1 Distância entre dois pontos do plano

Noções Topológicas do Plano Americo Cunha André Zaccur Débora Mondaini Ricardo Sá Earp Departamento de Matemática Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro 1 Distância entre dois pontos do plano Um sistema de coordenadas cartesiano em R 2 (no plano) é definido por um par de eios perpendiculares (eio e eio ) que possuem uma mesma origem O. Num sistema de coordenadas desse tipo, um ponto P R 2 é representado por um par ordenado da forma ( p, p ), como ilustrado na Figura 1. p P p Figura 1: Representação cartesiana de um ponto do plano. A distância entre A = ( a, a ) e B = ( b, b ), dois pontos do plano, é dada por d(a, B) = ( b a ) 2 + ( b a ) 2. (1) Para verificar a origem da fórmula acima, assumindo que a distância entre dois pontos na reta é dada pelo módulo da diferenças entre eles, vamos considerar o triângulo retângulo ilustrado na Figura 2. 1

b B a A a b Figura 2: Distância entre dois pontos do plano. A distância entre os pontos A e B, denotada por d(a, B), corresponde à hipotenusa desse triângulo retângulo, enquanto que os catetos tem comprimentos b a e b a. Logo, pelo teorema de Pitagoras que equivale a [ d(a, B) ] 2 = (b a ) 2 + ( b a ) 2, (2) d(a, B) = ± ( b a ) 2 + ( b a ) 2. (3) Como a distância entre dois pontos é sempre não negativa, podemos descartar a fórmula com sinal negativo antes da raiz. Com isso mostramos que a distância entre os pontos A e B é dada pela Eq.(1). Eercício 1.1 Mostre que a função distância satisfaz as seguintes propriedades: d(a, B) 0 d(a, B) = 0 se e somente se A = B d(a, B) = d(b, A) d(a, B) d(a, C) + d(c, B) onde C = ( c, c ) 2

2 Sequência de pontos no plano Uma sequência em R 2 é uma lista ordenada de pontos da forma P n = ( n, n ) onde n = 1, 2, 3,. Logo, n e n são sequências de números reais (que você estudou em Cálculo 1). Eemplos P n = (n, n 2 ) P n = (2, ( 1) n ) P n = (n, π) ( ) 3n 3 + n 2 + 7 P n = 2n 3 + n + 1, 4n3 + 8 7n 4 + 1 P n = ( sin ( 1 n + π ), 1n 2 cos ( n 3 + n + 1 )) Uma sequência de pontos P n = ( n, n ) converge a um ponto P = (, ) do plano, se a distância d(p n, P ) converge a zero, i.e., lim d(p n, P ) = 0. Nesse caso n dizemos que P é o limite de P n quando n e escrevemos lim P n = P. (4) n A quantidade d(p n, P ) define uma sequência de números reais. A convergência dessa sequência pode ser analisada pelos resultados estudados em Cálculo 1. Considere a sequência P n = (e n/4 cos n, e n/4 sin n). Vamos mostrar que essa sequência converge ao ponto P = (0, 0). De fato, donde d(p n, P ) = = (e n/4 cos n 0) 2 + (e n/4 sin n 0) 2 e ( n/2 cos 2 n + sin 2 n ) = e n/4, lim d(p n, P ) = lim e n/4 = 0. n n Se uma sequência P n = ( n, n ) não tem limite, dizemos que ela diverge. Um caso especial de divergência ocorre quando a distância de P n à origem O = (0, 0) for para o infinito, i.e., lim d(p n, O) =. Nesse caso dizemos que P n vai para o n infinito. 3

