MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANÁLISE DE INVESTIMENTO AULA 02: CAPITALIZAÇÃO, DESCONTO E FLUXO DE CAIXA TÓPICO 01: CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES CONCEITO Na capitalização simples, os juros são calculados sobre o capital inicial e capitalizados separadamente de forma que o cálculo dos juros do período seguinte, não afeta o capital e a fórmula utilizada para o cálculo de juros simples é a que vamos deduzir ao final: Com a fórmula, para o cálculo dos juros, (J = P X I) e considerando o período de tempo maior que a unidade. EXEMPLO Veja o seguinte exemplo: sendo o capital igual a R$ 100,00 e a taxa de juros igual a 7% ao mês, calcular os juros em três meses. ASSIM TEMOS OS SEGUINTES DADOS Capital ou Principal = 100,00 Taxa de juros 7% = 7/100 = 0,07 Período de tempo = 3 meses Primeiro mês J 1 = P x i 100,00 x 0,07 = 7,00 Segundo mês J 2 = P x i 100,00 x 0,07 = 7,00 Terceiro mês J 3 = P x i 100,00 x 0,07 = 7,00 TOTAL (J 1 + J 2 + J 3 ) = 21,00 ou ainda J n = 21,00 Onde J = Juros; P = Capital (PV); i = taxa de juros; n = nº de períodos (mês) Portanto, os juros simples de um capital de R$ 100,00 aplicado por três meses é de R$ 21,00 Agora, podemos deduzir a fórmula para os juros simples que ficará da seguinte forma: JN = P X I X N Fórmula 2-1 Observe-se que no exemplo passado, poderíamos ter numa caderneta de poupança onde mensalmente o correntista retira o valor do rendimento (os juros) e gasta, deixando sempre o valor do Capital para o rendimento do mês subsequente. EXEMPLO Determinar os juros e o valor de resgate de um empréstimo de $ 50.000,00, com taxa de juros de 5% a.m., com prazo de três trimestres.

PV = 50.000,00 n = 3 trimestres = 9 meses i = 5% a.m. Juros =? FV =? Juros = PV x i x n = 50.000,00 x 5% x 9 = 22.500,00 FV = PV + juros = 50.000,00 + 22.500,00 = 72.500,00 Uma alternativa para descobrir o FV, é aplicar as informações na fórmula: FV = PV x (1 + i x n) = 50.000,00 x (1 + 5% x 9) = 72.500,00 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA A capitalização composta segue o mesmo princípio da capitalização simples, mas neste caso, o correntista não retira o rendimento, deixando depositado junto com o seu capital inicial. EXEMPLO Aproveitando o mesmo exemplo da capitalização simples, com as seguintes modificações: a cada período (no caso de um mês) se deixa o rendimento (juros) somado ao capital e faz-se o novo cálculo de juros como a seguir. Primeiro mês J 1 = P x i 100,00 x 0,07 = 7,00 Segundo mês J 2 = P x i 107,00 x 0,07 = 7,49 Terceiro mês J 3 = P x i 114,49 x 0,07 = 8,01 TOTAL (J 1 + J 2 + J 3 ) = 22,50 Portanto, os juros compostos de um capital de R$ 100,00 aplicado por três meses é de R$ 22,50 Observe que os juros crescem de forma exponencial, assim, a fórmula para se efetuar cálculos com a capitalização composta será uma fórmula exponencial, que para o cálculo do montante será a seguinte: M = P x (1 + i ) n Fórmula 2-1 Onde: M = montante (FV) P = Principal (PV) i = taxa de juros (em decimais) n = número de períodos, podendo ser dias, meses, ou anos.

