UM MODELO GARCH E A CORRELAÇÃO IMPLÍCITA: ASSOCIAÇÃO DOS RETORNOS DO IBOVESPA COM OUTROS ÍNDICES AMERICANOS

UM MODELO GARCH E A CORRELAÇÃO IMPLÍCITA: ASSOCIAÇÃO DOS RETORNOS DO IBOVESPA COM OUTROS ÍNDICES AMERICANOS André Assis de Salles Depo. de Engenharia Indusrial Escola Poliécnica / UFRJ e-mail: asalles@ind.ufrj.br The echnological advancemens have been allowing he increase of informaional efficienc and he inegraion of he global capial marke, hus generaing he need o foresee he associaion among several capial markes, paricular among he reurns of he inernaional sock marke indexes. One of he imporan research areas in capial marke lieraure has been heeroscedasici models. This sud presens a mehodolog o forecasing he comovemen relaionships of he inernaional equi marke: a generalized auoregressive condiional heerocedasici model, esimae via Markov chain Mone Carlo, o deermine he implied correlaion. This mehodolog is applied o check he correlaion beween he monhl reurns of he Brazilian sock marke, ha is he Sao Paulo Sock Exchange, among he oher imporan sock exchange in he American coninen, from he period of significan growh of he Brazilian sock marke, januar 1994, rough sepember 000. Kewords: GARCH Model; Markov Chain Mone Carlo; Implied Correlaion. 1. INTRODUÇÃO Nos úlimos anos, com a globalização, as economias dos países em desenvolvimeno, ou seja as economias emergenes, vêm experimenando um processo de inegração, ou de absorção, pelas economias de países desenvolvidos, ou seja de economias indusrializadas. Iso em se verificado facilmene, ou de forma mais evidene, nos sisemas financeiros, em paricular nos mercados de capiais. Uma forma de se observar esse fenômeno no mercado de capiais, desare o conceio de inegração ser mais amplo que o da associação enre os mercados, é verificar a evolução do grau de associação enre os reornos dos mercados de ações, represenados pela variação dos índices de lucraividade das ações negociadas nesses mercados. Aualmene os problemas econômicos de qualquer nação, inegrada ao mercado global, podem afear ouras nações. Deve-se desacar que enre os principais indicadores adianados, de qualquer economia de mercado, esá a performance do mercado de capiais e, em paricular do mercado de ações. Imporane para os agenes econômicos envolvidos em negociações de aivos financeiros, ou em aividades de planejameno, er previsões acuradas da associação do mercado, no qual sua aividade de produção esá primeiramene associada, com ouros mercados que possam esar passando, ou correm o risco de passar, por problemas econômicos, como por exemplo problemas cambiais, com em aconecido mais recenemene. Pode-se anever, e aé procurar eviar, crises como as do México, da Rússia, e da Argenina se exisirem ano sinalizadores seguros para crises nas economias desses países quano insrumenos para ENEGEP 00 ABEPRO 1

mensuração do grau de associação dos reornos de aivos com os mercados de capiais coníguos com essas economias. Assim jusifica-se o desenvolvimeno de méodos de mensuração da associação enre os mercados de ações brasileiro e os mercados inernacionais, seja com o objeivo de verificar a evolução recene ou para prever fuuros possíveis conágios da economia brasileira com ouras economias. Ese rabalho em por objeivo desenvolver, sob a óica da inferência Baesiana, e aplicar, a dados reais, um modelo ARCH (Auoregressive Condiional Heeroscedasici), a parir da generalização do modelo apresenada por BOLLERSLEV (1986), para consrução de um coeficiene de correlação implícia. O rabalho esá esruurado da seguine maneira: a seguir, na seção é apresenada a meodologia uilizada nese rabalho; na seção 3 são descrias as amosras uilizadas; na seção 4 são apresenados os resulados obidos; e na seção 5 são feios os comenários finais.. METODOLOGIA A deerminação do coeficiene de correlação, enre reornos de aivos financeiros, nem sempre é uma arefa simples. O coeficiene de correlação linear pressupõe normalidade dos reornos, pressuposo, em se raando de séries de reornos diários, difícil de ser assumido. Além disso, como aceio pela oalidade dos pesquisadores da área de finanças, as séries de reornos de aivos financeiros apresenam heeroscedasicidade. No enano pode se ober o coeficiene de correlação de forma simples, a parir do esudo da volailidade de, somene, rês séries de reornos: dos dois aivos financeiros envolvidos e de uma formada pela diferença enre os reornos desses dois aivos. Como a variância da diferença de duas variáveis é dada por: σ x = σ x + σ cov( x, ) σ x = σ x + σ σ xσ ρx. [ 1 ] Assim em-se que o coeficiene de correlação pode ser deerminado pela seguine fórmula: ρ x σ x + σ σ x =. [ ] σ σ x Com iso pode-se ober o coeficiene de correlação ρ x a parir das variâncias de x, e x. Associando o coeficiene de correlação obido a parir desa fórmula a volailidade implícia, obida por inermédio do modelo de precificação de Black & Scholes, ALEXANDER (1996) denomina o coeficiene obido, desa forma, de correlação implícia. Alernaivamene, uilizando-se a Teoria de Careiras, pode-se monar porfolio, de variância mínima, com apenas dois aivos e uilizar os percenuais de paricipação do monane de recursos em cada aivo na fórmula da variância da soma ponderada dos reornos, ou na do porfolio com os dois aivos, como o rabalho desenvolvido por KELLY (1994) para uma quanidade maior de aivos. ENEGEP 00 ABEPRO

