EP FISL Raciocínio Lógico - GEOMETRI ÁSI - TRIGONOMETRI webercampos@gmail.com 01 opyri'ght. urso gora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.
ÍNDIE Exercícios Resolvidos de GEOMETRI 0 Exercícios de GEOMETRI das Vídeoaulas 15 Gabarito 18 Exercícios Resolvidos de TRIGONOMETRI 19 Exercícios de TRIGONOMETRI das Vídeoaulas 6 Gabarito 8
EXERÍIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRI 01. alcule o ângulo x na figura abaixo, sabendo que H e I são, respectivamente, a altura e a bissetriz relativas ao vértice do triângulo. x 54º 0º H I No triângulo H, temos que o ângulo é 90º. ssim, o ângulo deste triângulo será igual a 6º (=180º 90º 54º). b 6º x 54º 0º H I No triângulo, para que a soma dos ângulos seja igual a 180º, é necessário que o ângulo seja igual a 96º (=180º 54º 0º). Daí, vem a igualdade: 6º + x + b = 96º Resolvendo, vem: x + b = 96º 6º x + b = 60º (1ª equação) Da informação da bissetriz I, podemos igualar as duas partes que esta bissetriz divide. Teremos: 6º + x = b (ª equação) O valor de b, nesta ª equação, será lançado na 1ª equação. Teremos: x + (6º + x) = 60º x = 60º 6º x = 4º x = 1º (Resposta!) 0. O triângulo da figura abaixo tem perímetro igual a 5 cm. O segmento P é a bissetriz de  e as medidas dos segmentos e P são, respectivamente, 1 cm e 9 cm. alcule a medida do segmento. 1 P 9
Designaremos por x a medida do segmento e por y a medida do segmento P. x 1 y P omo o perímetro do triângulo é igual a 5, podemos formar a seguinte equação: x + y + 1 + 9 = 5 Simplificando, vem: x + y = 14 E pelo teorema da bissetriz interna, temos: Isolando y na primeira equação e substituindo na segunda, teremos: Resolvendo, vem: 9 (Resposta!) 0. Determine o valor de x na figura abaixo. 5 4 x D O triângulo D é um triângulo retângulo. hamaremos o segmento D de m e depois aplicaremos o teorema de Pitágoras no triângulo D. 5 = 4 + m m = 5 16 m = hamaremos a hipotenusa de a e aplicaremos a relação métrica: c = m.a. 5 =. a a = 5/ Para encontrar x, aplicaremos a relação métrica: b.c = a.h. x. 5 = 5/. 4 x = 0/ (Resposta!) 4
04. Na figura abaixo, D é um quadrado e DE é um triângulo equilátero. alcule e. E D Os ângulos do quadrado D são iguais a 90º e os ângulos do triângulo eqüilátero DE são iguais a 60º. hamaremos de a o ângulo e de b o ângulo. 90º E b a b 60º D 0º 0º 60º 60º Os quatro lados do quadrado e mais os lados DE e E do triângulo são todos congruentes entre si. Daí pode-se observar no desenho acima que o triângulo E é isósceles. Deste modo, esse triângulo possui dois ângulos iguais: β. seja: soma dos ângulos internos do triângulo E deve ser igual a 180º. Ou b + b + 0º = 180º b = 150º b = 75º O ângulo é reto e é igual à soma dos ângulos a e b. Daí, vem: a + b = 90º a + 75º = 90º a = 15º 5
05. Na figura abaixo, D é um trapézio cujas bases são: = 4 cm e D = 10 cm. Sejam M o ponto médio do lado D e N o ponto médio do lado. Os pontos P e Q são os pontos de intersecção de MN com as diagonais e D. alcule o segmento PQ. 4 cm M P Q N 10 cm O segmento MN é a base média do trapézio, daí vem: O segmento MP é uma base média do triângulo, daí vem: O segmento QN é a base média do triângulo D, daí vem: Já temos condições de calcular PQ. Observe no desenho que a medida PQ é igual a: (MN MP QN). Daí vem: D 06. figura abaixo apresenta um hexágono regular inscrito numa circunferência. alcule as medidas dos ângulos x, y e z. x F z y E O ângulo interno de um polígono regular é dado pela expressão: 180º.(n- )/n. Onde n é o número de lados. No hexágono, o n é 6. Daí, o ângulo interno do hexágono é igual a: 180º.(6-)/6 = 180. 4 / 6 = 10º ssim, temos que:. D 6
