EPÇO ETORIL REL DE DIMENÃO FINIT Defnção ejam um conjuno não vao o conjuno do númeo ea R e dua opeaçõe bnáa adção e mulplcação po ecala : : R v u a v u v a v é um Epaço eoal obe R ou Epaço eoal Real ou um R-epaço veoal com ea opeaçõe e a popedade abao chamada aoma do epaço veoal foem afea: E ocava Paa quaque v u w v u w v u w E Comuava Paa odo v u v u u v E Elemeno Neuo Ee e al que paa odo v e v v e v Noação: e E4 Elemeno méco Paa odo v ee v' al que v v' v' v Noação: v' v m v u v u E5 Paa quaque R e paa odo v v v E6 Paa quaque R e paa odo v v v v E7 Paa odo R e paa quaque v u v u v u E8 Paa odo v v v O elemeno de um epaço veoal ão denomnado veoe e o númeo ea de ecalae Eemplo : R com a opeaçõe: É um epaço veoal po o oo aoma acma ão vefcado cabe lemba que o elemeno neuo da adção é o pa odenado R n com a opeaçõe: n n n n n n O conjuno da mae ea de odem m n com a opeaçõe uua é um epaço veoal al que o elemeno neuo da adção é a ma nula 4 O conjuno do polnômo com coefcene ea de gau meno ou gual a n com a opeaçõe abao: n p q an bn a b a b n p an a a n n onde p an a a e q bn b b É um epaço veoal onde o elemeno neuo da adção é o polnômo n 4
5 R com a opeaçõe abao não é um epaço veoal Não pou elemeno neuo po: eja e e al que e e e e e e Ma m Poano paa odo R Logo não ee elemeno neuo ubepaço eoal Um ubepaço veoal de é um ubconjuno não vao com a egune popedade: Noação: ub ub Fechameno de em elação à opeação de dção e u e v enão u v ub Fechameno de em elação à opeação de Mulplcação po Ecala e u e R enão u Eemplo: R} é um ubepaço veoal do R com a opeaçõe de adção e mulplcação po ecala uua Um veo u peence ao ubepaço quando pou a ª e ª coodenada gua a eo efcando a popedade de ubepaço? m e u e v enão u v? ejam u e v Enão u v Logo é fechado ob a opeação de adção de veoe e u e R enão u? eja u Enão u Logo é fechado ob a opeação de mulplcação po ecala O ubepaço podea e deco anda po R e } O conjuno R e } não é um ubepaço veoal do R com a opeaçõe uua? m afa a condçõe e e u e v enão u v? ejam u e v com e 4
Enão u v com e u e R enão u? Não Cona-eemplo ejam 4 e R 4 8 po 8 R } não é um ubepaço do R po O fao do veo peence ao conjuno não mplca que ee eja um ubepaço Todo epaço veoal adme pelo meno do ubepaço: o pópo epaço e o conjuno } chamado ubepaço nulo Ee do ubepaço ão denomnado ubepaço va de e o dema ubepaço pópo de Combnação Lnea ejam o veoe v v vn Um veo w eá eco como combnação lnea do veoe v v v n quando eem n R a que w v v n vn Eemplo: O veo é uma combnação lnea do veoe e 5 po: 5 O veo não pode e eco como combnação lnea do veoe e po: * m O ema é mpoível Logo não eem valoe ea paa e que afaçam a gualdade * Deemnando a le que defne odo o veoe que podem e eco como combnação lnea de e m O ema é poível quando e paa quaque R m R } é o conjuno de odo o veoe eco como combnação lnea de e Geomecamene aa-e do plano XZ 4
