ÍNDICE. Descrição do Conteúdo

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1 Descrição do Conteúdo ÍNDICE Pág. Introdução ao Uso 03 Ligando e Desligando a Calculadora 03 Indicação de Bateria Fraca 03 O Teclado 03 Números Negativos 03 Funções das Teclas Matemáticas 04 Funções das Teclas Limpeza 04 Funções das Teclas Outras 04 Cálculos Aritméticos Simples 05 Registradores de Armazenamento 07 Armazenando e Recuperando Números 08 Apagando os Registros de Armazenamento 08 Cálculo com Constante 09 Inverso de um Número 09 Raiz Quadrada 10 Funções das Teclas Percentuais 10 Porcentagens 10 Diferença Porcentual 11 Porcentagem do Total 11 Funções das Teclas Calendário 13 Funções das Teclas Financeiras 14 Juros Simples 15 Cálculo de Juros Simples 15 Cálculo de Juros para o Ano Comercial 16 Cálculo Montante 16 Cálculo de Juros para o Ano Civil 16 Cálculo de Juros Compostos 17 Cálculos Financeiros e o Diagrama do Fluxo de Caixa 18 Calculando o Número de Pagamentos ou de Períodos de Composição (Resumo) 19 Série Uniforme Postecipado 20 Série Uniforme Antecipada 23 Taxas 26 Cálculo da Taxa Equivalente 26 Programa de Cálculo de Taxas Equivalentes para Calculadora HP 12C 27 Instruções de Uso do Programa 28 Amortização 29 Funções das Teclas Estatísticas 33 Acumulando Estatísticas 33 Corrigindo Estatísticas Acumuladas 34 Desvio Padrão 35 Estimação Linear 35 Média Ponderada 36 Cálculos de Depreciação 39

2 2 Ligando e Desligando a Calculadora INTRODUÇÃO AO USO Para começar a usar a sua HP 12C, pressione a tecla ON. Se você pressionar ON novamente, a calculadora será desligada. Se a calculadora não for desligada manualmente, ela se desligará automaticamente de 8 a 17 minutos após a sua última utilização. Indicação de Bateria Fraca A sua calculadora, quando ligada, indica a condição de bateria fraca através de um asterisco (*) que fica piscando no canto inferior esquerdo do visor. Quando isto acontecer, desligue a calculadora e substitua as baterias. O Teclado A maioria das teclas da HP 12C realiza duas ou até mesmo três funções. A função primária de uma tecla é indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior da tecla. As funções alternativas de uma tecla são indicadas pelos caracteres impressos em dourado acima da tecla e pelos caracteres impressos em azul na face oblíqua da tecla. Tais funções alternativas são especificadas pressionando-se a tecla de prefixo adequada, antes da tecla correspondente à função desejada: Para especificar a função alternativa impressa em dourado acima da tecla, pressione a tecla dourada, de prefixo ( f ), em seguida pressione a tecla da função. Para especificar a função primária impressa na face superior de uma tecla, basta apenas pressioná-la sozinha. Para especificar a função alternativa impressa em azul na face oblíqua da tecla, pressione a tecla azul, de prefixo ( g ), e então pressione a tecla da função. Se você pressionar por engano, uma das teclas de prefixo f ou g, elas poderão ser canceladas pressionando-se f CLEAR PREFIX. Esta última seqüência de teclas também pode ser usada para se cancelar as teclas STO, RCL, GTO (tais teclas podem ser consideradas com de prefixo, uma vez que as teclas numéricas devem ser pressionadas em seguida a elas, para se executar a função correspondente). Como a tecla PREFIX também é empregada para se apresentar a mantissa (todos os 10 dígitos) de um número que esteja no visor, a mantissa do número que estiver no visor será apresentada por um momento após a tecla PREFIX ser solta. Ao se pressionar uma das teclas f ou g de prefixo, o indicador de estado (anúncio) correspondente, f ou g ficará aceso no visor. O anúncio se apaga após se pressionar uma tecla de função (executando a função alternativa da tecla), uma outra tecla de prefixo, ou f CLEAR PREFIX. Números Negativos Para fazer com que o número que estiver no visor fique negativo (tanto um que tenha acabado de ser introduzido como um resultado de um cálculo), basta pressionar a tecla CHS (CHange Sign = troca o sinal). Quando o visor contiver um número negativo (ou seja, um número precedido pelo sinal de menos), ao se pressionar CHS remove-se o sinal de menos do visor, fazendo com que o número fique positivo.

3 3 1 FUNÇÕES DAS TECLAS MATEMÁTICAS y x potenciação 1 x - inverso de um número (g) x - raiz quadrada (g) e x antilogarítmo natural (g) LN logaritmo natural 2 FUNÇÕES DAS TECLAS LIMPEZA (f) Clear Σ - limpa e apaga os registros estatísticos (f) Clear FIN limpa e apaga os registros financeiros (f) Clear PRGM limpa e apaga os registros de PRGM (f) Clear REG limpa e apaga todos os registros da calculadora exceto os de PRGM (f) Clear PREFIX apresenta o visor com todos os números sem vírgula ou ponto CLx limpa e apaga o número do visor As Teclas CLEAR Tecla (s) CLx f CLEAR f CLEAR PRGM f CLEAR FIN f CLEAR REG Apaga O visor ( o registrador X). Os registradores estatísticos (R 1 a R 6 ), os registradores da pilha operacional, e o visor. A memória de programação (somente quando pressionadas no modo PRGM). Os registros financeiros. Os registradores de armazenamento de dados, os registradores financeiros, os registradores da pilha operacional e ÚLTIMO X (LAST X), e o visor. 3 FUNÇÕES DAS TECLAS OUTRAS (f) RDN arredonda a mantissa com mais de 10 números (g) FRAC elimina o número inteiro deixando a fração (g) INTG elimina a parte fracionária de um número decimal R - (rolls down) memória rotativa apresenta no visor os últimos 4 registros no ENTER

4 4 x y inverte os valores CHS (change) troca o sinal do número do visor ( ± ) EXX introduz expoente (g) LSTx recupera o último número introduzido no visor ENTER separador de números (g) MEM (memory) mostra as linhas de programa e memórias para uso ON liga e desliga a calculadora (f) aciona as teclas amarelas (g) aciona as teclas azuis STO introduz os números nas memórias RCL recupera os números das memórias STO EXX introduz o c no visor Cálculos Aritméticos Simples Em resumo, para se realizar uma operação aritmética: 1. Introduza o primeiro número. 2. Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro. 3. Introduza o segundo número. 4. Pressione +,, ou para realizar a operação desejada. Por exemplo, para calcular 13 2, faça o seguinte: Introduz o primeiro número na calculadora. ENTER Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número Introduz o segundo número na calculadora A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada Exemplo:

5 5 Suponha que você emitiu três cheques sem atualizar os canhotos, e que posteriormente você depositou o seu salário de R$ 505,30 na sua conta. Se o seu último saldo foi de R$ 583,30 e os cheques emitidos foram de R$ 229,50, R$ 137,00 e R$ 101,40, qual o valor do novo saldo? Solução: Escrito no papel, este problema seria lido assim: 583,30 229,50 137,00 101, ,30 583, Introduz o primeiro número. ENTER Ao pressionar ENTER, você separa o primeiro do segundo número. 229, Introduz o segundo número Ao pressionar você subtrai o segundo número do do primeiro. A calculadora apresenta o resultado desse cálculo, que é o saldo após a subtração do primeiro cheque Introduz o próximo número. Como acabou de ser realizada uma operação, não pressione ENTER ; o próximo número introduzido (137.00) fica automaticamente separado do anteriormente contido no visor (353.80) Pressionando você subtrai o número que acabou de introduzir do anteriormente contido no visor. A calculadora apresenta o resultado deste cálculo, que é o novo saldo após a subtração do segundo do segundo cheque. 101, Introduz o próximo número e o subtrai do saldo anterior. O novo saldo aparecerá no visor.(ele esta ficando bem baixo!) 505, Introduz o próximo número (o salário que foi depositado) e adiciona-o ao saldo anterior. O novo saldo será apresentado no visor. Examine esses fatos num outro tipo de cálculo: um que envolva a multiplicação de grupos de dois números com a posterior adição dos resultados. Por exemplo, considere o cálculo de ( 3 4) + (5 6). 3 ENTER Primeiro passo: Multiplica os números do primeiro parênteses. 5 ENTER Segundo passo: Multiplica os números do segundo parênteses Terceiro passo: Adiciona os resultados das duas multiplicações. Veja agora o que ocorre na pilha operacional durante um cálculo em cadeia:

6 6 ( 3 4) + (5 6) 7 T Z Y X Teclas Resolva: ENTER ENTER a) (3 + 4) (5 + 6) = b) (27 14) ( ) = 0.25 c) 5 = Registradores de Armazenamento Suponha que você queira realizar uma operação aritmética com o número no visor e o contido num registrador de armazenamento e então armazenar o resultado no mesmo registrador, sem afetar o número contido no visor. A HP 12C permite que você faça tudo isso numa única operação: 1. Pressione STO 2. Pressione +,, ou para especificar a operação desejada. 3. Introduza o número do registrador. Você poderia usar a aritmética com os registradores de armazenamento para atualizar rapidamente o saldo após um depósito ou após a emissão de um cheque (exemplo anterior). 583,30 STO 0 583,30 Armazenar o saldo atual no registro R ,50 STO 0 229,50 Subtrai o primeiro cheque do saldo contido em R 0. Observe que o visor continua apresentando o valor subtraído; a resposta fica apenas em R ,00 STO 0 137,00 Subtrai o segundo cheque. 101,40 STO 0 101,40 Subtrai o terceiro cheque. 505,30 STO ,30 Adiciona o depósito. RCL 0 620,70 Recupera o conteúdo de R 0 para verificar o novo saldo.

7 7 A HP 12C armazena dados em memórias: Registradores de armazenamento. Existem 4 registradores especiais que são usados para armazenar números durante os cálculos e um outro que é usado para armazenar o último número contido no visor antes da realização de uma operação. Além disso, acham-se disponíveis até 20 registradores de dados para o armazenamento manual de números. Existem ainda os registradores financeiros. Armazenando e Recuperando Números Para armazenar um número contido no visor de um registrador de armazenamento: 1. Pressione STO 2. Introduza a número do registrador: de 0 a 9 para os registradores R 0 a R 9 ou.0 a.9 para os registradores R. 0 a R. 9. De maneira análoga, para recuperar um número de um registrador de armazenamento no visor, pressione RCL, e então introduza o número da tecla do registrador em que o mesmo está armazenado. Este processo recupera o número no visor, porém não apaga, sendo que o mesmo fica mantido na calculadora para cálculos posteriores. Exemplo: Você faz uma pesquisa de preços na fábrica, de uma linha de produtos, que são: tipo A, R$ 20,00 por unidade e tipo B, R$ 30,00 por unidade. Logo após você armazena os dados nos registradores de armazenamento. Mais tarde, você retoma os contatos com a fábrica, efetuando um pedido de 10 unidades do produto do tipo A e uma unidade do tipo B. Para calcular o custo final do pedido. 20 STO 1 20,00 armazena o custo do produto A em R STO 2 30,00 armazena o custo do produto B em R 2. CLx apaga o visor. Mais tarde,... ON 0,00 liga a calculadora. RCL 1 20,00 recupera o custo do produto A no visor ,00 custo dos produtos do tipo A. RCL 2 30,00 recupera o custo de produto B no visor ,00 valor total do pedido Apagando os Registros de Armazenamento Para apagar um único registrador de armazenamento, basta armazenar zero no mesmo. Você não precisa apagar um registrador de armazenamento para armazenar um novo dado no mesmo. Para apagar todos os registradores de armazenamento de uma só vez basta pressionar (f) CLEAR REG. Suponha que você queira realizar uma operação aritmética com o número no visor e o contido num registrador de armazenamento e, então armazenar o resultado no mesmo registrador, sem afetar o número contido no visor. A aritmética com registradores é apenas possível com os registradores R 0 a R 4.

8 Exemplo: 8 Suponha que você use a memória (registradora de armazenamento) R 4 para controlar o saldo de uma conta corrente. O saldo anterior da conta corrente de R$ 324,00 está armazenado nessa memória. Mais tarde, você emite um cheque de R$ 150,00 e posteriormente faz um depósito de R$ 210,00. Você poderia usar aritmética com os registradores de armazenamento para atualizar rapidamente o saldo após um depósito ou emissão de um cheque. 324 STO 4 324,00 armazena o saldo atual em R STO 4 150,00 subtrai o valor do cheque em R STO ,00 soma o valor do depósito em R 4. RCL 4 384,00 saldo da conta. Cálculo com Constante Para efetuar cálculos com valor constante os passos são: 1. Introduza o número a ser usado como constante 2. Pressione ENTER 3 vezes consecutivas 3. Introduza o número que deseja operar com a constante 4. Pressione o sinal da operação 5. Pressione CLx 6. Introduza o próximo número a ser operado com a constante e repita o processo a partir do passo 4. Exemplo: Multiplicar o valores 600, 800 e 1500 pelo número ENTER ENTER ENTER 50, ,00 1º produto CLx 0, ,00 2º produto CLx 0, ,00 3º produto Inverso de um Número É a divisão da unidade pelo número dado.

9 Exemplo: 9 Calcular o inverso de x 0,50 Raiz Quadrada Exemplo: Calcular a raiz quadrada de g x 10,00 Raiz ou ainda, 100 ENTER 100, x 0,50 y x 10 Raiz EXERCÍCIOS 1) Resolver: a) ( 7 + 3). (5 2) = 30 f) 3 24 = 2,88 b) = 42 g) 5 32 = 2 c) = 294, h) = 20,43 d) = 760 i) = 17, e) = 143 j) = 1 %T calcula um percentual em relação a um total 4 FUNÇÕES DAS TECLAS PERCENTUAIS % calcula a diferença percentual entre dois números % calcula a porcentagem de um valor A HP 12C possui três teclas para a solução de problemas de porcentagem: %, %, %T. Você não precisa converter as porcentagens aos seus equivalentes decimais; isto é feito automaticamente quando você pressiona qualquer uma dessas teclas. Dessa forma, 4% não precisa ser transformado em 0.04; você o introduz da maneira como o diz: 4 %. Porcentagens

10 Para calcular o montante correspondente à porcentagem de um número: Introduz a base. ENTER Pressionando ENTER você separa a base do próximo número a ser introduzido, como no caso do cálculo de uma operação aritmética simples Introduz a porcentagem. % Calcula o montante. Exemplo: Você está comprando um carro novo cujo preço de tabela é de R$ ,00. O vendedor ofereceu um desconto de 8%, e o imposto sobre a venda é de 6%. Calcule o valor do desconto do vendedor e então calcule o custo total que você pagará, incluindo o imposto ENTER 12, Introduz a base e separa-a da porcentagem. 8 % Valor do desconto. 11, Valor da base menos o desconto. 6 % Valor do imposto (sobre R$ ,00). + 11, Custo total: a base subtraindo-se o desconto e adicionado-se o imposto Diferença Porcentual Para calcular a diferença porcentual entre dois números: 1. Introduza a base. 2. Pressione ENTER para separar o segundo número da base. 3. Introduza o segundo número. 4. Pressione %. Exemplo: Pelo pregão de ontem, as suas ações caíram de R$ 58,50 para R$ 53,25 por ação. Qual foi a variação porcentual? 58.5 ENTER Introduz a base e separa-a do segundo número Introduz o segundo número. % 8.97 O decréscimo foi de quase 9%. Porcentagem do Total Para calcular a porcentagem de um número sobre outro.

