Instituto Politécnico de Leiria Escola Superior de Tecnologia e Gestão Matemática I - PCIM Engenharias Ano lectivo 005/006 Folha 1 - Funções Transcendentes 1 Calcule o valor eacto dado pela epressão: (a) sin 00o cos 150 o sin 10 o + sin 10 o (b) µ µ π 5π cos +tg 6 ³ π µ 5π sin cos Resolva, em R, as seguintes condições: (a) 1+cos =0 (b) sin =5 (c) 1 sin =0 (d) tg + tg =0 (e) cotg() =1 Sobre um ângulo b sabe-se que sin (π + b) = e b 1 o Q µ π Calcule o valor eacto de cos (π b)+tg + b Prove as seguintes igualdades: (a) tg +cotg =sec csc (b) cos() =cos 1 (c) cos () = cos ()+1 (d) sin () = 1 cos () (e) tg( + y) = tg +tgy 1 tg tg y (f) sec (arctg ) =1+ 5 Determine o valor designado por: Ã! Ã! (a) arcsin (b) arccos µ µ π (d) cos +arcsin 5 µ (e) tg arccos µ µ µ (c) sin arccos 1 1
6 Determine o domínio das seguintes funções: ³ (a) f () =cos + π + (b) f () = ³ arctg (c) f () =1 1 arccos ( +1) (d) f() = 1+cos (e) f() =tg( + π +1) ) (f) f() =sec( 7 Considere as seguintes funções reais de variável real: f() = π arccos( ) g() = 1 arcotg ( +) π ³ i () =arcsin 1 ³ j () =π +cos( + π) m () =tg + π n () = 1 arccotg ( ) (a) Considerando as restrições principais, determine o domínio e o contradomínio de cada uma das funções dadas (b) Caracterize as inversas das funções f, g, i, j, m e n 8 Sejam f e g as funções reais de variável real definidas por: f () = π 1 µ arcsin () e g () =π +arctg (a) Considerando as restrições principais, determine, para cada uma delas: i o domínio ii o contradomínio iii uma epressão da função inversa iv os zeros (b) Determine os valores do conjunto n R : f () = π o 9 Calcule os limites seguintes (a) lim 0 sin () cos +sin () (b) lim (c) lim 0 + 0 tg () sin () sin () (d) lim (e) lim (f) lim 0 0 1 cos 0 sin (5) 10 Estude as seguintes funções quanto à continuidade : sin (a) f() =, > 0 sin 1, 6= 0 (b) g() =, 0 0, =0
11 Determine um valor para a constante k que torne contínua, em =0,afunçãof definida por: tg (k), < 0 f() = +k, 0 1 Determine o domínio de cada uma das seguintes funções: (a) f () =ln 1 (b) g () =ln µ 1 ln (c) m() = 1 e 1 (d) i() =q log 1 (5 )+1 1 Caracterize a função inversa de cada uma das seguintes funções: (a) f () =e + (b) g () =ln( +) (c) h () = 1 ln ( 1) 1 Considere a função real de variável real h, definida por h () =ln +1 (a) Determine o domínio da função h (b) Calcule h () (c) Resolva a seguinte equação h () =h () 15 Resolva em R as seguintes condições: (a) = 16 (b) µ 1 = 7 (c) log = (d) log 15 = (e) log ( +1) log ( +1) 0 (f) ( +1) +1 < 0 (g) log 1 ( ) > 1+log1 ( +) 16 Uma função real de variável real g édefinida por µ +1 g () =log (a) Determine o domínio de g (b) Calcule, analiticamente, g µ 17 5 (c) Determine, analiticamente, o conjunto solução da condição g () 1 (d) Diga, justificando, se a função g pode ser definida por: h () =log ( +1) log ( )
17 Caracterize f g sendo as funções reais de variável real f e g definidas f () =ln( +1) e g () = 1 e 18 Calcule: e +1 e ln (1 + ) ln (a) lim (b) lim (c) lim 0 0 + 1 (d) lim 1 ln ( ) ln ( +1) (e) lim 0 19 Calcule os seguintes limites: (a) (c) µ lim 1 n µ (b) lim 1+ n + n 1 n+ n + n +1 µ lim 1+ n µ n 1 n + (d) lim n + n +1 n + n + 0 Estude a continuidade das seguintes funções em todo o seu domínio: (a) f () = ln sin e (b) g () =, > 0 0, 0 1 Determine o valor de k, de modo que as funções sejam contínuas nos pontos indicados: (a) g () = e 1 1 se > 0 k se =0 +ln(1 ) se < 0 =0 (b) f () = e π π 1 + se 6= 1 6= k +arctg se =1 =1 A magnitude dos tremores de terra é habitualmente medida na escala de Richter Nesta escala, a energia libertada de um abalo sísmico está relacionada com a magnitude da seguinte forma: log 10 E =5, + 1, M (a energiaémedidaemjoule) (a) Determine a energia libertada pelo último sismo ocorrido em Leiria, sabendo que atingiu, 5 na escala de Richter
(b) Um físico português estimou que o terramoto de Lisboa de 1755 libertou uma energia de, 10 17 Joule A ponte Vasco de Gama foi concebida para resistir a um sismo cuja energia total libertada seja cinco vezes a do terramoto de 1755 Qual será a magnitude de um tal sismo? A recolha de sangue tem aumentado sem quebras desde 1996 mas não é ainda suficiente para as necessidades do país Admita que o número de unidades de sangue colhidas desde 1996 (t =0)é dado pela epressão: A (t) = 100 log ( + 0, 5t) em que A é epressa em milhares e t em anos (a) Quantas unidades de sangue foram recolhidas em 1996? (b) O país seria auto-suficiente se, por ano, recolhesse 00 000 unidades de sangue Em que ano se prevê que tal venha a acontecer? (c) Cada unidade de sangue contém aproimadamente 0, 05 litros Quantos litros de sangue se prevê recolher durante o ano de 00? O nível N de um som, medido em decibéis, é uma função da sua intensidade I, medida em watt por metro quadrado, de acordo com a igualdade N =10log 10 10 1 I, para I>0 (a) Verifique que N = 10 + 10 log 10 I (b) Admitaqueonívelderuídodeumaviãoajacto,ouvidoporumapessoaqueseencontradeumaeroporto, é de 10 decibéis Determine a intensidade desse som, em watt por metro quadrado 1 5 Um acidente de carro, ocorrido às nove horas da manhã, foi presenciado por dos alunos da ESTG O 10 número de alunos que soube do acontecimento t horas após o sucedido é dado pela epressão f (t) = onde B representa o número de alunos da ESTG B 1+C kt Se 1 dos alunos soube do acidente horas depois, em que momento é que metade dos alunos teve conhecimento do mesmo? 5
6 Determine o domínio das seguintes funções: (a) f() =sinh +cosh (b) f() =tanh +coth 7 Prove as seguintes igualdades: (a) cosh sinh =1 (b) sinh +cosh = e (c) tanh = e 1 e +1 (d) sinh =sinhcosh 8 Dados os seguintes valores de uma função hiperbólica em o, determine o valor das restantes funções hipérbolicas em o (a) sinh o = (b) cosh o = 5, o < 0 (c) tanh o = 5 9 Considere a função real de variável real h () = cos 1 sin se 0 <<π e sinh se π (a) Indique o domínio de h ejustifique que h () > 0 (b) Mostre que para = π a função apenas é continua à direita (c) Comente a seguinte afirmação Se π, então f () 1 =e (d) Represente, com intervalos de números reais, os seguintes conjuntos: ½ i R : π ¾ ln () e 1 ii n R : π o ln () 6