ubepaço eoal Geado e Conjuno Geado ejam o veoe v v vn e [ v v vn ] o conjuno de oda a combnaçõe lneae dee veoe O conjuno v v v ] é um ubepaço veoal de denomnado ubepaço veoal geado pelo veoe [ n v v vn O conjuno v v v } é o conjuno geado do ubepaço v v v ] n [ n Eemplo: O veo R gea o conjuno [ ] R} m O conjuno de oda a combnaçõe lneae do veo é o conjuno de odo o eu múlplo ecalae Geomecamene [ ] é uma ea defnda pela equação [ ] R } m Ma amplada e ma ecalonada Paa e deemna o veoe que ão combnaçõe lneae de e é neceáo que o ema eja poível o é Logo [ ] R } R} Geomecamene [ ] é um plano no R com equação [ 4] R 4 4 4 m 4 4 Ma amplada e ma ecalonada Como o ema é poível e deemnado nenhuma condção deve e afea Logo [ 4] R 44
4 Encone a equação do epaço geado pelo veoe e O epaço geado é o conjuno de veoe v R que poam e eco como combnação lnea do veoe dado o é m Ma amplada e ma ecalonada 5 Paa que o ema eja poível é neceáo que 5 m com ea condção afea obém-e veoe R que ão combnação lnea do veoe dado Poano o epaço geado é R 5 } que geomecamene epeena um plano em R eoe Lneamene Independene e Lneamene Dependene Um conjuno de veoe v v vn} é lneamene ndependene LI quando v v n v n e e omene e n e e pelo meno um com n enão o conjuno é lneamene dependene LD Eemplo: 4} é LI po: 4 4 4 m 4 4 Ma amplada e ma ecalonada O ema é poível e deemnado com m o conjuno é LI Um do veoe não é múlplo ecala do ouo Fo vo que o epaço geado po 4} é R ou eja [ 4] R 6} é LD po: 6 6 m 6 45
Ma amplada e ma ecalonada 6 O ema é poível e ndeemnado com Enão o conjuno é LD po 6 O veoe e 6 peencem a uma mema ea O epaço geado pelo conjuno 6} é R } o é [ 6] R } 58} é LD po: 5 8 m 5 8 Ma amplada e ma ecalonada 5 8 Como o ema é poível e ndeemnado o conjuno é LD ae e Dmenão de um Epaço eoal eja um conjuno fno D-e que é uma bae do epaço veoal quando é um conjuno lneamene ndependene e gea o é [ ] O númeo de elemeno cadnaldade de uma bae do epaço veoal é denomnado dmenão do epaço veoal e a dmenão de é gual a n d-e que é um epaço veoal fno n-dmenonal Em pacula a dmenão do epaço nulo } é eo Não há bae paa o epaço nulo Noação: dm Eemplo: O conjuno } e 4} ão bae do R O conjuno 5 } não é bae do R po apea de gea R não é LI O conjuno } é LI ma não gea o R poano ambém não é uma bae do R Toda bae de R em do veoe de R que geam R e que ão LI Logo dm R -} é uma bae do R O conjuno -} é LI ma não gea o R Logo não é bae do R O conjuno -4} gea o R ma não é LI Também não é uma bae do R Toda bae de R é fomada po ê veoe LI de R Logo dm R Um veo qualque R pode e eco como m } gea o R o é [] R lém do ee conjuno é LI Logo } é uma bae do R denomnada a bae canônca do R 46
Epaço eoal ae Canônca Dmenão R } R } R 4 } 4 Ma R Polnômo com coefcene ea de gau meno ou gual a 4 } Opeaçõe com ubepaço eoa Ineeção ejam e ubepaço do epaço veoal eal O conjuno neeção de e v v e v } é ambém um ubepaço veoal de ub? po po m ub e v e u enão v u? v v e v u u e u Enão v u e v u Logo v u ub e v e R enão v? v v e v Enão v e v Logo v Eemplo: ejam com } e R } R R e } m Logo } Geomecamene em-e uma ea e um plano no R que e necepam na ogem ejam R } e R } R e } 47
