformada da coluna evolui ao longo das trajectórias elásticas e (iii) figuras que mostram a evolução da deformação plástica e as características do modo de colapso das colunas elasto-plásticas. Em seguida, descrevem-se os resultados mais importantes de um estudo paramétrico em que se determinam os valores da resistência última de 90 colunas com diversas geometrias e tensões de cedência, todas elas escolhidas de forma a garantir a relevância dos efeitos da interacção entre modos de instabilidade locais e distorcionais. Finalmente, faz-se a comparação entre este conjunto de valores da resistência última e as estimativas fornecidas pelas fórmulas do Método da Resistência Directa (MRD) actualmente existentes para prever a resistência de colunas afectadas por interacção local/distorcional. Palavras-chave: Colunas de aço enformadas a frio Instabilidade local-de-placa e distorcional Interacção modal Pós-encurvadura Método dos elementos finitos Método da resistência directa i

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5 Abstract Abstract: The results of an investigation concerning the post-buckling behaviour (elastic and elastic-plastic), ultimate strength and design of fixed-ended cold formed steel hat section columns experiencing local-plate/distorcional buckling mode interaction are presented and discussed. All geometrically and physically nonlinear analyses are carried out in the code Abaqus, discretising the columns into fine shell finite element meshes. The columns analysed (i) have cross-section dimensions leading to similar local and distortional critical buckling stresses, and (ii) contain critical-mode initial geometrical imperfections with various shapes, obtained from different linear combinations of the competing local and distortional modes, and sharing the same amplitude. The numerical results presented consist of (i) elastic and elastic-plastic nonlinear (post-buckling) equilibrium paths, (ii) figures describing the evolution, along those equilibrium paths, of the column deformed shapes, and (iii) figures showing the spreading of the plastic strains in the elastic-plastic columns until they reach their ultimate strength values, as well as the characteristics of the corresponding failure modes. Then, one describes the most important results of an extensive parametric study involving the determination of the ultimate strength values of 90 hat section columns with several geometries (cross-section dimensions and length) and yield stresses, carefully chosen to exhibit strong L/D mode interaction all columns contain the most detrimental critical-mode geometrical imperfections with a small amplitude. Finally, the ultimate strength values obtained in the above parametric study are used to assess the performance of existing Direct Strength Method (DSM) design approaches in predicting local/distortional column interactive failures. Keywords: Cold formed steel columns Local-plate and distorcional buckling Mode interaction Post-buckling Finite element method Direct strength method iii

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7 Agradecimentos Aos Professores Pedro Borges Dinis e Dinar Camotim, orientadores científicos desta dissertação, pela total disponibilidade que sempre tiveram no sentido de esclarecer as várias questões que foram surgindo, pelo apoio prestado na cedência de material e informação. E por fim, agradeço profundamente o sentido crítico que contribuiu bastante para o meu crescimento académico e pessoal. À minha família, pai, mãe, irmã e padrinhos, pelo apoio incondicional que me foi transmitido, não só durante a realização deste trabalho, mas durante todos estes anos. À minha namorada Joana e aos meus amigos José Liça, Miguel Paleta, Fernando Rodrigues, João Pato, João Cruz, Jaime Anderson, José Cardoso, André Graça, Miguel Guimarães, Diogo Robles, João Ramos, João Duarte, Filipa Emídio, Francisco Rodrigues, Diogo Ferreira, Filipa Morgado, Rita Araújo, Inês Silva, Catarina Almeida, Madalena Rodrigues, Teresa Pestana e Cristina Canas pela amizade, apoio e incentivo. v

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9 Índice de Texto 1 Introdução Considerações Gerais Motivação e Âmbito do Trabalho Estrutura do Trabalho Conceitos Fundamentais Introdução Conceitos Básicos Análises de Estabilidade Estabilidade de Perfis Metálicos de Parede Fina Interacção entre Modos de Instabilidade Métodos de Análise Teoria Generalizada de Vigas Método dos Elementos Finitos Análise Linear de Estabilidade Introdução Determinação da Geometria das Colunas Exemplo Ilustrativo Análise por Elementos Finitos da Coluna Seleccionada Geometria das Colunas Seleccionadas Análise de Pós-Encurvadura Introdução Imperfeições Geométricas Iniciais Pós-Encurvadura em Regime Elástico Pós-Encurvadura em Regime Elasto-Plástico Estudo Paramétrico Dimensionamento através do Método da Resistência Directa...55 vii

10 5.1 Introdução O Método da Resistência Directa MRD com Interacção Local/Distorcional Avaliação das Estimativas do MRD Considerações Finais e Desenvolvimentos Futuros Referências Bibliográficas...69 Anexo...73 A Dimensões das secções em hat, tensões de bifurcação e estimativas do MRD viii

11 Lista de Figuras Figura 1.1 (a) Perfis de secção aberta, (b) fechada e (c) obtida por ligação de secções abertas, e (d) painéis de elementos estruturais de aço enformado a frio [3]... 2 Figura 1.2 Processos de enformagem a frio: (a) laminagem a frio e (b) quinagem Figura 1.3 Secções transversais de elementos de aço enformado a frio [26]... 4 Figura 1.4 Aplicação de um perfil de aço enformado a frio de secção em hat ( 6 Figura 2.1 Modelo estrutural. Configuração (a) indeformada e (b) deformada do modelo... 9 Figura 2.2 Conceito de estabilidade do equilíbrio. Equilíbrio (a) estável, (b) instável e (c) neutro [6] Figura 2.3 Trajectórias de pós-encurvadura do modelo perfeito. (a) Comportamento simétrico estável, (b) comportamento simétrico instável e (c) comportamento assimétrico [6] Figura Modelo estrutural imperfeito. Configuração (a) inicial e (b) deformada Figura 2.5 Trajectórias de Pós-encurvadura de sistemas perfeitos e imperfeitos. Comportamento (a) simétrico estável, (b) simétrico instável e (c) assimétrico [6] Figura 2.6 Configurações dos modos de instabilidade de colunas com secção em hat: modos (a) local, (b) distorcional, (c) de flexão-torção e (d) de flexão Figura 2.7 Placa simplesmente apoiada submetida a compressão uniforme [37] Figura 2.8 Modo de instabilidade local de uma coluna com secção em hat Figura 2.9 Modo de instabilidade distorcional de uma coluna com secção em hat Figura 2.10 Modo de instabilidade acoplado local/distorcional de uma coluna com secção em hat Figura 2.11 Curvas ilustrativas dos diferentes casos de interacção modal. (a) Interacção local/global. (b) Interacção distorcional/global. (c) Interacção local/distorcional/global [37] Figura Modos de deformação de uma secção em hat Figura 2.13 Janelas das quatro fases da utilização do programa GBTUL Figura 3.1 Curvas de estabilidade das colunas (a) H 6A e (b) H Figura 3.2 Factores de participação modal no modo de instabilidade das colunas (a) H 6A e (b) H ix

12 Figura 3.3 Análise de estabilidade da coluna seleccionada. (a) Curva e (b) configuração deformada do modo de instabilidade do perfil H 6 ( ) Figura 4.1 Imperfeições iniciais: (a) representação no plano C L,0 -C D,0 e (b) configurações para e (coluna H 6 ) Figura 4.2 Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para colunas com imperfeições iniciais e Figura Configuração deformada das colunas (a) e (b) para Figura 4.4 (a) Evolução do deslocamento ao longo da alma da colunas (quatro valores do parâmetro de carga) e (b) configuração deformada da alma (b 1 ) da coluna ( ) e (b 2 ) associada aos modos local e distorcional Figura 4.5 Evolução do deslocamento ao longo da alma da coluna Figura 4.6 Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para colunas com imperfeições iniciais e Figura 4.7 Configuração deformada das colunas (a) e (b) ( ). 38 Figura 4.8 Evolução do deslocamento ao longo da alma das colunas (a) e (b) Figura 4.9 Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para colunas com imperfeições iniciais Figura 4.10 Evolução do deslocamento ao longo da alma das colunas (a) e (b) Figura 4.11 Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para colunas com imperfeições iniciais Figura 4.12 Evolução do deslocamento ao longo da alma da coluna Figura 4.13 Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para as colunas com imperfeições iniciais Figura 4.14 Evolução do deslocamento ao longo da alma das colunas (a) e (b) Figura 4.15 Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para colunas com imperfeições iniciais Figura 4.16 Evolução do deslocamento ao longo da alma da coluna Figura 4.17 Imperfeições iniciais das colunas não afectadas por interacção localizada na alma Figura 4.18 Evolução dos coeficientes e nas trajectórias de pós-encurvadura x

13 Figura 4.19 Trajectórias de equilíbrio elasto-plásticas das colunas (a), (b), (c) e (d) Figura 4.20 Evolução da deformação plástica e configuração deformada no colapso da coluna ( ) Figura 4.21 Evolução da deformação plástica e configuração deformada no colapso da coluna ( ) Figura 4.22 Evolução da deformação plástica e configuração deformada no colapso da coluna / ) Figura 5.1 Variação de (a), (b), (c) e (d) com para colunas com secção em C [33] Figura 5.2 Curvas de dimensionamento do MRD Figura 5.3 Variação de (a), (b), (c) e (d) com para colunas com secção em hat Figura 5.4 Variação de com para as colunas com secção em hat Figura 5.5 Variação de + com para as colunas com secção em hat Figura 5.6 Variação de com para colunas com secção em C [33] xi

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15 Lista de Tabelas Tabela 4.1 Valores de resistência última das colunas H 6 para diferentes valores de e Tabela 5.1 Média e desvio-padrão das diferentes formulações do MRD Tabela A.1 Dimensões das secções em hat, tensões de bifurcação e estimativas do MRD.. 75 xiii

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17 Lista de Símbolos Caracteres Latinos b w b f b s c 1 -c 3 C 2 -C 3 C D C D0 C L C L0 D E f cr f D f E f L f ND f NDL f NE f NL f NLE f u f y f * NDL f * NL k L L crl L crd L D L D-G L L L L-D L L-G L L-D-G P P cr q Largura da alma Largura do banzo Largura do reforço Factores que condicionam a rigidez da mola de apoio Factores que condicionam a estabilidade do equilíbrio Factor de participação do modo distorcional Factor de participação do modo distorcional na configuração inicial Factor de participação do modo local Factor de participação do modo local na configuração inicial Constante de rigidez de flexão de uma placa Módulo de elasticidade do material Tensão crítica Tensão crítica no modo distorcional Tensão crítica no modo global Tensão crítica no modo local Tensão nominal resistente no modo distorcional Tensão nominal resistente no modo acoplado distorcional/local Tensão nominal resistente no modo global Tensão nominal resistente no modo local Tensão nominal resistente no modo acoplado local/global Tensão última Tensão de cedência Tensão nominal resistente modificada no modo acoplado distorcional/local Tensão nominal resistente modificada no modo local Rigidez da mola Comprimento Comprimento da barra simplesmente apoiada com uma semi-onda local que exibe a menor carga crítica Comprimento da barra simplesmente apoiada com uma semi-onda distorcional que exibe a menor carga crítica Comprimento da barra relativo ao modo distorcional Comprimento da barra relativo á interacção entre os modos distorcional e global Comprimento da barra relativo ao modo local Comprimento da barra relativo á interacção entre os modos local e distorcional Comprimento da barra relativo á interacção entre os modos local e global Comprimento da barra relativo á interacção entre os modos local, distorcional e global Carga aplicada Carga crítica Deslocamento adimensionalisado xv

18 R t u u 0 v v D v D,0 v L v L,0 w D w D,0 w L w L,0 Reacção na mola Espessura Deslocamento Imperfeição inicial Deslocamento da ligação banzo-reforço Deslocamento da ligação banzo-reforço associado ao modo distorcional Deslocamento da ligação banzo-reforço associado ao modo distorcional na configuração inicial Deslocamento da ligação banzo-reforço associado ao modo local Deslocamento da ligação banzo-reforço associado ao modo local na configuração inicial Deslocamento de flexão da alma associado ao modo distorcional Deslocamento de flexão da alma associado ao modo distorcional na configuração inicial Deslocamento de flexão da alma associado ao modo local Deslocamento de flexão da alma associado ao modo local na configuração inicial Caracteres Gregos ε λ B λ C λ cr λ D λ L Imperfeição adimensionada Esforço de bifurcação Esbelteza global Esforço crítico Esbelteza distorcional Esbelteza local xvi

19 Acrónimos GBT MEF MFF MLE MRD Teoria Generalizada de Vigas (Generalized Beam Theory) Método dos Elementos Finitos Método das Faixas Finitas Método da Largura Efectiva Método da Resistência Directa xvii

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21 1 Introdução 1.1 Considerações Gerais Por razões económicas e estéticas, os engenheiros têm sido desafiados ao longo dos tempos a conceber estruturas cada vez mais esbeltas, leves e resistentes. Esta procura por uma maior eficiência estrutural conduziu a diversas soluções estruturais, onde o aço surge como uma mais vantajosas. A maior competitividade deste material em relação aos demais está directamente relacionada (i) com os melhores e mais eficientes processos de produção (e.g., metalurgia, enformação a frio, extrusão, soldadura), (ii) com a elevada performance em termos de comportamento do aço, e (iii) com as evoluídas técnicas construtivas que permitem não só reduzir os tempos de construção, mas também diminuir os custos associados à mão-de-obra. No que diz respeito ao comportamento material, o aço destaca-se dos restantes devido às suas características, nomeadamente em termos de resistência e de ductilidade, permitindo a concepção de elementos estruturais bastante esbeltos e consequentemente leves. Por sua vez, as vantagens desta solução em termos construtivos deve-se à (i) possível pré-fabricação em grande escala dos elementos, (ii) à facilidade do transporte, montagem e desmontagem da estrutura e (iii) à possível reutilização dos componentes estruturais, característica bastante valorizada na sociedade actual. Contudo, a elevada esbelteza, aliada à considerável resistência destes elementos, torna-os particularmente sensíveis a fenómenos de instabilidade, o que explica a importância da estabilidade no estudo do comportamento estrutural de elementos de aço, nomeadamente os com secção de parede fina. De entre as várias soluções de parede fina, a enformação a frio tem vindo, nos últimos anos, a ter uma utilização crescente. Muito embora a incorporação de elementos estruturais de aço enformado a frio na indústria da construção civil remonte à década de 1850, em Inglaterra e nos Estados Unidos da América, a sua utilização, com carácter sistemático em estruturas de edifícios só teve lugar a partir de da década de quarenta do século passado [1]. Antes disso, foi na indústria automóvel que primeiro se assistiu ao desenvolvimento de tecnologias específicas para enformar a frio componentes de vários tipos de veículos com fins estruturais. Um pouco mais tarde, a indústria aeronáutica, condicionada pela absoluta necessidade de obter estruturas simultaneamente leves e resistentes, constituiu igualmente um domínio privilegiado para o emprego de chapas metálicas com espessuras muito pequenas [2]. No âmbito da engenharia civil, a enformação a frio começou a ser utilizada em sistemas de armazenamento, tendo contribuído decisivamente para a crescente utilização dos elementos de aço enformado a frio, a publicação, em 1946 e pelo American Iron and Steel Institute, das primeiras disposições regulamentares relativas ao comportamento estrutural deste tipo de elementos [1]. Na origem dos processos de enformação a frio está a grande ductilidade do aço, a qual permite obter, a partir de chapas de espessura bastante reduzida, perfis e painéis estruturais com elevada eficiência estrutural (i.e., relação resistência/peso) e com grande versatilidade de fabrico (possibilidade de 1

22 produzir, de uma forma económica, elementos estruturais com uma vasta gama de geometrias). As Figuras 1.1(a)-(d) exibem um conjunto de secções transversais de perfis e painéis utilizados no âmbito da engenharia civil os perfis estruturais correspondem a elementos lineares com secção transversal aberta ou fechada (obtida por ligação de perfis de secção aberta), sendo os painéis de secção poligonal utilizados principalmente em coberturas ou em lajes mistas aço-betão. (a) (b) (c) (d) Figura 1.1 (a) Perfis de secção aberta, (b) fechada e (c) obtida por ligação de secções abertas, e (d) painéis de elementos estruturais de aço enformado a frio [3]. As Figuras 1.2(a)-(b) mostram dois processos de dar forma aos elementos de aço enformado a frio, nomeadamente (i) a laminagem a frio (cold rolling, na designação anglo-saxónica) e (ii) a quinagem (press braking, na designação anglo-saxónica) [2, 4, 5]. No primeiro caso, a configuração final do elemento estrutural é obtida por acção directa (compressão) de um conjunto de rolos dispostos convenientemente de modo a obter a forma pretendida. No segundo caso, a chapa é forçada a dobrar ao longo da direcção longitudinal devido à compressão da chapa contra sistemas, originando quinas, i.e., arestas. Figura 1.2 Processos de enformagem a frio: (a) laminagem a frio e (b) quinagem. De um modo geral, o colapso de perfis enformados a frio resulta, essencialmente, da combinação de fenómenos de natureza complexa (e.g., instabilidade, plasticidade), alguns com uma relevância superior à que se observa em perfis de secção compacta [6]. De facto, os perfis de aço enformado 2

23 a frio exibem (i) uma reduzida rigidez de torção, principalmente os elementos de secção aberta, e (ii) com paredes de elevada esbelteza, o que os torna muito susceptíveis à ocorrência de fenómenos de instabilidade local. Ao contrário do que sucede com a instabilidade global (por flexão, torção ou flexão-torção), em que apenas o eixo do perfil se deforma (as secções transversais sofrem apenas deslocamentos de corpo rígido), a instabilidade local caracteriza-se pelo facto de as secções se deformarem nos seus próprios planos (o eixo do perfil permanece indeformado). Por sua vez, a instabilidade local engloba dois modos com características distintas: (i) os modos locais - de-placa (flexão das paredes, sem deslocamentos dos bordos longitudinais internos) e (ii) os modos distorcionais (flexão das paredes, com deslocamentos significativos de um ou mais bordos longitudinais internos). Dependendo (i) da geometria do elemento estrutural (configuração e dimensão dos elementos da secção transversal, comprimento), (ii) das condições de apoio (e.g., secções extremas apoiadas ou encastradas, travamentos intermédios) e (iii) do carregamento a que está sujeito (e.g., compressão, flexão, flexão-compressão), qualquer um dos modos referidos anteriormente poderá ser crítico. Contudo, chama-se a atenção para o facto de, em determinadas circunstâncias, poder ocorrer a bifurcação simultânea em dois ou mais modos de natureza distinta, facto que está na origem dos chamados fenómenos de interacção entre modos de instabilidade. É do conhecimento geral que os perfis de aço enformados a frio exibem comportamentos de pósencurvadura local-de-placa e global estáveis, com diferenças claras de reserva de resistência póscrítica: bastante significativa no primeiro caso e muito baixa no segundo. Por outro lado, estudos relativamente recentes mostraram que o comportamento de pós-encurvadura distorcional (i) se situa algures entre os dois anteriores (em termos cinemáticos e de resistência) e (ii) exibe uma assimetria significativa em relação ao sentido do movimento dos banzos (abertura ou fecho das secções do perfil) a título de exemplo, refiram-se os trabalhos de Kwon & Hancock [7], Prola & Camotim [8], Camotim & Silvestre [9] e Silvestre & Camotim [10]. Relativamente aos fenómenos de interacção que podem afectar o comportamento de pós-encurvadura e a resistência última de colunas, os que resultam da quase coincidência entre as tensões críticas localde-placa e global são bastante bem conhecidos. Os seus efeitos são tomados em consideração em praticamente toda a regulamentação actualmente em vigor relativa ao dimensionamento de perfis laminados e enformados a frio, através do conceito de largura efectiva. Por outro lado, a influência dos efeitos da interacção envolvendo o modo distorcional no comportamento de pós-encurvadura e na resistência última de perfis de parede fina constitui um tema de investigação bastante actual, tendo sido objecto de várias publicações recentes. A maioria dos estudos diz respeito à interacção local-deplaca/distorcional em colunas de secção em C e inclui simulações numéricas, investigações experimentais e propostas de regras de dimensionamento que têm em conta a influência dessa interacção (e.g., Ungureanu & Dubina [11], Yang & Hancock [12], Dinis et al. [13, 14], Hancock et al. [15], Silvestre et al. [16-18], Camotim et al. [19], Kwon et al. [20, 21], Yapp & Hancock [22], Young et al. [23] ou Rossi [24]). No que diz respeito a fenómenos de interacção envolvendo a instabilidade distorcional e global (i.e., interacção distorcional/global e local-de-placa/distorcional/global), a literatura disponível é relativamente escassa e aborda também o efeito dessa interacção sobretudo em colunas de secção em C (Dinis & Camotim [23], Dinis et al. [25] e Rossi [24]). 3

24 Muito embora alguns dos trabalhos mencionados anteriormente permitam retirar conclusões importantes em termos do dimensionamento de perfis de aço enformados a frio afectados por fenómenos de interacção envolvendo o modo distorcional, pode afirmar-se que há ainda um caminho relativamente longo a percorrer antes de se conseguir estabelecer metodologias de dimensionamento que incorporem, de uma forma racional e eficiente, os efeitos dessa interacção. De facto, torna-se necessário desenvolver uma considerável actividade de investigação (tanto em termos numéricos como experimentais) nomeadamente, tendo em conta (i) a secção transversal (e.g., secções em Z, hat), (ii) as condições de apoio (e.g., perfis apoiados, encastrados), e (iii) os carregamentos a que os perfis estão submetidos (e.g., colunas, vigas, colunas-viga). Figura 1.3 Secções transversais de elementos de aço enformado a frio [26]. Como foi já referido anteriormente, a generalidade dos regulamentos de estruturas de aço contém procedimentos para a determinação da resistência de perfis de parede fina baseados no Método das Larguras Efectivas. Contudo, devido ao elevado número de paredes que habitualmente constituem a secção transversal dos perfis enformados a frio (ver Figura 1.3), a aplicação desses procedimentos torna-se bastante complexa/morosa. No sentido de ultrapassar estas dificuldades e de conseguir estabelecer metodologias de dimensionamento mais eficientes e seguras (permitindo também a verificação da segurança dos perfis em relação ao colapso em modos distorcionais), a comunidade técnico/científica ligada a este tipo de estruturas desenvolveu recentemente um conjunto significativo de estudos, dos quais se destaca o trabalho de Hancock et al [27], em virtude de ter estado na origem de um novo método de dimensionamento, designado por Método da Resistência Directa (MRD Direct Strength Method, na designação anglo-saxónica). O método (i) foi originalmente proposto por Schafer e Peköz [28] e (ii) tem sido continuamente desenvolvido desde então, sobretudo devido aos esforços de Schafer [29-31]. O MRD constitui actualmente uma metodologia importante no dimensionamento destes perfis, estando já incluído, com o estatuto de método alternativo, na mais recente versão da norma americana (AISI) e australiana/neo-zelandesa (SA-SNZ). O método permite obter estimativas da resistência última de colunas e vigas de aço enformadas a frio, cujo colapso ocorra em modos locais-de-placa, distorcionais e globais, ou com interacção local-de-placa/global, sendo a resistência última do perfil calculada a partir (i) dos valores das tensões de bifurcação locaisde-placa, distorcionais e globais (fornecidas por análises de estabilidade efectuadas computacionalmente) e (ii) de curvas de dimensionamento calibradas experimental e/ou 4

25 numericamente. Contudo, conforme tem sido referido por Schafer [31], é necessário desenvolver ainda uma considerável actividade de investigação antes que o MRD possa ser eficazmente utilizado para dimensionar elementos estruturais afectados por fenómenos de interacção envolvendo modos distorcionais (âmbito no qual este trabalho se insere). A determinação rigorosa do comportamento estrutural de perfis de aço enformados a frio, sobretudo em regime elasto-plástico e/ou na presença de fenómenos de interacção entre modos de instabilidade, só é possível através da utilização de métodos computacionais sofisticados, de entre os quais se destaca o método dos elementos finitos. Os extraordinários progressos que ocorreram nas últimas décadas ao nível da sofisticação das ferramentas de cálculo (hardware e software) permitiram a disseminação de diversos programas comerciais de elementos finitos, os quais efectuam análises geométrica e fisicamente não lineares de qualquer sistema estrutural e.g., ABAQUS [32]. A comunidade técnico/científica ligada às estruturas de aço tem utilizado de forma crescente estes meios, nomeadamente porque (i) os estudos paramétricos efectuados através de simulações numérica apresentarem grandes vantagens em relação à realização de ensaios experimentais e (ii) a racionalidade e eficácia das metodologias de dimensionamento dependerem de um conhecimento aprofundado dos comportamentos de pós-encurvadura dos elementos estruturais as análises por elementos finitos de casca desempenham um papel importante na obtenção desse conhecimento, permitindo analisar a influência da deformabilidade local na pós-encurvadura de perfis de parede fina. Contudo, para que as simulações numéricas tenham significado é essencial que a modelação seja feita de forma adequada, designadamente no que diz respeito (i) à discretização dos perfis, (ii) à introdução das cargas (tensões) aplicadas, (iii) à modelação das condições de apoio e do comportamento material, e (iv) à incorporação das imperfeições geométricas iniciais e das tensões residuais (e.g., Dinis & Camotim [33], Silvestre et al. [34] Dinis et al. [13]) 1.2 Motivação e Âmbito do Trabalho Em face do exposto anteriormente, pode concluir-se que o estudo do comportamento de perfis enformados a frio, quando afectados por fenómenos de interacção envolvendo o modo distorcional, constitui um tema bastante actual no âmbito dos elementos estruturais de parede fina. Neste contexto, destaca-se a investigação desenvolvida nos últimos anos no Instituto Superior Técnico, nomeadamente estudos efectuados sobre a interacção local-de-placa/distorcional, distorcional/global e local-de placa/distorcional/global (e.g., [13, 14, 16-18, 23, 25]). No entanto, a maioria destes estudos tem-se centrado em perfis com secção em C [11-14, 17, 21, 33-35] e rack [36], quando submetidos a compressão uniforme e afectados por interacção local-de-placa/distorcional neste contexto, convém referir que também foram investigadas vigas de secção em C submetidas a flexão em torno do eixo de maior inércia [37]. O trabalho que agora se apresenta procura contribuir para um melhor conhecimento sobre os comportamentos (i) de pós-encurvadura, em regime elástico e elasto-plástico, e de resistência última de colunas encastradas e com secção em hat, quando afectadas por fenómenos de interacção que envolvam os modos de instabilidade de índole local, i.e., os modos local-de-placa 5

26 e distorcional na Figura 1.4 pode observar-se a aplicação deste tipo de perfis como suporte de paredes divisórias de edifícios. De forma a facilitar a leitura do presente trabalho, e sempre que tal não afecte a compreensão do trabalho, o modo local-de-placa passará a ser denominado apenas como modo local. Figura 1.4 Aplicação de um perfil de aço enformado a frio de secção em hat ( O conhecimento adquirido sobre os referidos comportamentos, conjuntamente com um estudo paramétrico alargado permite, numa segunda fase, avaliar o desempenho das actuais fórmulas do Método da Resistência Directa para estimar a capacidade resistente dos perfis. Neste âmbito, pretendese nomeadamente avaliar se a formulação proposta por Camotim et al. [33], no contexto de colunas de secção em C, fornece estimativas rigorosas e seguras também para colunas de secção em hat. 1.3 Estrutura do Trabalho No presente capítulo fez-se uma apresentação de carácter introdutório ao tema da dissertação e indicam-se as motivações que estiveram na origem do trabalho realizado, o qual deu origem à publicação de dois artigos em conferências internacionais [38, 39]. Seguidamente descreve-se o conteúdo dos restantes cinco capítulos da dissertação. No capítulo 2 descrevem-se os principais conceitos necessários à realização do trabalho, nomeadamente os conceitos básicos de estabilidade, os tipos de análises e fenómenos de instabilidade que afectam os perfis metálicos de parede fina, dando algum ênfase à interacção entre modos de instabilidade. O capítulo termina com uma breve descrição dos métodos de análise adoptados para realizar as análises de estabilidade efectuadas no decurso do trabalho, indicando os aspectos mais relevantes sobre (i) a modelação por elementos finitos de casca (ABAQUS) e (ii) a utilização do programa GBTUL [40] (análises efectuadas com base na Teoria Generalizada de Vigas). No capítulo 3 faz-se a selecção da geometria das colunas encastradas de aço enformadas a frio e secção em hat, quando afectadas por interacção local/distorcional. A identificação das dimensões dos 18 perfis seleccionados fez-se (i) a partir da análise linear de estabilidade dos perfis (efectuada recorrendo ao programa GBTUL), (ii) através de um processo de tentativa-e-erro, no qual se vão 6