Como o montante é igual à soma dos Juros mais o Principal, substituindo na fórmula dos juros compostos, temos: J + P = P(1 + i) n J = P(1 + i) n P colocando o P em evidência a fórmula fica assim: J = P x ((1 + i) n 1) Fórmula 2-2 Substituindo os valores na fórmula e fazendo os cálculos com a calculadora financeira, temos: J = 100,00 ((1 + 1,07) 3-1) J = 100,00 ((2,07) 3 1) J = 100,00 x (1,225043 1) J = 100,00 x 0,225043 = 22,50 J = 22,50 que é o mesmo valor encontrado anteriormente. EXEMPLO 1 Determinar os juros e o valor de resgate de um empréstimo de $ 50.000,00, com taxa de juros compostos de 5% a.m., com prazo de 3 trimestres. PV = 50.000,00 n = 3 trimestres = 9 meses i = 5% a.m. Juros =? FV =? FV = PV x (1 + i ) n = 50.000,00 x (1 + 5%) 9 = 77.566,41 Os cálculos a juros compostos podem ser realizados através de calculadoras financeiras, como a HP12C. Esta calculadora possui cinco funções financeiras básicas: PV Valor presente n Tempo i Taxa de juros FV Valor futuro PMT Prestações É importante informar para a calculadora HP12C o regime de capitalização de juros a ser usado (simples ou composto). Quando o "C" está ativado no visor, a calculadora HP12C faz os cálculos a juros compostos. Quando o "C" está desativado a calculadora faz os cálculos a juros simples na parcela fracionária e a juros compostos na parte

inteira do tempo. Para ativar ou desativar o "C", deve-se teclar [STO] [EEX]. É importante ressaltar também a observância das convenções dos sinais, onde as entradas de caixa devem ser inseridas com valor positivo e as saídas de caixa com valores negativos. Caso todos os parâmetros sejam inseridos com o mesmo sinal a HP12C não fará o cálculo e apresentará uma mensagem de erro. A função [CHS] serve para mudar o sinal de uma variável. Solução do exemplo anterior na HP12C: 50.000,00 (PV) 9 (n) 5 (i) FV 77.566,41 DICA Ver o manual da HP12C disponível no Solar material de apoio. EXEMPLO 2 Determinar o valor de resgate de um empréstimo de R$ 50.000,00, com taxa de juros de 5% a. m., e prazo de 15 dias. Fazer os cálculos no regime de juros simples e composto. Obs.: assumir o mês com 30 dias. PV = 50.000,00 n = 15 dias = 0,5 mês i = 5% a.m. simples) FV = PV x (1 + i x n) = 50.000,00 x (1 + 5% x 0,5) = 51.250,00 (juros FV = PV x (1 + i ) n = 50.000,00 x (1 + 5%) 0,5 = 51.234,75 (juros compostos) Quando n é fracionário o dinheiro a juros simples cresce muito mais rápido do que a juros compostos. Solução na HP12C: neste exercício como n é fracionário é preciso informar a HP12C o regime de capitalização de juros a ser usado. [STO] [EEX] "C" Desativado 50.000,00 (PV) 0,5 (n)

5 (i) (FV) - 51.250,00 [STO] [EEX] "C" Ativado 50.000,00 (P)V 0,5 (n) 5 (i) (FV) - 51.234,75 EXEMPLO 3 A juros compostos de 20% a.a., qual o montante de R$ 3.500,00 em oito anos? Dados: n = 8 anos, i = 20% a.a. PV = $ 3.500,00 FV=? S = P x (1 + i) n = 3.500,00 x (1 + 0,20) 8 = 15.049,37 Na HP12C: [f] [FIN] 3.500,00 [CHS] [PV] 8 (n) 20 (i) (FV) 15.049,37 EXEMPLO 4 Qual o capital que, em seis anos, à taxa de juros composta de 15%a.a., monta R$ 14.000,00?

Solução: n = 6 anos, i = 15% a.a. S = $ 14.000,00 PV =? S = P x (1 + i) n 14.000,00 = P x (1 + 0,15) 6 P = $ 6.052,59 Na HP12C: [f] [FIN] [CHS] 14.000,00 [FV] 6 (n) 15 (i) (FV) 6.052,59 EXEMPLO 5 Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um único pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros composta cobrada for de 15% a.a.? Dados: P = $ 55.000,00 S = $ 110.624,80 i = 15% a.a n =? S = P x (1 + i) n 110.624,80 = 10.624,80 x (1 + 0,15) n 2,01136 = (1,15) n Aplicando logaritmos: Log 2,01136 = n x log 1,15 n = 5 anos

Na HP12C: [f] [FIN] [CHS] 110.624,80 [FV] 10.624,80 [PV] 15 (i) (n) 5 FONTES DAS IMAGENS Responsável: Prof. Sérgio César de Paula Cardoso Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual