Curso Preparatório. Matemática Financeira

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1 Curso Preparatório Tel: ramal Matemática Financeira 1ª Edição

2 CALCULADORA HP 12 C INTRODUÇÃO 2 Memorize o número de série da sua HP-12C, indicada no verso da mesma, assim como o país de sua fabricação. As calculadoras da marca Hewlett-Packard (HP), diferem das demais por não possuírem a tecla de igual ( = ); ela processa os dados. Deste modo, para se efetuar os cálculos, há a necessidade de se introduzir os números envolvidos numa operação desejada, para em seguida, selecionar a operação que os envolva. Após a seleção, a calculadora processará a operação mostrando no visor o resultado do mesmo. Veja o exemplo: =?

3 Calculadora Comum Instituto de Formação Bancária Curso CPA 20 HP - 12C Teclas Visor Teclas Visor E N 8,00 = 13 ( resultado ) T E R ,00 ( resultado ) Como podemos notar, na calculadora comum selecionamos a operação antes de introduzirmos o segundo número, e na HP-12C selecionamos a operação depois de introduzirmos os termos envolvidos na operação (primeiro os termos, depois a função).

4 Para corrigir um número digitado errado, basta apertar a tecla CLX (função clear x) Para deletar os arquivos das memórias, seguimos os passos abaixo: f FIN (função amarela da tecla X Y Limpa o teclado financeiro f REG (função amarela da tecla CLX Limpa todos os registros 4

5 VERIFICARNDO AS FUNÇÕES DA HP-12C Para verificarmos se a calculadora HP-12C está com suas funções funcionando normalmente, precisamos efetuar o seguinte teste: a) Com a calculadora desligada, apertar simultaneamente as teclas ON e x b) Soltar a tecla ON e, em seguida, a tecla x c) A calculadora estará processando suas funções (aparecerá no visor a palavra running ), e ao final (aprox. 10 segundos), o visor demonstrará todas suas funções disponíveis. 5 PARA VERIFICAR O TECLADO DA HP-12C Para isso, seguir os seguintes passos: a) Com a calculadora desligada, apertar simultaneamente as teclas ON e b) Soltar primeiramente a tecla ON e, depois, a tecla c) Apertar, uma a uma, da esquerda para a direita, e de cima para baixo, todas as teclas, passando pelo ENTER duas vezes (na 3ª e na 4ª fileiras) d) Ao toque da última tecla ( + ), deverá aparecer no visor o número 12, no centro.

6 Em caso de algum erro de tecla ou função, aparecerá a mensagem ERROR (se a bateria estiver fraca, aparecerá a mensagem ao teclar R/S). CONFIGURANDO A APARÊNCIA 6 Cálculos com Números Decimais Na calculadora HP-12C pode-se apresentar no visor um número decimal com quantas casas após a vírgula quiser, para isso basta apertarmos a tecla f (função amarela) e, em seguida, a tecla do número de casas que desejarmos: Tecla Visor f 2 0,00 f 9 0, No entanto, apesar da calculadora apresentar no visor o número de casas decimais que selecionamos, conserva internamente e opera com o número total registrado.

7 Tecla Visor (com 2 casas) Internamente f 2 0,00 0, ,3226 1, ENTER 1,32 1, ,454 2, x 3,25 3, Para visualizar todas as casas (momentaneamente), aperte a tecla f e depois ENTER (prefix). Para excluir as casas excedentes à do visor x, aperte a tecla f (função amarela) e depois RND (função amarela da tecla PMT); essa operação executará a função de arredondamento.

8 Separador de Milhar e Centavos A HP12C oferece o recurso de separar as casas de milhar e centavos com padrão americano (vírgula para milhar e ponto para decimal) e brasileiro (ponto para o milhar e vírgula para o decimal), sem interferência nos cálculos (trata-se apenas de ajuste da aparência). Para fazer a conversão, com a calculadora desligada, apertar a tecla ON, segurar, e em seguida a tecla ponto., liberando-as após a operação. 8 Cálculo em Cadeia A HP12C possui um recurso muito prático para a elaboração de cálculos em cadeia; a pilha operacional. São visores internos, não aparentes (y, z, t). Esta é a configuração da pilha operacional: t z visores internos y x visor externo

9 Quando utilizado o último visor da pilha operacional ( t ), o número fica acumulado, repetindo nos outros visores. Se acrescentados outros dados quando da utilização deste último visor (t), este número desaparece de sua memória. FUNÇÕES AUXILIARES a) Para verificar o último número inserido, digite g Lst x (função azul da tecla ENTER). 9 b) Tecla X Y (inversão do visor x para o visor y ) Essa função inverte os valores entre os visores x e y. c) Tecla 1 / x (divide a unidade pelo valor no visor x ) Esta função apresenta o inverso do número constante no visor x. d ) Tecla CHS ( change sign, inversão de sinais ) Essa função inverte o sinal do número mostrado no visor X, passando-o de positivo para negativo ou vice-versa.

