Métodos Matemáticos II

Sumário Métodos Matemáticos II Nuno Bastos Licenciatura em Tecnologias e Design Multimédia Escola Superior de Tecnologia de Viseu Gabinete 4 nbastos@mat.estv.ipv.pt http://www.estv.ipv.pt/paginaspessoais/nbastos. - Matrizes e Sistemas Lineares.. Cálculo matricial.. Aplicações do método de eliminação de Gauss a resolução de sistemas de equações lineares e inversão de matrizes 006/007 Matriz Uma matriz de ordem m n é uma expressão constituída por m n elementos (entradas) a, a,..., a mn dispostos em m linhas e n colunas da seguinte forma: a a a 3... a,n a n a a a 3... a,n a n a 3 a 3 a 33... a 3,n a 3n........................ a m, a m, a m,3... a m,n a m,n a m a m a m3... a m,n a mn Notação abreviada: a matriz pode representar-se abreviadamente por a ij j n i m ou a ij ou (a ij ). Matrizes especiais Matriz linha Uma matriz linha ou vector linha é uma matriz do tipo n. A = 0 3 5 Matriz coluna Uma matriz coluna ou vector coluna é uma matriz do tipo m. A = 3 0 4 3 4

Matrizes especiais Matrizes especiais Matriz quadrada Uma matriz quadrada é uma matriz do tipo n n. 4 3 Exemplos : A =, B = 0 3 3 4 3 0 5 6 3 4 4 Diagonal secundária Diagonal principal Matriz rectangular Uma matriz rectangular é uma matriz do tipo m n em que m n. 4 3 Exemplo : A = 0 3 4 Matriz triangular Uma matriz triangular é uma matriz quadrada em que são nulos os elementos situados para um dos lados da diagonal principal. Exemplos : A = 3 0 Matriz triangular superior 0 0 4 A = 4 0 0 0 Matriz triangular inferior 5 0 5 6 Matrizes especiais Matrizes especiais Matriz Diagonal Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada em que são nulos todos os elementos situados fora da diagonal principal. 4 0 0 A = 0 0 0 0 Matriz identidade A matriz identidade é uma matriz diagonal constituída por uns na diagonal principal. Denota-se por I n. I 3 = 0 0 0 0 0 0 Matriz nula A matriz nula é uma matriz constituída por apenas elementos nulos. Denota-se por O m n. No caso de m = n denota-se simplesmente por O m. Exemplos: O 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O 3 = 0 0 0 0 0 0 O conjunto de todas as matrizes m n com entradas em R designa-se por M m n (R). O conjunto de todas as matrizes m n com entradas em C designa-se por M m n (C). 7 8

Matrizes especiais Matriz transposta Seja A M m n (K), K = R ou K = C. A matriz transposta de A =a ij, do tipo m n, é dada por A t =a ji, do tipo n m. 3 0 3 4 4 5 0 t t 3 = = 0 3 3 4 5 4 0 3 Igualdade de matrizes Duas matrizes são iguais se forem do mesmo tipo e se tiverem elementos homólogos iguais. A = 4 3 x Se x = 5 então A = B. 4, B = 3 5 4 5, C = 0 3 Não existe valor para x de forma que A = C, uma vez que A e C têm ordens diferentes. 9 0 Adição de matrizes Dadas matrizes A =a ij e B =b ij do tipo m n, a sua adição éa matriz soma de ordem m n dada por: A = 0 3 0 4 4 7 0 A + B =a ij + b ij, B = A + B = 4 5 4 3 7 0 3 5 4 3 5 0 3 4 5 Propriedades da adição de matrizes Sejam A, B e C matrizes de ordem m n. Então: A + B = B + A; (A + B)+C = A +(B + C); Existe uma matriz nula, O m n, tal que O m n + A = A + O m n = A; Para cada matriz A =a ij, existe a matriz A = a ij tal que A +( A) = A + A = O.

Multiplicação de um escalar por uma matriz O produto de uma escalar α (real ou complexo) por uma matriz A =a ij do tipo m n é a matriz m n dada por: 4 6 0 3 8 αa =αa ij = 3 0 3 4 Propriedades da multiplicação escalar Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo e α e β dois escalares. Então: α(a + B) =αa + αb; (α + β)a = αa + βa; α(βa) =(αβ)a. 3 4 Multiplicação de matrizes Se A é uma matriz de ordem m r e B é uma matriz de ordem r n então o produto AB é uma matriz do tipo m n cujos elementos são determinados da seguinte forma: o elemento da linha i e coluna j de AB obtém-se da linha i de A e da coluna j de B através da soma do produto dos correspondentes elementos. Notação abreviada: AB = r a ik b kj k= 4 6 0 4 6 0. 4 4 3 0 3 = 7 5 ( 4)+(6 3)+(0 5) =6. 4 4 3 0 3 7 5 = ( 3)+( )+(4 ) =3 6 3 5 6