A deerminação da correlação aravés da fórmula, ciada aneriormene, permie a uilização dos inúmeros modelos de volailidade disponíveis na lieraura de finanças: modelos de volailidade implícia; modelos de volailidade esocásica; modelos ARCH desenvolvidos a parir do imporane rabalho de ENGLE (198); modelos GARCH (Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasici) desenvolvidos por BOLLERSLEV (1986); e ouros modelos ais como IGARCH (Inegraed GARCH), AGARCH (Asmmeric GARCH), EGARCH (Exponenial GARCH) (ver BOLLERSLEV e al. (1994)). Nese rabalho a opção foi por um modelo GARCH(1,1) desenvolvido a parir da descrição de AKGIRAY (1989), apresenado adiane: R D ~ Normal( µ ; σ ) 1 [ 3 ] µ = a + br 0 1 σ = α + α e 1 1 + α σ 1 onde, R = reorno mensal no período, D -1 = informações disponíveis aé o período 1, e e = ( R a br 1 ). O modelo [ 3 ], acima, foi esimado para as séries de reornos mensais dos índices de lucraividade aravés da inferência Baesiana, deerminando-se as seguines disribuições para os parâmeros do modelo: a ~ Normal(0,01;0,) b ~ Normal(1;0,) α ~ Uniforme(0;1) 0 α ~ Uniforme(0,1) 1 α ~ Uniforme(0,1) Na inferência Baesiana procura-se ober a disribuição poseriori de parâmeros de ineresse, dado o conhecimeno das variáveis relevanes para deerminado modelo, ou seja., após o conhecimeno das informações sobre as variáveis. Algumas caracerísicas da disribuição poseriori são necessárias para feiura de inferências, ais como: média, moda, percenis, ec... Para obenção da poseriori, e solução dos modelos aqui descrios, são necessários, em geral, méodos numéricos. Os méodos baseados em amosragem são os que êm merecido maior aenção dos pesquisadores, principalmene os méodos de Mone Carlo via cadeias de Markov méodos de MCMC. Na úlima década méodos baseados em MCMC vêm sendo uilizados na inferência Baesiana permiindo a solução de problemas complexos, anes de difícil solução. Nesses méodos amosras são geradas de ENEGEP 00 ABEPRO 3

uma disribuição de ineresse aravés da simulação de uma cadeia de Markov. Exisem algumas formas de consrução dessas cadeias, uma das mais uilizadas é o amosrador de Gibbs. Para um maior conhecimeno das écnicas de MCMC para inferência Baesiana, em paricular o amosrador de Gibbs, pode-se recorrer a GAMERMAN (1997) e GILKS e al. (1998). Os modelos uilizados nese rabalho foram esimados via amosrador de Gibbs, uilizando-se o sofware BUGS ( Baesian Inference Using Gibbs Sampler ), na versão WinBUGS 1.3 de abril de 000, elaborado por SPIEGELHALTER & THOMAS & BEST (000). Oura alernaiva para esimação de modelos GARCH, em um enfoque Baesiano, pode ser visa em BAUWENS & LUBRANO (1996). Além dos coeficienes de correlação, obidos pela meodologia descria aneriormene, foram calculados nese rabalho, para efeio de comparação, as correlações mensais hisóricas, ou seja, coeficienes obidos para o período com um conjuno de n informações disponíveis aé o período 1. Manendo-se assim o enfoque prediivo dos coeficienes de correlação deerminados nese rabalho. 3. DADOS UTILIZADOS Foram coleados, no sofware Economáica, coações mensais de fechameno em US$, de janeiro de 1986 aé agoso de 000, dos seguines índices, de lucraividade de ações, represenando os mercados de ações nore-americano, do México, da Argenina e do Brasil: NASDAQ - índice de lucraividade da Bolsa de Valores da Nasdaq; DJI ( Dow Jones Indusrial ) - índice de lucraividade do mercado de ações dos EUA; IPC - índice de lucraividade da Bolsa de Valores da Cidade do México; MERVAL - índice de lucraividade da Bolsa de Valores de Bueno Aires; IBOVESPA - índice de lucraividade da Bolsa de Valores de São Paulo. Com essas informações foram calculados os reornos mensais da seguine forma: R R = ln. [ 4 ] R 1 E com os reornos foram esimadas séries de variâncias, com o modelo GARCH descrio na seção anerior. A parir daí foram calculadas as correlações implícias, para o período de janeiro de 1994 aé seembro de 000, e correlações, aqui designadas como hisóricas, para o mesmo período, omando n = 60 observações. A escolha do início do período em 1994 se deve ao fao de que a parir desse ano o volume financeiro, do mercado de ações brasileiro, com aberura da economia, iniciada nos primeiros anos da década de 90, e com a implemenação do programa de privaizações, começa ser significaivo, quando comparado com ouros mercados inernacionais. Iso é, o mercado de capiais brasileiro começa a receber uma grande soma de recursos do exerior. ENEGEP 00 ABEPRO 4

4. RESULTADOS OBTIDOS Os resulados serão mosrados a seguir por inermédio de gráficos. Ibvsp-DowJones Ibvsp-Nasdaq Ibvsp-IPC Ibvsp-Merval 1,0 1,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00-0,0-0,40-0,60 jan/94 jul/94 jan/95 jul/95 jan/96 jul/96 jan/97 jul/97 jan/98 jul/98 jan/99 jul/99 jan/00 jul/00 jan/94 ou/94 jul/95 abr/96 jan/97 ou/97 jul/98 abr/99 jan/00 Ibvsp-DowJones 0,49 0,48 0,4 0,67 0,6 0,8 0,7 0,40 0,59 Ibvsp-Nasdaq 0,47 0,45 0,7 0,5 0,55 0,46 0,55-0,04 0,7 Ibvsp-IPC 0,4 0,60 0,40 0,7 0,77 0,71 0,81 0,5 0,78 Ibvsp-Merval 0,43 0,55 0,5 0,69 0,73 0,61 0,80 0,63 0,37 Gráfico 1: correlações implícias do Ibovespa com ouros índices No gráfico 1, acima, pode-se observar que no período esudado o coeficiene de correlação implícia capa os problemas da economia inernacional. A evolução dos coeficienes mosra, por exemplo, que a associação enre os reornos do IBOVESPA com o IPC, índice represenaivo do mercado acionário o México, diminui durane o início da crise mexicana, final de 1994 e início de 1995, reomando os paamares aneriores após a ajuda nore-americana ao México. De 1996 aé ouubro de 1998, o coeficiene de correlação indica uma associação fore do mercado brasileiro com o mercado mexicano, não apresenando sinais de fragilidade durane a crise asiáica, o que deve ser melhor esudado. Mas com a crise russa, a parir do segundo semesre de 1998, e a desvalorização do real no período seguine, início de 1999, o mercado mexicano se desassocia do mercado brasileiro de ações. ENEGEP 00 ABEPRO 5

Como se pode observar, no gráfico 1, o comenário sobre a evolução dos coeficienes de correlação implícia enre o mercado brasileiro e o mercado mexicano de ações podem ser esendidos as séries dos ouros coeficienes esudados. Ibvsp-DowJones Ibvsp-Nasdaq Ibvsp-IPC Ibvsp-Merval 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,0 0,10 0,00 jan/94 jul/94 jan/95 jul/95 jan/96 jul/96 jan/97 jul/97 jan/98 jul/98 jan/99 jul/99 jan/00 jul/00 jan/94 se/94 mai/95 jan/96 se/96 jun/97 fev/98 ou/98 jun/99 fev/00 Ibvsp-Dow Jones 0, 0,4 0,47 0,43 0,39 0,19 0,37 0,59 0,60 0,63 Ibvsp-Nasdaq 0,3 0,3 0,4 0,36 0,31 0,10 0,6 0,47 0,33 0,4 Ibvsp-IPC 0,07 0,17 0,8 0,33 0,36 0,33 0,54 0,67 0,65 0,7 Ibvsp-Merval 0,15 0,17 0,30 0,4 0,51 0,4 0,49 0,66 0,70 0,66 Gráfico : correlações hisóricas do Ibovespa com ouros índices Deve-se desacar que a correlação do IBOVESPA com o índice da NASDAQ foi quase sempre menor denre os demais coeficiene esudados, e a correlação negaiva no período conurbado da economia brasileira no início de 1999. Nese período a associação do IBOVESPA com o índice MERVAL é a que menos apresena variações bruscas, apesar das do aumeno da volailidade, e por conseguine diminuição da correlação, provocada pelas crises no período. Da observação geral do gráfico 1, pode-se inferir que a associação enre os principais mercados americanos se maném, quase sempre, em paamares acima de 0,5, o que pode se designar como algo acima do moderado. Quano as correlações hisóricas pode-se observar, no gráfico, que os coeficienes não capam as crises na economia inernacional, mencionadas nos parágrafos aneriores. No período que envolve a crise russa e a crise na economia brasileira, época da ENEGEP 00 ABEPRO 6