10 TECLAS DE PORCENTAGEM Instituto de Formação Bancária Curso CPA 20 a) Porcentagem direta A tecla % fornece, a exemplo de outras calculadoras, o valor percentual direto, com as opções de somar, subtrair ou desprezar do capital. 10 Exemplo: Calcular 10% de º ) Inserir o capital na HP-12C ENTER 2º ) Inserir a taxa percentual e solicitar o resultado 10 % 200 (resultado) Se desejar somar o resultado ao capital, aperte a tecla de adição ( + ); se desejar subtrair, a tecla de subtração ( - ); se quiser desprezar para calcular outro percentual, apertar a tecla CLX. b) Porcentagem do Total A tecla %T calcula o percentual de um número em relação ao primeiro inserido. Para sabermos, por exemplo, quanto representa, em termos percentuais, 10 em relação a 200: 1º ) Inserir o nº ENTER 2º ) Digitar o nº 10 e apertar %T 10 %T resultado = 5%

11 c) Variação Percentual A tecla % calcula a variação percentual de um número inserido para um segundo. Por exemplo, vamos ver qual a variação percentual de 10 para º ) Inserir o número ENTER 2º ) Inserir o nº 200 e solicitar 200 % 1900% (resultado) 11 Significa que a variação de 10 para 200 unidades é de 1900% positivos. Utilizada também para apurar a taxa de repasse de uma operação ou variação de preços. É importante perceber que o cálculo é efetuado em relação do primeiro para o segundo termo; no caso do valor do segundo termo inserido ser inferior ao primeiro, o resultado aparecerá na forma negativa, informando que houve um decréscimo de valor. Exemplo: 1º termo = 20 ENTER 2º termo = 19 função % (resultado) -5 % (variação negativa) Significa que, de 20 unidades para 19 unidades, há uma variação negativa de 5%. Essa função é muito utilizada para comparar preços e valores de bens.

12 TECLAS DE MEMÓRIAS Para armazenar na memória Digitar a função STO e o nº da memória desejado. Para recuperar, digitar a função RCL e o nº da memória desejado. A HP-12C fornece os seguintes recursos: Dez memórias normais (de 0 a 9), e mais dez memórias extras (ou paralelas), de.0 a.9. Exemplo: Para armazenar um nº quando as memórias de 0 a 9 estiverem ocupadas, digitar a função STO, a tecla ponto (. ) e o nº desejado. Para recuperar o nº, digitar a função RCL, a tecla ponto (. ) e o nº correspondente. 12 Observação: algumas calculadoras não possuem as memórias extras.7 (ponto sete) até.9 (ponto nove). Para saber a quantidade de memórias, digite g mem (função azul da tecla 9, aparecerá a quantidade de memórias disponíveis ao final da linha, por breve instante). Soma / subtração na memória: para somar um nº estabelecido no visor x a um nº reservado em uma memória, digitar as funções STO, +, e o nº da memória correspondente (o resultado ficará armazenado na memória); para subtrair, funções STO, -, e o nº da memória correspondente (será subtraído o nº da memória pelo do visor, e o resultado estará automaticamente armazenado). Multiplicação: com o nº estabelecido no visor x, digitar as funções STO, x e o nº da memória correspondente. O resultado ficará armazenado na memória.

13 Divisão: com o nº estabelecido no visor x, digitar as funções STO, e o nº da memória correspondente. Será efetuada a divisão entre o nº armazenado na memória e o nº estabelecido no visor x, ficando o resultado armazenado na memória. CÁLCULO DE PRAZO (em dias) E DATA A HP-12C é dotada de um calendário, e pode nos fornecer datas ou os dias decorridos ou a decorrer de uma data a outra. Originalmente, ela vem com a data em formato de mês, dia e ano (padrão americano); para converter no padrão brasileiro (dia, mês e ano), devemos apertar as teclas g D.MY (função azul da tecla 4), aparecendo no visor d.my. Para reverter, basta apertar as teclas g M.DY (função azul da tecla 5). 13 Forma de cálculo de datas (posição D.MY) 1º passo: Digitar a data de partida no formato D.MY Exemplo 1º de janeiro de 2.007, digitar 1, º passo: Digitar o nº de dias a decorrer (ex.: 90 dias) 3º passo: Apertar as teclas g date (função azul da tecla CHS) Resultado: (1º de abril, domingo)