48 m 9 Logo } 9 R ou eja } 9 R Geomecamene a neeção é epeenada po uma ea que paa pelo pono e 9 oma ejam e ubepaço do epaço veoal eal O conjuno oma de } e com e v v é ambém um ubepaço veoal de Eemplo: ejam } R e } R } e com R Tem-e que e paa quaque R Ma e paa quaque R m } é bae do ubepaço e } é uma bae do ubepaço Enão quando m ema poível logo R ejam } }e R R 4 } e com 4 R Tem-e que e paa quaque R Ma e paa quaque R quando 4 m 4 Paa que o ema eja poível é neceáo que Enão } 4 R
eja um epaço veoal n-dmenonal e e ão ubepaço de enão: dm dm dm dm Ee eulado é conhecdo como Teoema da Dmenão oma Dea ejam e ubepaço do epaço veoal eal oma de e é denomnada oma dea quando } Noação: Coodenada de um eo em elação a uma ae Odenada eja é um epaço veoal n-dmenonal qualque conjuno LI com n veoe é uma bae de o e ecolhe uma bae paa o epaço veoal eá-e adoando um ema efeencal no qual pode-e epea qualque veo de Condee v v vn} uma bae qualque veo v pode e epeo de manea únca como combnação lnea do veoe da bae v v v n v n onde n R ão a coodenada do veo v em elação a bae odenada Noação: v n e na foma macal [ v] n Toda ve que a epeão coodenada em elação a uma bae é ulada uma bae odenada eá endo condeada Eemplo: O veo v pode e eco: Condeando a bae canônca do R ou eja [v] Condeando a bae } m Logo e Poano e [ v ] 49
Ma de Tanção de uma ae paa uma oua ae Que elação ee ene a coodenada de um veo no ango efeencal e em um novo efeencal? Uma ma pemá a elação ene ee efeenca a bae do epaço veoal Ea ma é denomnada ma de anção ou ma mudança de bae O deenvolvmeno a egu condea dua bae do R no enano o memo acocíno pode e ulado paa qualque epaço veoal n-dmenonal ejam u u} e w w} bae do R Paa qualque v R em-e: v a u b u a o é [ v] b Como u e u ão veoe do R podem e eco como combnação lnea do veoe da bae u a w a w u a w a w ubundo em : v a a w a w b a w a w v a a b a w a a b a w Poano a a b a e a a b a ão a coodenada de v em elação à bae a a b a m [ v] a a b a a a a Podendo e eco como [ v] a a b a a ma acma é denoada po a a paa a bae coluna da ma [ I ] endo denomnada a ma de anção da bae [ I ] ão a coodenada do veoe da bae em elação à bae v] [ I ] [ v] Obém-e a equação macal [ nalogamene [ v] [ I ] [ v] paa mudança da bae paa a bae Obeve que [ v] [ I ] [ v] Como [ v ] [ I ] [ v] Tem-e que [ v] [ I ] [ I ] [ v] Como [ v] I n [ v] Enão I n [ I ] [ I ] Logo [ I ] [ I ] 5
5 Eecíco efque e R é um epaço veoal paa a opeaçõe defnda abao a b c d e f g Condee o conjuno R Fun de oda a funçõe : R R f Defnem-e dua opeaçõe bnáa : R R R Fun Fun Fun al que g f g f e : R R R Fun Fun al que f f Ea opeaçõe defnem um epaço veoal? efque e o egune ubconjuno ão ubepaço de R a } R b } R c } R d } > R e } R f } R 4 efque e o conjuno olução do ema 4 é um ubepaço veoal de R 5 Eceva u como combnação lnea de e 6 O veo v pode e eco como combnação lnea do veoe e? 7 Eceva p como combnação lnea de 4 e q
8 O conjuno } gea o R? 9 Deemne a equação do plano geado pelo veoe e 5 efque e o conjuno abao ão LI ou LD a 55} b } c 5} d } e } Moe que e u v w} é LI enão u v u w v w} ambém é um conjuno LI Complee com edadeo ou Falo [4 ] é um plano no R que paa pela ogem [ ] é um plano no R que paa pela ogem v v vn} é LD quando pelo meno um dee veoe é combnação lnea do dema } gea o R O conjuno 5} é LI e v v vn} é LI enão qualque um do eu ubconjuno ambém é LI e odo ubconjuno pópo de v v vn} é LI enão v v vn} é LI [] pou omene dua bae } e 4} 478} é bae de [478] Todo conjuno LI de veoe é uma bae de eu ubepaço geado 5} é bae do R 4579} gea o R enão 45} 79} e 4579} ão bae do R e [ v v v v4 ] R enão quaque ê veoe dee conjuno fomam uma bae do R Um conjuno com ê veoe do R é bae do R Um conjuno com ma do que ê veoe do R não eá uma bae do R } é bae do R Qualque bae de um epaço veoal em empe o memo númeo de elemeno } é bae do R quando [] ejam um epaço veoal n-dmenonal e o conjuno v v vn } LI Enão v v vn v} é bae de qualque que eja o veo v e dm n enão qualque conjuno LI com n veoe é uma bae de } gea R Todo conjuno geado de um epaço veoal é uma bae paa e [ 4 ] enão dm Paa que valoe de o veoe e geam um epaço dmenonal? 4 Deemne uma bae e a dmenão do egune ubepaço de R a R e } b R } c R e } 5
5 Encone uma bae e a dmenão paa o conjuno olução do ema 6 Moe que a oma de ubepaço é ambém um ubepaço 4 7 Deemne o ubepaço neeção e o ubepaço oma paa o cao abao ndcando quando a oma é dea a R } e R } b R } e R } 9 ejam R } e [ ] Deemne e ndcando uma bae e a dmenão em cada um do cao eja v e a bae 75 6} Indque [ v] Condee } uma bae paa o R Encone a coodenada de v 5 em elação a ea bae eja } e v Deemne v endo } uma bae paa o R e [ v ] Encone: 5 a coodenada de v na bae canônca b coodenada de v na bae 5 } 4 Encone a coodenada do veo v Ma R em elação à bae 5 Dada a bae do R } e } a Deemne [ I ] b Condee [ v ] Calcule [ v] 6 Condee a bae 6 } e 6 6 64 7} a cha a ma mudança de bae de paa b Dado v 58 5 calcule [ v] 7 eja [ I ] e } Deemne a bae 5
8 eja a ma mudança de bae de paa Deemna a bae abendo que } 9 abendo que u u}e w w} ão bae do R a que: [ v ] w u u e w u u deemne [ v] Condee } e } Deemne a mae mudança de bae Repoa Nenhum é epaço veoal abd Não cef m 4 Não 5 4 6 m e 5 7 p q 4 9 4 ade LI bc LD 5 [ v ] v v 5 7 4 a [v] b [ v ] FFFFF FFFFF 4 [ v ] FFF ou 6 4 a bae : }e dm 5 a [ I ] b [ v ] b bae : }e dm c bae : }e dm 5 bae : } 8 7 5 5 9 9 dm 5 5 6 a [ I ] 4 b [ v ] 5 6 8 a 5 R} 7 84} R 8 } b R} 9 [ v ] R Nenhum é oma dea 7 9 R} bae : 7}e dm [ I ] e [ I ] 4 R 4 bae : }e dm 4 4 54
pêndce Teoema Teo O elemeno neuo é únco Demonação po Redução ao budo R ' ' upondo que o elemeno neuo não é únco o é eem ambo elemeno neuo ' ' po E é elemeno neuo à dea ' ' po E é elemeno neuo à equeda ' Enão Conadção Logo ó ee um elemeno neuo paa a opeação de adção em Teo Le do Coe ou Le do Cancelameno Paa quaque v u w e v u v w enão u w dem: Po hpóee v u v w Pelo aoma E4 v v u v v w Po E v v u v v w Po E4 u w Po E u w Teo O elemeno méco é únco Teo4 Paa quaque v u e v u v enão u dem: Po hpóee v u v Pelo aoma E v v m v u v Pela Le do Coe u Teo5 Paa quaque v u e v u enão u v Teo6 Paa odo v v dem: Condee o veo v v v v po E8 v v po E6 v é o elemeno neuo da adção em R v po E8 v po E v m v v v Pela Le do Coe v Teo7 Paa odo R dem: Condee o veo po E6 po E po E 55