11 Exemplo: No mês passado, a sua empresa exportou produtos no valor de 3.92 milhões de dólares para os E. U. A., 2.36 milhões de dólares para a Europa e 1.67 milhões de dólares para o resto do mundo. Qual foi a porcentagem das vendas à Europa sobre o total exportado? Pressione Visor 3.92 ENTER 3.92 Introduz o primeiro número e separa-o do segundo Adiciona o segundo número Adiciona o terceiro número obtendo total Introduz 2.36 para calcular a porcentagem desse número sobre o total. %T A Europa absorveu cerca de 30% do total exportado. A HP 12C mantém o montante total após o cálculo da porcentagem do total. Portanto, para calcular a porcentagem de um outro valor sobre o total: 1. Apague o visor pressionando CLx. 2. Introduza o valor. 3. Pressione %T novamente. Por exemplo, para calcular (com os dados do exemplo anterior) as porcentagens absorvidas pelos E. U. A. e pelo resto do mundo sobre o total da exportação: CLx 3.92 %T Os E. U. A. absorvem mais de 49% do total exportado. CLx 1.67 %T O resto do mundo absorveu cerca de 21% do total export. EXERCÍCIOS 1) Numa pesquisa feita em dois estabelecimentos foram constatados os seguintes valores: Produto Estabelecimento A Estabelecimento B x 2,50 2,75 10% y 54,78 53,00 3,249% w 21,34 25,30 18,557% x 18,42 15,78 14,332% t 54,28 54,00 0,516% Calcule a diferença porcentual entre os produtos. 11 2) Um comerciante divide R$ 3.000,00 entre seus cinco funcionários proporcionalmente ao tempo de casa. Calcule o percentual que cada um recebeu.

12 Funcionários Valor A % B ,67% C % D ,33% E % 12 3) Calcule quantos por cento: a) R$ 121 são de R$ 484; Resposta: 25% b) 936 g são de g; Resposta: 5,98% c) 912,5 g são de 73 kg; Resposta: 1,25% d) 45 l são de 180 dm 3. Resposta: 25% 4) Um vendedor recebe 3% de comissão sobre as vendas que efetua. Qual a quantia a receber pelas vendas de R$ 8.000, R$ e R$ 9.500? Resposta: R$ 636,00 5) Em uma pesquisa sobre futebol, foram entrevistadas 840 pessoas. Destas, 25% torcem pelo time x. Quantas pessoas, entre as entrevistadas, torcem pelo time x? Resposta: R$ 210 pessoas. 6) Em uma escola com 1810 alunos, 1086 são meninas. Qual é a taxa porcentual de meninas. Resposta: R$ 60% 7) Um objeto foi comprado por R$ 3.100,00 e revendido por R$ 3.472,00. Determine a taxa porcentual acrescida Resposta: R$ 12% 8) Uma conta de R$ 1.250,00 foi paga com atraso e sofreu uma multa de 3,5%. Calcule o valor pago Resposta: R$ 43,75 + R$ 1.250,00 ou seja, R$ 1.293,75 (g) DATE apresenta a data (g) DYS apresenta os dias entre duas datas 5 FUNÇÕES DAS TECLAS CALENDÁRIO (g) D.MY dia, mês e ano apresentação do calendário português (g) M.DY mês, dia e ano apresentação do calendário - inglês As funções de calendário fornecidas com a sua HP 12C (Date e DYS) podem manipular datas entre 15 de Outubro de 1582 até 25 de Novembro de Mês-Dia-Ano. Para trabalhar com datas no formato mês-dia-ano, pressionamos g M.DY. Para introduzir uma data com esse formato em vigor: 1. Introduza o(s) dígito(s) do mês (no máximo 2 dígitos). 2. Pressione a tecla do ponto decimal (. ). 3. Introduza os dois dígitos do dia. 4. Introduza os quatro dígitos do ano. As datas são apresentadas no visor nesse mesmo formato. Por exemplo, para introduzir 7 de Abril de 1984:

13 Dia-Mês-Ano. Para ativar o formato dia-mês-ano, pressione g D.MY. Para introduzir uma data, estando esse formato em vigor: 1. Introduza o(s) dígito(s) do dia (no máximo 2 dígitos). 2. Pressione a tecla do ponto decimal (. ). 3. Introduza os dois dígitos do mês. 4. Introduza os quatro dígitos do ano. Por exemplo, para introduzir 7 de Abril de 1984: Exemplo: Se você comprou um terreno em 14 de Maio de 1981 para pagamento em 120 dias, qual é a data de vencimento? Assuma a hipótese de que você normalmente expressa as datas no formato dia-mês-ano. g D MY 7.04 Ativa o formato dia-mês-ano para a data. (O visor mostra a data do exemplo anterior. A data toda não é apresentada porque o formato de apresentação em vigor é de apenas 2 dígitos decimais; ENTER Introduz a data e espera-a do número de dias a ser introduzido. 120 g DATE 11,09, A data de vencimento é 11 de Setembro de 1981, uma sexta-feira. n número de períodos i taxa de juros PV valor presente ou atual PMT prestação ou valor do pagamento periódico FV valor futuro ou montante (f) AMORT amortização (f) INT juros simples (f) NPV novo valor presente ou líquido (f) IRR taxa interna de retorno (g) 12 - multiplica por 12 6 FUNÇÕES DAS TECLAS FINANCEIRAS

14 (g) 12 - divide por (g) Cfo fluxo inicial de caixa (g) CF j fluxos de caixa seguintes (g) N j número de fluxos de caixa (01 a 99) (f) PRICE preço dos títulos ou debentures (f) YTM rendimento até o vencimento DEPRECIATION depreciação (f) SL depreciação pelo método linear (f) SOYD depreciação pelo método das somas dos dígitos (f) DB depreciação pelo método do declínio em dobro (g) BEG pagamentos antecipados (g) END pagamentos na forma postecipada Juros Simples Juro é o custo do capital para quem o toma emprestado, ou também a remuneração para quem empresta. No caso de juros simples, usamos os seguintes conceitos: Capital também denominado principal, é o valor emprestado. (PV) Juros, a remuneração do capital. (J) Taxa de juros, é o valor pago relativo a cada 100 unidades do capital. (i) Prazo, número de unidades do tempo (dia, meses, anos, etc.) em que o capital é emprestado. (n) Montante, soma do capital com os juros. (s) No sistema de juros simples na base de 360 e 365 dias. Além disso, se o valor dos juros estiver no visor poderá calcular o montante, bastando pressionar +. Cálculo de Juros Simples A sua HP 12C possui um programa próprio para o cálculo do juros simples. Para calcular o juro simples basta introduzir a aplicação inicial na tecla PV, a taxa expressa ao ano em i, o tempo expresso em dias em n e acionar a função juro simples: (f) INT. Exemplo: A fórmula tradicional para o cálculo do juro simples é: i Convencionamos 100 j = PV. i. n Obs.: 1) A sua HP 12C está programada para calcular juros simples, utilizando as teclas: PV, i, n. Sendo a taxa (i) expressa ao ano e o tempo (n) em dias.

15 2) A sua HP 12C trabalha em forma de fluxo de caixa (entrada e saída), sendo que as entradas são valores positivos e as saídas negativos. 3) A matemática financeira tem como principais objetivos: a) A transformação e o manuseio de fluxos de caixa, com a aplicação das taxas de juros de cada período, para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo; b) A obtenção da taxa interna de juros que está implícita ao fluxo de caixa; c) A análise e a comparação de diversas alternativas de fluxo de caixa. Cálculo de juros para o Ano Comercial Exemplo: Calcule o valor dos juros produzidos por um capital de R$ 500,00, aplicado a juros simples de 3% ao mês durante 60 dias, considerando o ano comercial (360 dias). 500 CHS PV 500,00 3 ENTER 12 i taxa anual 60 n f INT juros calculados na base do ano comercial Cálculo do Montante O montante é a soma do capital inicial com os juros produzidos. Exemplo: Calcule o montante obtido por um capital de R$ 500,00 aplicado a juros simples de 3% ao mês durante 60 dias, considerando o ano comercial. 500 CHS PV 500,00 3 ENTER 12 i n f INT juros simples montante Cálculo de juros para o Ano Civil Neste caso, os juros são calculados na base do ano de 365 dias. 15 Exemplo Calcule o valor dos juros produzidos por um empréstimo de R$ 1.200,00 concedidos pelo prazo de 4 meses à taxa de 6% a. a.