Eercício 2.1 Calcule o limite (caso eista) de cada uma das sequências abaio: P n = (n, n 2 ) P n = (2, ( 1) n ) P n = (n, π) ( ) 3n 3 + n 2 + 7 P n = 2n 3 + n + 1, 4n3 + 8 7n 4 + 1 P n = ( sin ( 1 n + π ), 1n 2 cos ( n 3 + n + 1 )) P n = ( π + 1/n, 1 1/n ) P n = ( n, ( 1) n) P n = ( cos (e n ), sin (e n ) ) P n = ( cos (2πn), sin (2πn + π/2) ) Eercício 2.2 Considere P n = ( n, f( n ) ), onde f : R R é uma função contínua e n sequência de números reais que converge a 1. (a) Calcule (caso eista) o limite de P n quando n. (b) Eplicite três eemplos de P n como acima. 4

3 Regiões abertas e fechadas O disco aberto de centro C = ( c, c ) e raio r > 0 é o conjunto dos pontos P = (, ) em R 2 tais que ou seja d(c, P ) < r, (5) A última inequação equivale a ( c ) 2 + ( c ) 2 < r. (6) ( c ) 2 + ( c ) 2 < r 2, (7) cuja interpretação geométrica é apresentada na Figura 3. O referido conjunto está na cor cinza (a linha tracejada não faz parte do conjunto). c C r c Figura 3: Disco aberto de centro C e raio r > 0. O disco fechado de centro C = ( c, c ) e raio r > 0 é o conjunto dos pontos P = (, ) em R 2 tais que ou seja d(c, P ) r, (8) ( c ) 2 + ( c ) 2 r, (9) ou, ainda, ( c ) 2 + ( c ) 2 r 2. (10) Agora o círculo de centro C e raio r faz parte do conjunto, como ilustrado na Figura 4. 5

c C r c Figura 4: Disco fechado de centro C e raio r > 0. Dado uma região D R 2, dizemos que um ponto P D é um ponto de fronteira de D se todo disco aberto de centro P e raio r > 0 contiver pontos que estão em D e pontos que não estão em D. Se P não for ponto de fronteira de D eistem duas possibilidades: 1. eiste um disco aberto de centro P e raio r > 0 que contém somente pontos de D; 2. eiste um disco aberto de centro P e raio r > 0 que contém somente pontos que não pertencem a D. No primeiro caso P é dito um ponto interior de D, enquanto que no segundo caso P é dito um ponto eterior de D. Como eemplo, considere a região D = (, ) R 2 a b e c d, e os pontos A, B, C e D, todos ilustrados na Figura 5. D d C c A B a b Figura 5: Um eemplo de classificação de pontos do plano. 6

Claramente, a região D é um retângulo. Os pontos B e C, que estão respectivamente numa aresta e num vértice de D, são pontos de fronteira, pois qualquer disco aberto centrado num desses pontos possui elementos de D e elementos que não estão em D. Note que A é ponto interior, pois eiste um disco aberto centrado em A que possui somente elementos de D. Finalmente, o ponto D é eterior, pois eiste um disco aberto centrado nele que não contém elementos de D. A partir das caracterizações acima definimos as noções de região aberta e região fechada no plano. Uma região D é aberta se contém somente pontos interiores, i.e., não contém nenhum ponto de fronteira. Vejamos dois eemplos (ilustrados na Figura 6): D 1 = D 2 = (, ) R 2 < 2, < 2 e 2 + 2 > 1 (, ) R 2 > 2 2 1 1 2 (a) D 1 (b) D 2 Figura 6: Eemplos de regiões abertas. Se uma região D contiver todos os seus pontos de fronteira ela é chamada de fechada. Vejamos dois eemplos (ilustrados na Figura 7): D 3 = (, ) R 2 1 2 + 2 4 D 4 = (, ) R 2 = 7