14 O último nº a aparecer no visor corresponde ao dia da semana, iniciando-se da 2ª feira. Para retroagir datas, utilizar a tecla CHS quando inserir o nº de dias. Exemplo: vamos descobrir qual a data que antecede 1º de janeiro de 2007 em 90 dias ENTER 90 CHS g date resposta (terça-feira) 14 Forma de cálculo do prazo (em dias): 1º passo: Digitar a data inicial. 2º passo: Digitar a data final. 3º passo: Apertar as teclas g DYS (função azul da tecla EEX) Exemplo: De 1º de janeiro de 2007 a 31 de dezembro de 2007: 1, ENTER 31, g dys resultado: 364 dias. Descubra agora quantos dias de vida possui, digitando sua data de nascimento, a data de hoje e a função dias. (dd,mmaaaa de nascimento Enter dd mmaaaa atual g dys) Para saber em que dia da semana nasceu, digite sua data de nascimento, o número zero e a função data. (dd,mmaaaa de nascimento Enter 0 g date)

15 TECLADO FINANCEIRO Trata-se do plus da HP12C; sabendo manipular essas teclas, determinamos qualquer dos elementos: n período, número de parcelas 15 i taxa de juros (forma %) PV PMT FV valor presente, capital valor das parcelas valor futuro, montante Veremos, no próximo capítulo a seguir, a forma de utilizar esse teclado. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) O preço da gasolina no Posto A é R$ 2,69 e no Posto B R$ 2,74. Qual a diferença percentual entre eles?

16 2) Um assalariado receberá R$ 350,00 a título de PLR. Considerando que seu salário é de R$ 1.850,00 qual o percentual relativo da PLR? 16 3) Um equipamento de informática custa R$ 2.000,00 a vista ou em duas parcelas, sendo a primeira de 40% no ato e R$ 1.344,00 em 45 dias. Qual a taxa de juros mensal cobrada? 4) Quantos dias faltam para acabar o ano?

17 5) Em qual dia da semana você nasceu? 17

18 MATEMÁTICA FINANCEIRA MATEMÁTICA é uma ciência exata, portanto não há como um mesmo enunciado possuir duas ou mais respostas. Pode haver interpretações ou modos de resoluções diferentes, porém um só resultado. A Matemática Financeira é o ramo da ciência destinado à aplicação da Matemática nos diversos problemas do Mercado Financeiro; trata-se do estudo do comportamento do dinheiro no tempo, sendo seu domínio imprescindível a quem deseja desenvolver-se na área gerencial, indiferente do ramo de atividade. Para esse domínio, é exigida análise atenta dos problemas que queiram resolver, compreensão clara das operações financeiras envolvidas e familiaridade não somente com a linguagem dos negócios, como também das tabelas, fórmulas e calculadoras (financeira, científica ou comum), além de muito exercício. 18 CONCEITOS GERAIS Para continuidade do assunto, vejamos os conceitos utilizados no Mercado Financeiro: Capital: para a matemática financeira, é um valor em moeda corrente, disponível p/ transação financeira (empréstimo ou aplicação); Juro: remuneração de um capital aplicado a uma determinada taxa, por um período; Taxa de juros: remunerador de uma operação financeira, é a razão entre o juro e o capital; Capitalização: operação de soma do juro periódico ao capital; Período de Capitalização: intervalo de tempo entre cada capitalização; Montante: soma do capital e o juro total produzido (também chamado de resgate).

19 FLUXO DE CAIXA Tendo em vista que a maioria dos problemas de Matemática Financeira ocorre em instantes de tempo diferentes, é útil adotar-se uma representação que possibilite visualizar e simplificar a sua resolução. Tal representação é conhecida como Fluxo de Caixa. Denomina-se Fluxo de Caixa de uma empresa, indivíduo, etc. a relação das entradas e saídas de dinheiro (caixa) por um determinado período. Sua representação pelo período pode ser feita através de quadros, ou graficamente, através do seguinte diagrama: 19 + ( entrada / recebimento ) n 0 ( - ) saída, pagamento Este diagrama é a forma mais usual de representação e considera que: 1) A escala (reta) horizontal representa o tempo que pode ser expresso em dias, semanas, meses, anos, etc., ou seja, conforme designar o problema. Assim, os pontos 0, 1, 2,... n substituirão as datas do calendário do problema, indicando a unidade de tempo utilizada.

