2 Sistemas de Equações Lineares

2 Sistemas de Equações Lineares 2.1 Introdução Definição (Equação linear): Equação linear é uma equação da forma: a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n = b (1) na qual x 1,x 2,...,x n são as incógnitas; a 1,a 2,...,a n são os respectivos coeficientes das incógnitas; e b é o termo independente. Uma solução de uma equação linear (1) é uma sequencia de n números s 1,s 2,...,s n tais que a equação é satisfeita quando substituímos x 1 = s 1,x 2 = s 2,...,x n = s n. O conjunto de todas as soluções de uma equação é chamado conjunto-solução da equação. Definição (Sistema de equações lineares): Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto finito de equações do tipo: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 (2)... a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m com a ij, 1 i m, 1 j n, números reais (ou complexos). Uma solução de um sistema linear (2) é uma n-upla de números s 1,s 2,...,s n que têm como propriedade o fato de que todas as m equações em (2) são satisfeitas quando x 1 = s 1,x 2 = s 2,...,x n = s n são substituídos em (2). Definição (Sistemas equivalentes): Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se, toda solução de qualquer um dos sistemas também é solução do outro. 2.2 Sistemas e Matrizes Podemos escrever o sistema (2) numa forma matricial: a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n x 2... = a m1 a m2 a mn x n ou A X = B onde a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = é a matriz dos coeficientes.. a m1 a m2 a mn x 1 x 2 X = é a matriz das incógnitas. x n 1 b 1 b 2. b m

B = b 1 b 2. b m é a matriz dos termos independentes Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 [A B]... a m1 a m2 a mn b m que chamamos matriz ampliada do sistema. Cada linha desta matriz é simplesmente uma representação abreviada da equação correspondente no sistema. 2.3 Sistemas Lineares e Inversas Se A é uma matriz n n, então o sistema linear AX = B é um sistema de n equações e n incógnitas. Suponha que A é invertível. Então existe A 1 e podemos multiplicar AX = B por A 1 de ambos os lados, obtendo A 1 (AX) = A 1 B ( A 1 A ) X = A 1 B I n X = A 1 B X = A 1 B Além disso, X = A 1 B é claramente uma solução do sistema linear dado. Portanto, se A é invertível, temos uma única solução. Exercício 2.1: Resolver os seguintes sistemas de equações lineares: x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 5 a) 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 3 x 1 + 8x 3 = 17 2

b) x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 4 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 5 x 1 + 8x 3 = 9 c) x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 6 x 1 + 8x 3 = 6 3

2.4 Eliminação de Gauss-Jordan Teorema: Sejam AX = B e CX = D dois sistemas lineares, cada um com m equações e n incógnitas. Se as matrizes ampliadas [A B] e [C D] desses sistemas são linha equivalentes, então ambos os sistemas lineares são equivalentes, isto é, têm as mesmas soluções. O resultado anterior fornece um método para resolver sistemas de equações lineares. A ideia-chave é iniciar com o sistema linear AX = B e, a partir de sua matriz ampliada [A B], obter uma matriz linha reduzida à forma escada [C D linha equivalente a [A B]. Agora, [C D] representa o sistema linear CX = D equivalente a AX = B, porém mais fácil de ser resolvido devido à estrutura mais simples de [C D]. Além disso, o conjunto de todas as soluções de CX = D fornece com precisão o conjunto de todas as soluções para o sistema AX = B. Exercício 2.2: x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 4 x 1 3x 2 2x 3 = 5 4

GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear 2.5 Existência e unicidade de soluções Consideremos um sistema de m equações lineares com n incógnitas x 1,x 2,...,x n. a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 (3)... a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m cujos coeficientes a ij e os termos constantes b i são números reais (ou complexos). Este sistema poderá ter i) uma única solução (Sistema Possível Determinado - SPD) { 2x1 + x Exemplo: 2 = 5 x 1 3x 2 = 6 x 2 [ 2 1 5 1 3 6 ] [ 1 0 3 0 1 1 ] { x1 = 3 x 2 = 1 S = {(3, 1)} (3, 1) x 1 ii) infinitas soluções (Sistema Possível Indeterminado - SPI) { 2x1 + x Exemplo: 2 = 5 6x 1 + 3x 2 = 15 x 2 [ 2 1 5 6 3 15 ] [ ] 1 1 5 2 2 0 0 0 { x1 + 1 2 x 2 = 5 2 0x 1 + 0x 2 = 0 x 1 x 1 = 5 2 1 2 x 2 S = { (x 1,x 2 ) R 2 ;x 1 = 5 2 1 } 2 x 2 5

iii) nenhuma solução (Sistema Impossível - SI) { 2x1 + x Exemplo: 2 = 5 6x 1 + 3x 2 = 10 x 2 [ 2 1 5 6 3 10 ] [ 1 1 2 0 0 0 1 { x1 + 1 2 x 2 = 0 0x 1 + 0x 2 = 1 S = ] x 1 Consideremos a matriz ampliada do sistema (3) e tomemos sua matriz linha reduzida à forma escada. a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2... a m1 a m2 a mn b m m (n+1) c 11 c 12 c 1n d 1... c k1 c k2 c kn d k 0 0 0 d k+1... 0 0 0 d m m (n+1) Teorema: i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única. iii) Se as duas matrizes têm o mesmo postop, ep < n, podemos escolhern p incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função destas. Neste caso, dizemos que o grau de liberdade do sistema é n p. Exercício 2.3: Resolva os sistemas: x 1 + 2x 2 + x 3 = 0 a) x 1 + 3x 3 = 5 x 1 2x 2 + x 3 = 1 6

b) 2x y = 3 x + 4y = 2 x 5y = 1 4x + 16y = 8 7

c) { x + 2y + z + t = 1 x + 3y z + 2t = 3 d) 2x 1 + 4x 2 = 16 5x 1 2x 2 = 4 10x 1 4x 2 = 3 8

2.6 Sistemas Homogêneos Um sistema linear do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0... a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = 0 (4) é chamado sistema homogêneo. Também podemos escrever (4) na forma de matriz como A solução AX = 0 (5) x 1 = x 2 = = x n = 0 para o sistema homogêneo (4) é chamada solução trivial. Uma solução x 1,x 2,...,x n para um sistema homogêneo na qual nem todos os x i são iguais a zero é chamada solução não-trivial. Vemos que um sistema homogêneo é sempre compatível, uma vez que sempre tem solução trivial. Exercício 2.4: Resolva os sistemas: x 1 3x 2 4x 3 = 0 a) x 1 x 2 x 3 = 0 x 1 x 2 + 3x 3 = 0 9

b) { x + 2y + z + t = 0 x + 3y z + 2t = 0 Teorema: Um sistema homogêneo de m equações e n incógnitas sempre tem uma solução não-trivial se m < n, ou seja, se o número de incógnitas exceder o número de equações. Referências ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear. São Paulo: Harbra, 1980. KOLMAN, B.; HILL, D. R. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2006. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra Linear. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987. 10