16 CHS PV 1, ENTER 30 n i 6.00 f INT juros (base 360 dias/ano) R x y juros (base 365 dias/ano) + 1, montante EXERCÍCIOS 1) Calcular os juros de um investimento de R$ 2.500,00 à taxa de 8,4% ao ano, pelo prazo de 1 ano, 3 meses e 20 dias. Obs. : Não sendo citado, prevalece o ano comercial. Resposta: R$ 274,17 2) Calcular os juros de uma aplicação de R$ 400,00 à taxa de 2,5% ao mês, durante 5 meses. Resposta: R$ 50,00 3) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 2.500,00 à taxa de 20% ao ano, durante 80 dias considerando o ano civil para fins de cálculo. Resposta: R$ 2.609,59 4) Determine o valor dos juros aplicados à uma dívida de R$ 590,00 considerando que está sujeita a juros simples de 10,4% ao ano pelo prazo de 53 dias. Resposta R$ 9,03 5) Um contrato de empréstimo prevê juros simples de 12,8% ao ano sobre o saldo devedor, em dias corridos. Qual o valor dos juros cobrados sobre o saldo devedor de R$ 6.800,00 num prazo de 49 dias corridos, considerando o ano civil para fins de cálculo. Resposta: 116,85 6) Calcular os juros de um capital igual a 500, à taxa de 2% ao mês, durante 1 ano e 3 meses. Resposta: ) Calcular os juros de 300 u.m., à taxa de 24% a. a., durante 8 meses. Resposta: 48 u.m. Cálculos de Juros Compostos Especificando o Número de Períodos de Composição e a Taxa de Juros Periódica

17 17 A taxa de juros é em geral denominada taxa anual (ou taxa nominal): isto é, a taxa de juros no ano. No entanto, nos problemas de juros compostos, a taxa de juros introduzida em i deve estar sempre expressa nos termos do período de composição básico, o qual poderá ser anos, meses, dias ou qualquer outra unidade de tempo. Por exemplo, se um problema envolver um juro anual de 6% composto trimestralmente, por 5 anos, n (o número de trimestres), seria igual a 5 4 = 20 e i (taxa de juros por trimestre), seria 6 % 4 = 1.5%. Se o juro fosse composto mensalmente, n seria 5 12 = 60 e i seria 6 % 12 = 0.5%. Se você usar a calculadora para multiplicar o número de anos pelo número de períodos de composição, pressione n e então armazene o resultado em n. O mesmo vale para i. Se os juro for composto mensalmente, você pode usar um meio mais rápido provido pela calculadora para calcular e armazenar n e i. Para calcular e armazenar n, introduza o número de anos no visor e então pressione g 12. Para calcular a armazenar i, introduza a taxa anual no visor e então pressione g 12. Observe que estas teclas não apenas multiplicam ou dividem o conteúdo do visor por 12: elas também armazenam automaticamente o resultado no registrador correspondente, de modo que você não precisa pressionar n ou i em seguida. EXERCÍCIOS 1) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 80,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses. Resposta: R$ 121,01 2) Determine o juro de uma aplicação de R$ 2.000,00, a 4,5% ao mês, capitalizado mensalmente durante 8 meses. Resposta: R$ 844,20 3) Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,5% ao mês? Resposta: R$ 7.803,16 4) Calcule o montante de R$ ,00, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses. Resposta: R$ ,43 5) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses rendeu um montante de R$ ,36. Resposta: ,00 6) Em que prazo uma aplicação de R$ ,00 produzirá um montante de R$ ,37, à taxa de 3% ao mês? Resposta: 13 meses 7) Um capital de R$ ,00 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$ ,15 de juro. Determine a taxa de aplicação. Resposta: 2,5% a. m. 8) O capital de R$ ,00, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante 8 meses, elevou-se no final desse prazo a R$ ,77. Calcule a taxa de juro. Resposta: 3,3% a. m. 9) A que taxa bimestral devo aplicar o meu capital, de modo a obter um total de juro igual a 50% do capital aplicado no fim de 8 meses? Resposta: 10,67% a. b.

18 18 10) O capital de R$ ,00 foi colocado em regime de capitalização composta durante 1 ano e 9 meses, à taxa de 36% ao ano. Qual o montante? Resposta: ,68 Cálculos Financeiros e o Diagrama do Fluxo de Caixa O diagrama de fluxo de caixa é um valioso instrumento auxiliar para o uso de sua calculadora nos cálculos financeiros. O diagrama não é nada mais do que uma descrição gráfica temporal e direcional das transações financeiras, rotuladas com termos correspondentes ao teclado da sua calculadora. O diagrama começa com uma linha horizontal denominada linha de tempo. Ela representa o período de duração do problema financeiro planejado para 6 meses, tendo uma composição de juros mensal, teria o seguinte diagrama: O intercâmbio do dinheiro num problema é desenhado com flechas verticais. O dinheiro recebido é representado por uma flecha apontada para cima, que se inicia no ponto da linha de tempo onde a transação ocorreu; o dinheiro pago é representado por uma flecha apontada para baixo. Dinheiro recebido Dinheiro pago Os valores do problema que correspondem às 5 primeiras teclas da fileira superior do teclado estão agora evidentes no diagrama de fluxo de caixa: n é o número de períodos de composição. Tal quantidade pode ser expressa em anos, meses, dias ou qualquer outra unidade de tempo, contanto que a taxa de juros seja expressa nos termos do mesmo período de composição básico. i é a taxa de juros por período de composição. A taxa de juros do diagrama de fluxo de caixa (introduzida na calculadora) é terminada dividindo-se a taxa de juros anual pelo número de períodos de composição. VP, o valor presente, é o fluxo de caixa inicial, ou o valor presente de uma série de futuros fluxos de caixa. PMT é o pagamento periódico. Quando todos os pagamentos são iguais, eles são denominados anuidades. VF, o valor futuro, é o fluxo de caixa final ou o valor composto de uma série de fluxos de caixa anteriores. Para especificar a modalidade de pagamento: Pressione g BEG (BEGin = início) se os pagamentos forem feitos no início dos períodos de composição.

19 19 Pressione g END (END = fim) se os pagamentos forem feitos ao final dos períodos de composição. O indicador de estado (anúncio) BEGIN fica aceso quando tal modalidade está em vigor. Se BEGIN não estiver aceso, a modalidade de pagamento em vigor será END. Calculando o Número de pagamentos ou de Períodos de Composição (Resumo) 1. Pressione f CLEAR FIN para apagar os registradores financeiros. 2. Introduza a taxa de juros periódica, usando i ou Introduza pelo menos dois dos seguintes valores: O valor presente, usando PV. O pagamento, usando PMT. O valor futuro, usando FV. Observação: Lembre-se de respeitar a convenção de sinal do fluxo de caixa. 4. Se PMT for fornecido, pressione g BEG ou g END para estabelecer a modalidade de pagamento. 5. Pressione n para calcular o número de pagamentos ou períodos. Se a resposta for um número não inteiro (isto é, com dígitos não nulos na parte decimal), a calculadora arredondará a resposta para o inteiro imediatamente superior, antes de armazená-lo no registrador n e apresentá-la. Por exemplo se n for calculado como sendo , a resposta a ser apresentada no visor será Série Uniforme Postecipado Os pagamentos, recebimentos ou depósitos acontecem no final do período, ou seja, sem entrada. Exemplo 1: Durante os últimos 6 meses, A depositou R$ 350,00 no fim de cada mês em uma conta de poupança que paga 1,8% ao mês capitalizados mensalmente. Qual o montante acumulado logo após o último depósito? 350 CHS PMT n ,80 i 1.80 FV 2.196,80 Exemplo 2: De 3 em 3 meses, um pai depositou R$ 200,00 numa conta de poupança que paga juros de 5,4% a. t. capitalizados trimestralmente. O primeiro depósito foi feito quando o filho tinha 3 meses de idade e o último quando completou 21 anos. O dinheiro continuou depositado sendo que foi oferecido ao filho no seu 24º aniversário. Quanto o recebeu nessa data? f FIN CHS PMT 200,00 84 n 84,00 5,4 i 5,40

20 FV ,48 20 CHS PV ,48 12 n 12,00 0 PMT 0.00 FV ,54 Exemplo 3: Paulo comprou um apartamento, pagando R$ 8.000,00 de entrada e prometendo pagar R$ 375,00 por mês, durante 4 anos. O vendedor calculou juros a 18% ao ano, capitalizados mensalmente. a) Qual era o valor à vista do apartamento? 375 CHS PMT ,5 i 1,50 48 n 48,00 PV , ,96 b) Se Paulo deixasse de efetuar os 12 primeiros pagamentos, quanto deveria pagar no vencimento do 13º para pôr-se em dia com os pagamentos? 0 PV n FV 5.338,81 c) Se Paulo deixasse de pagar as 10 primeiras prestações, quanto deveria ele por ocasião do vencimento da 11ª prestação, afim de liquidar toda a sua dívida? 11 n FV 4.448,72 37 n 37,00 0 FV 0.00 PV , ,64 EXERCÍCIOS

21 1) Interprete cada problema e depois calcule o valor do X a) X 7% trimestres Resposta: 8.428,30 u.m u.m. b) % trimestres Resposta: 8.260,27 u.m. c) X 5% trimestres Resposta: 154,72 u.m. X X X X X 2) Qual o valor atual de uma renda imediata de 15 termos trimestrais de u.m., à taxa de 6% ao trimestre? Resposta: ,24 u.m. 3) Uma pessoa deposita u.m. no fim de cada trimestre, a 24 % a. a., durante 3 anos. Calcular o montante. Resposta: ,64 u.m 4) A dívida de R$ ,00 deve ser paga com 20 prestações anuais de R$ ,50. Calcular a taxa. Resposta: 5% a. a. 5) Qual o valor da prestação anual que, a 4% a. a., em 20 anos, amortiza a dívida de R$ 500,00? Resposta: 36,79 6) A que taxa foi emprestada a quantia de R$ 500,00 se ela deve ser paga com 20 prestações anuais de R$ 36,79? Resposta: 4% a. a. 7) A que taxa foram emprestadas R$ ,00 se foram pagos com 20 prestações anuais de R$ 3.679,10? Resposta: 4% a. a. 8) Um empréstimo, cujo principal é de $ ,00, foi realizado a juros compostos, e deve ser liquidado mediante o pagamento de 12 prestações mensais, iguais e sucessivas. Determinar o valor dessas

22 22 prestações sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, e que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a libertação dos recursos. Resposta: 1.776,98 9) Um empresário deseja obter um financiamento para adquirir um equipamento, cujo valor à vista é de $ ,00. Para diminuir o valor das prestações, ele pretende dar uma entrada de $ 3.000,00 por ocasião da compra. Determinar o valor das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, para a parte financiada, sabendo-se que o financiamento é realizado a juros compostos de 15% ao ano, capitalizados mensalmente, e que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. Resposta: 339,41 10) Um equipamento cujo o valor à vista é de $ ,00 está sendo financiado a juros compostos de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, no prazo de um ano. Determinar o valor que deve ser dado de sinal, a título de entrada, para que o valor das 12 prestações mensais, iguais e sucessivas seja limitado a $ 1.700,00. Assumir que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. Resposta: 5.866,37 11) Um financiamento cujo principal é igual a $ ,00 deve ser liquidado com 10 prestações mensais, sucessivas e iguais a $ 1.075,00. Determinar a taxa interna de retorno desse financiamento, no regime de juros compostos, assumindo que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. Resposta: 1,34% a. m. 12) Um investidor efetuou 10 depósitos mensais de $ 2.000,00 numa instituição financeira e verificou que o saldo a sua disposição, imediatamente após a efetivação de seu último depósito, era de $ ,00. Determinar a taxa de remuneração mensal desses depósitos no regime de juros compostos. Resposta: 1,08% a. m. Série Uniforme Antecipada Uma série uniforme antecipada tem um número limitado de termos iguais e sucessivos que se verificam no início de cada período. A diferença deste tipo de anuidade para a anuidade postecipada está apenas na disposição dos termos em relação ao tempo. Tal diferença implica em diferença de valor futuro e, consequentemente, diferença de valor presente. Exemplo 1: Qual o valor acumulado (Valor Futuro) gerado por 8 depósitos mensais, iguais e consecutivos de R$ 250,00, o primeiro deles sendo efetuado hoje, considerando uma taxa de juros de 2,5% ao mês? g BEG BEGIN f FIN 250 CHS PMT ,5 i n 8.00 FV 2.238,63 Exemplo 2:

23 23 Qual o valor presente (Hoje) de uma série de 20 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$ 480,00 sendo que o primeiro ocorrerá hoje, considerando uma taxa de juros de 3% ao mês? g BEG BEGIN f FIN 480 CHS i n PV 7.355,42 EXERCÍCIOS 1) Interprete cada problema e depois calcule o valor do X : a) X 2% meses Resposta: 5.393,42 u.m u.m. b) % meses Resposta: 3.009,67 u.m. X c) % trimestres Resposta: 256,35 u.m. X X X X X 2) Um aparelho de televisão foi comprado com 10 prestações mensais antecipadas de 100 u.m. Sabendose que os juros são de 2% ao mês, qual o preço à vista do televisor? Resposta: 916,22 u.m. 3) Uma empresa deposita u.m. no início de cada semestre, a 20% a. a., durante 5 anos. Qual o montante. Resposta: ,34 u.m.

24 24 4) Quanto se deve depositar, no início de cada trimestre, a 20% a. a., durante 3 anos, para no fim de 4 anos, retirar o montante de u.m.? Resposta: 4.922,53 u.m. 5) Que dívida pode ser amortizada com 20 prestações anuais de R$ 2.000,00 à taxa de 5% a. a., devendo a 1ª prestação ser paga no ato do empréstimo? Resposta: R$ ,60 6) Calcular o valor atual de uma renda anual antecipada de 10 termos iguais a R$ 800,00, sendo 5,5% a. a. a taxa de juros. Resposta: R$ 6.361,76 7) Calcular o valor atual de uma renda mensal antecipada de 10 termos de unidades monetárias, à taxa de 2% ao mês. Resposta: 9.162,237 u.m. 8) Uma mercadoria é vendida a prazo por 6 prestações mensais antecipadas de 100 u.m. com juros de 1,5% ao mês. Qual o valor a vista dessa mercadoria? Resposta: 578,264 u.m. Série Uniforme Diferida EXERCÍCIOS 1) Interprete cada problema e depois calcule o valor do X : a) X u.m. 9% u.m. semestres Resposta: ,12 b) u.m % trimestres Resposta:19.653,75 X c) % trimestres Resposta: 307,06 u.m. X X X X 2) Calcular o valor atual de uma renda anual de 20 termos iguais a R$ 2.000,00 cada uma, à taxa de 5% a. a., diferida de 7 anos.

25 Resposta: R$ , ) Calcular o valor atual de uma renda de 10 termos trimestrais de 200 u.m., com 9 meses de carência, à taxa de 5% ao trimestre. Resposta: 1.334,065 u.m. 4) Um empréstimo de u.m. vai ser amortizado com 12 prestações trimestrais em 2 anos de carência. Calcular o valor das prestações à taxa de 4,5% ao trimestre. Resposta: ,636 u.m. 5) Uma máquina foi comprada com u.m. de entrada e 12 prestações trimestrais de 800 u.m., diferidas de um ano. Sendo os juros 8% ao trimestre, qual o preço à vista da máquina? Resposta: 6.431,3936 u.m. 6) Um financiamento, com o principal de $ ,00, deve ser liquidado em 10 prestações mensais, iguais e sucessivas, com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. Assumir os meses com 30 dias e determinar o valor dessas prestações nas seguintes hipóteses: a) a 1ª prestação deve ser paga 30 dias após a liberação dos recursos; Resposta: 1.067,18 b) a 1ª prestação deve ser paga no ato da liberação dos recursos, a título de entrada; Resposta: 1.054,53 c) a 1ª prestação deve ser paga 120 dias após a liberação dos recursos. Resposta 1.106,06 TAXAS Taxa É o percentual da remuneração do capital. Taxa Nominal A taxa nominal é expressa normalmente para periodicidade anual, sendo transformada em taxa para periodicidade menor de forma proporcional. Taxa Proporcional A proporcionalidade de taxas é realizada como se estivéssemos tratando de juros simples. Taxa Efetiva É a taxa que realmente é paga no período em que foi fornecida, independente do período de capitalização. Isto quer dizer que se um capital foi aplicado durante um tempo a determinada taxa, não importa o período de capitalização, que o resultado final, o montante, será o mesmo. Quando queremos ajustar uma taxa ao período de capitalização utilizamos a equivalência de taxas. Taxa Equivalente Dizemos que duas ou mais taxas são equivalentes quando um valor é aplicado por um prazo e, calculado o montante com as diversas taxas, obtemos o mesmo resultado. CÁLCULO DA TAXA EQUIVALENTE Seja: i = taxa do período (anual) k = número de capitalizações no período (nº de capitalizações no ano) i k = taxa equivalente a i = k k i 1 + i 1 e i = ( 1 + ) 1 k i k Exemplo 1:

26 Qual a taxa mensal equivalente a 120% a. a.? ENTER 120, , , x y x 1,07 1 0, ,79 Exemplo 2: Qual a taxa anual equivalente a 0,5% a. m. 0,5 ENTER 0, , ,01 12 y x 1,06 1 0, ,17 PROGRAMA DE CÁLCULO DE TAXAS EQUIVALENTES PARA CALCULADORA HP-12C TECLAR APARECE NO COMENTÁRIOS [f] [ P/R] 00- coloca a máquina no modo programação [f] [PRGM] 00- limpa a memória de programação [x y] [EEX] [2] 03-2 [ ] [1] 05-1 [+] [x y] 07-34

27 27 [y x ] [1] 09-1 [-] [EEX] [2] 12-2 [ ] [f] [P/R] NORMAL volta ao visor normal INSTRUÇÕES DE USO DO PROGRAMA : 1. Subir Taxa Exemplo: Mensal Anual Diário Mensal - tecle a taxa em % - tecle [ENTER] - tecle o numero de vezes que o período menor cabe no maior. - tecle [R/S] 2. Descer Taxa Exemplo : Anual Mensal Mensal Diário. - tecle a taxa em % - tecle [ENTER] - tecle o numero de vezes que o período menor cabe no maior. - tecle [1/x] - tecle [R/S] EXERCÍCIOS 1) Calcular a taxa mensal proporcional e a equivalente a 24% a. a.. Resposta: 2% a. m. 1,809% a. m. 2) Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondente a 2% ao mês. Resposta: 24% a. a. 26,824% a. a. 3) O capital de unidades monetárias produziu o montante de unidades monetárias em 1 ano e 9 meses. Qual foi a taxa trimestral dos juros? Resposta: 7,88% a. t. 4) Qual a taxa trimestral de juro equivalente a 22% a. a.? Resposta: 5,10% a. t.

28 28 5) Um capital foi aplicado a 1,5% ao mês. Qual a taxa anual equivalente? Resposta: 19,56% a. a. 6) Qual a taxa mensal de juro equivalente a 20% a. a.? Resposta: 1,531% a. m. 7) Qual a taxa anual de juros equivalente a 1% ao mês? Resposta: 12,68% a. a. 8) Qual a taxa semestral de juros equivalente a 20% a. a.? Resposta: 9,54% a. s. AMORTIZAÇÃO Amortização consiste na liquidação ou pagamento de uma dívida mediante prestações fixas, sucessivas e iguais. Esta permite calcular os juros e amortização contidas em uma prestação calculada pela tabela PRICE (ou sistema FRANCES) e determinar o saldo devedor e o número de prestações pagas. O sistema PRICE se caracteriza pelo pagamento de um empréstimo na forma de prestações iguais e consecutivas. Exemplo 1: Uma dívida de R$ 3.000,00 com juros de 18% ao ano, capitalizados mensalmente deve ser amortizada por meio de pagamentos mensais iguais durante os próximos 6 meses, devido o primeiro daqui a um mês. Construir uma tabela de amortização para dívida do exemplo 1: Período Pagamento Juro devido no fim do período Capital amortizado no fim do período Saldo Devedor no início do período Totais Período Pagamento Juro devido no fim Capital amortizado Saldo Devedor no do período no fim do período início do período 1 526,58 45,00 481, , ,58 37,78 488, , ,58 30,44 496, , ,58 23,00 503, , ,58 15,45 511, , ,58 7,78 518,80 518,77 Totais 3.159,48 159, ,03 0,03 A HP 12C permite que você calcule as partes dos seus pagamentos referentes aos juros, principal, além do saldo devedor do seu empréstimo após um ou mais pagamentos.

29 O plano de amortização deve ser definido da seguinte maneira: Pressione f CLEAR FIN para apagar os registradores financeiros. 2. Introduza a taxa de juros periódica i. 3. Introduza o valor do empréstimo PV. 4. Introduza o pagamento período CHS PMT. (o sinal deve ser negativo por ser uma saída no fluxo de caixa) 5. Pressione g BEG ou g END para estabelecer a modalidade de pagamento. 6. Introduza o número de pagamentos a serem amortizados. 7. Pressione f AMORT para apresentar a parte dos pagamentos referentes aos juros. 8. Pressione x y para apresentar a parte dos pagamentos referentes ao principal. 9. Para apresentar o número de pagamentos que acabaram de ser amortizados, pressione R R. 10. Para apresentar o saldo devedor restante, pressione RCL PV. 11. Para apresentar o número total de pagamentos amortizados, pressione RCL n. No quadro de amortização do Exemplo 1: f CLEAR FIN 526,58 CHS PMT 526,58 1,5 i n PV 3.000,00 1 f AMORT 45,00 Juros da 1ª prestação. x y 481,58 Amortização da 1ª prestação. RCL PV 2.518,42 Saldo Devedor. 1 f AMORT 37,78 Juros da 2ª prestação. x y 488,80 Amortização da 2ª prestação. RCL PV 2.029,62 Saldo Devedor. 1 f AMORT 30,44 Juros da 3ª prestação. x y 496,14 Amortização da 3ª prestação. RCL PV 1.533,48 Saldo Devedor. 1 f AMORT 23,00 Juros da 4ª prestação. x y 503,58 Amortização da 4ª prestação. RCL PV 1.029,90 Saldo Devedor. 1 f AMORT 15,45 Juros da 5ª prestação.

30 x y 511,13 Amortização da 5ª prestação. 30 RCL PV 518,77 Saldo Devedor. 1 f AMORT 7,78 Juros da 6ª prestação. x y 518,80 Amortização da 6ª prestação. RCL PV 0,03 Saldo Devedor. Exemplo 2: Suponha que você queira comprar uma casa de R$ ,00 a juros de 15% ano. Os pagamentos necessários deverão ser de R$ 500,00 ao final de cada mês. Calcule as partes referentes aos juros e ao principal dos dois primeiros anos de pagamentos. f FIN 500 CHS PMT 500,00 15 g PV ,00 24 f AMORT 3.316,20 Juros relativos aos 24 primeiros meses. x y 8.683,80 Principal pago nos 2 primeiros anos. RCL PV 6.316,20 Saldo Devedor após 2 anos de pagamentos. RCL n Número total de pagamentos amortizados. O número de pagamentos introduzidos imediatamente antes de se pressionar f AMOT é tomado como sendo o número de pagamento realizados após quaisquer pagamentos que já tenha sido amortizados. Dessa maneira, se você pressionar agora 6 f AMORT, a sua HP 12C calculará os montantes relativos aos juros e ao principal, nos 6 meses seguintes após os 2 primeiros anos de pagamentos. 6 f AMORT 393,44 Parcela relativa aos juros dos últimos 6 meses. x y 2.606,56 Principal amortizado dos últimos 6 meses. RCL PV 3.709,64 Saldo Devedor após 30 meses. RCL n Número total de pagamentos amortizados. Obs.: Somando-se os juros mais amortização, teremos a prestação. Os juros sempre incidirão sobre o saldo devedor anterior a prestação. Se não for necessário, por exemplo, ter os juros e amortização da 1ª prestação, você pode teclar simplesmente 2 f AMORT e sua HP 12C dará o somatório das

31 31 amortizações até a 2ª prestação e o saldo devedor após o pagamento da mesma. Teclando após 1 f AMORT a sua HP 12C lhe dará os juros e amortização da 3ª prestação, como também o saldo devedor. Exemplo 3: No exemplo 1 achar o saldo devedor logo após o 4º pagamento e conferir com a entrada na tabela do exemplo 1. O saldo devedor logo após o 4º pagamento, é o valor atual dos 6 4 = 2 pagamentos ainda a efetuar-se. Assim, SD (Saldo Devedor) HP 12C f CLEAR FIN 526,58 CHS PMT 526,58 6 n ,5 i 1, PV 3.000,00 4 f AMORT 136,22 RCL PV 1.029,90 Saldo Devedor. EXERCÍCIOS 1) A fim de remodelar sua loja, um comerciante toma emprestados R$ ,00. Concorda em amortizar seu débito, capital e juros a 6% ao ano, por meio de pagamentos mensais iguais durante os próximos 3 anos, o primeiro com vencimento para daqui a um mês. Achar: a) O pagamento mensal. Resposta: 395,49 b) O saldo devedor logo após o 20 (vigésimo) pagamento. Resposta: 6.066,64 2) M toma emprestados R$ ,00 com juros de 6% ao ano compostos trimestralmente. A dívida deve ser liquidada mediante um pagamento de R$ 20, daqui a 2 anos, seguindo de pagamentos trimestrais iguais no fim de cada período durante 8 anos. a) Achar o pagamento periódico necessário. Resposta 3.666,79 b) Calcular o saldo devedor logo após o 5 pagamento periódico. Resposta: ,29 c) Que parte do último pagamento é empregada para pagar os juros? Resposta: 54,19 3) Um equipamento no valor de R$ 8.500,00 é adquirido em 48 pagamentos mensais postecipados, a juros de 2% ao mês. Calcule:

32 a) O valor da prestação. Resposta: 277,12 32 b) A amortização relativa às prestações 20, 30 e 40. Resposta: 156,05; 190,23; 231,89 c) O saldo devedor logo após o pagamento das prestações 20, 30 e 40. Resposta: 5.897,28; 4.154,36; 2.029,76 4) Um imóvel é financiado em 240 prestações mensais e consecutivas. O valor financiado corresponde a R$ e a taxa de juros é 1% ao mês, com pagamentos postecipados. Calcule: a) O valor dos juros e amortização das prestações relativos às prestações 50, 120 e 200. Resposta: 234,12; 192,70; 92,22; 41,15; 82,57; 183,05. b) O saldo devedor logo após o pagamento das prestações 50, 120 e 200. Resposta: ,03; ,94; 9.039,39 5) A contraiu um empréstimo bancário no valor de R$ 3.300,00 para ser pago com juros de 7,5% ao mês, durante 11 meses. Qual o valor relativo aos juros pagos durante as 3 primeiras prestações? Resposta: 695,54 (g) x w média ponderada 7 FUNÇÕES DAS TECLAS ESTATÍSTICAS (g) (g) xˆ, r estimativa linear de x/ correlação linear (x, y) ŷ, r estimativa linear y/ correlação linear (x, y) (g) n! fatorial de n (g) x média aritmética (g) s desvio padrão Σ+ somatório (+) (g) Σ somatório ( ) Acumulando Estatísticas A HP 12C pode realizar cálculos estatísticos com uma ou duas varáveis, Os dados são introduzidos na calculadora usando-se a tecla +, a qual automaticamente calcula estatísticas dos dados e as armazena nos registradores R 1 e R 6. (Tais registradores serão doravante denominados registradores estatísticos ). Antes de começar a acumular estatísticas para um novo conjunto de dados, você deve apagar os registradores estatísticos, pressionando f CLEAR.* Nos cálculos estatísticos com uma variável, para introduzir cada dado, denominado o valor de x, introduza o x no visor e então pressione +. Nos cálculos estatísticos com duas variáveis, para introduzir cada par de dados, denominados o valor de x e o valor de y :

33 33 *Esta operação também apaga os registradores da pilha operacional e o visor. 1. Introduza o y no visor. 2. Pressione ENTER. 3. Introduza o x no visor. 4. Pressione +. Cada vez que você pressionar +, a calculadora fará o seguinte: O conteúdo R 1 será incrementado de uma unidade, e o resultado será copiado no visos. O valor de x será adicionado ao conteúdo de R 2. O valor de x ao quadro será adicionado ao conteúdo de R 3. O valor de y será adicionado ao conteúdo de R 4. O valor de y ao quadrado será adicionado ao conteúdo de R 5. O produto dos valores de x e y será adicionado ao conteúdo de R 6. A tabela abaixo mostra como as estatísticas acumuladas são armazenadas. Registradores R 1 (e o visor) Corrigindo Estatísticas Acumuladas Estatística n número de pares de dados acumulados R 2 x somatório dos valores x R 3 x 2 somatório dos valores de x 2 R 4 y somatório dos valores de y. R 5 y 2 Somatório dos valores de y 2. R 6 x y somatório dos produtos dos valores de x e y Se você descobrir que introduziu dados incorretos, as estatísticas acumuladas podem ser facilmente corrigidas: Se o dado (ou par de dados) tiver acabado de ser introduzido, e + tiver sido pressionada, pressione g LSTx g. Se o dado (ou par de dados) não for o mais recentemente introduzido, introduza o dado (ou par de dados) incorretos novamente, como se fosse um novo dado, e então pressione g, ao invés de +. Tal procedimento cancela o efeito do dado (ou par de dados) incorreto. Basta agora introduzir o dado corretamente, usando + como se fosse um novo dado. Média Ao se pressionar g x calcula-se as médias (médias aritméticas) dos valores de x ( x ) e dos valores de y ( y ). A média dos valores de x aparece no visor assim que x é pressionada; para apresentar a média dos valores de y, pressione x y. Exemplo:

34 34 Uma pesquisa feita com sete vendedores de sua empresa revelou dados constantes na tabela dada a seguir. Quantas horas trabalha um vendedor, em média, por semana? Quanto ele vende, em média, por mês? Vendedor Horas por Semana Vendas por Mês 1 32 R$ 1.700, R$ 2.500, R$ 2.600, R$ 2.000, R$ 2.100, R$ 2.800, R$ 1.500,00 Para calcular as médias das horas trabalhadas e das vendas desta amostra: f CLEAR 0.00 Apaga os registros estatísticos. 32 ENTER Primeira introdução. 40 ENTER Segunda introdução 45 ENTER Terceira introdução. 40 ENTER Quarta introdução. 38 ENTER Quinta introdução. 50 ENTER Sexta introdução. 35 ENTER Número total de introduções da amostra. g x 2, Média, em cruzeiros, das vendas por mês ( x ). x y Média do trabalho semanal, em horas ( y ). Desvio Padrão