20 Neste caso, o instante 0 representa normalmente a data inicial, o ponto 1 representa o final do primeiro período e assim sucessivamente. 2) As entradas de dinheiro, recebimentos ou financiamentos, serão sinais positivos e serão representados por flechas apontadas para cima. 3) As saídas de dinheiro ou pagamentos terão sinais negativos e serão representadas por flechas apontadas para baixo. 20 A importância da elaboração do Fluxo de Caixa é a de que qualquer operação nele representado, apresentará uma melhor visualização e consequentemente uma maior facilidade de resolução. Portanto, o Fluxo de Caixa deve ser encarado como uma ferramenta muito importante na resolução de problemas de Matemática Financeira. Exemplo: Vamos montar o Fluxo de Caixa em dias de um empréstimo de R$ 5.000,00 que você pagará R$ 3.000,00 daqui a 30 dias, R$ 1.000,00 em 60 dias e R$ 1.500,00 daqui a 90 dias. R$ 5.000, R$ 3.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.500,00

21 (a resolução desse problema será visto no capítulo Série Variável de Pagamentos) REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO CAPITALIZAÇÃO (ou Juros) SIMPLES A taxa de juros é dita simples (ou linear) quando o valor total dos juros é resultante da sua incidência somente sobre o capital inicial; isto é, a taxa não incide sobre o valor dos juros acumulados periodicamente, não é capitalizado periodicamente, o valor do juro é proporcional ao capital, à taxa e ao período aplicado. 21 Uma vez introduzido os conceitos básicos, vamos estabelecer algumas formas práticas de utilizar tais conceitos. Considerando: J = valor do juro; i = taxa percentual, sempre na mesma unidade do período; C = capital (ou principal); n = período da operação.

22 Temos a seguinte fórmula para determinação do valor dos Juros com capitalização simples, derivada de uma relação diretamente proporcional: J = C x i x n 22 De onde definimos Juros como: O resultado do capital aplicado a uma taxa percentual por um determinado período de tempo. Abaixo, derivações dessa fórmula: i = J C x n C = J i x n

23 O Montante (ou Resgate) é definido pelo Capital acrescido dos juros resultantes de uma operação, com incidência de taxa e prazo. Portanto, podemos definir a fórmula do Montante (ou Resgate) como: M = C + ( C x i x n ) Utilizando as propriedades matemáticas, temos: 23 M = C x [ 1 + ( i x n ) ] CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Define-se por juros compostos (ou exponenciais, ou equivalentes) quando o valor total dos juros é resultante da incidência da taxa sobre o capital inicial e também sobre o valor dos juros acumulados de cada período. Teríamos, então: M = C x (1 + i ) x ( 1 + i ) x ( 1 + i )... x ( 1 + i ), por n períodos (geralmente mensais). Neste caso, ao invés de multiplicarmos a taxa pelo prazo, podemos utilizar a propriedade matemática e exponenciar. Temos, então, a seguinte fórmula:

24 M = C x ( 1 + i/100 ) n ou M = C x ( F ) n 24 FATORES DE CAPITAL Uma taxa percentual é uma fração centesimal, e pode ser expressa em sua forma unitária (por exemplo, 7% = 0,07). Outra forma de representação da taxa, para definição de uma operação de adição do juro ao capital (MONTANTE), é por meio de fatores, ou seja, da soma de uma unidade do Capital (1) à taxa de juros na sua forma linear; fatores são, portanto, a forma unitária da taxa de juros acrescida de uma unidade do Capital. Temos, então: F = 1 + i / 100

25 E, acrescentando períodos, temos o Fator de Atualização de Capital: Fator de Atualização de Capital FAC = 1 + ( i x n ) (em geral, apresentado com 4 casas decimais) 25 A fórmula do Montante pode ser definida: M = C x Fac TAXAS PROPORCIONAIS Para convertermos taxas de unidades de tempo diferentes (quanto se tratar de capitalização simples), utilizamos a seguinte fórmula de proporcionalidade da taxa: ip = i x Pzo. desejado Pzo. da taxa, onde ip = taxa proporcional, nominal (veremos melhor este conceito adiante)

26 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS Instituto de Formação Bancária Curso CPA 20 No caso de capitalização composta, as taxas, aplicadas em períodos diferentes de sua unidade, sofrem uma equivalência, ou seja, são descapitalizadas pela razão dos períodos. n Ie = {[ ( 1 + i / 100 ) - 1 ] x 100 }, onde Ie = taxa equivalente, efetiva 26 TIPOS DE TAXAS DE JUROS Nominal (ou corrente, ou de referência): normalmente indicada em contratos, é a taxa proporcional ao período de tempo (ex.: taxa nominal anual = taxa mensal x 12 ); Efetiva: é a taxa que representa o custo da operação, sendo a razão entre o resgate e o valor liberado, à capitalização composta (taxa efetiva de aplicação = resgate / capital); Real: representa o ganho real; é a taxa descontando os efeitos inflacionários (veremos esse tipo de taxa em casos de aplicações financeiras); Exata: considera, para efeito de cálculo, o ano civil (365 dias); Comercial: considera o ano comercial (360 dias);