m Pela Le do Coe Teo8 Paa odo v v e paa odo R v dem: R upondo que v e v v po E8 v po hpóee e pela eênca de elemeno nveo em R v po E5 v po hpóee pela Teo5 m v Conadção Logo v Cooláo8 Paa odo v e paa odo R e v enão ou v Teo9 Paa odo v v v dem: Condee o veo v v v v po E8 v v po E6 v é o elemeno neuo da adção em R v po E8 m v v Enão v v v v Pela Le do Coe v v Teo Paa odo v e paa odo n N } n v v v v oma com n pacela Demonação uando ndução em n ae: Paa Po E8 v v Pao: Hpóee de Indução upo que vale a gualdade paa N > o é v v44 v 4 v pacela ale a gualdade paa? v po E6 v v po E8 v v po hpóee de ndução 4 v 4 v 4 4 v v po E pacela v 44 v 4 v pacela 56
m v v44 v 4 v pacela Logo vale a gualdade paa odo n N } Teo Todo ubepaço veoal é um epaço veoal Teo e v v v } enão [ v v v ] é um ubepaço veoal de Teo ejam v v v} e v e v é uma combnação lnea do veoe v v v enão [ v v v v] [ v v v ] dem: [ v v v v] [ v v v ]? v v v com R eja u [ v v v] qualque Enão u l v l v l v com l l R ubundo em u l v l v l v v po E7 l v l v l v l v po E5 e E l v l v l v l v po E l v l v l v l v po E6 l l v l l v pelo fechameno da mulplcação e da adção em R m v m v com m m R m u m v m v com m m R Logo u [ v v ] [ v v v ] [ v v v ] eecíco v Teo4 ejam v v v} e u u u} [ v v v ] [ u u u ] e e omene e cada um do veoe do conjuno v v v } é uma combnação lnea do veoe u u u e cada um do veoe do conjuno u u u} é uma combnação lnea do veoe v v v Teo5 eja v v v} é lneamene ndependene Teo6 eja v v v } e v paa algum enão v v v } é lneamene dependene dem: v v Paa qualque R v v Logo o conjuno v } é LD Teo7 eja v v v } O conjuno v v v } é lneamene dependene e e omene e pelo meno um dee veoe é combnação lnea do dema dem: Condee v v v } lneamene dependene v v v v Enão ee um R com [ ] Pelo E4 e o Teo7 57
v v v v v Mulplcando ambo o lado da gualdade po R v v v v v Po E5 E7 e popedade em R v v v v Po E5 v v v v v Po E8 e popedade em R v v v v v m v m v m v m v m v Logo v com [ ] é combnação lnea do dema veoe v eja o veo v v v v} al que v v v v v v v v v v Enão Logo v v v } é lneamene dependene Cooláo7 ejam v v v } e v e v v v } é lneamene ndependene e v v v v} é lneamene dependene enão v é uma combnação lnea do veoe v v v dem: v v v v} é LD Pelo Teo7 pelo meno um dee veoe é combnação lnea do dema Ma v v v } é LI Logo ee veo é o veo v Teo8 eja v v v } al que e é lneamene dependene enão v v v } é lneamene dependene dem: eja v v v} qualque v v p } com v v v } paa odo p é LD Pela Teo7 ee v j que é combnação lnea do dema veoe de Ma v j v v } Enão v j v v } que é combnação lnea dee veoe Logo v v v } é LD 58