4 6 0. 4 4 3 0 3 = 7 5 ( 4)+( 0)+(4 ) = ( ) ( )+(4 7) =7 ( 4)+( 3)+(4 5) =30 ( 4)+(6 0)+(0 ) =8 ( ) (6 )+(0 7) = 4 ( 3)+(6 )+(0 ) = 7 30 3 8 4 6 Observações: Só é possível efectuar o produto AB seonúmero de colunas de A for igual ao número de linhas de B. A m r B r n = AB m n iguais O produto de matrizes não é comutativo. 0 0 0 A =, B = 0 0 0 0 0 AB =, BA =. 0 0 0 7 8 Propriedades da multiplicação de matrizes A(BC) =(AB)C, para quaiquer matrizes A do tipo m n, B do tipo n p e C do tipo p q; A(B + C) =AB + AC, para quaisquer matrizes A do tipo m n e B e C do tipo n p; (A + B)C = AC + BC, para quaisquer matrizes A e B do tipo m n e C do tipo n p; (αa)b = α(ab), para quaisquer matrizes A do tipo m n e B do tipo n p; (αa)(βb) =(αβ)(ab), para quaisquer matrizes A do tipo m n e B do tipo n p; Exercícios: Defina a matriz A do tipo 4 4 cujos elementos a ij satisfazem a condição: { sei + j é par a ij = 0 caso contrário Considere as matrizes: A = 3 0, B = 4 0 C =, D = 3 5 0 5 3 4 4 0 9 0

Exercícios: Calcule (quando possível): (BA t C) t ; (4B)C + B; 3 B t (CC t A t A); 4 ( AC) t + 5D t. Eliminação de Gauss: E 3 +3E x + x + x 3 = 4x + x + 3x 3 = x + x + x 3 = 4 x + x + x 3 = x + x 3 = 0 5x 3 = 5 E E E 3 +E Substituição de variáveis (de baixo para cima): x + x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x 3 = 5 x = x = x 3 = Exemplo anterior - Notação matricial x + x + x 3 = 4x + x + 3x 3 = x + x + x 3 = 4 x x x 3 Matriz dos coeficientes do sistema: A = 4 3 Matriz coluna dos termos independentes: b = Matriz coluna das variáveis: X = x x x 3 4 3 3 3 O sistema em notação matricial representa-se por AX = b. Matriz ampliada do sistema: A b = 4 3 4 Matriz em escada de linhas Uma matriz em escada de linhas é uma matriz tal que por baixo do primeiro elemento não nulo de cada linha da matriz, e por baixo dos elementos anteriores da mesma linha, todas as entradas são nulas. Pivô Primeiro elemento não nulo de cada linha de uma matriz em escada de linhas. 3 4

Operações na eliminação de Gauss de uma matriz A A matriz A transforma-se numa matriz em escada de linhas por meio de operações do seguinte tipo: substituição de uma linha pela sua soma com o produto de um número por outra linha; troca de linhas; multiplicar uma linha por um número diferente de zero (se a matriz for ampliada). Variáveis básicas e não básicas (livres) As variáveis básicas são as correspondentes às colunas que têm pivôs na matriz em escada de linhas. As variáveis não básicas (livres) são as correspondentes às colunas que não têm pivôs na matriz em escada de linhas. Característica de uma matriz A A característica de uma matriz A, car(a), é por definição a característica da matriz em escada de linhas obtida através da eliminação de Gauss de A. Numa matriz em escada de linhas, a característica da matriz é igual ao número de pivôs, ou seja, ao número de linhas não nulas. 5 6 Exemplo ( continuação ): Passos da eliminação de Gauss, partindo da matriz ampliada 4 3 4 L 3 +3L L L L 3 +L 0 0 0 0 5 5 0 0 0 3 5 Classificação do sistema: Possível determinado Variáveis básicas: x, x e x 3 car(a)= 3. Classificação de sistemas AX = b Possível car(a) =car(a b) Determinado car(a) =car(a b) = n Indeterminado de grau k(k 0) car(a) =car(a b) < n, ou seja, car(a) =n k Impossível car(a) < car(a b) n -número de variáveis, o mesmo é dizer, número de colunas da matriz A. Sistema Homogéneo AX = 0 O sistema homogéneo AX = 0 é sempre possível - admite pelo menos a solução X = 0. 7 8

x y + v = 4x 6y + z + v = 0 6x 7y + z + 5v = 0 4 6 0 L +L L 6 7 5 3 3L L 3 L 0 0 8 4 0 0 0 0 0 0 8 4 0 4 car(a)= < car(a b) = 3 Sistema Impossível Variáveis básicas: x e y. y + z + 5v = 4 4x y + z + v = 0 x + y + v = 0 5 4 4 0 0 L +L 0 0 4 0 5 4 L L 3 L3 L 0 4 0 0 5 4 0 0 4 0 0 car(a)= car(a b) = 3 < n = 4 Sistema Possível Indeterminado (grau ) Variáveis básicas: x, y e z. 9 30 Matriz em escada de linhas: 0 0 4 0 0 x + y + v = O sistema dado é equivalente a y + z + 4v = z + v = Substituição de variáveis: x = 5+5v y = 6 6v, v R z = + v A resolução de um sistema pelo método de Gauss-Jordan compreende as fases: Eliminação de Gauss da matriz ampliada do sistema. (Só interessa passar à fase seguinte se o sistema for possível); A partir da matriz em escada de linhas obtida em, chegar a uma matriz em que: por baixo e por cima dos pivôs, todas as entradas sejam nulas; os pivôs sejam iguais a(multiplicação de cada linha não nula da matriz pelo inverso do número que é pivô dessa linha. 3 3

Fase : 3 3 0 L L L 3 +L x + 3x + x 3 = 3 x + x + x 3 = x + x = 0 0 3 L L 3 3 0 L3 3L 0 0 0 5 5 Fase : 0 0 0 5 5 L +L 3 L L 3 x = Solução: x = 0 x 3 = 0 0 0 0 0 0 5 L 3 L L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 33 34 Propriedades: Matriz invertível A matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível se existir uma matriz quadrada B de ordem n tal que AB = I e BA = I. Nesse caso, B diz-se a inversa de A e representa-se por A. Matriz singular e matriz não singular Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A diz-se singular se car(a) < n. A diz-se não singular se car(a) =n. Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se e só seénão singular; Seja A uma matriz invertível, então: A inversa é única; (A ) = A; 3 Se A e B são matrizes quadradas de ordem n tais que AB = I então BA = I; 4 Se A, A,...,A n são matrizes quadradas da mesma ordem, todas invertíveis, então o produto A A...A n é invertível, tendo-se (A A...A n ) = A n...a A. 35 36

Método de Gauss-Jordan no cálculo de inversas de matrizes A I... I A Calcular a inversa de método de Gauss-Jordan A = 3 4 5 7. 3 4 0 5 7 0 3 4 0 5 7 0 3 4 0 3L 0 5 3 0 7 4 3 L 0 5 3 L 5 3 L 3 4 0 0 3 5 3 3 0 L 4L 0 5 3 A = 7 4 5 3 37 38 Exercícios: Determine a matriz A tal que: 40 6 9 A = 3 5 3. 5 Determine todosos valores reais de a, b e c para os quais 0 0 A = 0 é invertível. a b c Matriz simétrica e matriz anti-simétrica Seja A M n n (K), K = R ou K = C. A diz-se simétrica se A t = A. A diz-se anti-simétrica se A t = A. Exemplos: A = A = 4 5 4 3 5 7 0 4 5 4 0 5 0 Matriz simétrica Matriz anti-simétrica 39 40

Propriedades da transposição de matrizes Sejam A M m n (K), K = R ou K = C, eα um escalar. (A t ) t = A; (A + B) t = A t + B t ; (AB) t = B t A t ; (αa) t = αa t ; Se A é invertível, então A t é invertível, tendo-se (A ) t =(A t ) ; (A k ) t =(A t ) k. Matriz conjugada Seja A M m n (C). A matriz conjugada de A =a ij, do tipo m n, é dada por A =a ij, onde a ij denota o conjugado de a ij. 4 i A = 3 + i + i 0 A = 0 + i 5i 4 + i 3 i i 0 0 i 5i 4 4 Propriedades da conjugação de matrizes Sejam A M m n (C) e α C. A = A; A + B = A + B; AB = A B; αa = αa; Se A é invertível, então A é invertível, tendo-se A = A ; A k = A k. Matriz transconjugada Seja A M m n (C). A matriz transconjugada de A =a ij, do tipo m n, é dada por A =a ji, do tipo n m. Notação: A = A H =(A) t = A t 4 i A = 3 + i + i 0 A = 4 3 i 0 + i i i 0 + i 5i 0 5i 43 44

Propriedades da transconjugação de matrizes Sejam A M m n (C) e α C. (A ) = A; (A + B) = A + B ; (AB) = B A ; (αa) = αa ; Se A é invertível, então A é invertível, tendo-se (A ) =(A ) ; (A k ) =(A ) k. Matriz hermítica e matriz anti-hermítica Seja A M n n (C). A diz-se hermítica se A = A. A diz-se anti-hermítica se A = A. Exemplos: A = A = 4 i + i 4 + i 6 i 0 4 + i 0 + i 0 4 + i + i 0 Matriz hermítica Matriz anti-hermítica 45 46 Matriz ortogonal Uma matriz A quadrada de ordem n diz-se ortogonal se AA t = I e A t A = I ou A for invertível e A t = A A = 0 0 0 0 0 0 Exercícios: Determine os valores de a, b e c para os quais: a b + c a + b + c A = 3 5 a + c é simétrica. 0 7 A = 0 a + bi bi 3 + i 0 3 + i i 3 + i c é anti-hermítica. 47 48