Matemática 1. Semanas 3, 4 e 5. Professor Luiz Claudio Pereira. Material Previsto para três semanas. Faculdade de Planaltina Universidade de Brasília

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1 Matemática 1 Semanas 3, 4 e 5 Professor Luiz Claudio Pereira Faculdade de Planaltina Universidade de Brasília Material Previsto para três semanas (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

2 1 Denições Básicas Sistema de equações lineares Exemplos Escalonamento Aplicações 2 Funções e conceitos importantes (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

3 Denição Sejam θ 1,θ 2,...,θ n números reais quaisquer. R n, chamado espaço euclidiano de dimensão n, é o conjunto formado por elementos da forma (θ 1,θ 2,...,θ n ).Cada elemento θ = (θ 1,θ 2,...,θ n ) R n é denominado ponto e cada θ i, i {1,2,...,n}, é dito coordenada. Exemplo R 2 é o espaço euclidiano de dimensão 2 e o ponto ( π, 3 2 ) R 2. Exemplo R 3 é o espaço euclidiano de dimensão 3 e o ponto ( 0,π, 3 2 ) R 3. Exemplo O ponto ( π, 7, 1,0,3, π ) R 6 e sua quarta coordenada é (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

4 Conceitos e termos Uma equação linear de n incógnitas x 1, x 2,...,x n é uma expressão matemática da forma α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x α n 1 x n 1 + α n x n = β 1 onde β 1,α k R para todo k = 1,2,...,n. n k=1 α k x k = β 1 Exemplo É equação linear de 4 incógnitas a expressão matemática 2x 1 + 3x 2 x 3 + 2x 4 = (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

5 Conceitos e termos Uma equação linear de n incógnitas x 1, x 2,...,x n é uma expressão matemática da forma α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x α n 1 x n 1 + α n x n = β 1 onde β 1,α k R para todo k = 1,2,...,n. n k=1 α k x k = β 1 (1) Denição Uma solução da equação linear de n incógnitas (1) é um elemento (θ 1,θ 2,...,θ n ) R n que satisfaz identicamente a equação, isto é, n α k θ k =... = β 1 k= (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

6 Exemplo O ponto (4,3, 1, 1/2) R 4 é solução da equação linear de 4 incógnitas 2x 1 + 3x 2 x 3 + 2x 4 = 1 uma vez que para x 1 = 4, x 2 = 3, x 3 = 1 e x 4 = 1/2, obtém-se 2x 1 + 3x 2 x 3 + 2x 4 = ( 1) + 2 ( 1/2) = = 1 Denição O conjunto-solução de uma equação linear de n incógnitas é o conjunto formado por todas as soluções da equação (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

7 Observação Note que n α k x k = β 1 α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x α n 1 x n 1 + α n x n = β 1 k=1 [ ] α1 α 2 α 3 α n x 1 x 2 x 3. x n = [β 1 ] L X = B onde L = [ α 1 α 2 α 3 α n ], B = [β1 ] e X M n 1 (R) é a matriz das incógnitas (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

8 Denição Um conjunto formado por m equações lineares, cada uma de n incógnitas x 1, x 2,...,x n, é chamado sistema de equações lineares de m equações e n incógnitas. Explicitamente, a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = β 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = β 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = β 3... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = β m (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

9 Como a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = β 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = β 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = β 3... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = β m n a j=1 1j x j = β 1 n a j=1 2j x j = β 2 n a j=1 3j x j = β 3. n a j=1 mj x j n j=1 = β m a ij x j = β i, i = 1,2,...,m um sistema linear de m equações e n incógnitas pode, sinteticamente, ser indicado por n a ij x j = β i, i {1,2,...,m} j= (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

10 Denição Um conjunto formado por m equações lineares, cada uma de n incógnitas x 1, x 2,...,x n, é chamado sistema de equações lineares de m equações e n incógnitas. Explicitamente, a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = β 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = β 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = β 3... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = β m e, sinteticamente, n a ij x j = β i, i {1,2,...,m} j= (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