27 UTILIZANDO A HP12C Instituto de Formação Bancária Curso CPA 20 Capitalização Simples Inserir a taxa de juros (Digitar a taxa e teclar i ); Inserir o prazo (em dias) (Digitar o prazo e teclar n ); Inserir o capital (Digitar o valor financiado e teclar PV); Teclar função f INT (Juros ano comercial); Teclar R (uma vez aparece o Valor do Capital; duas vezes os Juros considerando o ano civil (365 dias). 27 Capitalização Composta Inserir a taxa de juros (observar a periodicidade); Inserir o prazo (relativo à taxa de juros); Inserir o capital; Teclar função FV (aparece o valor do Montante negativo, devido à interpretação do Fluxo de Caixa). Importante: A taxa de juros e prazo devem constar no mesmo período (usualmente, mensal). Equivalência de Taxas Taxa mensal para equivalência anual Inserir a taxa de juros mensal; Inserir uma unidade de capital no PV, fluxo de caixa negativo (1 CHS PV); Inserir o prazo desejado (12 meses);

28 Teclar função FV (o resultado será o fator de capital acumulado, para converter para a taxa anual, subtrair a unidade de capital e multiplicar por 100). Taxa anual para equivalência mensal Inserir uma unidade de capital no PV, fluxo de caixa negativo (1 CHS PV); Inserir o Fator de Capital no FV (1+i); Inserir o prazo da taxa (12); Teclar a função i (o resultado será na forma percentual mensal). EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 28 1) Qual o juro produzido pelo capital de R$ ,00 aplicado à taxa nominal de 12% ao ano, por um período de 240 dias? 2) Qual o resgate de uma aplicação de R$ 8.000,00 à taxa nominal de 24% ao ano, por um período de 8 meses?

29 3) Quanto pagarei ao final de 1 ano por um empréstimo de R$ 5.000,00 tomado à taxa efetiva de 1,5% ao mês? 29 4) Um capital de R$ ,00 foi aplicado a juros com taxa nominal de 14,50% ao ano, por um período de 65 dias. Qual será o rendimento e, se aplicar hoje, qual a data de resgate?

30 5) Qual a taxa equivalente mensal de 32% ao ano? 30 6) Qual a taxa equivalente anual de 2% ao mês?

31 SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS Uma série uniforme de parcelas pode ser definida como sendo uma sucessão de pagamentos ou recebimentos iguais, com vencimentos sucessivos onde a diferença de prazo entre cada termo (recebimento/pagamento) é constante; ou seja, parcelas iguais, mensais e consecutivas. Estas séries podem ser de dois tipos: com termos vencidos ou termos antecipados. A nomenclatura a ser usada neste tipo de problema é a mesma (n, i, PV, FV), precisando incluir somente a parcela ou anuidade a qual representaremos pela sigla PMT (payment), linguagem utilizada pela calculadora financeira HP12C. 31 a) Série Uniforme com Termos Vencidos - nesta série, o prazo de recebimento ou pagamento ocorre no final de cada período (ou, popularmente, utilizamos a expressão sem entrada ). Na calculadora HP, para resolver este tipo de problema, a função financeira deverá estar na posição END (final), para especificar que a forma de pagamentos ou recebimentos (PMT) ocorre no final de cada período (função azul da tecla 8); b ) Série Uniforme com Termos Antecipados - Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período unitário (ou, popularmente, a primeira no ato, ou com entrada). Assim, a primeira prestação é sempre paga ou recebida no período zero, ou seja, na data do contrato do empréstimo, do financiamento, da aplicação ou de qualquer outra operação que implique em pagamentos ou recebimentos de prestações. Seu processo de resolução é praticamente o mesmo que termos vencidos, bastando adicionar na fórmula o multiplicar ou dividir os fatores com termos vencidos por (1 + i) para antecipar a série.