O triângulo é isósceles, pois =. Daí, os ângulos das bases são iguais a x. Veja o desenho abaixo: x 10º x soma dos ângulos internos do triângulo deve ser igual a 180º. x + x + 10º = 180º x = 60º x = 0º No quadrilátero DEF, as bases ED e F são paralelas e os lados D e FE são iguais, assim os ângulos e são congruentes. E os ângulo internos e do hexágono são iguais a 10º. Veja o desenho abaixo: F z z 10º 10º E D soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 60º. Daí vem: z + z + 10º + 10º = 60º z = 60º - 40º z = 60º Passemos ao cálculo de y. O ângulo interno do hexágono é igual a 10º. E esse ângulo é composto pelos ângulos (60º), y e (0º). Temos, então: + y + = 60º + y + 0º = 10º y = 10º - 90º y = 0º Esse cálculo de y era dispensável, pois observe no desenho da questão que os ângulos x e y são alternos internos e, portanto, congruentes. 07. Na figura abaixo, o ângulo é congruente ao ângulo, = 16 cm, = 1 cm, = 16 cm e P = 6 cm. alcule as medidas dos segmentos PQ e Q. 16 10 P 6 Q 1 7
Na figura acima, podemos observar dois triângulos: e PQ, onde o ângulo é comum aos dois triângulos. Separaremos os dois triângulos colocando as medidas de cada um. 16 10 P x 6 1 Q y omo há dois ângulos em comum, é claro que o terceiro ângulo também será comum. Daí, os triângulos são semelhantes. Vamos reposicionar o segundo triângulo de forma que os ângulos dos dois triângulos se correspondam. Q x P 6 y omo são semelhantes, faremos a proporção entre os lados correspondentes: Igualando a primeira e a última fração, encontraremos o valor de x: álculo de y: à à à à 08. Na figura abaixo, é um triângulo eqüilátero de lado 8 cm e M é o ponto médio de. alcule Q, sabendo que P = 10 cm. M Q 8 10 P M é o ponto médio de e chamaremos de N o ponto médio de. Interligando os pontos M e N, o segmento MN fica paralelo a, e a medida do segmento MN é igual à metade do segmento, ou seja, MN = 8/ = 4. 8
M Q 4 4 N 4 10 P Vamos destacar abaixo o triângulo MNP. M Q 4 N 4 10 P omo MN é paralelo a Q, então o ângulo é igual ao ângulo. E como o ângulo é comum aos triângulos MNP e QP, então esses triângulos têm dois ângulos em comum. Desse modo, os triângulos MNP e QP são semelhantes. Da semelhança entre os dois triângulos, podemos estabelecer a seguinte proporção: Substituindo pelas medidas dos segmentos, teremos: Resolvendo, vem: Q = (4. 10)/14 = 40/14 = 0/7 =,86 cm (Resposta!) 09. alcule o raio r da circunferência abaixo: 8,6 r Observe que o segmento é o diâmetro da circunferência, assim traçaremos o segmento a fim de formar o triângulo retângulo. 9
8 r-,6,6 r r projeção do cateto na hipotenusa é igual a diferença entre o diâmetro (r) e a projeção do cateto na hipotenusa (,6), ou seja, r,6. Usaremos agora a relação métrica: b =n.a. 8 = (r,6). r Resolvendo, vem: 64 = 4r 7,r 4r 7,r 64 = 0 r 1,8r 16 = 0 s raízes são: r =5 e r =-,. Portanto, r=5. 10. alcule a área da parte sombreada dentro quadrado D de lados 1 cm. Observe que os pontos e D são centros de circunferências de mesmo raio. ssim, D = E = DE = 1 cm. Desse modo, o triângulo DE é eqüilátero, com lados iguais a 1 cm e ângulos iguais a 60º. E 1 1 1 60º 1 D área do triângulo eqüilátero DE é dada por: Área do DDE = = O setor circular DE tem área igual a: Área do setor DE = = = 10