11 Note que, em razão do produto de matrizes, tem-se a 11 x a 1n x n = β 1 a 11 a 1n a 21 x a 2n x n = β 2 a 21 a 2n.... a m1 x a mn x n = β a m1 m a mn x 1 x 2. x n = β 1 β 2. β m A X = B Deste modo, um sistema linear de m equações e n incógnitas admite a representação matricial AX = B onde A M m n (R) é chamada matriz dos coecientes, B M m 1 (R) é a matriz dos termos independentes e X M n 1 (R) é a matriz das incógnitas (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

12 Denição Um conjunto formado por m equações lineares, cada uma de n incógnitas x 1, x 2,...,x n, é chamado sistema de equações lineares de m equações e n incógnitas. a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = β 1 Explicitamente, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = β 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = β 3... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = β m n Sinteticamente, a ij x j = β i, i {1,2,...,m} j=1 Na forma matricial, AX = B, onde A M m n (R), B M m 1 (R) e X M n 1 (R) (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

13 Exemplo O sistema de equações lineares de 2 equações e 3 incógnitas dado por { [ ] x x 1 3x 2 + 3x 3 = 4 1 [ ] x 2 4 = 2x 1 + 5x 2 2x 3 = [ tem matriz dos coecientes A = [ ] 4 independentes B =. 1 Denição ] x 3 e matriz dos termos Sejam A M m n (R), B M m 1 (R) e X M n 1 (R). Chama-se matriz ampliada do sistema linear AX = B à matriz [A : B] M m (n+1) (R) (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

14 Exemplo O sistema de equações lineares de 2 equações e 3 incógnitas dado por { [ ] x x 1 3x 2 + 3x 3 = 4 1 [ ] x 2 4 = 2x 1 + 5x 2 2x 3 = [ ] tem matriz dos coecientes A = e matriz dos termos [ ] 4 independentes B =. Portanto, a matriz ampliada do sistema linear 1 AX = B é a matriz [A : B] = (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92 x 3

15 Denição Sejam A M m n (R), B M m 1 (R) e X M n 1 (R). Chama-se solução do sistema linear AX = B a um ponto (θ 1,θ 2,...,θ n ) R n que satisfaz, identicamente, a cada equação do sistema linear. O conjunto-solução de AX = B é o conjunto formado por todas as soluções do sistema. Exemplo O elemento (2,1,3) R 3 é solução do sistema linear { x 1 3x 2 + 3x 3 = 4 2x 1 + 5x 2 2x 3 = 3 pois, tomando x 1 = 2, x 2 = 1 e x 3 = 3, tem-se x 1 3x 2 + 3x 3 = = = 4 e 2x 1 + 5x 2 2x 3 = = 9 6 = (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

16 Denição Sejam A M m n (R), B M m 1 (R) e X M n 1 (R). Dado um sistema linear AX = B, uma e apenas uma das situações ocorre: (i) O sistema não admite solução e, nesse caso, é dito impossível (incompatível). (ii) O sistema admite solução e a solução é única. Nesse caso, o sistema é dito possível (compatível) e determinado. (iii) O sistema admite solução e a solução não é única. Nesse caso, ele é dito possível (compatível) e indeterminado. Exemplo O sistema linear { 7x 1 + 3x 2 = 1 7x 1 + 3x 2 = 1 é impossível pois (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

17 Observação { x 1 3x 2 + 3x 3 = 4 Ao descrever o sistema linear na forma matricial 2x 1 + 5x 2 2x 3 = 3 [ ] x 1 [ ] x 2 4 = obtém-se que o ponto (2,1,3) R 3, x 3 2 que é solução do sistema, passa a ser descrito pela matriz 1. 3 Por esta razão, ao descrever a solução de um sistema linear de n incógnitas, alguns autores o fazem na forma de um elemento de M n 1 (R) ao invés de um ponto de R n como assinalado acima (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

18 Exercício Seja t R qualquer. (a) Um estudante arma que 4t 1 2t + 1/3 t M 3 1 (R) é solução do sistema linear { x 1 + 6x 2 8x 3 = 1 2x 1 + 6x 2 4x 3 = 0 (b) { Outro estudante ama que x 1 + 6x 2 8x 3 = 1 é um 2x 1 + 6x 2 4x 3 = 0 sistema compatível e determinado. Você concorda ou discorda? Justique. Denição Diz-se que um sistema linear AX = B é homogêneo quando B = 0. Você concorda ou discorda? Justique (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

19 Exercício Seja t R qualquer. (a) Um estudante arma que 4t 1 2t + 1/3 t M 3 1 (R) é solução do sistema linear { x 1 + 6x 2 8x 3 = 1 2x 1 + 6x 2 4x 3 = 0 (b) { Outro estudante ama que x 1 + 6x 2 8x 3 = 1 é um 2x 1 + 6x 2 4x 3 = 0 sistema compatível e determinado. Você concorda ou discorda? Justique. Denição Diz-se que um sistema linear AX = B é homogêneo quando B = 0. Você concorda ou discorda? Justique (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

20 Observação Qualquer que seja a matriz A, tem-se que A 0 = 0. Por conseguinte, todo sistema linear homogêneo AX = 0 admite pelo menos a solução X = 0, a qual é chamada solução trivial. Teorema Seja A uma matriz quadrada invertível. A única solução do sistema linear homogêneo AX = 0 é a solução trivial. Prova Como A é invertível, existe A 1. Daí, AX = 0 A 1 (AX ) = A 1 0 ( A 1 A ) X = 0 I X = 0 X = (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

21 Seja A uma matriz quadrada invertível. De um sistema linear AX = B segue que AX = B A 1 (AX ) = A 1 B ( A 1 A ) X = A 1 B X = A 1 B, que fornece a solução do sistema! Provou-se assim o seguinte Teorema Se A é uma matriz quadrada invertível, então a solução do sistema linear AX = B é X = A 1 B. Exemplo Use o método descrito acima para encontrar a solução do sistema { 5x 1 2x 2 = 1 4x 1 3x 2 = (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

22 Exemplo Use o método descrito acima para encontrar a solução do sistema { 5x 1 2x 2 = 1 4x 1 3x 2 = 0 Solução { [ ][ ] [ ] 5x 1 2x 2 = x1 1 Note que = AX = B. 4x 1 3x 2 = x 2 0 [ ] [ ] /7 2/7 Daí, A 1 = = e 5 ( 3) ( 2) /7 5/7 [ ] [ ][ ] [ ] x1 3/7 2/7 1 3/7 X = =. Logo, S = {(3/7,4/7)}. 4/7 5/7 0 4/7 x (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

23 Exemplo (i) Ache a inversa da matriz A = Solução [A : I ] L 3 L 3 L L 1 L L 3 L 3 L (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

24 Exemplo (i) Ache a inversa da matriz A = Solução [A : I ] L 3 L 3 L L 1 L L 3 L 3 L (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

25 Exemplo (i) Ache a inversa da matriz A = Solução L 1 L 1 4L 2 L 2 L 2 + 1/6 L (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

26 Exemplo (i) Ache a inversa da matriz A = Solução /6 1/6 1/ /2 3/2 1/ /6 1/6 1/ L 1 L 1 1/2 L 3 L 1 1/2 L 1 L 3 1/6 L (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

27 Exemplo (i) Ache a inversa da matriz A = Solução /12 9/12 3/ /12 2/12 2/ /12 2/12 7/4 3/4 1/4 2/12 A 1 = 5/6 1/6 1/6. 1/6 1/6 1/6 [A : I ]. Portanto, (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

28 Exemplo x 2 x 3 = 3 (ii) Resolva o sistema linear 2x 1 + 4x 2 x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 1 Solução x 2 x 3 = 3 2x 1 + 4x 2 x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = x 1 x 2 x 3 = A X = B A 1 (A X ) = A 1 B ( A 1 A ) X = A 1 B I X = A 1 B X = A 1 B. Deste modo, em virtude de (i), segue que (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

29 Exemplo x 2 x 3 = 3 (ii) Resolva o sistema linear 2x 1 + 4x 2 x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 1 Solução x 2 x 3 = 3 2x 1 + 4x 2 x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = x 1 x 2 x 3 = A X = B A 1 (A X ) = A 1 B ( A 1 A ) X = A 1 B I X = A 1 B X = A 1 B. Deste modo, em virtude de (i), segue que (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

30 Exemplo x 2 x 3 = 3 (ii) Resolva o sistema linear 2x 1 + 4x 2 x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 1 Solução 21/12 9/12 3/ /12 X = 10/12 2/12 2/12 1 = 26/12. Portanto, o 2/12 2/12 2/ /12 conjunto-solução do sistema linear dado é S = {(17/4, 13/6, 5/6)}. Denição Um sistema de Cramer é um sistema linear de n equações com n incógnitas cuja matriz dos coecientes é invertível (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

31 Exercício (i) Ache a inversa da matriz A = (ii) Resolva o sistema linear de Cramer. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 + x 2 + 3x 3 + 3x 4 = 3 x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 3 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 3x 4 = 4 Perguntas A m de resolver o sistema linear AX = B, o que pode ser feito quando a matriz dos coecientes (i) é quadrada, mas não é invertível? (ii) Não é quadrada? (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

32 Uma resposta possível Sejam [A : B] a matriz ampliada do sistema linear AX = B, A M m n (R), B M m 1 (R), X M n 1 (R). A operação elementar-linha L i L j permite obter [A : B ] [A : B] e o correspondente (outro) sistema linear A X = B. Ocorre que a operação inversa L j L i também é elementar-linha e permite recuperar [A : B] a partir da matriz ampliada [A : B ] do sistema A X = B. Isso, por sua vez, signica que um ponto (α 1,α 2,...,α n ) R n que satisfaz AX = B também satisfaz A X = B e vice-versa (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

33 Uma resposta possível Sejam [A : B] a matriz ampliada do sistema linear AX = B, A M m n (R), B M m 1 (R), X M n 1 (R). A operação elementar-linha L i L i kl i, k 0, permite obter [A : B ] [A : B] e o correspondente (outro) sistema linear A X = B. Ocorre que a operação inversa L i k 1 L i também é elementar-linha e permite recuperar [A : B] a partir da matriz ampliada [A : B ] do sistema A X = B. Isso, por sua vez, signica que um ponto (α 1,α 2,...,α n ) R n que satisfaz AX = B também satisfaz A X = B e vice-versa (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

34 Uma resposta possível Sejam [A : B] a matriz ampliada do sistema linear AX = B, A M m n (R), B M m 1 (R), X M n 1 (R). A operação elementar-linha L i L i L i + k L j, k 0, permite obter [A : B ] [A : B] e o correspondente (outro) sistema linear A X = B. Ocorre que a operação inversa L i L i k L j também é elementar-linha e permite recuperar [A : B] a partir da matriz ampliada [A : B ] do sistema A X = B. Isso, por sua vez, signica que um ponto (α 1,α 2,...,α n ) R n que satisfaz AX = B também satisfaz A X = B e vice-versa (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

35 Em resumo O conjunto-solução, S, de um sistema linear AX = B é invariante, isto é, não é alterado quando se realiza sobre a matriz ampliada [A : B] qualquer uma das operações elementares-linha. Noutras palavras, se [A : B] e [A : B ] são matrizes ampliadas e [A : B] [A : B ] então os sistemas lineares AX = B e A X = B têm o mesmo conjunto-solução. Ideia básica Dado o sistema linear AX = B, obtenha [A : B ] [A : B] tal que a existência ou não da solução de A X = B seja de constatação (quase) imediata (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

36 Exemplo - matriz identidade É de constatação (quase) imediata a existência ou não da solução do sistema linear A X = B cuja matriz ampliada é /2 [ A : B ] /2 = x x x x 4 = 1/2 0 x x x x 4 = 1/2 porquanto, explicitamente, 0 x x x x 4 = 0 0 x x x x 4 = (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

37 Exemplo - matriz na forma escada É de constatação (quase) imediata a existência ou não da solução do sistema linear A X = B cuja matriz ampliada é [ A : B ] = x x x 3 = 1 porquanto, explicitamente, 0 x x x 3 = 2 0 x x x 3 = 3 e (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

38 Exemplo - matriz triangular superior É de constatação (quase) imediata a existência ou não da solução do sistema linear A X = B cuja matriz ampliada é [ A : B ] = x x x 3 = 1 porquanto, explicitamente, 0 x x x 3 = 4 0 x x x 3 = 1 x 2 = 4 2x 3 = 2, 2x 1 = 1 x 2 x 3 = 2 x 1 = 1. e x 3 = 1, (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