35 35 Ao se pressionar g s calcula-se o desvio padrão do valores x (s x ) e dos valores de y (s y ). (O desvio padrão do valores de x aparece no visor assim que s é pressionada; para apresentar o desvio padrão dos valores de y, pressione x y. Exemplo: Para calcular os desvios padrão dos valores de x e de y do exemplo anterior: g s Desvio padrão de vendas. x y 6.03 Desvio padrão das horas trabalhadas. Estimação Linear Estando acumuladas as estatísticas de duas variáveis nos registradores estatísticos, você pode estimar um novo valor de y ( ŷ ), a partir de um novo valor de x, e estimar um novo valor de x ( xˆ ) a partir de um novo valor de y. Para calcular ŷ : 1. Introduza um novo valor de x. 2. Pressione g y, ˆ r. Para calcular xˆ : 1. Introduza um novo valor de y. 2. Pressione g x, ˆ r. Exemplo: Usando os dados estatísticos acumulados no exemplo precedente, estime o valor das vendas de um novo vendedor que trabalhe 48 horas por semana. 48 g x, ˆ r 2, Valor estimado das vendas em 48 horas de trabalho por semana A confiabilidade de uma estimativa linear depende da proximidade do ajuste dos pares de dados a uma reta, se traçados num gráfico. A medida mais comum dessa confiabilidade é o coeficiente de correlação, r. Este valor é automaticamente calculado toda vez que ŷ ou xˆ é calculado; para apresentálo, basta pressionar x y. Se o coeficiente de correlação estiver muito próximo de +1 ou de 1, isso indicará que os dados se ajustam muito bem a uma reta. Por outro lado, um coeficiente de correlação próximo de zero indica que os pares de dados não se ajustam a uma rena; e, consequentemente, que uma estimativa linear, usando tais dados não será muito confiável. Exemplo: Verifique a confiabilidade da estimativa linear no exemplo anterior, apresentando a coeficiente de correlação. Pressione Visor x y 0.90 O coeficiente de correlação é próximo de 1, de modo que a venda calculada no exemplo anterior se constitui numa boa estimativa. Média Ponderada

36 Você pode calcular a média ponderada de um conjunto de números se você conhecer os pesos de cada um dos itens em questão. 1. Pressione f CLEAR. 2. Introduza o valor do item, pressione ENTER, introduza seu peso e pressione +. Introduza o valor do segundo item, pressione ENTER, introduza o segundo peso e pressione +. Prossiga até introduzir todos os valores dos itens e seus pesos correspondentes. A regra para introdução dos dados é item ENTER peso Pressione g w x para calcular a média ponderada dos itens. Exemplo: Suponha que durante uma viagem de férias à praia você tenha parado em quatro restaurantes e comido seu prato favorito: camarões. O consumo e o custo unitário em cada restaurante foi o seguinte: 15 camarões a R$ 116,00 cada um, 7 a R$ 124,00, 10 a R$ 120,00 e 17 a R$ 118,00. Você deseja calcular o custo médio de cada camarão consumido. Se você tivesse comprado a mesma quantidade de camarões em cada restaurante, bastaria usar a tecla x e calcular uma média aritmética simples. Como você sabe o valor de cada Item (camarão) e seu peso correspondente (número de camarões consumidos), use a tecla x w para determinar a média ponderada: f CLEAR 0.00 Apaga os registradores estatísticos. 116 ENTER Primeiro item e seu peso. 124 ENTER Segundo item e seu peso. 120 ENTER Terceiro item e seu peso. 118 ENTER Quarto item e seu peso. 36 g x w Média ponderada do custo de cada camarão. 1) Calcule a média aritmética da série: a) X : 1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30. Resposta: 12,5 EXERCÍCIOS b) Y : 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20. Resposta: 9,857 c) Z : 3,4; 7,8; 9,23; 12,15. Resposta: 8,145 2) Um produto é acondicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades. O lote só é aprovado se apresentar um peso superior a 40 quilos. Se as unidades que compõe determinado lote pesam: 3; 4; 3,5; 5,0; 3,5; 4; 5; 5,5; 4; 5, este lote será aprovado? Qual o peso médio do produto? Resposta: Sim. 4,25 3) Um produto é vendido em três supermercados por $ 13,00/kg, $ 13,20/kg e $ 13,50/kg. Determine quantos $/kg se paga em média pelo produto.

37 Resposta: 13,23 kg/$ 37 4) Um produto é vendido em três supermercados por $ 130/kg, $ 132/kg e $ 135/kg. Determine, em média quantos quilos do produto se compra com $ 1,00. Resposta: 0, kg/$ 5) Calcule a média aritmética da série: x i f i Resposta: 3,6 6) Uma loja vende cinco produtos básicos A, B, C, D, E. O lucro por unidade comercializada destes produtos vale respectivamente $ 200,00; $ 300,00; $ 500,00; $ 1.000,00; $ 5.000,00. A loja vendeu em determinado mês 20; 30; 20; 10; 5 unidades respectivamente. Qual foi o lucro médio por unidade comercializada por esta loja? Resposta: 682,35/peça 7) Um caminhão cujo peso vazio é kg será carregado com 480 caixas de 10 kg cada, 350 caixas de 8 kg cada, 500 caixas de 4 kg cada e 800 caixas de 5 kg cada. O motorista do caminhão pesa 80 kg e a lona de cobertura da carga pesa 50 kg. a) Se este caminhão tem que passar por uma balança que só permite passagens a caminhões com peso máximo de 15 toneladas, este caminhão passará pela balança? b) Qual o peso médio das caixas carregadas no caminhão? Resposta: a) Não b) 6,385/kg 8) Calcule a idade média dos alunos de uma classe de primeiro ano de determinada Faculdade, em anos. Idade (anos) x i N.º de Alunos f i Resposta: 18,84 anos/aluno 9) O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo. Calcule o salário médio destes funcionários Classe Salários $ N.º de funcionários f i 1 400,00 500, ,00 600, ,00 700, ,00 800, ,00 900, , ,00 1 Resposta: $ 572,5/f 10) Uma empresa de âmbito nacional, fornecedora de supermercados, fez um levantamento do consumo de seu principal produto em vários supermercados obtendo em determinado mês, a tabela:

38 38 Classe Número de Unidades N.º de Supermercados f i Consumidas , , , , , , , , , , ,00 30 Determine o consumo médio deste produto por supermercado pesquisado. Resposta: 3.342,1 unid. 11) Uma pesquisa para determinar a eficiência de uma nova ração para animais, em termos de ganho de peso, mostrou que após um mês em que a ração normal foi substituída pela nova ração, os animais apresentaram um aumento de peso segundo a tabela: Classe Aumento de Peso em kg N.º de Animais f i a) Calcular o aumento médio de peso por animal. Resposta: 3,311/kg b) Se a ração antiga proporcionava em iguais circunstâncias um aumento médio de peso de kg/animal, esta nova ração pode a princípio ser considerada mais eficiente? Resposta: Sim Cálculos de Depreciação A HP 12C permite que você calcule a depreciação e o valor depreciável resultante (valor contábil menos o valor de resgate) usando um dos seguintes métodos: o linear, o dos dígitos da soma dos anos e o do declínio do balanço. Para fazer o cálculo com qualquer desses três métodos: 1. Introduza o custo original do bem, usando PV. 2. Introduza o valor de resgate do bem, usando FV. Se o valor de resgate for zero, pressione 0 FV. 3. Introduza a vida útil esperada do bem (em anos), usando n. 4. Se o método do declínio do balanço (como uma porcentagem), usando i. Como exemplo, 1.25 vezes a taxa da reta (125% de declínio do balanço) seria introduzido como 125 i. 5. Introduza o número do ano para o qual a depreciação será calculada. 6. Pressione: f SL (Straight Line = reta) para calcular a depreciação segundo o método linear. f SOYD (Sum Of The Years Digits = dígitos da soma dos anos) para calcular a depreciação segundo o método dos dígitos da soma doa anos. f DB (Declining Balance = declínio do balanço) para calcular a depreciação segundo o método do declínio do balanço. SL, SOYD e DB colocam montante da depreciação no visor. Para apresentar o valor depreciável resultante (o valor contábil menos o valor de resgate) após o cálculo da depreciação, pressione x y. Exemplo:

39 39 Uma fresa comprada por R$ ,00 será depreciada em 5 anos. Seu valor de resgate é estimado em R$ ,00. Calcule a depreciação e o valor depreciável resultante, nos primeiros 3 anos de vida útil da máquina, usando o método do declínio do balanço, com o dobro da taxa da reta (declínio do balanço de 200%) PV 1,000, Introduz o custo original FV 50, Introduz o valor de resgate. 5 n 5.00 Introduz a vida útil esperada. 200 i Introduz o fator de declínio do balanço. 1 f DB 400, Depreciação no 1º ano. x y 550, Valor depreciável resultante após o 1º ano. 2 f DB 240, Depreciação no 2º ano. x y 310, Valor depreciável resultante após o 2º ano. 3 f DB 144, Depreciação no 3º ano. x y 166, Valor depreciável resultante após o 3º ano.