diferença entre a área do setor circular DE e a área do triângulo DE é igual à área do segmento circular DE. Área do segmento circular DE = Observe no último desenho que a área sombreada corresponde à soma das áreas de três partes: segmento circular E, triângulo DE e segmento circular DE. Área sombreada = ( ) + + ( ) = (Resposta!) 11. (F-STN-000 ESF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, x e (y-). Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede x é igual a 1, então o perímetro do triângulo é igual a a) y (x + 1) d) (x + y) b) y ( + ) e) x + y c) x ( + ) De acordo com o enunciado, podemos desenhar o seguinte triângulo retângulo: x y- a tangente de a é 1, daí a = 45º. gora, conhecemos dois ângulos internos do triângulo: 90 o e 45º. O terceiro ângulo também será 45º graus para que a soma dos ângulos internos seja 180º. omo o triângulo possui dois ângulos iguais, então ele é isósceles, com x=y-. No desenho anterior, substituiremos y- por x. x a x hipotenusa a pode ser encontrada a partir do Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. plicando o teorema, teremos: a = x + x 45 o a = x à a = x à a = x Portanto, temos que os catetos medem x e a hipotenusa x. O perímetro do triângulo é igual à soma dos lados: perímetro = x + x + x = x + x = x(+ ) Resposta: alternativa. 11
1. (MPOG e ENP 006 ESF) razão de semelhança entre dois triângulos, T 1, e T, é igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T 1 é igual a 18 m. ssim, a área do triângulo T é igual a a) 4 m. b) 16 m. c) m. d) 64 m. e) m. Da semelhança entre triângulos, temos a seguinte proporção: á á Onde k é a razão de semelhança entre os triângulos T 1 e T. Lançando os dados fornecidos na questão na proporção acima, teremos: á Resolvendo, vem: á Resposta: alternativa E. 1. (nalista de Recursos Financeiros SERPRO 001 ESF) Um triângulo tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 1m. área do segundo triângulo será igual a: a) 6 m d) 48 m b) 1 m e) 60 m c) 4 m Se os dois triângulos são semelhantes, então os lados correspondentes são proporcionais. Designando por a, b e c os lados do segundo triângulo, teremos: a b c = = 6 8 10 O perímetro do segundo triângulo é 1. Daí: a + b + c = 1. De acordo com as propriedades da proporção, podemos fazer a seguinte igualdade: a b c a+ b+ c = = = 6 8 10 6+ 8+ 10 Sabemos que a + b + c = 1, daí: a b c = = = 6 8 10 1 4 = 0,5 Igualando cada fração ao valor 0,5, encontraremos as incógnitas a, b e c. a 6 = 0,5 b 8 = 0,5 c 10 = 0,5 à a= à b=4 à c=5 1
Já temos os valores dos lados do triângulo. área deste triângulo pode ser encontrada através da seguinte fórmula: área= p( p- a)( p-b)( p-c) Onde p é o semi-perímetro e a, b, e c são os lados do triângulo. O semi-perímetro do triângulo de lados, 4, e 5 é igual a 1/ = 6. Substituindo os valores, teremos: área = 6(6- )(6-4)(6-5) à área = 6 1 à área = 6 Este resultado é a resposta da questão! ontudo, queremos apresentar outra solução para o cálculo da área. Todo triângulo que tem lados iguais a, 4 e 5 é um triângulo retângulo. Observe como os lados seguem o teorema de Pitágoras: 5 = + 4. Portanto, caso apareça no enunciado de uma questão um triângulo com lados iguais a esses valores ou múltiplos desses valores (6, 8 e 10; 9, 1 e 15;...), estaremos diante de um triângulo retângulo. área de um triângulo retângulo é facilmente calculada, pois um dos catetos é a altura e o outro cateto é a base. 4 5 área = (base x altura)/ = ( x 4)/ = 6 m Resposta: alternativa. 