27 alterando as dimensões da alma, banzo ou reforço até se obterem perfis com tensões de bifurcação semelhantes nos modos locais e distorcionais. O capítulo termina com a análise de estabilidade por elementos finitos de um dos perfis seleccionados, a qual é efectuada com o intuito de confirmar os resultados obtidos anteriormente e, em particular, detectar a presença da interacção local/distorcional. O capítulo 4 é dedicado á análise por elementos finitos de casca do comportamento de pósencurvadura dos perfis escolhidos no capítulo anterior. Nomeadamente, estuda-se o comportamento da coluna que serviu de exemplo no capítulo 3, apresentando-se, numa primeira fase, o conjunto de imperfeições geométricas iniciais consideradas nas análises de pós-encurvadura, e, numa segunda fase e em separado, o estudo dos comportamentos dessa coluna, em regime elástico e elastoplástico. Os resultados em regime elástico que se apresentam e comentam consistem em (i) trajectórias de pós-encurvadura, (ii) configurações deformadas das colunas em estádios avançados de pós-encurvadura, (iii) gráficos que ilustram a evolução da configuração deformada da alma e (iv) gráficos que indicam a contribuição das componentes modais para a configuração deformada das colunas. Na análise do comportamento de pós-encurvadura em regime elasto-plástico, apresentamse não só as trajectórias de equilíbrio, mas também a evolução e a localização das deformações plásticas, assim como as configurações deformadas das colunas no colapso. O capítulo termina com a descrição dos resultados de um estudo paramétrico efectuado com o programa ABAQUS, onde se determinaram os valores de resistência última de 90 colunas encastradas e de secção em hat quando afectadas por interacção local/distorcional. No capítulo 5 faz-se uma breve descrição sobre o dimensionamento de elementos estruturais de parede fina através do Método da Resistência Directa. Numa primeira fase, apresentam-se as formulações actuais desta metodologia de dimensionamento, assim como as extensões recentemente propostas para determinar a resistência última de colunas afectadas por interacção local/distorcional. O capítulo termina com a comparação entre o conjunto de valores da resistência última (obtido no estudo paramétrico indicado no capítulo anterior) e as estimativas fornecidas pelas fórmulas do MRD. Por fim, o capítulo 6 é dedicado à apresentação dos principais resultados e das conclusões mais relevantes a que se chegou durante a realização da presente dissertação. Expõem-se ainda alguns tópicos cujo desenvolvimento se considera de especial importância em trabalhos futuros. 7

28 8

29 2 Conceitos Fundamentais 2.1 Introdução Neste capítulo apresentam-se os conceitos básicos sobre estabilidade estruturafl (retirados de livros de referência neste domínio [6]), assim como as características essenciais dos métodos de análise utilizados na realização desta dissertação. Ilustram-se alguns dos conceitos recorrendo a um modelo estrutural muito simples, após o que se apresentam/caracterizam os tipos de instabilidade que podem ocorrer em perfis de aço enformados a frio, dando particular relevo aos fenómenos que envolvem a deformação local da secção (instabilidade local-de-placa e distorcional). O capítulo termina com a apresentação das características (i) das várias análises de estabilidade, e (ii) dos métodos numéricos utilizados na realização deste trabalho, nomeadamente (ii 1 ) o Método dos Elementos Finitos (MEF) e a (ii 2 ) Teoria Generalizada de Vigas (GBT - Generalized Beam Theory na designação anglosaxónica). 2.2 Conceitos Básicos Apresenta-se na Figura 2.1 um sistema estrutural ideal (i.e., sem imperfeições iniciais), constituído por uma barra rígida bi-articulada, impedida de se deslocar lateralmente numa das extremidades e na outra com uma mola cuja rigidez elástica não linear é obtida através da expressão. (2.1) (a) (b) Figura 2.1 Modelo estrutural. Configuração (a) indeformada e (b) deformada do modelo. A barra encontra-se solicitada pela acção de duas forças verticais (de compressão) de valor P. Observa-se que, na configuração indeformada ( ), o sistema estrutural está em equilíbrio, 9

30 sem qualquer tipo de reacção na mola ou forças horizontais, enquanto que, na configuração deformada, os deslocamentos originam uma reacção na mola que se admite ser dada por Adoptando como grau de liberdade o seguinte parâmetro adimensional. (2.2), (2.3) é possível estabelecer a equação de equilíbrio do sistema na configuração deformada, (2.4) o qual tem como soluções ou. (2.5) Estas soluções correspondem, respectivamente, às trajectórias fundamental e de pós-encurvadura do modelo, as quais se intersectam no ponto de bifurcação de coordenadas e. Este ponto identifica o valor da carga crítica do modelo, cuja definição corresponde ao menor valor de para o qual ocorre um ponto de bifurcação do equilíbrio, sendo neste caso. (2.6) Observe-se que é possível identificar o valor da carga crítica desprezando na equação (2.4) os termos de ordem superior aos lineares, o que corresponde a efectuar o que se designa por uma análise linear de estabilidade do sistema. Este procedimento aplica-se exclusivamente a problemas de estabilidade bifurcacional, permitindo identificar não só as cargas de bifurcação mas também a configuração dos respectivos modos de instabilidade. As configurações de equilíbrio de sistemas estruturais com as características do modelo em estudo podem corresponder a configurações de equilíbrio estáveis ou instáveis. Uma configuração de equilíbrio de um sistema designa-se por estável se o sistema, depois de sofrer uma pequena perturbação, regressar à configuração de equilíbrio inicial um exemplo clássico de uma configuração de equilíbrio estável corresponde à de uma esfera sobre uma superfície côncava (ver Figura 2.2(a)). Caso o sistema não regresse à configuração inicial, diz-se que a configuração de equilíbrio é instável o correspondente exemplo clássico consiste no de uma esfera sobre uma superfície convexa (ver Figura 2.2(b)). 10

31 (a) (b) (c) Figura 2.2 Conceito de estabilidade do equilíbrio. Equilíbrio (a) estável, (b) instável e (c) neutro [6]. As características fundamentais do comportamento de pós-encurvadura de um sistema estrutural podem ser avaliadas na sua fase inicial, i.e., na vizinhança do ponto de bifurcação. Desenvolvendo em série de Taylor o último termo da equação de equilíbrio (2.5), e desprezando os termos de ordem igual ou superior a três, obtém-se a expressão:, (2.7) que, simplificando, pode ser expressa na forma onde, (2.8). (2.9) Na Figura 2.3 representam-se três trajectórias de equilíbrio do modelo, determinadas a partir de diferentes valores de e. A observação destas figuras permite retirar as seguintes conclusões: (i) As trajectórias de equilíbrio determinadas com e exibem um comportamento simétrico, i.e., apresentam a mesma evolução independentemente do sentido do deslocamento. No entanto, (i 1 ) quando (Figura 2.3(a)), o modelo exibe uma trajectória de equilíbrio simétrica e estável, e (i 2 ) quando (Figura 2.3(b)), o modelo exibe uma trajectória de equilíbrio simétrica, mas instável. (ii) Contudo, para e, a trajectória de equilíbrio possui um andamento distinto consoante o sentido do deslocamento (Figura 2.3(c)), o que significa que este sistema estrutural possui um comportamento de pós-encurvadura assimétrico. 11

32 (a) (b) (c) Figura 2.3 Trajectórias de pós-encurvadura do modelo perfeito. (a) Comportamento simétrico estável, (b) comportamento simétrico instável e (c) comportamento assimétrico [6]. Até agora considerou-se o modelo como perfeito, i.e., sem imperfeições. No entanto, é do conhecimento geral que não existem sistemas estruturais ideais, ocorrendo inevitavelmente imperfeições de natureza geométrica, não só em termos de configuração inicial, mas também no que diz respeito a excentricidades na aplicação das cargas. A existência destas imperfeições afecta naturalmente o comportamento dos sistemas estruturais, como pode ser comprovado no caso do anterior modelo com um grau de liberdade. De facto, admitindo uma imperfeição geométrica inicial adimensional do tipo (ver Figura 2.4(a)), (2.10) (a) (b) Figura Modelo estrutural imperfeito. Configuração (a) inicial e (b) deformada. o equilíbrio do sistema estrutural passa a ser dado pela expressão, (2.11) a qual, atendendo aos valores de, e, pode ser escrita na forma. (2.12) Na Figura 2.5 apresentam-se as trajectórias de pós-encurvadura obtidas a partir da expressão (2.12), admitindo valores de e idênticos aos considerados para as trajectórias da Figura 2.3. As linhas a 12

33 cheio referem-se ao modelo ideal, enquanto as linhas a tracejado representam o mesmo sistema, mas com uma imperfeição inicial. A observação da Figura 2.5 permite retirar as seguintes conclusões sobre o comportamento de pós-encurvadura de sistemas imperfeitos: (i) Quando o sistema estrutural exibe imperfeições iniciais, a trajectória fundamental ( ) deixa de ser solução do problema. (ii) As imperfeições iniciais não possuem uma influência significativa na resistência pós-crítica de sistemas estáveis (Figura 2.5(a)), resistindo estes a cargas de valor sempre crescente e superiores à crítica. (iii) Contudo, em sistemas reais instáveis ou assimétricos (Figuras 2.5(b)-(c)), as imperfeições iniciais podem dar origem a um ponto limite nas trajectórias de equilíbrio (valores máximos da carga associado a uma rigidez tangente nula para o sistema), ao qual corresponde um valor de carga inferior ao crítico ( ). É comum designar este tipo de estruturas como estruturas sensíveis a imperfeições. (a) (b) (c) Figura 2.5 Trajectórias de Pós-encurvadura de sistemas perfeitos e imperfeitos. Comportamento (a) simétrico estável, (b) simétrico instável e (c) assimétrico [6]. Em face destas diferenças significativas de comportamento, compreende-se a necessidade de proceder à determinação das trajectórias de pós-encurvadura de sistemas reais (i.e., com imperfeições), por forma a (i) avaliar as resistências pós-críticas e (ii) detectar a existência de eventuais pontos limite numa fase inicial da pós-encurvadura. No entanto, chama-se a atenção para o facto de, devido à limitação introduzida pelo comportamento material (plasticidade), a resistência de estruturas metálicas reais depender também da relação entre as cargas de cedência e crítica das estruturas. Por exemplo, placas comprimidas axialmente apresentam elevada resistência de pós-encurvadura, a qual influência significativamente o seu colapso elasto-plástico. Por outro lado, colunas comprimidas que instabilizam por flexão (instabilidade de Euler) exibem uma resistência de pós-encurvadura quase nula, o que explica o facto de esta não ser normalmente contabilizada na avaliação da carga de colapso. 2.3 Análises de Estabilidade A análise geometricamente linear (ou de 1ª ordem) de uma estrutura (ou elemento estrutural) envolve a determinação de esforços, tensões e deslocamentos provocados por um determinado conjunto de acções a que a estrutura está submetida. Por sua vez, a análise geometricamente não linear de uma estrutura envolve (i) a identificação dos parâmetros de carga críticos e a forma dos respectivos modos 13

34 de instabilidade (análise linear de estabilidade), ou (ii) a determinação do comportamento de pósencurvadura da estrutura (análise não linear ou de 2ª ordem). O presente trabalho requer a realização dos dois tipos de análises de estabilidade referentes a elementos estruturais discretizados (transformação de sistemas contínuos em sistemas com um número finito de graus de liberdade), análises cujas características se descrevem com maior detalhe seguidamente. Análise linear de estabilidade A análise linear de estabilidade é a mais simples das análises geometricamente não lineares. Compreende a determinação das cargas de bifurcação e dos respectivos modos de instabilidade e admite, geralmente, um comportamento elástico linear para o material. Do ponto de vista matemático, corresponde a um problema de valores e vectores próprios, em que (i) os parâmetros de carga de bifurcação são os valores próprios e (ii) os correspondentes modos de instabilidade são os vectores próprios [6]. O menor dos parâmetros de carga de bifurcação e a correspondente configuração do modo são habitualmente designados por parâmetro de carga crítico e por modo de instabilidade crítico. Análise não linear de estabilidade A análise de 2ª ordem ou de pós-encurvadura de uma estrutura (ou elemento estrutural), submetida a um determinado carregamento, corresponde a uma análise bem mais complexa. Envolve (i) a consideração de estruturas reais (i.e., com imperfeições e tensões iniciais), e (ii) a determinação (ii 1 ) de trajectórias de equilíbrio não lineares (também designadas por trajectórias de pós-encurvadura ilustram a variação de um deslocamento significativo da estrutura com o parâmetro de carga, i.e., factor que multiplica os valores das várias solicitações que actuam sobre a estrutura), (ii 2 ) da evolução das tensões com o parâmetro de carga e (ii 3 ) do modo de colapso da estrutura. No caso de estruturas metálicas, estas análises podem ser efectuadas em regime elástico ou elasto-plástico consoante o comportamento material que se adopte para o aço. Em termos matemáticos, a análise não linear de estabilidade envolve a resolução de um sistema de equações de equilíbrio não lineares que regem o comportamento da estrutura, o que obriga à utilização de procedimentos incrementais/iterativos adoptam-se frequentemente o método de Newton-Raphson e a técnica do controle do comprimento de arco. 2.4 Estabilidade de Perfis Metálicos de Parede Fina O comportamento e a resistência de elementos estruturais (colunas, vigas ou vigas-coluna) com secção de parede fina aberta são fortemente afectados pela ocorrência de diversos fenómenos de instabilidade. A adequada caracterização do comportamento destes elementos, necessária para determinação da sua eficiência estrutural, envolve a utilização de métodos de análise que permitam considerar devidamente a influência individual e/ou conjunta, dos fenómenos de instabilidade relevantes. Os fenómenos de instabilidade que afectam as colunas de aço enformadas a frio podem agrupar-se em dois grupos distintos: instabilidades globais e locais. O primeiro grupo corresponde normalmente 14