32 Na programação das calculadoras HP a função financeira deverá estar na posição BEGIN (início) para especificar que a forma de pagamentos ou recebimentos das parcelas (PMT) no Fluxo de Caixa ocorre no início de cada período (função azul da tecla 7). Temos então para este tipo de série os seguintes fatores: 1) Fator de Acumulação de Capital (FAC) - este fator resolve o seguinte problema: qual o valor futuro (FV) de uma série uniforme constante de pagamentos (PMT) a uma certa taxa de juros (i), num certo período (n)? Ou seja: dado o valor das parcelas (PMT) achar o Valor Futuro (FV), ou montante ou capital acumulado. 32 2) Fator de Formação de Capital (FFC) - este fator resolve o seguinte problema : que série uniforme (PMT) equivaleria um dado Valor Futuro (FV) a uma certa taxa de juros (i) num certo período (n)? Ou seja: dado o valor Futuro achar o valor das parcelas. 3) Fator de Valor Atual (FVA) - este fator resolve o seguinte problema: qual o Valor Presente (PV) ou valor atual de uma série uniforme de parcelas (PMT), a uma certa taxa de juros (i), num certo período (n)? Ou seja: dado o valor das parcelas acharem o Valor Presente. 4) Fator de Recuperação de Capital (FRC) - Este fator resolve o seguinte problema: que série uniforme de parcelas (PMT) equivaleria a um certo valor presente (PV) a uma certa taxa de juros (i) num certo período (n)? Ou seja: dado o Valor Presente (PV), taxa (i) e períodos (n), achar o valor das parcelas (PMT). Importante: Atentar ao tipo de cálculo (BEG ou END), a diferença é relevante!

33 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Instituto de Formação Bancária Curso CPA 20 1) As Casas Bahia financia um produto em 24 vezes iguais de R$ 52,47 sem entrada, dizendo cobrar um juro de 4% ao mês. Qual o valor a vista desse produto, e o acumulado (ou o resultado operacional), ao final do plano, corrigindo as prestações pela mesma taxa de juros? 33 2) Se aplicar todo mês R$ 200,00 em uma aplicação que me rende 0,5% ao mês de juros, quanto resgatarei ao final de 1 ano?

34 3) Considerando que as Casas Bahia continuam vendendo seus itens por 24 meses, à taxa de 4% ao mês, qual o valor de cada prestação daquele produto para resultar, ao final do período, R$ 2.153,45 à empresa (reajuste de 5%)? Qual o percentual de reajuste das prestações e do valor a vista? 34 4) Planejo viajar, e estimo os custos em R$ ,00. Quanto devo aplicar mensalmente para resgatar esse valor, ao final de 1 ano, com as prestações corrigidas à taxa de 1% ao mês?

35 5) Desejo comprar um carro, que custa R$ ,00 à vista. Considerando que tenho condições de aplicar meu dinheiro à taxa de 1% ao mês, quanto devo depositar mensalmente (começando mês que vem) para atingir este total em 18 meses? Se financiar à mesma taxa, qual seria a diferença entre as parcelas? 35 6) Qual a vantagem de pagar por um determinado material à vista R$ 1.000,00 ao invés de 12 prestações mensais de R$ 104,00 sem entrada, considerando-se uma taxa de juros de 2% a.m.?

36 7) Um financiamento de 10 parcelas de R$ 200,00 pode ser quitado pelo valor à vista de R$ 1.800,00 (parcela vence no próximo mês). Possuo esse dinheiro, aplicado à taxa de 1,20% ao mês. Qual a melhor opção, por quê? 36 8) As Casas Bahia querem diminuir seus juros para 3% ao mês. Qual o valor das prestações mensais fixas daquele produto, que custa R$ 800,00 à vista, financiado em 24 vezes, sem entrada? Qual o impacto relativo à parcela anterior (de R$ 52,47) e ao resultado futuro (R$ 2.050,66)?

37 37 9) Desejo comprar um veículo, que custa R$ ,00 à vista, em 10 parcelas. Porém, se pagar no ato 20%, e financiar o restante à taxa nominal de 9,60% a. a. qual será o valor de cada prestação? 9b) Qual será a taxa efetiva mensal, se o percentual do financiamento for aplicado pelo valor da Nota Fiscal (valor cheio)?

38 38 10) Uma loja oferece um CD player por R$ 800,00 à vista, ou em 3 parcelas mensais iguais de R$ 300,00 sendo a primeira no ato. Qual a taxa de juros cobrada? Qual a diferença na taxa se a primeira fosse após 30 dias?

39 11) Qual a taxa daquele produto das Casas Bahia, que custa R$ 800,00 à vista, com 24 prestações de R$ 52,47 (que dizem cobrar 4% de juros mensais), se pagar a primeira à vista? 39 12) Escolha entre comprar um equipamento à vista por R$ 1.000,00 ou em 5 vezes iguais sem entrada de R$ 240,00 ou ainda em 6 vezes iguais, com entrada, de R$ 200,00, sendo que há condições de tomar o recurso, junto a uma Instituição Financeira, à taxa de 5% ao mês.

40 13) Quanto deveria pagar, à vista, por uma máquina que custa R$ 1.200,00 em 6 vezes iguais ( sem juros ), com entrada, sabendo que está embutido juros efetivos de 18% ao ano? 40 14) Desejo fazer um Fundo Próprio de Aposentadoria; se depositar R$ 100,00 todo mês na poupança (juro nominal de 6% ao ano), iniciando hoje e durante 20 anos e 3 meses, quanto poderei retirar mensalmente, se considerar uma expectativa de vida, após a aposentadoria, de 20 anos?

