PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PARTE I Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais
Variável Aleatória Por definição uma variável aleatória pode ser entendida como sendo uma variável quantitativa, cujo resultado depende de fatores aleatórios. Exemplos: número de coroas obtidos no lançamento de moedas; número de defeitos de azulejo que sai da linha de produção; tempo de resposta de um sistema computacional; resistência ao desgaste de um tipo de aço, num teste padrão;
Variável Aleatória Uma variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais. Exemplo 1. (BARBETTA, pg 117) No lançamento de 2 moedas, o espaço amostral mais completo é Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}, enquanto que a variável aleatória número de coroas assume valores no conjunto {0, 1, 2}.
A relação entre os dois conjuntos, é esquematizada a seguir.
Variável Aleatória Uma variável aleatória pode ser: Discreta: onde os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável. Exemplo:
Variável Aleatória Uma variável aleatória pode ser: Contínua: onde os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais. Exemplo:
Variáveis Aleatórias Independentes Variável aleatória independente, pode ser entendida quando o conhecimento de uma variável não altera as distribuições de probabilidade das demais variáveis (X 1, X 2,, X n ). Para variáveis aleatórias independentes: V X + Y = V X + V(Y) V X Y = V X + V(Y)
Variáveis Aleatórias Independentes Exemplo 2. (MEYER), seja X e Y a duração da vida de dois dispositivos eletrônicos. Suponha que sua fdp conjunta seja dada por por fatoração temos f x, y = e (x+y), x 0, y 0, f x, y = e x e y, desta forma a independência de X e Y fica estabelecida.
Variáveis Aleatórias Independentes Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória discreta bidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatórias independentes se, e somente se: P x i, y j = p(x i )q(y j ) para quaisquer i e j. Portanto, P X = x i, Y = y j = P X = x i P(Y = y j ) para todo i e j
Variáveis Aleatórias Independentes Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória contínua bidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatórias independentes se, e somente se: f x, y = g x h(x) para todo x e y, onde f é a fdp conjunta, e g e h são as fdp marginais de X e Y, respectivamente.
Variável Aleatória Discreta
Variável Aleatória Discreta Teorema 1: Se X é uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidade f x. Definindo Y = u X a transformação um a um entre os valores de X e Y, então a equação y = u x pode ser unicamente resolvida por x em função de y, digamos x = w y. Então a distribuição de probabilidade de Y é g y = f w(y)
Variável Aleatória Discreta Teorema 2: Supondo que X 1 e X 2 são variáveis aleatórias discretas com distribuição de probabilidade conjunta f x 1, x 2, definindo a transformação um a um entre os pontos x 1, x 2 e y 1, y 2, então as equações y 1 = u 1 x 1, x 2 e y 2 = u 2 x 1, x 2, podem ser unicamente solucionadas para x 1 e x 2 em função de y 1 e y 2.
Variável Aleatória Discreta Onde: x 1 = w 1 (y 1, y 2 ) e x 2 = w 2 (y 1, y 2 ) Portanto a distribuição de probabilidade conjunta Y 1 e Y 2 é: g y 1, y 2 = f[w 1 y 1, y 2, w 2 y 1, y 2 ]
Variável Aleatória Discreta Função de Probabilidade Se X for discreta, com valores {X 1, X 2, }, então a distribuição de probabilidade de X, pode ser apresentada pela função de probabilidade, a qual associa a cada valor possível X i a sua probabilidade de ocorrência p(x i ). Ou seja p x i = P(X = x i ) Satisfazendo: p x i 0. i p x i = 1
Variável Aleatória Discreta Função de Probabilidade Representação gráfica da distribuição de probabilidade da variável aleatória X, a qual representa o número obtido no lançamento de um dado comum.
Variável Aleatória Discreta Função de Distribuição Acumulada Por definição: F x = P X x, x R Assim, para todo x R, a função de distribuição acumulada descreve a probabilidade de ocorrer um valor até x. Exemplo:
Variável Aleatória Discreta Função de Distribuição Acumulada X = número obtido no lançamento de um dado comum. F x 0 se x < 1 1 6 se 1 x 2 2 6 se 2 x 3 3 6 se 3 x 4 4 6 se 4 x 5 5 6 se 4 x 5 1 se x 6
Variável Aleatória Discreta Valor Esperado e Variância Valor esperado: μ = E X = k j=1 x j p j Variância: σ 2 = V X = k j=1 (x j μ) 2 p j Ou V X = E(X 2 ) μ 2
Variável Aleatória Discreta Valor Esperado e Variância Propriedades: a) E c = c b) E X + c = E X + c c) E cx = ce(x) d) E X + Y = E X + E Y f) V c = 0 g) V X + c = V X h) V cx = c 2 V(X) i) DP cx = c DP(X) e) E X Y = E X E(Y)
Distribuição de Bernoulli A distribuição de Bernoulli tem somente 2 resultados possíveis: sucesso e fracasso. Onde: 0 p 1
Distribuição de Bernoulli Função da probabilidade p(x) X p x 0 1 1 p p total 1
Distribuição de Bernoulli Função acumulada F(x) F X = 0 1 p 1 se x < 0 se 0 x 1 se x 1
Distribuição de Bernoulli Esperança E(X) E X = p Variância V(X) V X = p. 1 p
Distribuição de Bernoulli Exemplos. Lançamento de uma moeda: Caso obtenha-se uma cara: sucesso Caso obtenha-se uma coroa: fracasso A direção que segue um veículo em bifurcação (caminho A e B): Se segue o caminho A: sucesso Se segue o caminho B: fracasso
Distribuição de Bernoulli Exemplo 3. Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X: nº de bolas verdes. Calcular E(X) e V(X). Solução X = {1 p = 20 50 = 2 5 E X = p = 2 5 = 0, 4 bolas verdes V X = p 1 p = 2 5 1 2 5 6 25 = 0, 24 bolas verdes2
Distribuição Binomial Considere n experimentos independentes identicamente distribuídos, cada um com distribuição Bernoulli de parâmetro p. Se a variável de interesse x corresponde ao número de sucessos obtidos nestes n experimentos, então x é conhecida como uma variável aleatória binomial de parâmetros n e p. Onde: n é o número de ensaios independentes; e P (sucesso) = p, constante para todo ensaio 0 < p < 1
Distribuição Binomial
Distribuição Binomial Função da probabilidade p(x) p x = n x px (1 p) n x x = 0,1, 2,, n Onde: n x = n! n x! x!
Distribuição Binomial Função acumulada F(x) F x = P X x i = n i f(x i ) i=1
Distribuição Binomial Esperança E(x) E X = n p Variância V(X) V X = n p(1 p)
Distribuição Binomial Exemplos. Lançar uma moeda 5 vezes e observar o número de caras; Verificar o número de bits que não estão afetados por ruídos, em um pacote com n bits;
Distribuição Binomial Representação gráfica com n = 5 e p = 0,5 E(X)=25
Distribuição Binomial Exemplo 4. (DÍAZ) Um médico aplica um teste em dez alunos de um colégio, para detectar uma enfermidade cuja incidência sobre uma população de crianças é de 10%. A sensibilidade do teste é de 80% e a especificidade é de 75%. Qual a probabilidade de que 4 pessoas apresentem um resultado positivo? Dados: P E = 0,1 P(T + E) = 0,8 P(T E) = 0,75
Distribuição Binomial Solução: Pelo Teorema da Probabilidade Total P(T + ) = P(T + E) P E + P(T + E) P E = O, 8 0,1 + 0,25 0,9 = 0,305 seja X 1 a v.a que contabiliza o número de resultados positivos, e chamando p 1 = P(T + ), então X segue uma distribuição binomial.
Distribuição Binomial Portanto X 1 n 1 = 10, p 1 = 0,305 P X 1 = x = n 1 x p 1 x (1 p) n 1 x Logo a probabilidade de que o resultado do teste dê positivo para 4 pessoas é de: P(X 1 = 4) = 10 4 0,3054 0,695 6 = 0,2048 20, 48%
Distribuição Binomial Exemplo 5. (WALPOLE) A probabilidade de que um paciente se recupere de uma doença sanguínea rara é de 0,4. Se 15 pessoas contraíram essa doença, calcule: a) A probabilidade de que pelo menos 10 pessoas sobrevivam. b) A probabilidade de que 3 a 8 pessoas sobrevivam. c) A probabilidade de que exatamente 5 pessoas sobrevivam. d) A esperança. e) A variância.