desvalorização do real, os coeficienes apresenam uma elevação o que incompaível com o aumeno da volailidade provocadas pelas ciadas crises. Assim como insrumeno de predição os coeficienes de correlações hisóricas podem apresenar uma disância da realidade. 5. COMENTÁRIOS FINAIS Aravés do coeficiene de correlação implícia, salvo alguns períodos, a associação enre os mercados se apresena de acordo com a crescene globalização e inegração enre os mercados de capiais dos países esudados. O que não se verifica nas séries dos coeficienes de correlação hisórica. Um dos problemas do esudo da correlação do mercado de ações brasileiro com ouros mercados esá na uilização do Ibovespa, que devido as disorções quase sempre apresenadas por esse índice, sua represenaividade em sido quesionada por paricipanes do mercado de ações. O índice IBX em surgido como uma alernaiva aé que se consrua e dissemine ouros índices. Sendo assim os resulados apresenados podem ser melhorados com a uilização de um novo índice, o que sugere ouros rabalhos dobre o ema. A uilização da eoria de careiras ambém deve ser esudada para a uilização em indicadores de associação enre os mercados de ações inernacionais. Enfim ouros méodos devem ser invesigados de forma a se ober melhores indicadores da associação fuura, e se esudar a evolução da correlação enre os mercados, mesmo com a indicação da eficácia do méodo aqui apresenado. Deve-se desacar o enfoque prediivo do modelo GARCH e sua uilização na previsão das associações enre os mercados. O que para os modelos desenvolvidos sob a óica Baesiana não é uma novidade. A implemenação de méodos Baesianos em modelos de finanças raz algumas vanagens, como por exemplo: a uilização da disribuição prediiva como disribuição fuura dos reornos dos aivos financeiros; a possibilidade de se rabalhar respeiando a variabilidade dos parâmeros envolvidos nos modelos, no caso dos modelos dinâmicos; a facilidade para o raameno da heerocedasicidade; e a uilização de disribuições alernaivas a normal para disribuição dos reornos dos aivos financeiros. Assim é grande a moivação para o uso da inferência Baesiana em finanças. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AKGIRAY, V., 1989, Condiional Heeroscedasic in Time Series of Sock Reurns: Evidence and Forecas, Jounal of Business, vol. 6, No. 1, pp. 55-80. ALEXANDER, C., 1996, The Handbook of Risk Managemen and Analsis, Chicheser, John Wile & Sons. BAUWENS, L., LUBRANO, M., 1996, Baesian Inference on Garch Models Using he Gibbs Sampler, Core Discussion Paper, Cener for Operaions Research & Economerics Universie Caholique de Louvain. BOLLERSLEV, T., 1986, Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasici, Journal of Economerics, 31, pp. 307-37. BOLLERSLEV, T., ENGLE, R. F., NELSON, D. B., 1994, ARCH Models, in Handbook of Economerics, vol. 4, Norh Holland. ENEGEP 00 ABEPRO 7

ENGLE, R. F., 198, Auoregressive Condiional Heeroskedasici wih Esimaes of he Variance of Unied Kingdom Inflaion, Economerica, 50, No. 4, pp. 987-1007. GAMERMAN, D., 1997, Markov Chain Mone Carlo: Sochasic simulaion for Baesian inference, London, Chapman & Hall. GILKS, W. R., RICHARDSON, S., SPIEGELHALTER, D. J., 1996, Markov Chain Mone Carlo in Pracice, Boca Raon, Chapman & Hall/CRC. KELLY, M., 1994, Sock answer, Risk, 7, No. 8, pp. 40-43. SPIERGELHALTER, D., THOMAS, A., BEST, N., 000, User Manual WinBUGS: version 1.3, MRC Biosaisics Uni, Insiue of Public Healh, Cambrige, UK. ENEGEP 00 ABEPRO 8