39 Exemplo - matriz triangular inferior É de constatação (quase) imediata a solução do sistema linear A X = B cuja matriz ampliada é [A : B ] = porquanto, x x x x 4 = 6 1 x x x x 4 = 1 explicitamente, e x 3 x 1 2 x x x 4 = 1 = 2, 0 0 x x x x 4 = 1 2x 2 = 1 x 1 x 2 = 3/2, 4x 3 = 2x 2 + 3x 1 x 3 = 3/4, x 4 = 1 x 2 = 5/ (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

40 Ideia básica Dado o sistema linear AX = B, obtenha [A : B ] [A : B] tal que a existência ou não da solução de A X = B seja de constatação (quase) imediata. Método da eliminação gaussiana Consiste em resolver o sistema linear AX = B, obtendo [A : B ] [A : B] de modo que [A : B ] seja uma matriz na forma escada, com pivôs iguais a 1. Metódo de Gauss-Jordan Consiste em resolver o sistema linear AX = B, obtendo a matriz linha reduzida à forma escada [A : B ] [A : B] (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

41 Ideia básica Dado o sistema linear AX = B, obtenha [A : B ] [A : B] tal que a existência ou não da solução de A X = B seja de constatação (quase) imediata. Escalonamento Consiste em qualquer técnica (ou método) que procura resolver o sistema linear AX = B por meio de alguma matriz na forma escada [A : B ] [A : B]. São exemplos de escalonamento o método de eliminação gaussiana, o método de Gauss-Jordan (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

42 Exemplo A matriz ampliada do sistema linear x 1 2x 2 x 3 = 1 2x 1 + x 2 3x 3 = 0 x 1 7x 2 = 3 é [A : B] = Realizada sobre [A : B], a sequência de operações elementares-linha acarreta e 1 :L 2 L 2 2L 1 e 2 :L 3 L 3 L 1 e 3 :L 3 L 3 + L 2 e 4 :L 2 1/5 L 2 e 5 :L 1 L 1 + 2L (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

43 1 0 7/5. 1/5 [A : B] 0 1 1/5. 2/5 (a matriz linha reduzida à forma escada). Daí, x 1 = 1/5 + 7/5x 3 e x 2 = 2/5 + 1/5x 3 e S = { (1/5 + 7/5t, 2/5 + 1/5t, t) R 3 : t R } x 1 2x 2 x 3 = 1 é o conjunto-solução do sistema linear 2x 1 + x 2 3x 3 = 0 x 1 7x 2 = 3 Observação A variável livre t R do conjunto S acima é chamada parâmetro (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

44 Exemplo x 1 + x 2 2x 3 + 4x 4 = 5 A matriz ampliada do sistema linear 2x 1 + 2x 2 3x 3 + x 4 = 3 3x 1 + 3x 2 4x 3 2x 4 = [A : B] = A sequência de operações elementares-linha e 1 : L 3 L 3 3L 1 ; e 2 : L 2 L 2 2L 1 ; e 3 : L 3 L 3 2L acarreta [A : B] (a matriz linha reduzida à forma escada). Daí, x 1 = 9 x x 4 e x 3 = 7 + 7x 4 e S = { ( 9 s + 10t, s, 7 + 7t, t) R 4 : s, t R } é o conjunto-solução (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92 é

45 Exercício 4x + 3y = 2 Determine k para que admita solução o sistema linear 5x 4y = 0 2x y = k Solução [A : B] = é a matriz ampliada do sistema. Daí, após 2 1. k uma sequência de operações elementares-linha, e. g., e 1 : L 3 L 3 + 1/2L 1 ; e 2 : L 1 1/4L 1 ; e 3 : L 2 L 2 5L 1 ; e 4 : L 1 L 1 3L 2 ; e 5 : L 3 L 3 + 2L 2 ; e 6 : L 2 4L 2 ; obtém-se (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