14. (F 005 ESF) Em um triângulo qualquer, um dos lados mede cm e um outro mede cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45, então a área do triângulo é igual a a) 1 - c) 1 b) d) 1 - e) 1 Para o cálculo da área do triângulo, basta a simples aplicação da fórmula: área = (a. b. sen a)/ Onde: a e b são lados do triângulo, e a é o ângulo entre estes dois lados. plicando a fórmula, teremos: área = (.. sen45º)/ O seno de 45º é /. (É importante memorizarmos os senos e cossenos dos ângulos notáveis: 0º, 0º, 45º, 60º, 90º, 180º e 70º.) Daí: área = (.. /)/ = / = 1 Resposta: alternativa E. 1
15. (F-SF 001 ESF) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu centro a cada um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o lado de um dos triângulos assim obtidos é igual a / m, então a área, em metros, do hexágono é igual a: a) 9 d) 4 7 b) e) c) Desenhamos abaixo o hexágono regular, e observe que ele é formado por seis triângulos eqüiláteros. do triângulo. área do triângulo eqüilátero é dada pela fórmula: a 4, onde a é o lado Foi informado que o lado do triângulo é igual a /. Lançando este valor na fórmula da área, teremos: área do triângulo = ( / ) 4 = / 4 = 8 área do hexágono é seis vezes a área do triângulo, daí: área do hexágono = Resposta: alternativa. 6 = 8 9 4 14
EXERÍIOS DE GEOMETRI DS VÍDEOULS 01. (TRF/010 Esaf) Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento XZ mede centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento XY, em centímetros, é igual a: a) 7 c) 5 e) 7 b) 48 d) 6 0. (F 005 ESF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal,, segmentos que medem cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal,, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal são iguais a: a) 6, 0 e 54 d) 14, 6 e 50 b) 6, 4 e 50 e) 14, 0 e 56 c) 10, 0 e 50 0. (Processo Seletivo Simplificado 008 ESF) Dois triângulos, X Y Z e X Y Z são semelhantes. O lado X Y do triângulo X Y Z mede 0 cm e seu lado homólogo X Y, do triângulo X Y Z, mede 40 cm. Sabendo-se que o perímetro do triângulo X Y Z é igual a 00 cm, então o perímetro do triângulo X Y Z é, em centímetros, igual a: a) 100 c) 150 e) 05 b) 105 d) 175 04. (SEFZ/SP POFP 009 ESF) Em uma cidade, às 15 horas, a sombra de um poste de 10 metros de altura mede 0 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a sombra deste mesmo poste mede 5 m. Por interpolação e extrapolação lineares, calcule quanto mediria a sombra de um poste de 0 metros, na mesma cidade, às 15h0min do mesmo dia. a) 45m c) 0m e) 65m b) 5m d) 50m 05. (Oficial de hancelaria MRE 00 ESF) O ângulo de um triângulo qualquer mede 76. ssim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices e deste triângulo vale: a) 50 d) 64 b) 5 e) 18 c) 56 06. (MPOG e ENP 006 ESF) base de um triângulo isósceles é metros menor do que a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 6 metros, então a altura e a base medem, respectivamente a) 8 m e 10 m. d) 14 m e 1 m. b) 1 m e 10 m. e) 16 m e 14 m. c) 6 m e 8 m. 07. (SUSEP 010 ESF) soma S 1 dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados, com n³, é dada por S i =(n-).180. O número de lados de três polígonos convexos, P 1, P, e P, são representados, respectivamente, por (x- ), x e (x+). Sabendo-se que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 40, então o número de lados do polígono P e o total de diagonais do polígono P são, respectivamente, iguais a: a) 5 e 5 b) 5 e 44 15
c) 11 e 44 d) 5 e 11 e) 11 e 5 08. (MPOG 005 ESF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 0 cm, então seu perímetro será igual a: a) 40 cm d) 4 cm b) 5 cm e) 45 cm c) cm 09. (F-GU 008 ESF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência possui os lados a, b, c e d, medindo (4 x - 9), ( x + ), x e x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é igual a: a) 5 d) 4 b) 0 e) 50 c) 5 10. (gente de Fazenda - Prefeitura do RJ - 010 Esaf) Um quadrado possui um círculo circunscrito e um círculo inscrito. Qual a razão entre a área do círculo circunscrito e a área do círculo inscrito? a) b) c) d) 4 e) 1 11. (SUSEP 010 ESF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e altura 4. alcule o raio desse círculo. a) 1,50 b) 1,5 c) 1,00 d) 1,75 e),00 1. (Fiscal de Rendas - Prefeitura RJ 010 Esaf) Um círculo está inscrito em um triângulo equilátero que, por sua vez, está inscrito em outro círculo. Determine a razão entre a área do círculo maior e a área do círculo menor. a) b) c) d) e) 4 1. (gente de Fazenda - Prefeitura do RJ - 010 Esaf) Um equipamento no valor D vai ser depreciado em n períodos, ocorrendo a primeira depreciação no fim do primeiro período, a segunda depreciação no fim do segundo período e assim por diante. Plotando-se no eixo vertical de um gráfico bidimensional os valores de D k, onde D k é o valor remanescente do equipamento após a k-ésima depreciação, com k = 1,,..., n, os pontos (k,d k ) estarão sobre a reta que passa pelos pontos (0,D) e (n,0). Supondo n=10 e D = R$ 50.000,00, qual o valor remanescente do equipamento após a sétima depreciação? 16
a) R$ 1.500,00 b) R$ 15.000,00 c) R$ 10.000,00 d) R$ 17.500,00 e) R$ 0.000,00 14. (gente de Trabalhos de Engenharia Sec Mun da Fazenda RJ - 010 Esaf) onsidere um terreno quadrado com área de 1600 m e vértices,, e D, sendo que e são vértices não adjacentes. Um ponto está sobre a diagonal D a uma distância de 10m da intercessão das diagonais do quadrado. Qual é o valor mais próximo da distância deste ponto até o vértice? a) 0 m b) 17, m c) 4,64 m d) 8,8 m e) 14,14 m 15. (FT 010 Esaf) Quando se faz alguns lados de um polígono tenderem a zero ele degenera naturalmente em um polígono de menor número de lados podendo até eventualmente degenerar em um segmento de reta. Dessa maneira, considere um quadrilátero com duas diagonais iguais e de comprimento cada uma. Sendo a área desse quadrilátero, então: a) = 5. b) 5 50. c) < 5. d) 0 5. e) 5. 16. (gente de Trabalhos de Engenharia Sec Mun da Fazenda RJ - 010 Esaf) onsidere um cubo no qual a área de cada face mede 4 cm. Sabendo-se que a diagonal do cubo é o segmento de reta que une dois vértices não pertencentes à mesma face, então a diagonal do cubo mede, em centímetros: a). b). c) 4. d). e). 17. (TRF/010 Esaf) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cms é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície? a) 5. b) 7,5. c) 5 + 5 /. d) 5. e) 10. 18. (gente de Trabalhos de Engenharia Sec Mun da Fazenda RJ - 010 Esaf) Se o volume de um cone de altura h e diâmetro da base d é V, então o volume de um cone de mesma altura h e diâmetro da base d é: a) V. d) V. b) 4V. e) V. c) πv. 17