41 SÉRIE VARIÁVEL DE PAGAMENTO Há determinados tipos de operações financeiras que oferecem a condição de pagamentos de parcelas variáveis, com termos vencidos ou antecipados. Podemos representar a operação no Fluxo de Caixa da seguinte maneira: n = 3 PV = Valor aplicado, equivalente a CF0 ( Cash Flow 0, ou Fluxo de Caixa instante zero) Resgates (ou Fluxos de Caixa de diversos instantes: CFj): 41 PMT 1 = a PMT 2 = b a (CF1) (CF2) PMT 3 = c b (CF3) PMT 4 = d c (CF4) PMT 5 = e d (CF5)

42 e d c b a CFj PV (CF0) Para definirmos os valores de cada grandeza (PV, FV, i, n, PMT), há a necessidade de cálculo individual de cada termo. A calculadora HP12C resolve os problemas de Fluxo de Caixa para séries variáveis de pagamento considerando que:

43 a) Os Fluxos de Caixa devem ser registrados na ordem cronológico em que os mesmos ocorrem; ou seja, inicialmente deve-se registrar o instante zero, a seguir o instante um, e assim por diante, onde a diferença de prazo entre cada termo e o seguinte seja constante. b) Deve ser mantida a convenção de sinais do Fluxo de Caixa; ou seja, valores recebidos ou financiados são positivos e os valores pagos são negativos. 43 c) A calculadora aceita, no máximo, 20 valores diferentes de Fluxo de Caixa (quantidade de memórias disponíveis, verificar pela função g mem. Cada valor pode ser repetido até 99 vezes pela função Nj, como veremos adiante. Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR) A TIR (Taxa Interna de Retorno), identificada na HP12C pela tecla IRR (Internal Rate of Return) resolve o seguinte problema: Dada a série de entradas e saídas, achar a taxa de retorno da operação (em caso de investimentos, a taxa de rentabilidade do Capital). Exemplo: Emprestei R$ 1.200,00 a um amigo, por 180 dias, sendo que ele vai me pagar da seguinte maneira: R$ 300,00 em 30 dias, R$ 500,00 em 60 dias, nada no terceiro mês, e três parcelas finais de R$ 200,00 cada. Vamos representar no Fluxo de Caixa:

44 (1200) Utilizamos a HP12C, da seguinte maneira: Pressione Visor Estará registrado a) 1200 CHS g CF ,00 Fluxo de Caixa no instante zero

45 300 g CFj 300,00 Fluxo de Caixa no instante 1 c) 500 g CFj 500,00 Fluxo de Caixa no instante 2 d) 0 g CFj 0,00 Fluxo de Caixa no instante 3 e) 200 g CFj 3 g nj 200,00 Fluxo de Caixa nos instantes 4, 5 e 6 45 f) f IRR 16,88 Resultado, na forma percentual. Observem: A rentabilidade dessa operação foi de 16,88% mensais. Os dados inseridos são armazenados nas memórias, em ordem de inserção (instante zero, memória 0; instante 5, memória 5; e assim por diante). A alteração de qualquer dado, substituindo os valores diretamente nas memórias, irão alterar também o resultado solicitado. Valor Presente Líquido (VPL ou NPV) O Valor Presente Líquido (VPL), identificado na HP12C na tecla NPV (Net Present Value) resolve o problema: Dada a série de entradas e saídas e uma taxa i (de risco, de compensação, de custo, de atratividade, etc.), achar o Valor Presente Líquido desta série; ou, a diferença entre as entradas e as

46 saídas no instante zero utilizando determinada taxa de desconto i (utilizada para saber a rentabilidade de uma negociação, em valor monetário, como comparativo de risco) (1200) i = 3% a.m. Resolvemos na HP12C da seguinte maneira: Pressione Visor Estará registrado a) 1200 CHS g CF ,00 Fluxo de Caixa no instante zero

47 b) 300 g CFj 300,00 Fluxo de Caixa no instante 1 c) 500 g CFj 500,00 Fluxo de Caixa no instante 2 d) 0 g CFj 0,00 Fluxo de Caixa no instante 3 47 e) 200 g CFj 3 g nj 200,00 Fluxo de Caixa nos instantes 4, 5 e 6 f) f IRR 16,88 Resultado, na forma percentual. g) 3 i 3,00 a taxa de desconto / risco h) f NPV 380,28 Resultado, em R$ Observação: O valor positivo indica que o retorno da operação foi superior à taxa de risco; se negativo, indicaria a taxa de risco superior à rentabilidade. Em um empreendimento os termos TIR e VPL são fatores decisivos para a aprovação ou não do investimento.