46 Exercício 4x + 3y = 2 Determine k para que admita solução o sistema linear 5x 4y = 0 2x y = k Solução [A : B] = é a matriz ampliada do sistema. Daí, após 2 1. k uma sequência de operações elementares-linha, e. g., e 1 : L 3 L 3 + 1/2L 1 ; e 2 : L 1 1/4L 1 ; e 3 : L 2 L 2 5L 1 ; e 4 : L 1 L 1 3L 2 ; e 5 : L 3 L 3 + 2L 2 ; e 6 : L 2 4L 2 ; obtém-se (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

47 Exercício 4x + 3y = 2 Determine k para que admita solução o sistema linear 5x 4y = 0 2x y = k Solução [A : B] k + 6 deve ocorrer k = 6.. Logo, para que o sistema tenha solução (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

48 Exercício 1. Prove que (AB) 1 = B 1 A Ache uma matriz triangular superior tal que A 3 = [ ]. Denição Diz-se que A é matriz normal quando A T A = A T A. Exercício 3. Determine se é normal a matriz X = C = [ ], N = [ ], (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

49 Exemplo Uma caixa contém 83 reais em cédulas de um real, cinco reais e dez reais num total de 13 cédulas. Ache a quantidade de cada cédula. Solução Sejam u, c e d a quantidade{ de cédulas de 1, 5 e 10 reais, u + c + d = 13 respectivamente. Segue que e, usando, e. g., as 1u + 5c + 10d = 83 operações elementares-linha e 1 : L 2 L 2 L 1 ; e 2 : L 1 4L 1 ; e 3 : L 1 L 1 L 2 ; e 4 : L 1 1/4L 1 ; e 5 : L 2 1/4L 2 ; segue [A : B] = /4. 18/ /4. 70/ (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

50 Exemplo Uma caixa contém 83 reais em cédulas de um real, cinco reais e dez reais num total de 13 cédulas. Ache a quantidade de cada cédula. Solução Sejam u, c e d a quantidade{ de cédulas de 1, 5 e 10 reais, u + c + d = 13 respectivamente. Segue que e, usando, e. g., as 1u + 5c + 10d = 83 operações elementares-linha e 1 : L 2 L 2 L 1 ; e 2 : L 1 4L 1 ; e 3 : L 1 L 1 L 2 ; e 4 : L 1 1/4L 1 ; e 5 : L 2 1/4L 2 ; segue [A : B] = /4. 18/ /4. 70/ (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

51 Exemplo Uma caixa contém um montante de 83 reais em cédulas de um real, cinco reais e dez reais num total de 13 cédulas. Ache quantidade de cada cédula. Solução Assim, u = ( d)/4 e c = (70 9d)/4. Como u > 0 d > e c > 0 d < 7 7, decorre que d {4,5,6,7}. Lembrando que 9 u N = {1,2,3,...}, conclui-se que d = 6, u = 3 e c = 4. Exercício Prove que se A é invertível, então A T ( A T ) 1 = ( A 1 ) T também é invertível e (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

52 Exemplo Uma caixa contém um montante de 83 reais em cédulas de um real, cinco reais e dez reais num total de 13 cédulas. Ache quantidade de cada cédula. Solução Assim, u = ( d)/4 e c = (70 9d)/4. Como u > 0 d > e c > 0 d < 7 7, decorre que d {4,5,6,7}. Lembrando que 9 u N = {1,2,3,...}, conclui-se que d = 6, u = 3 e c = 4. Exercício Prove que se A é invertível, então A T ( A T ) 1 = ( A 1 ) T também é invertível e (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

53 Exemplo Uma editora produz livros, conforme segue: tempo, em min, para capa costura cola Dura 2 4 Mole 1 2 Luxo 3 5 Por dia, o local de costura dos livros está disponível 6 h e o de cola 11 h. Quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia de modo que o uso dos locais seja maximizado? Solução Sejam d, m e l o número de livros de capa dura, mole e de luxo produzidos por dia, respectivamente. O tempo otimizado para costura é 2d + 1m + 3l = 6 60 e para cola é 4d + 2m + 5l = A matriz ampliada do sistema é tal que [A : B] Logo, S = { (d,180 2d,60) R 3 : d {1,2,...,89}} ={(1,178,60),...,(89,2,60)} (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