GRITO DE GEOMETRI 01. 0. 0. 04. 05. 06. 07. nulada 08. D 09. 10. 11. 1. E 1. 14. 15. D 16. 17. D 18. 18
EXERÍIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRI 01. onverter 60º para radianos. Para converter de graus para radianos podemos usar uma regra de três simples: p rad ------- 180º x rad ------- 60º Daí: 180.x = 60.p Þ x = 60p/180 = p/ Resposta: 60º = p/ rad 0. onverter p/6 radianos para graus. onverteremos graus para radianos também através de uma regra de três simples: 180º ------- p rad x ------- p/6 rad Daí: p.x = 180. p/6 Þ x = 180/6 = 0 Resposta: p/6 rad = 0º 0. Qual é o ângulo congruente a 1480º? Para calcular esse ângulo devemos dividir o ângulo por 60º. (40) 4 O quociente 4 significa o número de voltas completas que o 1480º dá no ciclo trigonométrico. O resto 40 é exatamente o ângulo congruente a 1480º. Portanto, temos que 1480º é congruente a 40º. 04. Qual é o ângulo positivo congruente a 1950º? 1480 1950 60 60 (150) 5 O quociente 5 significa o número de voltas completas que o 1950º dá no círculo trigonométrico no sentido horário. O resto 150 é o valor absoluto em graus que o ângulo de 1950º percorre após completar as 5 voltas. Daí, 1950º é congruente a 150º. Para o 150 completar uma volta falta percorrer um valor absoluto em graus de 10º (= 60º 150º). Daí, 10º é o ângulo positivo congruente a 150º e a 1950º. 19
05. alcular sen 150º e cos 5º. omo o 150º é do segundo quadrante, podemos aplicar a fórmula sen (180º-a) = sen a. Substituindo a por 150º, teremos: sen (180º-a) = sen a sen (180º 150º) = sen 150º sen (0º) = sen 150º Ou seja: sen 150º = sen 0º = 1/. omo o ângulo de 5º está no º quadrante, podemos aplicar a fórmula cos (180º+a) = cos a. Fazendo 180º+a=5º, o valor de a fica em 45º. Daí: cos (180º+a) = cos a cos (5º) = cos 45º cos (5º) = 06. Se 90º < x < 180º e cotg x = -4/, calcule sen x. O ângulo x é do º quadrante, logo sen x é positivo. cotangente é o inverso da tangente, assim ela é dada pela razão entre cosseno e seno. teremos: cotg x = -4/ Þ cos x/sen x = -4/ Þ. Substituindo cos x por sen x + cos x = 1 Þ sen x + = 1 sen x + = 1 9sen x + 16sen x = 9 5sen x = 9 sen x = 9/5 Þ sen x = ± /5 Sabemos que o sen x é positivo, daí: sen x = /5 (resposta!) na relação fundamental entre seno e cosseno, 07. Sendo tg x = / e sen y = 4/5, com 0º < x < 90º e 90º < y < 180º, calcule a tangente da soma entre x e y. Para calcular a tangente de y, precisamos antes obter o cos y. cos y = ± 1- sen y = ± 1- (4 / 5) = ± / 5 9 = ± /5 omo y é um ângulo do º quadrante, então ele é negativo. cos y = - /5 Daí, vem: tg y = sen y / cos y = 4/5 / (-/5) = - 4/ 0
Podemos agora aplicar a fórmula da tangente da soma de dois ângulos. tg x+ tg y /+ (-4/) tg ( x+ y) = = 1-tg x tg y 1- / (-4/) Resolvendo, vem: tg ( x+ y) = -6/17 (Resposta!) 08. Na figura abaixo, a circunferência tangencia os lados do ângulo ˆ V nos pontos e. alcule o raio da circunferência de acordo com as medidas dadas. r V 60º 10 m Podemos deduzir da figura acima que: 1º) a bissetriz do ângulo ˆ V passa pelo centro da circunferência; º) o segmento que une o centro da circunferência com o ponto é perpendicular ao segmento V. Teremos, então, o seguinte desenho: V 0º 0º 10 m O triângulo OV é um triângulo retângulo. razão trigonométrica da tg 0º é: tg 0º = r / 10 tangente é a razão entre seno e cosseno, daí vem: sen 0º/cos 0º = r / 10 Sabemos que: sen 0º=1/ e cos 0º=. ( ) 1 /( ) 1 / = r / 10 r = O = r / 10 10 = m r 10 (Resposta!) 1