1 2 1 1 2 1 (a) D 3 (b) D 4 Figura 7: Eemplos de regiões fechadas. Note que a região D 3 possui pontos interiores e de fronteira, enquanto que D 4 possui somente pontos de fronteira. O interior e a fronteira das regiões acima podem ser caracterizados pelas equações e/ou inequações que os definem. Por eemplo, o interior de D 1 é definido pelas inequações < 2, < 2 e 2 + 2 > 1. Já a fronteira de D 1, que não faz parte da região, é caracterizada pela união das curvas L 1 = (, ) R 2 = 2 e 2 2, L 2 = L 3 = L 4 = L 5 = L 6 = ( 2, ) R 2 2 2 }, (, 2) R 2 2 2 }, (, ) R 2 = 2 e 2 2 }, (, ) R 2 = 1 2 e 1 1, (, ) R 2 = 1 2 e 1 1, onde cada uma dessas curvas é definida em termos de gráficos de funções (na variável ou na variável ), i.e., a fronteira de D 1 é L 1 L 2 L 3 L 4 L 5 L 6. No caso do conjunto D 3, a fronteira é definida por C 1 C 2 onde C 1 = (, ) R 2 2 + 2 = 1, 8

C 2 = (, ) R 2 2 + 2 = 4. Já o interior de D 3 é definido pelas inequações 1 < 2 + 2 e 2 + 2 < 4. Em geral, um conjunto definido por uma inequação da forma g(, ) 0 tem interior caracterizado por g(, ) < 0 e fronteira por g(, ) = 0. Atenção: eistem regiões que não são abertas nem fechadas (pense em alguns eemplos). Se uma região D está contida num disco então ele é dita limitada. Nos eemplos acima são limitadas as regiões D 1 e D 3. Já as regiões D 2 e D 4 são ilimitadas, pois nenhum disco as contém. Chama-se de compacta uma região que é fechada e limitada. A única região compacta entre os eemplos acima é D 3. Vejamos agora um último eemplo. Considere a região do plano definida por D 5 = (, ) R 2 0 e e cos, ilustrada na Figura 8. 0 0 Figura 8: Região D 5. Essa região pode ser escrita como um conjunto onde varia num intervalo numérico e varia entre duas funções de, i.e., D 5 = (, ) R 2 0 0 e e cos, onde 0 é a solução de = e cos. Também é possível descrever D 5 como a união de dois conjuntos onde varia num intervalo numérico e varia entre duas funções de, i.e., D 5 = R 1 R 2 onde R 1 = (, ) R 2 0 0 e 0, e 9

R 2 = (, ) R 2 0 e e 0 cos 1 (ln ). sendo 0 = 0 e e = ep (1) = 2, 718281828459045. Eercício 3.1 Considere as regiões eibidas na Figura 9. (a) Eplicite os conjuntos as definem. (b) Classifique-as quanto às noções de: aberto, fechado, limitado. Lembre-se: fechado e limitado é dito compacto. 2 2 4 4 2 Figura 9: Regiões do eercício 4.1. Eercício 3.2 Descreva as regiões abaio na forma D = (, ) R 2 a b e f() g(), eplicitando a, b, f e g. Faça um esboço dessas regiões e encontre a projeção ortogonal no eio. D = (, ) R 2 1 2 D = (, ) R 2 1 2 10

Eercício 3.3 Escreva a fronteira de cada uma das regiões acima como a união de duas curvas C 1 e C 2, C 1 C 2, onde cada curva dessas curvas é dada por (, ) R 2 = f() e a b }. Em cada caso eplicite a, b e f. 4 Topologia no espaço As noções definidas acima (aberto, fechado e limitado) podem ser generalizadas para regiões no espaço considerando que a distância entre os pontos A = ( a, a, z a ) e B = ( b, b, z b ) é dada por d(a, B) = ( b a ) 2 + ( b a ) 2 + (z b z a ) 2. (11) Consequentemente, a noção de disco é naturalmente estendida para a noção de bola. Assim, definimos a bola fechada de centro C = ( c, c, z c ) e raio r > 0 como o conjunto dos pontos P = (,, z) em R 3 tais que ou seja d(c, P ) r, (12) ( c ) 2 + ( c ) 2 + (z z c ) 2 r 2. (13) Uma ilustração dessa bola pode ser vista na Figura 10. z z c C c c Figura 10: Bola fechada de centro C e raio r > 0. 11