Distribuição Binomial Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão a) P X 10 = P X = 10 + P X = 11 + + P X = 15 Onde: p x = n x px (1 p) n x
Distribuição Binomial Portanto P x = 10 15 10 0,410 (0,6) 5 = 0,0245 P x = 11 15 11 0,411 (0,6) 4 = 7,42X10 3 P x = 12 15 12 0,412 (0,6) 3 = 1,65X10 3 P x = 13 15 13 0,413 (0,6) 2 = 2,54X10 3 p x = 0, 0361 3, 61% P x = 14 15 14 0,414 (0,6) 1 = 2,42X10 5 P x = 15 15 15 0,415 (0,6) 0 = 1,07X10 6
Distribuição Binomial Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão b) P 3 X 8 = P(X 8) P(X 3) P X = 8 + P X = 7 + + P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 +P X = 0 [P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 + P X = 0 ]
Distribuição Binomial Portanto P 3 X 8 = P X = 8 + P X = 7 + P X = 6 + P X = 5 + P X = 4 Onde: P x = 8 15 8 0,48 (0,6) 7 = 0,12 P x = 7 15 7 0,47 (0,6) 8 = 0,18 P x = 6 15 6 0,46 (0,6) 9 = 0,21 P x = 5 15 5 0,45 (0,6) 10 = 0,19 P x = 4 15 4 0,44 (0,6) 11 = 0,13 p x = 0, 83 83%
Distribuição Binomial Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão c) p x = P X = 5 15 5 0,45 0,6 10 = 0, 186 18, 6%
Distribuição Binomial d) E X = n p 15 0,4 = 6 pessoas e) V X = n. p 1 p 15 0,4 1 0,4 = 3, 6 pessoas 2
Distribuição Hipergeométrica A distribuição hipergeométrica não necessita de independência e se baseia na amostragem feita sem reposição. O número X de sucessos de um experimento hipergeométrico é chamado de variável aleatória hipergeométrica.
Distribuição Hipergeométrica A distribuição de probabilidade de uma variável hipergeométrica é chamada de distribuição hipergeométrica, onde seus valores são denotados por (x, N, n, r). Onde: N: O número de itens na população. r: O número de itens na população que são classificados como sucessos. n: O número de itens na amostra. X: O número de itens na amostra que são classificados como sucesso.
Distribuição Hipergeométrica
Distribuição Hipergeométrica Função da probabilidade p(x) p x = r x N r n x N n [x = 0,1,, min r, n ]
Distribuição Hipergeométrica Função acumulada F(x) F x = x i=0 r x N r n x N n
Distribuição Hipergeométrica Esperança E(x) E X = n p Variância V(X) V X = n p (1 p) N n N 1 Onde: p = r N
Distribuição Hipergeométrica Exemplo 6. (BARBETTA, pg 133) Placas de vidro são expedidas em lotes de 30 unidades. Antes que a remessa seja aprovada, um inspetor escolhe aleatoriamente 5 placas do lote e as inspeciona. Se nenhuma das placas for defeituosa, o lote é aprovado. Se uma ou mais forem defeituosas, todo lote é inspecionado. Supondo que haja 3 placas defeituosas no lote: a) Qual é a probabilidade de que o controle da qualidade aponte para a inspeção total? b) Encontre a esperança e variância.
Distribuição Hipergeométrica Solução: Seja X o número de placas defeituosas na amostra. P X 1 = 1 P(X = 0), então: a) p X = p 0 3 0 30 3 5 0 30 5 = 80,730 142,506 = 0, 5665 Logo, P X 1 = 1 0,5665 = 0, 4335 43, 35%
Distribuição Hipergeométrica b) E X = n p 5 0,1 = 0, 5 placas de vídeos V X = n p 1 p N n N 1 5 0,1 0,9 0,86 0, 39 placas de vídeos2
Distribuição Hipergeométrica Exemplo 7. No fichário de um hospital, estão arquivados os prontuários de 20 pacientes, que deram entrada no PS apresentando algum problema cardíaco. Destes 5 sofreram infarto. Retirando se uma amostra ao acaso de 3 destes prontuários, qual a probabilidade de que dois deles sejam de pacientes que sofreram infarto?