35 ao modo crítico de colunas cuja distância entre contraventamentos é considerável, sendo caracterizado pela deformação do eixo do perfil, sofrendo as suas secções deslocamentos apenas de corpo rígido no seu próprio plano. São exemplo deste tipo de fenómenos (i) a instabilidade por flexão e (ii) a instabilidade por flexão-torção (usualmente o modo característico de colunas longas com um ou nenhum eixo de simetria) ver as configurações deformadas representadas nas Figuras 2.6(c)-(d), relativas às colunas com secção em hat. Beams Columns (a) (b) (c) (d) Figura 2.6 Configurações dos modos de instabilidade de colunas com secção em hat: modos (a) local, (b) distorcional, (c) de flexão-torção e (d) de flexão. Por outro lado, os fenómenos de instabilidade local são caracterizados essencialmente pela deformação das paredes da secção, permanecendo o eixo longitudinal do elemento indeformado. Os fenómenos de instabilidade local que afectam o comportamento estrutural de elementos de parede fina estão divididos em dois tipos, (i) os modos locais e (ii) os modos distorcionais. Os modos locais-de-placa, neste trabalho designados apenas por locais, afectam essencialmente colunas curtas, enquanto os elementos com um comprimento intermédio são usualmente sensíveis a fenómenos de encurvadura distorcional. Descrevem-se seguidamente as características gerais de cada um destes modos de instabilidade, cuja interacção se analisa posteriormente. Instabilidade local O modo de instabilidade local é caracterizado por uma deformada em que os bordos longitudinais internos (i.e., que unem duas paredes adjacentes) do perfil permanecem indeformados, o que significa que a deformada da secção é caracterizada apenas pela flexão das paredes (ver Figura 2.6(a)). Note-se que a parede exterior (reforço), correspondendo a uma extremidade livre, exibe apenas movimentos de corpo rígido. O estudo rigoroso do comportamento de estabilidade de colunas que instabilizam segundo o modo local tem por base alguns trabalhos sobre placas isoladas [6]. Estes datam do século XIX, princípio do século XX, devendo-se (i) a Saint-Venant a determinação da equação de equilíbrio de uma placa sujeita a compressão uniforme, (ii) a Bryan a determinação da solução dessa equação para placas com os bordos simplesmente apoiados, e por fim, (iii) a Reissner e a Timoshenko a solução do problema para placas com diferentes condições de apoio. Na equação (2.13) apresenta-se a expressão da tensão de bifurcação para uma placa simplesmente apoiada nos quatro bordos, comprimida segundo a sua maior dimensão (ver Figura 2.7). 15

36 ( ), (2.13) onde, é o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material da placa, a sua espessura, o número de semi-ondas do modo segundo a direcção, e e as dimensões da placa (a expressão está particularizada para modos com uma semi-onda segundo, i.e., para placas com ). Figura 2.7 Placa simplesmente apoiada submetida a compressão uniforme [37]. Extrapolando o estudo de uma placa isolada para um elemento estrutural enformado a frio, verificamos que este pode ser analisado como um conjunto de placas longas, ligadas entre si através de bordos longitudinais. Deste modo, é então possível concluir o seguinte, relativamente à instabilidade local de colunas de aço enformadas a frio: (i) (ii) A instabilidade é precipitada pela encurvadura, por flexão, da parede condicionante, sendo que a deformada das restantes paredes resulta da necessidade de compatibilizar as rotações nas ligações dos vários elementos de parede fina que constituem a secção. É possível reduzir o problema ao de uma placa com uma determinada distribuição de tensões (compressão uniforme no caso de colunas), cujos bordos longitudinais se encontram na condição de encastramento elástico a rigidez do encastramento depende das dimensões (comprimento e espessura) e características materiais dos elementos adjacentes. A necessidade de considerar as condições de apoio das placas, combinada com a não linearidade das equações de equilíbrio que governam cada elemento da secção, torna bastante complexa a obtenção de soluções analíticas para o problema. Desta forma, o estudo de elementos sujeitos a instabilidade local, é efectuada com recurso a métodos numéricos. Apresenta-se a configuração deformada de uma coluna com secção em hat que instabiliza no modo local na Figura 2.8, sendo possível verificar as características indicadas anteriormente: (i) os bordos longitudinais permanecem indeformados e (ii) a deformação deve-se unicamente à flexão das paredes, a qual é mais intensa ao nível da alma do perfil (parede responsável pela instabilidade). 16

37 Figura 2.8 Modo de instabilidade local de uma coluna com secção em hat. Instabilidade distorcional Contrariamente ao modo local, o modo distorcional envolve deformações ao nível dos bordos longitudinais da coluna. Isto significa que a deformação das secções é caracterizada pela ocorrência de distorção, i.e., de deslocamentos de corpo rígido de algumas paredes. A deformação por flexão ocorre apenas devido à compatibilidade de rotações nos bordos longitudinais da secção. No que respeita a elementos com secção em hat, a configuração deformada do modo distorcional resulta, basicamente, de deslocamentos de rotação do conjunto banzo-reforço em torno do bordo longitudinal indeformado, ou seja, do bordo que une os elementos alma e banzo da secção. Os primeiros trabalhos sobre instabilidade distorcional são relativamente recentes (meados do século XX) e foram produzidos por Lundquist e Stowell [41]. Nos anos setenta e oitenta, dois grupos de investigadores das Universidades de Cornell e Sidney detectaram a presença de um segundo mínimo local nas curvas de estabilidade de certas colunas, tendo sido propostas as primeiras expressões analíticas para estimar a carga crítica distorcional de elementos com secção em C. Apresenta-se, a título ilustrativo, a expressão que permite determinar o esforço axial crítico distorcional para uma coluna com secção em C [9],, (2.14) onde e são os módulos de elasticidade e distorção do aço,,, e, são um conjunto de coeficientes para os quais os autores forneceram expressões analíticas (função das dimensões da secção transversal), dependendo os coeficientes e das condições de apoio da coluna. Contudo, e à semelhança do que foi referido relativamente à instabilidade local de perfis enformados a frio, a determinação da carga crítica distorcional faz-se com auxílio de métodos numéricos. Na Figura 2.9 apresenta-se a configuração deformada de uma coluna com secção em hat que instabiliza num modo distorcional, a qual foi obtida por elementos finitos. A observação desta figura permite confirmar as características mencionadas anteriormente: (i) o conjunto banzo reforço exibe deslocamentos de quase corpo rígido, (ii) a alma apresenta apenas deslocamentos de flexão, e (iii) o bordo longitudinal interno (que une alma e banzo) permanece indeformado. 17

38 Figura 2.9 Modo de instabilidade distorcional de uma coluna com secção em hat Interacção entre Modos de Instabilidade O termo interacção entre modos de instabilidade aplica-se a um conjunto de fenómenos que influenciam o comportamento geometricamente não linear de estruturas, os quais são essencialmente caracterizados pela ocorrência simultânea ou quase simultânea (i.e., para o mesmo valor ou valores semelhantes de tensão crítica) de mais do que um modo de instabilidade de natureza diferente. A elevada esbelteza das paredes dos perfis de aço enformados a frio potencia os fenómenos de instabilidade de natureza local, cuja tensão de bifurcação é, para barras com um comprimento curto ou intermédio, inferior à tensão correspondente à instabilidade global. Desta forma, é frequente encontrar para (i) um dado carregamento, (ii) determinada configuração geométrica do elemento estrutural (dimensões das paredes da secção e comprimento) e (iii) certas condições de apoio, valores próximos das cargas de bifurcação associadas a modos de instabilidade de natureza distinta. Apresenta-se na Figura 2.10 a configuração deformada, obtida através de uma análise por elementos finitos, de uma coluna encastrada com secção em hat, a qual instabiliza num modo que combina os modos local (com 17 semi-ondas) e distorcional (com 3 semi-ondas) em ambos é necessário considerar também 2 quartos-de-onda exteriores para garantir tangentes nulas nas extremidades. Figura 2.10 Modo de instabilidade acoplado local/distorcional de uma coluna com secção em hat. A identificação de situações susceptíveis da ocorrência de fenómenos de interacção entre modos de instabilidade de natureza diferente faz-se a partir da análise linear de estabilidade dos perfis, nomeadamente através da (i) obtenção de curvas que relacionam o parâmetro de carga crítico de um elemento estrutural com o seu comprimento e (ii) da identificação dos valores dos comprimentos para os quais se observa coincidência/semelhança entre as cargas de bifurcação associadas a dois ou mais modos de instabilidade de natureza diferente. Nas Figura 2.11 apresentam-se curvas, em que corresponde à carga de bifurcação e ao comprimento, para um perfil simplesmente apoiado, com uma dada secção (exibindo instabilidade distorcional), quando se admitem modos de instabilidade apenas com uma semi-onda. A observação destas figuras permite identificar os seguintes fenómenos de interacção modal: 18

39 (i) Interacção local/global. Este fenómeno de interacção modal está associado ao comprimento (ver Figura 2.11(a)), ao qual corresponde, em geral, uma configuração deformada caracterizada por (i 1 ) uma semi-onda global e (i 2 ) várias (múltiplas) semi-ondas locais. (ii) Interacção distorcional/global. Este fenómeno está associado ao comprimento (ver Figura 2.11(b)), correspondendo, normalmente, a uma configuração deformada que envolve (ii 1 ) uma semi-onda global e (ii 2 ) poucas semi-ondas distorcionais. (iii) Interacção local/distorcional. Este fenómeno de interacção modal está associado ao comprimento (ver Figura 2.11(c)), exibindo uma configuração deformada caracterizada por (iii 1 ) uma semi-onda distorcional e (iii 2 ) algumas semi-ondas locais. (iv) Interacção local/distorcional/global. Esta interacção está associada ao comprimento (ver Figura 2.11(c)) e, normalmente, o perfil exibe uma configuração deformada com (iv 1 ) uma única semi-onda global, (iv 2 ) poucas semi-ondas distorcionais e (iv 3 ) muitas semi-ondas locais. Figura 2.11 Curvas ilustrativas dos diferentes casos de interacção modal. (a) Interacção local/global. (b) Interacção distorcional/global. (c) Interacção local/distorcional/global [37]. 2.5 Métodos de Análise Nas últimas décadas verificou-se uma significativa evolução na área da mecânica computacional devido à disseminação (i) de computadores mais rápidos e com melhores características, e (ii) de ferramentas de cálculo cada vez mais sofisticadas. Estes meios conduziram à utilização generalizada de vários métodos de análise de estruturas, os quais envolvem, geralmente, a discretização da estrutura, i.e., a transformação de elementos estruturais, que na sua natureza são contínuos, em sistemas discretos com um número finito de graus de liberdade. Dos diversos métodos existentes para efectuar análises de estabilidade de perfis de parede fina, destacam -se (i) o Método dos Elementos Finitos (MEF), (ii) o Método das Faixas Finitas (MFF), e (iii) as implementações numéricas de formulações da Teoria Generalizada de Viga. Apesar de existirem alguns programas de cálculo de fácil utilização que permitem efectuar análises de estabilidade de perfis submetidos a carregamentos simples (e.g., compressão, flexão uniforme) com base no MFF (e.g., CUFSM, THIN WALL), tais programas não foram utilizados no decurso deste trabalho fundamentalmente devido ao tipo de condições de apoio das colunas a analisar. Efectivamente, 19

40 ao admitirem funções sinusoidais para descrever o campo de deslocamentos no interior de cada faixa finita, os referidos programas foram concebidos para analisar apenas barras (prismáticas) simplesmente apoiadas a análise de perfis encastrados obriga à consideração de outro tipo de funções em termos longitudinais (e.g., funções Spline). Seguidamente, apresentam-se as características principais dos métodos utilizados no decurso do presente trabalho Teoria Generalizada de Vigas Apesar da sua semelhança com as teorias clássicas de barras (formulação unidimensional), a GBT distingue-se das restantes devido à possibilidade de incorporar as deformações das secções no seu plano (deformações locais). Esta característica da GBT resulta do facto de a aproximação do campo de deslocamentos ser expressa como uma combinação linear de funções que (i) são definidas ao longo de toda a linha média da secção transversal (não exibem valor unitário num nó da secção e nulo nos restantes), e (ii) correspondem a modos de deformação da secção na Figura 2.12 indicamse alguns dos modos de deformação de uma coluna com secção em hat, sendo que (i) os três primeiros correspondem a modos de corpo rígido (flexão na maior e menor inércia e torção), (ii) o quarto ao modo de distorção simétrico, e (iii) o último ao modo local associado à flexão da alma. Desta forma, a análise de um perfil com recurso à GBT envolve duas etapas. A primeira corresponde à análise da secção, a qual consiste (i) na identificação dos modos de deformação da secção e (ii) na determinação das respectivas propriedades mecânicas modais. Numa segunda etapa, procede-se à análise de barra, a qual começa por envolver a definição do carregamento e das condições de apoio, terminando com a resolução das equações de equilíbrio. O facto de os graus de liberdade serem os valores modais das amplitudes dos spróprios modos de deformação da secção torna as implementações numéricas da GBT muito versáteis e eficientes, não só porque envolvem um número reduzido de graus de liberdade, mas fundamentalmente porque permitem uma melhor interpretação dos resultados obtidos por exemplo, numa análise linear da estabilidade é possível determinar qual a percentagem de cada modo de deformação (local, distorcional ou global) no modo de instabilidade do perfil. Figura Modos de deformação de uma secção em hat. Por fim, refira-se que os avanços mais importantes neste domínio ocorreram devido ao trabalho de investigação que tem vindo a ser realizado no Instituto Superior Técnico nos últimos anos, no qual se inclui a disponibilização de um programa para análise linear de estabilidade de perfis (GBTUL [40]), cujas características principais se indicam seguidamente: 20

41 Análises de Estabilidade com o Programa GBTUL A análise linear de estabilidade dos perfis faz-se muito facilmente, não exigindo ao utilizador um conhecimento aprofundado sobre a teoria que lhe está subjacente (Teoria Generalizada de Vigas). Efectivamente, o programa vai requerendo, de uma forma auto-explicativa e em quatro janelas (ver Figura 2.13), os vários dados necessários à realização das análises. Numa primeira janela, o utilizador (i) escolhe a geometria da secção do perfil a analisar, tendo por base um conjunto pré-estabelecido de secções (e.g., em C, em Z, em I, cantoneira), (ii) introduz as dimensões da secção do perfil (e.g., dimensões da alma, banzo, reforço, espessura), (iii) indica as propriedades elásticas do material (módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson), e (iv) define o número de nós intermédios em cada elemento de parede fina da secção, o qual está relacionado com o número de modos de deformação local a considerar na análise. Chama-se a atenção para o facto de ser necessário seleccionar uma secção em C e fornecer a dimensão do reforço com valor negativo quando se pretende analisar secções em hat, uma vez que estas não constam do conjunto de secções pré-definidas. Numa segunda janela, cuja visualização ocorre após a análise da secção pela GBT, o utilizador pode definir os modos de deformação da secção a serem considerados na análise do perfil por defeito, o programa considera todos os modos de deformação da secção definidos na janela anterior (em número equivalente à soma dos nós naturais, com os intermédios e com o dobro dos nós de extremidade dos elementos de parede fina da secção). 1ª Fase 2ª Fase 3ª Fase 4ª Fase Figura 2.13 Janelas das quatro fases da utilização do programa GBTUL. Numa terceira janela, o utilizador procede à (i) escolha do tipo de análise a efectuar (solução analítica ou numérica), (iii) indicação das condições de apoio do perfil (e.g., simplesmente 21