Teo9 ejam v v v } um conjuno lneamene ndependene e l l R e v v l v l v enão l paa odo Cooláo9 eja v v vn} e v v vn} é uma bae de enão odo veo v pode e eco de foma únca como combnação lnea do veoe v v vn da bae Teo eja v v v } O conjuno v v v } é lneamene ndependene e e omene e nenhum dee veoe é combnação lnea do dema Cooláoa eja v u} O conjuno v u} é lneamene ndependene e e omene e um veo não é múlplo ecala do ouo Cooláob eja v v v } um conjuno lneamene ndependene e v e v v v v ] enão v v v } é um conjuno lneamene ndependene [ v Teo eja v v v } e v v v } é lneamene ndependene enão qualque um de eu ubconjuno é lneamene ndependene Teo eja v v v } e [ v v v ] enão ee uma bae de al que v v v } dem: e v v v } é LI enão v v v } é uma bae de e v v v } é LD Enão pelo Teo7 ee v v v v } com [ ] al que: v v v v ] [ [ v v v ] [ v v v v ] v v v v v v v v Pelo Teo v v v v ] [ v v v ] Como po hpóee m [ e } é LI enão } é uma bae de Cao conáo ee poceo connua aé a obenção de um ceo conjuno v v v } LI e al que [ ] m é uma bae do epaço veoal Cooláoa eja v v v } e v v v } gea o epaço veoal enão qualque conjuno de veoe de com ma do que elemeno é lneamene dependene Cooláob eja v v v } e v v v } gea enão qualque conjuno de veoe de lneamene ndependene em no mámo elemeno Teo eja v v v } e v v v } é lneamene ndependene enão pode-e eende o conjuno v v v } a um conjuno bae de dem: e [ v v v ] enão v v v } é uma bae de e [ v v v ] Enão eja v al que v [ v v v ] Pelo Coolb v v v v} é LI e [ v v v v] enão v v v v} é uma bae de 59
Cao conáo ee poceo connua aé a obenção de um ceo conjuno al que v v v } é LI e [ ] m é uma bae do epaço veoal Teo4 ejam dm n e v v vn} O conjuno v v vn} é uma bae de e é lneamene ndependene ou e gea o epaço veoal Teo5 eja v v v } uma bae do epaço veoal e u u um} n e m > n enão o conjuno u u u } é lneamene dependene m u um e m < n enão o conjuno u } não gea o epaço veoal Teo6 Toda a bae de um epaço veoal pouem o memo númeo de veoe Teo7 Paa quaque ubepaço veoa dem: U U m U e U Logo U e U e U de U e U Teo8 Paa quaque ubepaço veoa Teo9 Paa quaque ubepaço veoa e U de U é um ubepaço veoal de e U de U é um ubepaço veoal de Teo eja é um ubepaço veoal de al que } Enão dm dm Teo e é a oma dea do ubepaço veoa e U enão odo veo v é eco de manea únca na foma v u com e u U dem: eca Como U Enão paa odo v v u paa algum e u U uncdade R upondo que eam ' ' e uu' Uu u' a que v u e v ' u' m u ' u' Pela popedade do E ' u' u Como ' e analogamene como U u' u U m ' U e u' u U Po hpóee U } Enão ' e u' u m ' e u' u Conadção Logo vale a uncdade 6
Teo Teoema da Dmenão e e U ão ubepaço veoa de enão dm U dm dmu dm U dem: eja v v v} uma bae do ubepaço neeção U Pelo Teo v v v w w w } é uma bae do ubepaço v v u u u nalogamene v } é uma bae do ubepaço U O ubepaço oma U v v w w u u ] eja Ma m Ma m U é geado pelo conjuno v v w w u u } o é [ v v l w l w m u m u m u m u v v l w l w m u m u m u m u U Como v v v u u u } é uma bae Enão ubundo em : m u m u p v p v paa ceo p p p R m m m v v l w l w v v v w w w é uma bae l l v v w w u u é LI v v w w u u é uma bae paa o ubepaço oma U Como } Tem-e Enão } Logo } m dm dmu dm U dm U Logo dm U dm dmu dm U Cooláo eja é um ubepaço veoal de e dm dm enão 6