Distribuição Hipergeométrica Solução: N = 20; r = 5; n = 3; x = 2 p X = 5 2 20 5 3 2 20 3 = 150 1140 = 0, 131 13, 1%
Distribuição de Poisson Propriedades 1- O número de resultados que ocorrem em um intervalo de tempo ou em uma região específica é independente do número de resultados que ocorre em outro intervalo de tempo disjunto ou região do espaço disjunta Processo de Poisson não tem memória.
Distribuição de Poisson Propriedades 2- A probabilidade de que um único resultado ocorrerá durante um breve intervalo de tempo ou em uma região pequena é proporcional à extensão do intervalo de tempo ou ao tamanho da região, e não depende do número de resultados que ocorrem fora desse intervalo de tempo ou dessa região.
Distribuição de Poisson Propriedades 3- A probabilidade de que mais de um resultado ocorrerá em um intervalo de tempo muito breve ou em uma região muito pequena é desprezível.
Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é empregada quando se está interessado no número de sucessos ocorridos durante um intervalo contínuo (tempo, espaço, etc...). Exemplos: Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante certa hora do dia; O número de suicídios ocorridos em uma cidade durante um ano; Número de chegadas a um caixa automático de um banco durante um período de 15 minutos.
Distribuição de Poisson Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se: 1. X = 0, 1, 2, (não tem limites) 2. P X = x = e λ λ x x!, x = 0, 1, 2, n. 3. E X = μ = λ 4. V X = σ 2 = λ
Distribuição de Poisson Uma justificativa X= número de ocorrência em [t, t+1] n = intervalos de amplitude 1/n p = probabilidade de ocorrência em cada intervalo P X = x n x px 1 p n x n p 0 n p λ >0
Distribuição de Poisson Função da probabilidade p(x) p x = e λ λ x x! x = 0, 1, 2
Distribuição de Poisson Função acumulada F(x) F x = x i=0 λ i e λ i! para x = 0,1,2
Distribuição de Poisson Esperança E(x) Variância V(X) Onde: E X = λ V X = λ E X = V X = λ
Distribuição de Poisson Exemplo 8. (BARBETTA, pg. 135) Supondo que as consultas em um banco de dados ocorrem de forma independentes e aleatórias, com uma taxa média de 3 consultas por minuto. Calcule a probabilidade de que no próximo minuto ocorram menos do que 3 consultas.
Distribuição de Poisson Solução: Seja X o número de consultas por minuto. p x = P X < 3 = p 0 + p 1 + p(2) e 3 3 0 0! + e 3 3 1 1! + e 3 3 2 2! = 0, 4232 42, 32%
Distribuição de Poisson Exemplo 9. (BARBETTA, pg. 136) Mensagens chegam a um servidor de acordo com uma distribuição de Poisson, com taxa média de cinco chegadas por minuto. a) Qual é a probabilidade de que duas chegadas ocorram em um minuto? b) Qual é a probabilidade de que uma chegada ocorra em 30 segundos?
Distribuição de Poisson Solução a) p x = e 5 5 2 2! = 0, 084 8, 4% b) p x e 2,5 2,5 1 1! = 0, 2052 20, 52%
Referências BARBETTA, P. A. REIS, M. M. BORNIA, A. C. Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 3ª Edição. Atlas S.A. São Paulo - SP, 2010. COLCHER, Sérgio. Algumas Distribuições Discretas. Disponível em: <http://www.inf.pucrio.br/~inf2511/inf2511_files/menu/material/transparencias/0 7-Distribuicoes.pdf>. Acesso em: 17 de Outubro de 2013. DÍAZ, F. R. LÓPEZ, F. J. B. Bioestatística. Thonson. São Paulo SP, 2007. MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicação à estatística. 2ª Edição. LTC. Rio de Janeiro RJ, 2012. WALPOLE, R. E. et. al. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. 8ª Edição. Pearson. São Paulo SP, 2009.