42 apoiado, bi-encastrado), (ii) definição do tipo de carregamento (e.g., compressão ou flexão pura, flexão desviada, flexão composta), (iii) escolha dos comprimentos dos perfis a analisar e (iv) definição do número de modos de bifurcação a determinar para cada comprimento. Note -se que a análise de perfis com as extremidades encastradas deve ser efectuada recorrendo à solução numérica do problema, admitindo o programa, por defeito, uma discretização do perfil em 10 elementos finitos de barra este número deverá ser aumentado para caracterizar convenientemente modos de instabilidade com um número considerável de semi-ondas. Finalmente, o utilizador tem a possibilidade de, numa quarta janela, visualizar (i) a(s) curva(s) que traduz(em) a variação do(s) esforço(s)/tensão(ões) de bifurcação com o comprimento dos perfis, assim como (ii) a natureza do correspondente modo de instabilidade, a qual é devidamente quantificada mediante a indicação da percentagem dos modos de deformação da GBT presentes no referido modo de instabilidade Método dos Elementos Finitos O método dos elementos finitos é, seguramente, o método numérico mais utilizado na resolução de problemas em engenharia. Esta afirmação é corroborada pela existência e comercialização, em variadíssimos domínios científicos e tecnológicos, de um elevado número de programas de cálculo automático. A larga maioria das análises actualmente efectuadas pela comunidade técnico-científica ligadas às estruturas metálicas é executada recorrendo a vários programas comerciais existentes no mercado (e.g., ABAQUS, ADINA, ANSYS). A sua simples, mas sólida, fundamentação matemática, versatilidade e eficácia, tornaram estes programas num precioso instrumento para a realização de qualquer tipo de análises, designadamente, quando é necessário considerar comportamentos fisicamente e geometricamente não lineares. A necessidade de considerar a deformabilidade local na análise dos elementos estruturais de parede fina torna indispensável a realização de análises envolvendo uma modelação bidimensional das paredes da secção, i.e., a discretização da superfície média dos perfis através de elementos finitos de casca geometricamente não lineares. Essa discretização traduz-se na subdivisão dos elementos estruturais num número finito de pequenos elementos, geralmente de forma rectangular, nos quais o campo de deslocamentos é aproximado através de uma combinação linear de funções de aproximação, multiplicadas pelos respectivos deslocamentos nodais (graus de liberdade do problema). Seguidamente, abordam-se, de forma sucinta, os aspectos mais relevantes que estão envolvidos na utilização do programa comercial de elementos finitos ABAQUS [32] para analisar o comportamento de pós-encurvadura de colunas. Modelação por Elementos Finitos de Casca (ABAQUS) Abordam-se, de forma sucinta, os aspectos mais relevantes que estão envolvidos na utilização do programa comercial de elementos finitos ABAQUS [32] para analisar o comportamento de pósencurvadura de colunas. Mais concretamente, refere-se o modo como (i) se efectua a discretização dos perfis, (ii) se modelam o comportamento material e as condições de apoio e carregamento, (iii) se 22

43 incluem imperfeições geométricas iniciais e (iv) se determinam (iv 1 ) as cargas críticas e os respectivos modos de instabilidade e (iv 2 ) as trajectórias de pós-encurvadura. (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) Discretização. Os planos médios dos perfis foram discretizado em elementos finitos S4 (terminologia do ABAQUS para elementos de casca isoparamétricos com 4 nós e rigidez de corte obtida por meio de uma regra de integração completa) refira-se que trabalhos anteriores [13] mostraram que estes elementos são adequados para levar a cabo esta tarefa. Com o objectivo de avaliar o nível de refinamento da malha de elementos finitos que conduz à obtenção de resultados precisos, mantendo o esforço computacional dentro de limites aceitáveis, efectuaram-se estudos de convergência preliminares. Esses estudos mostraram que, pelo menos no caso particular das colunas de secção em hat consideradas neste trabalho, (i 1 ) a relação entre o comprimento e a largura dos elementos deve estar compreendida entre 1 e 2 e (i 2 ) as dimensões dos mesmos não deve exceder os 10 mm. Condições de Apoio. Consideram-se as secções extremas de todos os perfis analisados encastradas. Estas condições foram modeladas através de placas rígidas (elementos R3D3 na designação do programa ABAQUS), ligadas rigidamente a cada secção extrema e tendo por nó de referência o centróide da secção. Carregamento. Aplicaram-se forças de compressão, equivalentes a uma distribuição uniforme de tensões normais, em cada um dos nós das secções extremas das colunas. Como o valor de referência dessas forças foi (com a espessura da parede), o qual corresponde a uma distribuição uniforme de tensões igual a, o valor fornecido pelo ABAQUS é numericamente idêntico à tensão média que actua na coluna (expressa em ). Naturalmente, o valor de carga actuante é obtido multiplicando a tensão pela área da secção dos perfis. Modelação do Comportamento Material. Admitiu-se que o material que constitui as colunas (aço estrutural) (iv 1 ) exibe um comportamento homogéneo e isotrópico e (iv 2 ) é modelado através de relações constitutivas elásticas lineares ou elásticas-perfeitamente plásticas. No segundo caso, adoptou-se o conhecido modelo de Prandtl-Reuss (teoria do escoamento plástico do tipo J 2 ), o qual combina o critério de cedência de Von-Mises com a regra de escoamento associada. Estas leis constitutivas encontram-se disponíveis na biblioteca de comportamentos materiais do programa ABAQUS, sendo apenas necessário fornecer os valores de módulo de Elasticidade, coeficiente de Poisson e tensão de cedência do aço. Imperfeições Geométricas Iniciais. A incorporação das imperfeições geométricas iniciais nas análises de pós-encurvadura foi efectuada adoptando uma imperfeição que é obtida por combinação linear dos modos de instabilidade do perfil [13], a qual é incluída nas análises através de um comando específico do programa ABAQUS. As configurações dos modos foram determinadas por meio de análises lineares de estabilidade prévias (utilizando uma discretização idêntica à das análises de pós-encurvadura), mas em que se alterou ligeiramente o valor da espessura da parede do perfil sempre que foi necessário separar os modos local e distorcional. Técnicas de Resolução Numérica. No ABAQUS, o problema de valores próprios associado às análises lineares de estabilidade é resolvido através da utilização do método da iteração por sub-espaços. Por sua vez, as trajectórias não lineares de equilíbrio (i.e., de pós-encurvadura), 23

44 tanto em regime elástico como em regime elasto-plástico, as quais relacionam a carga aplicada com o deslocamento de um ponto do perfil convenientemente escolhido, foram determinadas através da utilização de uma técnica incremental-iterativa que envolve o método de Newton-Raphson e a estratégia do comprimento de arco devida a Riks ambos são adoptados através de um comando específico do programa ABAQUS. 24

45 3 Análise Linear de Estabilidade 3.1 Introdução Um ponto importante no estudo do comportamento de pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio, quando afectados por fenómenos de interacção entre modos de instabilidade, consiste na identificação de geometrias/dimensões que conduzam a valores semelhantes para as tensões/cargas de bifurcação nos modos envolvidos, valores esses a determinar a partir da análise linear de estabilidade dos perfis. O valor da carga/tensão crítica de um perfil e a natureza do correspondente modo de instabilidade dependem (i) da geometria do perfil (comprimento e forma/dimensão da secção transversal), (ii) das condições de apoio (restrições aos deslocamentos existentes em secções interiores ou de extremidade), (iii) do carregamento (e.g., flexão, compressão, flexão composta) e (iv) das constantes elásticas do material. Como se mencionou anteriormente, existem vários métodos que permitem efectuar a análise linear de estabilidade de perfis de parede fina. Neste trabalho, optou-se por efectuar essa análise através da GBT, recorrendo para o efeito ao programa GBTUL [40]. Esta opção resulta não só da facilidade com que este programa permite (i) determinar o valor da carga/tensão crítica de um perfil e (ii) identificar a natureza do correspondente modo de instabilidade, mas fundamentalmente devido ao facto de os perfis analisados exibirem secções extremas encastradas. Como se mencionou no capítulo anterior, a análise de perfis com estas condições de apoio não pode ser efectuada com o recurso ao programa CUFSM, o qual apenas permite analisar elementos simplesmente apoiados. Neste capítulo, (i) apresenta-se a metodologia seguida para seleccionar as dimensões dos perfis com secção em hat com cargas de bifurcação nos modos local e distorcional de valor semelhante, (ii) procede-se à posterior validação dos resultados mediante a análise de estabilidade por elementos finitos de um dos perfis seleccionados, recorrendo ao programa ABAQUS, e, finalmente, (iii) identifica-se a geometria dos perfis seleccionados para efectuar o estudo paramétrico visando determinar a resistência última de colunas com secção em hat, afectadas por fenómenos de interacção local/distorcional. 3.2 Determinação da Geometria das Colunas A identificação de geometrias de perfis que conduzem a valores semelhantes das cargas/tensões de bifurcação dos modos local e distorcional foi efectuada com base uma estratégia de tentativa e erro definida pelas seguintes etapas: (i) Partindo inicialmente de secções habituais no âmbito dos perfis de aço enformados a frio, fazer a determinação das curvas que definem a evolução da carga crítica ( ) em função do 25

46 (ii) (iii) (iv) comprimento do elemento ( ), bem como a identificação da natureza dos correspondentes modos de instabilidade, recorrendo ao programa GBTUL. Mantendo a espessura t da secção constante, alterar uma das dimensões da secção, i.e., a dimensão da alma (b w ), do banzo (b f ) ou do reforço (b s ), sendo registadas as consequências dessa alteração em termos do andamento da curva. Nesse processo é necessário ter em conta que (ii 1 ) a instabilidade local resulta da encurvadura individual da placa mais susceptível de instabilizar, o que significa que a instabilidade é fortemente influenciada pela dimensão do maior elemento (usualmente a alma), e que (ii 2 ) a instabilidade distorcional envolve a rotação do conjunto banzo-reforço em torno da ligação banzo-alma, sendo a sua carga crítica essencialmente influenciada pelas dimensões do banzo e do reforço. Verificar se a alteração permitiu obter um perfil (associado a um determinado comprimento) caracterizado pela semelhança entre as cargas de bifurcação nos modos local e distorcional. Nesta verificação é determinante analisar a natureza dos modos de instabilidade, sendo essa natureza indicada automaticamente pelo programa (percentagem de cada modo de deformação da GBT presente na configuração do modo de instabilidade do perfil). Se não se verificar a semelhança entre as cargas de bifurcação local e distorcional, proceder a uma nova alteração da dimensão de um dos elementos da secção, não necessariamente o mesmo, de modo a atingir o objectivo inicial. Apresenta-se seguidamente, a título ilustrativo, o processo que permitiu determinar a geometria de uma das colunas encastradas com secção em hat consideradas no presente estudo Exemplo Ilustrativo A identificação da geometria dos perfis inicia-se tendo por base secções com dimensões habituais no âmbito dos perfis de aço enformados a frio ( e ). Neste caso, definiu-se uma secção (H 6A ) caracterizada pelas seguintes dimensões:,, e. Nas Figuras 3.1(a)-(b) apresentam-se as curvas de estabilidade das colunas H 6A e H 6 (esta última apenas difere da primeira na dimensão da alma ), quando se adoptam duas hipóteses cinemáticas distintas na análise de estabilidade dos perfis: (i) quando se consideram todos os modos de deformação da secção (curva crítica) ou (ii) apenas o modo distorcional simétrico. Por sua vez, os gráficos das Figura 3.2(a)-(b) permitem observar a evolução, em função do comprimento, dos factores de participação dos modos de deformação da GBT no modo crítico de instabilidade das colunas H 6A e H 6, respectivamente note-se que na identificação dos modos de deformação, se adoptou a seguinte legenda: L para modos locais, D para modo distorcional simétrico, F para modo de flexão na maior inércia, T para modo de torção, e, finalmente D para modo distorcional antisimétrico. A observação destes resultados permite concluir o seguinte: (i) A carga crítica ( ) de ambas as colunas diminui monotonicamente com o comprimento ( ). Contudo, existem diferenças significativas entre as curvas das colunas H 6A e H 6, nomeadamente no que diz respeito à instabilidade distorcional. 26

47 (ii) (iii) Efectivamente, e ao contrário da coluna H 6, o modo distorcional simétrico não surge associado ao modo crítico das colunas H 6A. De facto, (ii 1 ) para comprimentos reduzidos-aintermédios ( ) a instabilidade destas colunas ocorre nos modos locais (L), (ii 2 ) para comprimentos intermédios ( ), num modo que envolve os modos global de flexão-torção (F+T) e distorcional anti-simétrico (D ), e (ii 3 ) para comprimentos longos ( ) num modo global de flexão-torção (F+T). Por outro lado, em virtude da curva D estar claramente afastada da curva crítica, pode concluirse que a geometria das colunas H 6A não é apropriada para estudar fenómenos de interacção local/distorcional. 140 P cr (kn) 140 P cr (kn) 120 Todos os modos Modo distorciona - D 120 Todos os modos Modo distorcional - D L (cm) Figura 3.1 Curvas de estabilidade das colunas (a) H 6A e (b) H 6. L (cm) % D' % D' F F L L D D T T L (cm) L (cm) Figura 3.2 Factores de participação modal no modo de instabilidade das colunas (a) H 6A e (b) H 6. 27

48 (iv) (v) (vi) A identificação de uma geometria mais adequada teve por base a necessidade de fazer subir a curva crítica, o que pode ser conseguido diminuindo a dimensão da alma por um processo de tentativa e erro, chegou-se às dimensões da secção H 6, com uma alma de. Efectivamente, as colunas com esta secção transversal instabilizam (v 1 ) para comprimentos reduzidos ( ), numa combinação de modos locais (L), (v 2 ) para comprimentos intermédios ( ), no modo distorcional (D), (v 3 ) para comprimentos intermédios-a-longos ( ), a coluna instabiliza num modo que envolve os modos global de flexão-torção (F+T) e distorcional anti-simétrico (D ), e (v 4 ) para comprimentos longos ( ), num modo global de flexão-torção (F+T). Finalmente, as Figuras 3.1(b) e 3.2(b) permitem concluir que a coluna H 6 com um comprimento exibe cargas de bifurcação nos modos local e distorcional de valor semelhante ( ), sendo portanto apropriada para ser incluída no estudo paramétrico visando determinar a resistência última de colunas com secção em hat afectadas por fenómenos de interacção local/distorcional Análise por Elementos Finitos da Coluna Seleccionada A análise linear de estabilidade por elementos finitos da coluna seleccionada (perfil H 6 ), possui vários objectivos, nomeadamente, (i) confirmar a susceptibilidade deste perfil relativamente a fenómenos de interacção modal local/distorcional, (ii) determinar o valor da carga crítica por elementos finitos (a análise por métodos diferentes envolve sempre pequenas diferenças nos valores), e (iii) obter a configuração deformada dos modos local e distorcional, necessárias para definir o conjunto de imperfeições geométricas iniciais admitidas no estudo do comportamento de pós-encurvadura deste perfil. A curva representada na Figura 3.3(a) mostra a variação da carga crítica ( ) em função do comprimento ( ) da coluna H 6, curva essa obtida com o programa ABAQUS, adoptando para o perfil a modelação por elementos finitos mencionada no capítulo anterior. Por sua vez, na Figura 3.3(b) apresenta-se a configuração de um modo crítico de instabilidade da coluna para o comprimento. A observação destes resultados permite retirar as seguintes conclusões: (i) (ii) A carga crítica diminui monotonicamente com o comprimento, exibindo o respectivo modo crítico a típica configuração relativa a colunas bi-encastradas: uma ou mais semi-ondas centrais e dois quartos-de-onda exteriores que, por sua vez, garantem tangentes nulas nas extremidades do perfil. A curva exibe três zonas distintas, associadas à instabilidade em modos que exibem na zona central um número variável de semi-ondas: (ii 1 ) modos locais com 1-17 semi-ondas ( ), (ii 2 ) modos distorcionais com 3-5 semi-ondas ( ) e (ii 3 ) modos globais com apenas uma semi-onda ( ) neste último caso, a instabilidade ocorre, numa primeira fase, por flexão-torção e, posteriormente, por flexão em torno do eixo de menor inércia (esta última associada a comprimentos superiores aos indicados na figura). 28

