ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS Problemas aplicando a Regra de Ruffini (ponto 1 do Plano de trabalho nº 6) 1. Considere a função polinomial f definida por f( x) = x 14x + 59x+ 0. No referencial da figura, está representada uma estrutura metálica suportada por quatro colunas A, B, C e D. O contorno superior da estrutura coincide com parte da representação gráfica da função f. Sabe-se que a unidade no eixo das abcissas é o metro e no eixo das ordenadas é o decímetro. 1.1. Atendendo aos dados da figura, determine as alturas das colunas A e D. 1.. Utilize a calculadora para determinar a distância entre as colunas B e C, sabendo que têm a mesma altura da coluna D.. Num Laboratório de investigação marinha, dois cientistas depositaram num recipiente cilíndrico, de 10 cm de diâmetro interior, uma esfera metálica com cm de raio. Seguidamente, deitaram água no recipiente até que a água ficasse tangente à esfera..1. Que quantidade de água tiveram de deitar no recipiente?.. Um dos cientistas sugeriu que se substituísse aquela esfera por outra maior, de modo que, sem variar a quantidade de água, a superfície desta ainda ficasse tangente à nova esfera. Será isto possível? Em caso afirmativo, determine um valor aproximado do raio da nova esfera, a menos de 0,1 cm... Numa curta composição descreva o problema e a forma como foi resolvido. Não se esqueça de apresentar de forma clara todo o raciocínio que fez. Formulário: Volume do Cilindro = área da base x altura 4 Volume da esfera = π r, r é o raio da esfera. Professora Rosa Canelas 1 Ano lectivo 006/007
ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS Ponto 5 A do plano de trabalho nº 5 proposta de resolução 1. Consideremos a função polinomial f definida por f( x) = x 14x + 59x+ 0. No referencial da figura, está representada uma estrutura metálica suportada por quatro colunas A, B, C e D. O contorno superior da estrutura coincide com parte da representação gráfica da função f. Sabe-se que a unidade no eixo das abcissas é o metro e no eixo das ordenadas é o decímetro. 1.1. Atendendo aos dados da figura, determinemos as alturas das colunas A e D. Analiticamente: f( 0) = 0 e ( ) Graficamente: f 7 = 7 14 7 + 59 7 + 0 = 100 Resposta: A coluna A mede metros (0 dm) e a coluna D mede 10 metros (100dm), 1.. Utilizemos a calculadora para determinar a distância entre as colunas B e C, sabendo que têm a mesma altura da coluna D. Vamos começar por desenhar a recta de equação y = 100 e de seguida calcular as intersecções da recta com o ramo da função f.. Professora Rosa Canelas Ano lectivo 006/007
ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS Representamos então as abcissas dos pontos de intersecção que mais não são as distâncias das colunas B e C à coluna A. Para concluirmos que a distância entre as colunas B e C é metros (5-=). Podíamos resolver analiticamente a equação a equação na forma canónica x 14x + 59x 70= 0. x 14x + 59x + 0 = 100 começando por escrever Sabemos que a equação já tem uma solução que é x = 7 por ser 100 dm a altura da coluna D. Se 7 é solução da equação x 14x + 59x 70= 0 é porque o polinómio divisível por x 7, façamos a divisão utilizando a Regra de Ruffini. x 14x + 59x 70 é Concluímos então que: ( )( ) x 14x + 59x 70= 0 x 7 x 7x+ 10 = 0 x 7= 0 x 7x+ 10= 0 7± 49 40 x = 7 x = x = 7 x = 5 x = 1-14 59-70 7 7-49 70 1-7 10 0 Finalmente podemos responder ser m a distância entre B e C por serem e 5 as suas distâncias à coluna A. Professora Rosa Canelas Ano lectivo 006/007
ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS. Num Laboratório de investigação marinha, dois cientistas depositaram num recipiente cilíndrico, de 10 cm de diâmetro interior, uma esfera metálica com cm de raio. Seguidamente, deitaram água no recipiente até que a água ficasse tangente à esfera..1. Que quantidade de água tiveram de deitar no recipiente? Volume do cilindro : V =π 5 4 = 100π c 4 π Volume da esfera : Ve = π = 68π Volume da água : Va = 100π π= O volume de água introduzido foi cerca de 81 cm.. Um dos cientistas sugeriu que se substituísse aquela esfera por outra maior, de modo que, sem variar a quantidade de água, a superfície desta ainda ficasse tangente à nova esfera. Será isto possível? Talvez! Ao introduzirmos uma esfera maior a água atinge uma altura maior, falta-nos saber se será mesmo uma altura igual ao dobro do novo raio. Vamos então tentar determinar um valor aproximado do raio da nova esfera, a menos de 0,1 cm. Consideremos: r - raio da nova esfera Volume do cilindro com altura igual a r c V = π 5 r V = 50π r c Volume da esfera de raio r Volume da água Equação: Mas V a 68π = V e 4 = π r 4 68π 50πr π r = 150r 4r = 68 4r 150r + 68 = 0 4r 150r + 68 = 0 r 75r + 14 = 0 Podemos resolver a equação gráfica ou analiticamente. Comecemos pela resolução gráfica: Professora Rosa Canelas 4 Ano lectivo 006/007
ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS Podemos observar o gráfico da função y = r 75r + 14 E verificar que há dois valores que são solução da nossa equação, um é que já sabíamos ser solução por ser o raio da nossa primeira esfera, e um outro valor muito próximo do raio do copo, vamos calculá-lo. Um valor aproximado a menos de uma décima é 4,9 cm Resolução analítica: A nossa equação raiz do polinómio r 75r + 14 = 0 tem uma solução que é r =, isto significa que é r 75r + 14 e vamos então dividi-lo por x utilizando a regra de Ruffini. ( )( ) r 75r + 14 = 0 r r + 4r 67 = 0 4 ± 16 + 56 4 ± 55 r = r = r = r = 4 4 0-75 14 4 8-14 4-67 0 ± 18 r = r = Dado que 18 é negativo resta-nos encontrar um valor aproximado às décimas de + 18 que é 4,9 cm... Exemplo de uma curta composição descrevendo o problema e a forma como foi resolvido: O problema surgiu num laboratório onde dois cientistas depositaram num recipiente cilíndrico, de 10 cm de diâmetro interior, uma esfera metálica com cm de raio, tendo em seguida deitado água no recipiente até que a água ficasse tangente à esfera. O problema consiste em descobrir se é possível, sem variar a quantidade de água, substituir a esfera por outra maior de modo que a superfície desta ainda fique tangente à nova esfera. Começámos por calcular o volume de água necessário para que a sua superfície fique tangente à esfera de raio. Fizemos isto, calculando o volume ocupado pela água e pela esfera Professora Rosa Canelas 5 Ano lectivo 006/007
ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS que é o de um cilindro de altura 4 (diâmetro da esfera) e raio da base 5 e subtraindo-lhe o volume 68π da esfera de raio. Obtivemos um valor para esse volume de. Depois de alguma discussão concluímos que talvez fosse possível substituir a esfera por uma maior mantendo a condição de não alterar o volume da água e a superfície desta continuar tangente à nova esfera. Para descobrirmos o raio de uma nova esfera começámos por supor que ela existia e tinha um raio que designámos por r. Fazendo um raciocínio análogo ao anterior calculámos em função de r o volume ocupado pela nova esfera e a água, que seria então o de um cilindro de raio da base 5 e altura r (diâmetro da nova esfera). Subtraindo-lhe o volume da nova esfera de raio r obteríamos o volume de água que já tínhamos calculado. Ficámos assim com uma equação que 4 68π verificámos ser do º grau: 50πr π r =. Para resolvermos a equação pudemos experimentar dois processos: graficamente e analiticamente. O primeiro não levanta qualquer dificuldade sabendo que teremos de representar, respeitando o domínio [0,5], as funções definidas pelas expressões dadas em cada membro da nossa equação e em seguida calcular as abcissas dos pontos de intersecção. Para resolver analiticamente tivemos de encontrar uma solução da equação que nos permitisse baixar-lhe o grau. Mas como já sabíamos que a situação funcionava para uma esfera de raio, era a solução procurada. Depois de, utilizando a Regra de Ruffini, termos conseguido transformar o polinómio do terceiro grau num produto de polinómios de grua inferior, pudemos concluir a resolução da equação por aplicação da lei do anulamento do produto. A equação tem soluções das quais uma é e das outras duas, uma é negativa e a outra é a que pretendemos por ser um valor positivo inferior a 5. Em conclusão é possível, sem variar a quantidade de água no recipiente cilíndrico com diâmetro interior de 10 cm, substituir a esfera de raio por outra maior de modo que a superfície desta ainda fique tangente à nova esfera. Esta nova esfera deverá ter um raio de aproximadamente 4,9 cm Professora Rosa Canelas 6 Ano lectivo 006/007