09. Num terreno plano, uma pessoa vê um prédio sob um ângulo de 60º. fastando-se do edifício em mais 0 metros, passa a ver o edifício sob um ângulo de 45º. Qual é a altura do prédio? O desenho da questão é: P h 45º 0 60º d S No triângulo PS, temos: Þ Þ No triângulo PS, temos: Þ Þ Daí: Þ Þ Þ (Resposta!) 10. alcule o lado de um triângulo no qual = 10, = 0º e = 45º. onsidere que sen 105º=0,97. omo a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, o ângulo é igual a 105º (=180º-0º-45º). O desenho do triângulo é: c 45º b 0º 10 105º Para encontrar o lado, aplicaremos a lei dos senos. 10 sen 45 Resolvendo, vem: c 0 c = sen 105 10 c = / 0,97 = 10 0,97 0
19,4 19,4 c = = = 9,7 aso a questão pedisse o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, a reposta seria: 10 sen 45 10 10 = R Þ = R Þ R= / 0 = 5 11. Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 16 cm e formam entre si um ângulo de 60º. alcule o terceiro lado do triângulo. O desenho do triângulo da questão é: 10 b 60º 16 Temos os dados necessários para aplicar a lei dos cossenos. b = 10 + 16.10.16.cos 60º Resolvendo, vem: b = 100 + 56 0.1/ b = 56 160 b = 196 b = 14 cm (Resposta!) 1. Um triângulo tem lados iguais a 8 cm, 10 cm e 1 cm. alcule o seno do ângulo oposto ao lado de 10 cm. om os dados fornecidos no enunciado, temos o seguinte triângulo: 8 10 x 1 plicando a lei dos cossenos, encontraremos o cosseno do ângulo x. 10 = 8 + 1.8.1.cos x Resolvendo, vem: 100 = 64 + 144 19.cos x cos x = 108/19 = 9/16 Mas a questão não quer o cos x, mas sim o sen x. Usaremos a relação fundamental entre seno e cosseno.
sen x = ± 1- cos x = ± 5 7 1- (9 /16) = ± 16 O seno de um ângulo interno de um triângulo é sempre positivo, pois esse ângulo interno é um valor entre 0º e 180º. Daí, a resposta da questão é: 5 7 sen x = 16 1. (FTN 1998/ESF) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: (cosx + senx) + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é: a) c) -1 e) 1 b) 0 d) - Uma identidade trigonométrica é uma igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos a variável envolvida nas funções trigonométricas. Na expressão do enunciado, temos a variável x envolvida com as funções seno e cosseno. Vamos desenvolver o termo (cosx + senx) que aparece na expressão. Teremos: (cosx + senx) = cos x +.cosx.senx + sen x (cosx + senx) = sen x + cos x +.cosx.senx (cosx + senx) = 1 +.cosx.senx Substituindo o termo (cosx + senx) por 1+.cosx.senx na expressão dada no enunciado, teremos: 1+.cosx.senx + y.senx.cosx - 1 = 0.cosx.senx + y.senx.cosx = 0 Vamos colocar em evidência o termo senx.cosx: senx.cosx.( + y) = 0 Se (+y) for igual a zero, então qualquer que seja o valor atribuído a x a expressão acima será verificada. Daí: (+y)=0 Resposta: alternativa D. Þ y= 14. (F 005 ESF) O sistema dado pelas equações x sen a y cos a = cos a x cos a + y sen a = sen a possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que a é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a a) 1 c) 4 e) cos π b) d) sen π questão afirma que x e y são as raízes do sistema. Então a soma dos quadrados das raízes, solicitada na questão, é dada por: x + y Para que apareça nas equações do sistema os valores de x e y, devemos elevar ao quadrado ambos os lados das equações do sistema. ssim, teremos: 4