49 (iii) A coluna com instabiliza para num modo acoplado que combina os modos local e 100 distorcional, com 17 e 3 semi-ondas, respectivamente, o que faz com que o + comportamento de pós-encurvadura desta coluna seja influenciado por fenómenos de interacção modal envolvendo estes dois modos de instabilidade. P cr (kn) L = 159 cm P cr = 90,1 kn L (cm) (a) (b) Figura 3.3 Análise de estabilidade da coluna seleccionada. (a) Curva e (b) configuração deformada do modo de instabilidade do perfil H 6 ( ). 3.3 Geometria das Colunas Seleccionadas Foram considerados dois critérios de selecção dos perfis a incluir no estudo sobre a resistência última de colunas de aço ( e ) afectadas por fenómenos de interacção local/distorcional. A primeira fase consistiu em identificar perfis cujas tensões críticas nos modos local ( ) e distorcional ( ) fossem semelhantes estas colunas, em número de seis, foram designadas por H 1 -H 6. Numa segunda fase, determinou-se um segundo conjunto de colunas, obtido a partir das anteriores por alteração de uma das dimensões da secção transversal (alma, banzos ou reforços), sendo agora imposta a condição de exibirem valores de e semelhantes, mas não coincidentes ( ) para cada um dos perfis H 1 -H 6, foram consideradas mais duas geometrias (e.g., no caso do perfil H 6, deu origem aos perfis H 61 e H 62 ), o que significa que se seleccionaram 18 colunas. Na Tabela A.1 indicam-se as dimensões de todos os perfis seleccionados (num total de 18 geometrias), assim como os respectivos valores das tensões críticas dos modos local e distorcional. Finalmente, chama-se a atenção para o facto de as colunas seleccionadas exibirem dimensões (secção transversal e comprimento) semelhantes às consideradas em outros estudos envolvendo colunas encastradas, mas de secção em C [33, 34]. 29

50 30

51 4 Análise de Pós-Encurvadura 4.1 Introdução A avaliação do desempenho das actuais regras de dimensionamento para estimar a resistência última de colunas de aço enformado a frio, quando afectadas por fenómenos de interacção local/distorcional, requer (i) um conhecimento profundo sobre o efeito da interacção no comportamento das colunas e (ii) a obtenção de um conjunto alargado de valores de resistências últimas de perfis caracterizados pela semelhança entre as tensões críticas dos modos local e distorcional. O conhecimento aprofundado sobre os comportamentos de pós-encurvadura e de resistência última, é obtido recorrendo a análises de pós-encurvadura complexas, que envolvem a resolução de sistemas de equações de equilíbrio não lineares que regem o comportamento do elemento estrutural, com o comportamento material do aço a ser modelado através de leis constitutivas elásticas e elasto-plásticas. Como foi referido anteriormente, o Método dos Elementos Finitos é particularmente adequado para este tipo de estudos, tendo sido adoptada uma modelação dos perfis com as características descritas no segundo capitulo deste trabalho. Contudo, ao analisar o comportamento de pós-encurvadura de perfis afectados por interacção modal, as imperfeições a incluir na análise deverão tomar em consideração os vários modos de instabilidade envolvidos. Além disso, a determinação numérica das várias soluções de equilíbrio torna-se difícil, designadamente por as trajectórias de equilíbrio poderem exibir pontos limites elásticos logo no início das curvas. O presente capítulo encontra-se organizado da seguinte forma. Numa primeira fase, explica-se o modo como se obteve o conjunto de imperfeições geométricas iniciais a considerar nas análises de pós-encurvadura. Posteriormente, investiga-se o comportamento elástico e elasto-plástico de uma coluna encastrada com secção hat afectada por interacção local/distorcional (a coluna escolhida corresponde ao perfil H 6, cuja geometria foi identificada no capítulo anterior). O estudo pretende, nomeadamente, (i) identificar a imperfeição geométrica inicial mais desfavorável (a que conduz a uma menor resistência pós-crítica) e (ii) avaliar a influência da tensão de cedência do aço na resistência última e no modo de colapso das colunas. O capítulo termina com a apresentação dos resultados de um estudo paramétrico, onde se identifica a resistência última das colunas determinadas no capítulo anterior considerando vários valores de tensão de cedência para o aço. 4.2 Imperfeições Geométricas Iniciais As imperfeições geométricas iniciais desempenham um papel determinante no estudo do comportamento de pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio, podendo influenciar fortemente o comportamento e a resistência última dos perfis em análise. A incorporação habitual de 31

52 imperfeições com a configuração do modo crítico (conduz a valores inferiores de resistência) deixa de ser bem definida quando é idêntico o valor da carga/tensão de bifurcação associado a dois ou mais modos de instabilidade. Nesses casos, torna-se necessário determinar trajectórias de equilíbrio de barras com imperfeições iniciais que (i) cubram um vasto leque de possibilidades e (ii) possam ser comparadas no sentido de identificar qual é a mais desfavorável [13]. Seguidamente, apresenta-se a metodologia considerada neste trabalho, a qual tem em conta o facto de o fenómeno de interacção modal em estudo envolver os modos local e distorcional com um número impar de semi-ondas no caso da coluna H 6, 17 e 3 semi-ondas, respectivamente. (i) (ii) (iii) (iv) Determinar as configurações deformadas dos modos de instabilidade puros 1, normalizados por forma a exibirem, na secção média da coluna, deslocamentos máximos de valor unitário: (i 1 ) no modo local, o deslocamento de flexão a meio da alma ( ), e (i 2 ) no modo distorcional, o deslocamento vertical da ligação banzo-reforço ( ). Chama-se a atenção para o facto de tais deslocamentos corresponderem aos valores máximos dos deslocamentos das configurações deformadas de cada um dos modos. Escalar os modos puros de forma a obter as seguintes amplitudes para as imperfeições locais e distorcionais: (no caso da coluna H 6, ). Considerar imperfeições geométricas obtidas por combinação dos modos puros multiplicados por determinados factores, designados por factores de participação modal (neste caso, e os quais indicam a contribuição de cada modo puro para a configuração inicial do perfil. A configuração de uma dada imperfeição geométrica inicial obtém-se combinando linearmente os modos de instabilidade escalados, satisfazendo a condição ( ) ( ). (4.1) Para uma melhor percepção das configurações das imperfeições iniciais consideradas neste estudo, observe-se o círculo de raio unitário representado na Figura 4.1(a). Cada configuração geométrica das imperfeições é identificada no plano a partir de um ângulo, medido a partir do eixo horizontal, o qual define os valores de e, através das expressões. (4.2) A Figura 4.1(b) mostra as configurações da coluna H 6 com configurações distorcionais (3 semi-ondas) e locais (17 semi-ondas) puras, em que (i) e correspondem a configurações distorcionais associadas, respectivamente, ao fecho e à abertura da secção de meio vão do perfil, e (ii) e correspondem a configurações locais associadas a movimentos de flexão da alma, respectivamente, para o exterior e para o interior da secção. 1 Nos casos em que o modo crítico fornecido pelo ABAQUS corresponde a um modo acoplado, os modos puros foram obtidos através da análise linear de estabilidade de um perfil com igual geometria, mas com uma espessura ligeiramente alterada em relação à espessura do elemento com interacção modal. 32

53 v L.0 w L.0 =0.1t C L,0 1 w D.0 v D.0 =0.1t w D.0 v D.0 =-0.1t 0º 0 C D,0 (a) 90º 0 180º 270º 270 v L.0 w L.0 =-0.1t 1 0 w D.0 0º 90º C D.0 v L.0 w L.0 =-0.1t º (b) 270º Figura 4.1 Imperfeições iniciais: (a) representação no plano C L,0-C D,0 e (b) configurações para e (coluna H 6). 4.3 Pós-Encurvadura em Regime Elástico No presente subcapítulo estuda-se o comportamento de pós-encurvadura em regime elástico da coluna H 6, encastrada e com as dimensões indicadas no capítulo anterior. Analisa-se o comportamento elástico de perfis exibindo diferentes imperfeições iniciais caracterizadas por ângulos compreendidos entre e, com intervalos de entre si. O estudo será efectuado mediante a análise das trajectórias de equilíbrio (curvas que traduzem a evolução de um deslocamento com carga aplicada), as quais foram escolhidas de modo a ilustrar convenientemente o comportamento dos perfis no presente estudo, escolheram-se os deslocamentos e, referidos anteriormente, os quais possuem um significado relevante para cada modo isolado: correspondem aos deslocamentos máximos das configurações deformadas dos modos distorcional e local, respectivamente. Finalmente, refira-se que se apresentam os resultados das análises não lineares de estabilidade das várias colunas na seguinte sequência. Inicialmente, apresentam-se as trajectórias de equilíbrio de colunas que exibem uma imperfeição inicial com a configuração de um modo puro, ou seja, trajectórias de equilíbrio de perfis com imperfeições (i) distorcionais ( e ) e (ii) locais ( e ). Posteriormente, analisam-se as trajectórias de equilíbrio de colunas que apresentam uma imperfeição inicial que combina a configuração dos dois modos, sendo os resultados apresentados por quadrante, i.e., agrupados da seguinte forma: (i), (ii), (iii) e (iv). 33

54 Imperfeições iniciais e As Figuras 4.2(a)-(b) apresentam as trajectórias de equilíbrio e para colunas com imperfeições iniciais com a configuração do modo distorcional, com a secção de meio vão a fechar ( ) e a abrir ( ) note-se que é o deslocamento vertical da ligação banzo-reforço na secção média da coluna, w é o deslocamento de flexão a meio da alma da referida secção, e que, para a coluna H 6, a espessura das paredes e a carga crítica são e, respectivamente. As Figuras 4.3(a)-(b) mostram as configurações deformadas para que tendem as colunas em fases avançadas de pós-encurvadura. A observação das figuras permite retirar as seguintes conclusões: 1,4 P/P cr 1,4 P/P cr θ=180º 1,2 θ=0º θ=180º 1,2 θ=0 1 1 v<0 0,8 v>0 w<0 0,8 w>0 0, v/t 0,6-5 -2,5 0 2,5 5 w/t Figura 4.2 Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para colunas com imperfeições iniciais e. (i) As colunas apresentam alguma resistência pós-critica e uma clara assimetria de comportamento de pós-encurvadura, com a coluna a exibir uma rigidez um pouco superior em relação à coluna. Apesar de estes resultados confirmarem a assimetria detectada em estudos recentes (e.g., [8, 10]), realça-se o facto de a menor resistência póscrítica da coluna com secção em hat estar associada ao fecho da secção de meio vão, contrariamente ao observado em colunas com secção em C [13, 14] nestas colunas a menor rigidez está associada à abertura da secção de meio vão. Camotim et al. [8, 10] demonstraram que, em colunas com secção em C, a distribuição de tensões nos reforços apresentava uma forte distribuição linear com o valor máximo a surgir na extremidade livre do reforço. No entanto, a natureza destas tensões é oposta nas colunas exibindo abertura ou fecho da secção média: compressão no primeiro caso e tração no segundo. Enquanto que as tensões de compressão no banzo reduzem a resistência, as tensões de tração são responsáveis por um incremento de resistência pós-crítica das colunas, o que justifica claramente a assimetria observada no comportamento de pós-encurvadura das duas colunas. 34

55 (ii) Apesar de as colunas exibirem imperfeições iniciais com a configuração do modo distorcional, ambas as colunas evoluem para configurações deformadas que combinam deformações distorcionais com 3 semi-ondas (claramente preponderantes) com deformações locais (número de semi-ondas difícil de precisar, mas elevado), o que é uma clara evidência da ocorrência de um fenómeno de interacção local/distorcional. (iii) Realça-se ainda o facto de, em estádios avançados da pós-encurvadura ( ) da coluna, ocorrer uma gradual inversão na tendência dos deslocamentos de flexão da alma, visível no gráfico. Este fenómeno contraria os resultados obtidos num estudo semelhante envolvendo colunas com secção em C [33]. (a) Figura Configuração deformada das colunas (a) e (b) para. (b) (i) Com o intuito de esclarecer o comportamento da coluna, nomeadamente a inversão do deslocamento, investiga-se seguidamente a evolução da configuração deformada da alma das colunas (ver Figura 4.4(a)) e (ver Figura 4.5). Por sua vez, na Figura 4.4(b) exibe-se a deformada longitudinal da alma associada (i) à coluna, para, (ii) aos modos local e distorcional puros (amplitudes ajustadas à deformada da coluna ) nas duas figuras, representam-se como positivos os deslocamentos de flexão da alma para o interior da secção. A observação destes resultados permite retirar as seguintes conclusões: (ii) Para valores do parâmetro de carga inferiores a, a configuração deformada da alma da coluna corresponde praticamente à configuração do modo distorcional (3 semi-ondas). (iii) Para valores ligeiramente superiores a, essa configuração altera-se, passando claramente a incluir também uma componente local com 17 semi-ondas, o que evidencia a ocorrência de fenómenos de interacção local/distorcional. (iv) No entanto, para estádios avançados da trajectória de pós-encurvadura ( ) observa-se inesperadamente um segundo fenómeno: a semi-onda distorcional central absorve 5 semi-ondas locais, originando uma semi-onda com um comprimento e uma amplitude bastante superior às restantes. A ocorrência deste novo fenómeno deve-se a uma conjugação de vários factores, designadamente ao facto de (iii 1 ) a coluna H 6 instabilizar em modos com um número elevado de semi-ondas, nomeadamente o local (17 semi-ondas), (iii 2 ) o modo local ter relevância no comportamento de colunas afectadas por interacção local/distorcional (ver [33, 34]), (iii 3 ) o efeito das restrições nas extremidades do perfil (rigidificando as secções extremas) o qual não se faz sentir na zona central devido ao comprimento significativo da coluna, e (iii 4 ) a zona central se encontrar muito enfraquecida devido à interacção. 35