48 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 48 1) Emprestei a um amigo R$ 3.000,00 sendo que ele vai pagar R$ 900,00 após 30 dias, R$ 1.000,00 em 60 dias, R$ 500,00 em 90 dias, R$ 500,00 em 120 dias e R$ 500,00 daqui a 150 dias. Qual o retorno que estou tendo? E, se tenho a opção de aplicar à uma taxa de 3%, qual o resultado? Devo emprestar? 2) Um terreno no valor de R$ ,00 pode ser vendido em 6 prestações mensais iniciais e consecutivas de R$ 500,00, mais 12 prestações mensais consecutivas de R$ 1.000,00 e mais 12

49 prestações mensais consecutivas de R$ 1.200,00 sem entrada. Qual a taxa mensal de juros desta operação? 49 2a) Se este terreno tiver intermediárias de R$ 600,00 de 6 em 6 meses, qual será a taxa de juros cobrada?

50 2b) Considerando essa última alternativa, qual o impacto se tomar o recurso em uma Instituição Financeira à taxa de 3% ao mês para comprá-lo à vista? 50 3) Comprei uma máquina de produzir fraldas por R$ 5.000,00 à vista, e com ela consegui um faturamento líquido de R$ 200,00 no primeiro mês; R$ 400,00 nos três meses seguintes; R$ 380,00 nos seis meses posteriores; R$ 520,00 no mês seguinte; nada no mês posterior devido a quebra e manutenção; R$ 380,00 no mês posterior; R$ 420,00 por dois meses e depois a vendi por R$ 300,00 a um sucateiro. Qual foi a TIR desse investimento?

51 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Basicamente desenvolvidos para operações de empréstimos, consistem em pagamentos periódicos do capital (valor tomado) e dos juros, utilizando sempre juros compostos. 51 Sistema Francês de Amortização (SAF) Conhecido mais ainda como Tabela Price (devido ao criador, Richard Price, economista inglês), consiste no pagamento periódico de uma importância (PMT) que compreende o juro do capital nesse período e a amortização da dívida, de modo que, efetuando o último pagamento, a dívida fica liquidada. Pela definição, os mais atenciosos perceberam que esse sistema nada mais é do que a Série Uniforme de Pagamentos, exatamente no item Fator de Recuperação de Capital, isto é, problemas do tipo Dado o valor presente, a taxa de juros e o período, calcular o valor das prestações, com termos vencidos (primeiro pagamento após 30 dias).

52 Vejamos o seguinte exemplo: Em um empréstimo de R$ ,00 à taxa de 2% ao mês, demonstrar a amortização em 5 parcelas, considerando termos vencidos (calculando, temos o PMT = R$ 2.121,58). Então: Período Saldo Devedor Prestação Amortização Juros , , , ,58 200, , , ,01 161, , , ,22 122, , , ,21 82, , , ,98 41,60 TOTAL , ,00 607,90 Na calculadora HP12C calculamos o valor das prestações utilizando as teclas i, n e PV para inserir os dados e PMT para obter o valor. Para sabermos o cálculo do valor de juro e amortização acumulada

53 em determinado período, além do principal remanescente, utilizaremos a função AMORT (função amarela da tecla n). Utilizando o exemplo acima, vamos verificar qual o valor de juros pagos no instante 3, isto é, na terceira parcela (inclusive), e qual o saldo devedor naquele instante. Vamos seguir os passos: Inserir o capital ( ) em PV; PV 53 Inserir a taxa de juros ( 2 ) no i; 2 i Inserir a quantidade de parcelas no n; 5 n Solicitar o valor da prestação ( PMT ); PMT ,58 Inserir o nº do instante desejado ( 3 ) no AMORT; 3 f AMORT ( 483,93 ) (aparecerá o valor dos juros pagos ) Para saber o valor da amortização acumulada x > y ( 5.880,82 ) Para saber o valor principal remanescente rcl PV ( 4.119,18 )

54 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Efetuei um empréstimo de R$ ,00 no Banco Legal S/A, pelo sistema Price, à taxa de 6% a.m. em 24 prestações mensais e consecutivas, a primeira com vencimento 30 dias após a efetivação do contrato. Qual o meu saldo devedor após pagar a 12ª prestação (metade do empréstimo)? Quanto paguei de juros até o momento? 54

55 2) Monte uma tabela, usando o sistema Price, para uma loja de móveis, considerando uma taxa de juros de 5% ao mês, com opção de 2 a 6 pagamentos (utilizar 5 casas após a vírgula). 55

56 n Prestações Com entrada Sem entrada 56