(x.sen a y.cos a) = ( cos a) (x.cos a + y.sen a) = (sen a) (x.sen a) (x.sen a)(y.cos a) + (y.cos a) = ( cos a) (x.cos a) + (x.cos a)(y.sen a) + (y.sen a) = (sen a) x.sen a xy.sen a.cos a + y cos a = cos a x.cos a + xy.cos a.sen a + y.sen a = sen a Somando membro a membro as duas equações do sistema, teremos: x.sen a + x.cos a + 0 + y cos a + y.sen a = cos a + sen a x.(sen a + cos a) + y.(cos a + sen a) = cos a + sen a x.(1) + y.(1) = 1 x + y = 1 Resposta: alternativa. 15. alcule o cos ( arc sen1/ 4). Faremos arc sen 1/4 = x. Daí, temos: sen x = 1/4 O arco seno é definido no intervalo [-90º, 90º]. omo o sen x é positivo, então o ângulo x está no 1º quadrante. Substituindo arc sen 1/4 por x na expressão do enunciado, ficaremos apenas com a expressão cos x. plicando a relação fundamental entre seno e cosseno, teremos: cos x= ± 1- sen x cos x =± 1- (1/ 4) cos x = ± 15/16 cos x= ± 15 4 Sabemos que o ângulo x está no 1º quadrante, desse modo só nos interessa o valor positivo do cosseno. cos = 15 4 x (Resposta!) 5
EXERÍIOS DE TRIGONOMETRI DS VÍDEOULS 01. (F 00 ESF) expressão dada por y = 4(cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. ssim, o intervalo de variação de y é: a) -4 y 8 c) - y e) 0 y 8 b) 0 < y 8 d) 0 y 4 0. (Sec dministração PE 008 FGV) Se cos x = -1/, então cos 6x é igual a: ) 0 D) ) 1 E) -1 ) 1/ 0. (Processo Seletivo Simplificado 008 ESF) Se x é um arco do segundo quadrante e seno de x é igual a 1/, então a tangente de x é igual a: a) b) c) - d) 1 1 e) - 04. (Fiscal do Trabalho 006 ESF) Sabendo-se que cos x + sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a: a) -4/ d) -5/ b) 4/ e) 1/7 c) 5/ 05. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/000 ESF) Sabe-se que o seno de 60º é igual a ( 1/ )/, e que co-seno de 60º é igual a 1/. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo a é igual ao dobro do produto do seno de a pelo co-seno de a. ssim, a tangente do ângulo suplementar a 60 0 é: a) - 1/ d) ( 1/ )/ b) - ( 1/ ) e) - ( 1/ )/ c) 1/ 06. (Especialista em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG 00 ESF) Sabese que a função inversa da função seno é a função cossecante e que o seno do dobro de um arco é dado por sen x = sen x cos x. Sabendo-se que x é um arco do segundo quadrante e que o cosseno da metade deste arco é igual a 1/, então a cossecante de x vale: - a) d) - b) e) 1 c) 07. (FRF 009 Esaf) Um projétil é lançado com um ângulo de 0º em relação a um plano horizontal. onsiderando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento? 6
a) 0, km b) 0,65 km c) 0,5 km d) 1, km e) 1 km 08. (F-GU 008 ESF) Sabendo que x= arc cos e que o valor da expressão cos(x - y) é igual a: 6+ a) d) + 4 6- b) e) 4 c) 1 arc sen y=, então 09. (F/GU 01 Esaf) alcule o determinante da matriz: a) 1 b) 0 c) cos x d) sen x e) sen (x/) 10. (FT 010 Esaf) Seja y um ângulo medido em graus tal que 0 y 180 com y ¹ 90. o multiplicarmos a matriz abaixo por a, sendo a ¹ 0, qual o determinante da matriz resultante? a) b) c) d) 0 e) 7
GRITO DE TRIGONOMETRI 01. E 0. 0. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. D 8