56 2 w/t P/P cr =0, X [mm] P/P cr =1,04 P/P cr =1,12 P/P cr =1, (a) w/t X [mm] Modo Local -4 P/P cr =1,25 (b) Modo Distorcional Figura 4.4 (a) Evolução do deslocamento ao longo da alma da colunas (quatro valores do parâmetro de carga) e (b) configuração deformada da alma (b 1) da coluna ( ) e (b 2) associada aos modos local e distorcional. (v) O comportamento descrito para a coluna é, em muitos aspectos, semelhante ao da coluna. Contudo, observam-se algumas diferenças importantes, nomeadamente o facto de (iv 1 ) o fenómeno ocorrer para valores superiores do parâmetro de carga ( contra na coluna ) e de (iv 2 ) depois da sua ocorrência, se verificar uma ligeira alteração na tendência dos deslocamentos da alma na secção de meio- vão: após a alteração do número de semi-ondas, o deslocamento sofre uma pequena redução, apesar de continuarem a evoluir positivamente (i.e., a alma flecte para o interior da secção). (vi) Por fim, chama-se a atenção para o facto de as configurações deformadas para as quais evoluem as colunas e não corresponderem a uma combinação dos dois modos críticos puros (ver Figura 4.4(b)). Este facto tem consequências importantes, pois significa que, apesar da evidência da interacção local/distorcional, não é possível caracterizar a deformada da coluna na pós-encurvadura como correspondendo à de um modo acoplado. 36

57 2 w/t P/P cr =1,33 P/P cr =1,05 P/P cr =0, X [mm] P/P cr =1, Figura 4.5 Evolução do deslocamento ao longo da alma da coluna Imperfeições iniciais e As Figuras 4.6(a)-(b) apresentam as trajectórias de pós-encurvadura e relativas às colunas com imperfeição inicial puramente local com 17 semi-ondas. Por sua vez, a Figuras 4.7(a)-(b) mostra as deformadas limite para as quais evoluem as colunas e, respectivamente. Finalmente, a Figuras 4.8(a)-(b) mostra a evolução da configuração deformada da alma destas colunas para quatro valores do parâmetro de carga superiores ao crítico. A análise destas figuras permite retirar as seguintes conclusões: 1,4 P/P cr 1,4 P/P cr θ=270º θ=90º 1,2 θ=270º θ=90º 1,2 1 1 v<0 v>0 w<0 w>0 0,8 0,8 0, Figura 4.6 Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para colunas com imperfeições iniciais e. (i) Apesar de as colunas e estarem associadas a valores nulos de, em ambas ocorrem, para, movimentos da ligação banzo-reforço para o interior da secção (ver Figura 4.6(a)). Recorde-se que, na configuração inicial, este deslocamento é praticamente nulo local/distorcional. v/t (a) 0,6-5 -2,5 0 2,5 5 (b) w/t, o que comprova mais uma vez a ocorrência de interacção 37

58 (a) (b) Figura 4.7 Configuração deformada das colunas (a) e (b) ( ). (ii) O aumento brusco do deslocamento (entrada do modo distorcional ver Figuras 4.6(b) e 4.8(b)) está associado a uma alteração do declive do deslocamento de flexão da alma, sendo que na trajectória da coluna ocorre mesmo uma alteração de sentido desse deslocamento. Estas alterações do declive das trajectórias mostram claramente o enfraquecimento que resulta da interacção local/distorcional. 2 w/t P/P cr =1, X [mm] P/P cr =1,06 P/P cr =1,15 P/P cr =1, P/P cr =1,02 (a) w/t X [mm] P/P cr =1,06-4 P/P cr =1,15 P/P cr =1,26 (b) Figura 4.8 Evolução do deslocamento ao longo da alma das colunas (a) e (b) (iii) Finalmente, chama-se a atenção para o facto de, para as colunas e, não se observarem os fenómenos que envolvem a alteração do número de semi-ondas da configuração deformada da alma, permanecendo a alma sempre com 17 semi-ondas (ver Figura 4.8)). Este facto é importante, pois significa que, ao contrário das colunas com 38

59 imperfeição inicial puramente distorcional ( e ), é agora possível caracterizar a deformada da coluna na pós-encurvadura como correspondendo à de um modo acoplado. Imperfeições iniciais As Figuras 4.9(a)-(b) apresentam as trajectórias de equilíbrio e associadas a colunas com imperfeições geométricas iniciais caracterizadas pelos ângulos e. Por sua vez, as Figuras 4.10(a)-(b) mostram a evolução da configuração deformada da alma para quatro valores do parâmetro de carga (superiores a ) para as colunas e (representativa do comportamento neste quadrante). A observação destas figuras permite retirar as seguintes conclusões: (i) No início da pós-encurvadura todas as configurações deformadas das colunas evidenciam a presença das componentes distorcional ( ) e local ( ) para colunas com imperfeições iniciais com componentes locais e distorcionais tal presença era esperada. Além disso, observe-se que, independentemente do valor da componente distorcional na imperfeição inicial, todas as colunas evoluem para configurações envolvendo o fecho da secção de meio-vão nenhuma das colunas inverte o sentido da componente distorcional presente na trajectória inicial. 1,4 P/P cr 1,4 P/P cr 1,2 1,2 θ=15º θ=0º θ=15º θ=0º 1 1 v<0 0,8 v>0 θ=90º θ=75º θ=60º θ=45º θ=30º 0,8 w<0 w>0 θ=90º θ=75º θ=60º θ=45º θ=30º 0, v/t (a) 0,6-5 -2,5 0 2,5 5 (b) w/t Figura 4.9 Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para colunas com imperfeições iniciais. (ii) As trajectórias de equilíbrio agrupam-se claramente em 2 categorias, associadas a comportamentos de pós-encurvadura distintos: (ii 1 ) trajectórias e, caracterizadas por imperfeições predominantemente distorcionais com fecho da secção do meio vão, e (ii 2 ) trajectórias, colunas com imperfeições com uma componente local mais dominante, associada à flexão da alma para o exterior da secção. 39

60 (iii) As colunas e apresentam uma rigidez pós-crítica inferior às restantes colunas, exibindo ambas o fenómeno descrito anteriormente, o qual está associado à redução do número de semi-ondas na alma. Efectivamente, como se pode observar na Figura 4.10(a), para, as 5 semi-ondas locais na zona central são absorvidas pela semi-onda distorcional, exibindo esta um comprimento e amplitude superior às restantes. Consequentemente, as configurações deformadas destas colunas não correspondem a uma combinação linear dos modos críticos. 2 w/t P/P cr =1, X [mm] P/P cr =1,05 P/P cr =1,12 P/P cr =1, (a) w/t P/P cr =0, X [mm] -4 P/P cr =1,16 P/P cr =1,36-6 P/P cr =1,46 (b) Figura 4.10 Evolução do deslocamento ao longo da alma das colunas (a) e (b) (iv) Por sua vez, as trajectórias das colunas com imperfeições caracterizadas por agrupam-se em curvas, às quais corresponde (iii 1 ) um comportamento um pouco mais rígido do que o relativo às colunas e, e (iii 2 ) uma configuração deformada que combina as configurações dos modos distorcional (3 semi-ondas) e local (17 semi-ondas), mas com características diferentes das restantes colunas deste quadrante. Efectivamente, as almas destas colunas exibem um número de semi-ondas sempre igual às do modo local (17), o que significa que a componente local da imperfeição inicial possui força suficiente para se sobrepor à componente distorcional, impedindo assim a alteração do número de semi-ondas. 40

61 Imperfeições iniciais Nas Figuras 4.11(a)-(b) representam-se as trajectórias de equilíbrio das colunas pertencentes ao segundo quadrante de, i.e., colunas cuja imperfeição geométrica inicial é caracterizada pelos valores de e. Apresenta-se na Figura 4.12 a evolução dos deslocamentos ao longo da alma da coluna (representativa do comportamento dominante do quadrante) para quatro valores do parâmetro de carga superiores ao crítico. A observação destas figuras permite retirar as seguintes conclusões: (i) A quase totalidade das trajectórias de pós-encurvadura agrupa-se em curvas associadas a um comportamento dominante neste quadrante apenas a coluna evolui claramente de forma distinta, tendo já sido analisado o comportamento desta coluna. 1,4 P/P cr 1,4 P/P cr θ=105º θ=120º θ=135º θ=150º θ=165º θ=180º 1,2 1 0,8 θ=90º θ=105º θ=120º θ=135º θ=150º θ=165º θ=180º v<0 v>0 w<0 w>0 1,2 1 0,8 θ=90º 0, v/t (a) 0,6-5 -2,5 0 2,5 5 (b) w/t Figura 4.11 Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para colunas com imperfeições iniciais. (ii) No início da pós-encurvadura, todas as configurações deformadas das colunas evidenciam a presença das componentes distorcional (D) e local (L) tal presença era esperada pois, com excepção da coluna, todas as outras exibem imperfeições iniciais com componentes locais e distorcionais. Além disso, observe-se que, independentemente do valor da componente distorcional presente na configuração inicial, todas as colunas evoluem para configurações envolvendo a abertura da secção de meio vão mais uma vez, nenhuma coluna inverte o sentido da componente distorcional presente na imperfeição inicial. (iii) As colunas com imperfeições caracterizadas por são afectadas por um fenómeno com características semelhantes às que foram descritas para a coluna. Efectivamente, para valores de, observa-se uma redução do número de semiondas na alma da coluna, mas essa redução tem agora características diferentes das anteriores. De facto, neste caso (iii 1 ) apenas são 3 as semi-ondas locais que na zona central 41

62 são absorvidas pela semi-onda distorcional (redução de 17 para 15), e (iii 2 ) as semi-ondas locais nas extremidades exibem amplitudes semelhantes da semi-onda central. 2 w/t P/P cr =1, X [mm] P/P cr =1,11 P/P cr =1,25 P/P cr =1,33-4 Figura 4.12 Evolução do deslocamento ao longo da alma da coluna Imperfeições iniciais As trajectórias de equilíbrio que relacionam e das colunas com imperfeições iniciais caracterizadas por valores de encontram-se representadas nas Figuras 4.13(a)-(b). Por sua vez, as Figuras 4.14(a)-(b) mostram a evolução dos deslocamentos ao longo da alma das colunas e para valores de carga superiores ao crítico as duas colunas foram escolhidas por serem representativas dos comportamentos deste quadrante. A análise destas figuras permite retirar as seguintes conclusões: 1,4 P/P cr 1,4 P/P cr θ=195º θ=180º 1,2 θ=270º θ=255º θ=240º θ=225º θ=210º θ=195º θ=180º 1,2 θ=270º θ=255º θ=240º θ=225º θ=210º 1 1 0,8 0,8 v<0 v>0 w<0 w>0 0, (a) v/t 0,6-5 -2,5 0 2,5 5 (b) w/t Figura 4.13 Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para as colunas com imperfeições iniciais. (i) Analogamente ao que se observa no segundo quadrante ( ), a coluna com imperfeição local pura ( ) exibe um comportamento claramente diferente das restantes, tendo esse comportamento sido analisado anteriormente. 42

63 (ii) As restantes trajectórias de equilíbrio evoluem para dois grupos distintos. O primeiro, engloba as colunas e (colunas com imperfeições iniciais com componente distorcional dominante), enquanto o segundo reúne as restantes quatro colunas. 2 P/P cr =1,05 w/t P/P cr =0, X [mm] P/P cr =1,33 P/P cr =1, (a) w/t P/P cr =0, X [mm] -2 P/P cr =1,29 P/P cr =1,38 P/P cr =1,06-4 (b) Figura 4.14 Evolução do deslocamento ao longo da alma das colunas (a) e (b) (iii) As colunas com imperfeições definidas por e exibem uma rigidez póscrítica inferior à das colunas caracterizadas por. A menor rigidez das primeiras explica, em grande medida, o facto de estas voltarem a ser afectadas por um fenómeno envolvendo a alma das colunas. De facto, para observa-se uma redução do número de semi-ondas na alma, com a semi-onda distorcional (dominante) a absorver 5 semi-ondas locais na zona de meio vão. Chama-se a atenção para o facto de (iii 1 ) o comportamento descrito ser semelhante ao das colunas e (imperfeições simétricas às do actual quadrante), e (iii 2 ) a configuração de pós-encurvadura destas colunas não corresponder a uma soma da contribuição dos modos críticos. (iv) As colunas caracterizadas por evoluem para configurações deformadas que resultam da combinação dos modos distorcional (3 semi-ondas) e local (17 semiondas), não ocorrendo o fenómeno referido no ponto anterior devido à forte componente local das imperfeições iniciais destes perfis. 43

64 Imperfeições iniciais Finalmente, as Figuras 4.15(a)-(b) mostram as trajectórias de equilíbrio das colunas caracterizadas poe um ângulo pertencente ao quarto quadrante do plano, apresentando a Figura 4.16 a evolução da configuração deformada da coluna ao longo da alma, para vários valores do parâmetro da carga. Através da observação destas figuras é possível retirar as seguintes conclusões: (i) A maioria das trajectórias de equilíbrio ( ) evolui para curvas associadas a uma configuração deformada pós-crítica que combina, numa fase inicial, o modo distorcional, com 3 semi-ondas (predominante), com o modo local, com 17 semi-ondas, e que numa fase posterior ( ), é afectada por um fenómeno que envolve a redução do número de semi-ondas na alma das colunas (de 17 para 15). 1,4 P/P cr 1,4 P/P cr θ=270º 1,2 1 θ=0º θ=285º θ=300º θ=315º θ=330º θ=345º 1,2 1 θ=270º θ=285º θ=300º θ=315º θ=330º θ=345º θ=0º v<0 v>0 w<0 w>0 0,8 0,8 Figura 4.15 Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para colunas com imperfeições iniciais. (ii) Por sua vez, as colunas com imperfeições caracterizadas pelos valores extremos de neste (iii) 0,6-5 -2,5 0 2,5 5 w/t quadrante ( e ) exibem um comportamento distinto, o qual já foi referido anteriormente, mas cujas características se recordam: (ii 1 ) a coluna evolui para uma combinação deformada sem alteração do número de semi ondas na alma, enquanto (ii 2 ) a coluna, evolui para uma configuração com um número de semi-ondas na alma de 13 (inferior à redução mais comum neste quadrante). Em face dos comportamentos descritos nos itens anteriores, compreende-se que (iii 1 ) seja a coluna caracterizada por, a que exibe uma rigidez pós-crítica inferior neste quadrante (a maior redução do número de semi-ondas na alma significa um maior enfraquecimento da zona central desta coluna relativamente às restantes), e que (iii 2 ) apenas a configuração de pós-encurvadura da coluna (a) 0, corresponde a uma combinação dos modos críticos (nas restantes verificou-se uma alteração do número de semi-ondas na alma das colunas). (b) v/t 44

65 2 w/t P/P cr =1, X [mm] -2-4 P/P cr =1,14 P/P cr =1,18 P/P cr =1,06 Figura 4.16 Evolução do deslocamento ao longo da alma da coluna Factores de participação modal Como ficou patente na análise dos resultados anteriores, todas as colunas exibem uma configuração deformada que, no inicio da pós-encurvadura, evidência claramente a presença dos modos distorcional (3 semi-ondas) e local (17 semi-ondas). Contudo, um conjunto significativo dessas colunas acaba por posteriormente ser afectado por um fenómeno de interacção com características inesperadas, o qual se localiza na zona central da coluna e envolve a alteração do número de semiondas na alma dos perfis. Efectivamente, recorde-se que: (i) Nas colunas pertencentes ao segundo e quarto quadrantes, a semi-onda distorcional central tende a absorver 3 semi-ondas locais, o que significa que, numa fase avançada da pósencurvadura, se observa uma redução de 17 para 15 semi-ondas na alma. Chama-se a atenção para o facto de as imperfeições iniciais destas colunas combinarem o modo local e o modo distorcional com a particularidade da configuração de cada modo envolver a flexão da alma na secção média da coluna sentidos opostos. (ii) Por sua vez, as colunas com imperfeição e exibem um fenómeno com características semelhantes, mas em que a forte componente distorcional origina a absorção por parte da semi-onda distorcional central de 5 semi-ondas locais. Note-se que, nestes casos, a imperfeição inicial destas colunas (ii 1 ) é predominantemente distorcional e (ii 2 ) resulta da combinação de configurações em que os deslocamentos da alma se somam (possuem o mesmo sentido), o que relativamente às colunas pertencentes ao segundo e quarto quadrantes justifica o maior número de semi-ondas envolvido no fenómeno de interacção, localizado na zona central da alma. (iii) Não são afectadas pelo fenómeno de interacção localizado na alma, as colunas exibidas na Figura 4.17, pertencentes ao primeiro e terceiro quadrantes, caracterizadas por imperfeições iniciais que combinam configurações predominantemente locais com distorcionais, devendo estas (iii 1 ) exibir uma componente inferior a e (iii 2 ) estar associadas à flexão da alma em sentido igual à provocada pela componente local. 45

66 v L.0 w L.0 =-0.1t 90 C L.0 w D.0 v D.0 =-0.1t 30 w D C D.0 v L.0 w L.0 =-0.1t (a) Figura 4.17 Imperfeições iniciais das colunas não afectadas por interacção localizada na alma. Apenas para as colunas não afectadas pelo fenómeno de interacção localizada, é possível associar à deformada da coluna na pós-encurvadura a de um modo acoplado, (i) admitir que este corresponde a uma combinação linear dos modos críticos e (ii) determinar a contribuição relativa das componentes distorcional ( ) e local ( ) para esse modo o efeito localizado que resulta da alteração do número de semi-ondas na alma não permite tais considerações. A estimativa da contribuição dos dois modos (factores de participação modal) para o modo acoplado baseia-se na evolução dos deslocamentos da secção de meio vão das colunas (ver Figura 4.2 a Figura 4.15), adoptando-se para o efeito as seguintes hipóteses e metodologia: (i) A configuração deformada da coluna pode ser definida como uma combinação linear dos modos de instabilidade local e distorcional, normalizados tal que e (10% da espessura) a estes valores correspondem e, respectivamente, ou seja o deslocamento vertical da ligação banzo-reforço ( ) deve-se exclusivamente à componente distorcional. (ii) O valor de deve ser decomposto em duas parcelas, uma devida à componente local e a outra devida à componente distorcional. A segunda parcela pode ser determinada a partir do deslocamento, tendo em conta que o modo distorcional é caracterizado pela seguinte relação e, portanto. (4.3). (4.4) (iii) Admitindo as hipóteses anteriores obtêm-se facilmente expressões que permitem determinar os factores de participação de cada modo de encurvadura puro na configuração deformada da coluna,. (4.5) A Figura 4.18 apresenta a evolução, ao longo das trajectórias de equilíbrio, do quociente de interacção modal, definido por, o qual relaciona os factores de participação dos modos local e 46

67 distorcional presentes na configuração deformada das 9 colunas sem alterações ao nível do número de semi-ondas da alma, ou seja, as colunas e. A observação das curvas vs. permite retirar as seguintes conclusões sobre o efeito da interacção local/distorcional no comportamento de colunas de secção em hat: (i) Todas as curvas têm início num círculo de raio unitário e exibem uma posição inicial que depende dos factores de participação de cada modo isolado na imperfeição geométrica inicial ( e ). (ii) As curvas convergem basicamente para duas rectas caracterizadas por (ii 1 ) ( deslocamento da ligação banzo-reforço para o interior) e (iii 2 ) ( deslocamento para o exterior). De facto, parece razoável admitir que estas rectas fornecem a caracterização dos modos acoplados da coluna notar que ambas são predominantemente distorcionais. A coluna constitui um caso à parte, uma vez que corresponde a um conjunto singular (para o conjunto de imperfeições considerados neste estudo, no qual se admitiu um intervalo de entre cada imperfeição). (iii) As duas rectas relativas aos modos acoplados estão associadas a valores de positivos. Este facto significa que as configurações deformadas das colunas, em estados avançados da pós-encurvadura, tendem a apresentar, na região média da coluna, deslocamentos de flexão da alma para o interior da secção. C L vs C D 20 C L θ=210º θ=225º θ=240º θ=255º 10 θ=90º θ=75º θ=60º θ=45º θ=30º 0 C D θ=270º -20 Figura 4.18 Evolução dos coeficientes e nas trajectórias de pós-encurvadura (iv) Finalmente, refira-se que as características descritas nos pontos anteriores não são totalmente concordantes com as que se observaram em colunas encastradas de secção em C afectadas por interacção local/distorcional [14]. Efectivamente, os modos acoplados em colunas em C (iv 1 ) envolvem um conjunto mais alargado de colunas e (iv 2 ) estão associados a rectas que apresentam valores de e com sinais diferentes, o que significa que as configurações deformadas das colunas combinam, na região intermédia, deslocamentos de flexão local e distorcional de sentidos opostos. 47

68 (v) As diferenças qualitativas do comportamento das colunas de secção em hat relativamente às em C referidas no ponto anterior decorrem (v 1 ) do maior número de semi-ondas dos modos envolvidos na interacção local/distorcional e (v 2 ) da menor resistência pós-crítica das colunas com secção em hat estar associada ao fecho da secção no meio vão. 4.4 Pós-Encurvadura em Regime Elasto-Plástico Seguidamente, estuda-se o comportamento de pós-encurvadura em regime elasto-plástico das colunas H 6, com o objectivo de avaliar o efeito da relação entre as tensões de cedência e crítica na resistência última e no modo de colapso destas colunas. Analisa-se o mesmo conjunto de colunas considerado no estudo elástico (vinte e quatro perfis exibindo diferentes imperfeições iniciais resultantes da combinação das configurações dos modos local e distorcional) e admite-se um comportamento elástico perfeitamente plástico para o aço (sem ter em conta o endurecimento, nem o efeito das tensões residuais) e três valores diferentes para a tensão de cedência: e. Para efeitos de comparação mostram-se de novo alguns resultados elásticos, os quais podem ser encarados como correspondendo a uma tensão de cedência infinita ( ). Os resultados das análises não lineares de estabilidade das várias colunas vão ser apresentados na seguinte sequência. Inicialmente, apresentam-se as trajectórias elasto-plásticas de perfis com quatro imperfeições iniciais ( e ) e diferentes tensões de cedência. As colunas foram escolhidas por serem representativas do comportamento observado em regime elástico. Posteriormente, mostram-se os diagramas que ilustram a evolução das deformações plásticas para as colunas e, quando o aço é caracterizado por. O estudo termina com a identificação dos valores da resistência última para as setenta e duas colunas analisadas (vinte e quatro perfis, exibindo três valores de tensão de cedência). As Figuras 4.19(a)-(d) mostram a evolução das trajectórias de equilíbrio elasto-plásticas das colunas,, e, para e (recorde-se que ). A observação destes resultados permite retirar as seguintes conclusões: (i) Independentemente da imperfeição inicial, as colunas com uma relação reduzida (e.g., ), exibem uma resistência de pós-encurvadura nula. A primeira cedência (i 1 ) ocorre quando a distribuição de tensões ainda é praticamente uniforme, o que resulta na plastificação da quase totalidade da coluna, e (i 2 ) precipita o colapso do perfil, o qual ocorre numa fase inicial da trajectória de equilíbrio. (ii) Para uma relação intermédia (e.g., ), a ocorrência da primeira cedência não resulta, necessariamente, no colapso da coluna. De facto, as trajectórias exibem fenómenos de snap-through caracterizadas pela existência de um segundo máximo local na curva, o qual pode estar associado a um valor ligeiramente superior ao que originou o 48

69 afastamento da trajectória em relação à curva elástica (e.g., e ) nos restantes casos, a ocorrência da primeira plastificação precipita o colapso da coluna. 1,4 P/P cr 1,4 P/P cr Elástico Elástico 1,2 f y /f cr =2,60 1,2 f y /f cr =2, f y /f cr =1,65 f y /f cr =1,65 0,8 f y /f cr =1,18 v>0 0,8 f y /f cr =1,18 v>0 0, v/t (a) P/P cr 1,4 0, ,4 (b) P/P cr v/t Elástico Elástico f y /f cr =2,60 1,2 1,2 f y /f cr =2, f y /f cr =1,65 f y /f cr =1,65 v<0 f y /f cr =1,18 0,8 0,8 f y /f cr =1,18 v>0 0, v/t (c) 0, (d) v/t Figura 4.19 Trajectórias de equilíbrio elasto-plásticas das colunas (a), (b), (c) e (d). (iii) Para valores de tensão de cedência elevados (e.g., ), todas as colunas exibem alguma resistência de pós-encurvadura. De facto, o fenómeno descrito no ponto anterior origina agora valores máximos de carga claramente superiores à carga associada ao início das plastificações, podendo o acréscimo ser significativo (e.g., para, é cerca de 1,2 vezes o valor associado ao início da plastificação). Este acréscimo resulta do facto de, para valores de elevados, a primeira plastificação ocorrer numa fase avançada da pósencurvadura, ou seja quando a distribuição de tensões na coluna está já longe da uniforme. Nas Figura apresenta-se a evolução e localização das deformações plásticas, assim como a configuração deformada no colapso, de colunas constituídas por um aço com ( ) e exibindo imperfeições iniciais caracterizadas por (i) (Figura 4.20), (ii) (Figura 4.21) e (iii) comentários: (Figura 4.22). A observação destes diagramas sugere os seguintes 49

70 (i) (ii) Independentemente da imperfeição inicial, as deformações plásticas têm início na extremidade dos reforços, estando na origem da separação das trajectórias elasto-plásticas relativamente às elásticas ver diagrama I das Figura Contudo, a localização do início da plasticidade depende da imperfeição inicial, ocorrendo na secção (colunas e ) ou nas secções (coluna ) onde a semi-onda distorcional evolui no sentido do fecho. 1,4 P/P cr Elástico 1,2 I 1 I II III f y /f cr =1,65 II 0,8 v>0 0, (a) (b) v/t III Figura 4.20 Evolução da deformação plástica e configuração deformada no colapso da coluna ( ). Elástico P/P cr 1,4 1,2 I III f y /f cr =1,65 II I 1 II v<0 0,8 0, (a) v/t (b) III Figura 4.21 Evolução da deformação plástica e configuração deformada no colapso da coluna ( ). (iii) Nas colunas e, o colapso ocorre após a plastificação das zonas centrais na alma e na proximidade dos cantos que ligam a alma aos banzos o mecanismo de rotura corresponde à formação de rótulas plásticas distorcionais na zona (coluna ) ou zonas 50

71 (coluna ) onde se verificaram as primeiras plastificações (e.g., ver o diagrama III na Figura 4.20(b)). (iv) Por sua vez, o colapso da coluna assume características ligeiramente diferentes do da coluna. Em ambas, as deformações plásticas iniciam-se na zona central (ver os diagramas II das Figura 4.4 a Figura 4.6), mas, devido ao maior peso da componente local na imperfeição inicial da coluna, a evolução da plasticidade neste perfil acaba por se concentrar (iv 1 ) na alma, com um padrão semelhante ao das semi-ondas locais, e (iv 2 ) em duas charneiras plásticas nos banzos em secções próximas do meio vão (ver diagrama III da Figura 4.22). 1,4 P/P cr 1,2 Elástico I 1 I II III f y /f cr =1,65 II 0,8 v>0 0, (a) v/t (b) III Figura 4.22 Evolução da deformação plástica e configuração deformada no colapso da coluna ( ). Por fim, na Tabela 4.1 indica-se o valor da relação para cada uma das setenta e duas colunas analisadas (vinte e quatro colunas e três valores de tensão de cedência), onde corresponde à tensão última da coluna (valor máximo do parâmetro de carga determinado pelo programa ABAQUS). A observação destes resultados permite retirar as seguintes conclusões: (i) (ii) (iii) O aumento da tensão de cedência do aço faz, naturalmente, subir o valor da resistência última das colunas, mas observa-se que esse aumento está longe de ser proporcional ao aumento de por exemplo, para a coluna, aumentar o valor de de para (i.e., 2,2 vezes) apenas dá origem a um aumento da resistência última de 1,3 vezes. As colunas que exibem maior resistência última estão associadas a imperfeições locais puras, exibindo as colunas um valor ligeiramente superior ao das colunas (e.g., para a resistência da primeira é cerca de 1,01 vezes superior á da segunda). À semelhança do verificado em regime elástico, as imperfeições iniciais mais desfavoráveis (as que conduzem a menores valores de resistência elasto-plástica) continuam a estar associadas a imperfeições puramente distorcionais, i.e., com fecho da secção de meio 51