54 Exemplo Uma editora produz livros, conforme segue: tempo, em min, para capa costura cola Dura 2 4 Mole 1 2 Luxo 3 5 Por dia, o local de costura dos livros está disponível 6 h e o de cola 11 h. Quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia de modo que o uso dos locais seja maximizado? Solução Sejam d, m e l o número de livros de capa dura, mole e de luxo produzidos por dia, respectivamente. O tempo otimizado para costura é 2d + 1m + 3l = 6 60 e para cola é 4d + 2m + 5l = A matriz ampliada do sistema é tal que [A : B] Logo, S = { (d,180 2d,60) R 3 : d {1,2,...,89}} ={(1,178,60),...,(89,2,60)} (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

55 Denição A matriz A é dita ortogonal se A T A = I e AA T = I. Exercício 4. Prove que se X e Y são matrizes ortogonais então XY é ortogonal. 1/ 3 1/ 3 1/ 3 5. Um estudante arma que P = 0 1/ 2 1/ 2 2/ 6 1/ 6 1/ é 6 ortogonal. Você concorda ou discorda? Justique. Exercício 6. Seja M uma matriz diagonal tal que diag M = [ ] A B C, onde [ ] [ ] A =, B = [5] e C =. Ache M (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

56 Tráfego em cruzamentos A x 1 D 640 x 2 x B x 3 C Ache o número de veículos que transita entre os cruzamentos, sabendo que inexiste estacionamento na região. Solução A situação implica que no cruzamento: (A) x 2 = x 1 x 1 x 2 = 160. (B) x 2 = x x 2 + x 3 = 40. (C) x = x x 3 x 4 = 210. (D)x = x 1 x 1 x 4 = (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

57 Tráfego em cruzamentos Ache o número de veículos que transita entre os cruzamentos, 610 A x 1 D 640 sabendo que inexiste estacionamento na região. x 2 x B x 3 C 600 Solução A matriz ampliada do sistema é [A : B] = (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

58 Tráfego em cruzamentos A x 1 D 640 x 2 x B x 3 C Ache o número de veículos que transita entre os cruzamentos, sabendo que inexiste estacionamento na região. Solução A sequência de operações elementares-linha e 1 : L 1 L 1 L 2 ; e 2 : L 1 L 1 + L 3 ; e 3 : L 2 L 2 L 3 ; e 4 : L 4 L 4 L 1 ; e 5 : L 2 1 L (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

59 Tráfego em cruzamentos A x 1 D 640 x 2 x B x 3 C Ache o número de veículos que transita entre os cruzamentos, sabendo que inexiste estacionamento na região. Solução acarreta [A : B] (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

60 Tráfego em cruzamentos Ache o número de veículos que transita entre os cruzamentos, 610 A x 1 D 640 sabendo que inexiste estacionamento na região. x 2 x B x 3 C 600 Solução O conjunto-solução do sistema é S = { (330 + t,170 + t,210 + t, t) R 4 : t {0,1,2,3,...} } Problema de um sábio chinês do Séc. VI a. C. Se um galo vale 5 moedas, uma galinha vale 3 moedas e 3 frangos valem 1 moeda, quantos de cada um se pode comprar com 100 moedas, de modo que sejam 100 aves ao todo e pelo menos 4 galos? (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

61 Exemplo - Alimentação equilibrada Vitaminas (em gramas) Alimento A B D D E I II III IV V Balanceado Quantos gramas de cada alimento deve ser ingerido diariamente para uma alimentação balanceada como indicado? Solução Sejam α i a quantidade, em gramas, de cada alimento. Referente à vitamina A, tem-se 1 α α α α α 5 = 170. Referente à vitamina B, tem-se 10 α α α α α 5 = 180. Referente à vitamina C, tem-se 1 α α α α α 5 = (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

62 Exemplo - Alimentação equilibrada Vitaminas (em gramas) Alimento A B D D E I II III IV V Balanceado Quantos gramas de cada alimento deve ser ingerido diariamente para uma alimentação balanceada como indicado? Solução Sejam α i a quantidade, em gramas, de cada alimento. Referente à vitamina D, tem-se 2 α α α α α 5 = 180. Referente à vitamina E, tem-se 2 α α α α α 5 = 350. Em resumo, obtém-se o sistema linear (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

63 1 α α α α α 5 = α α α α α 5 = α α α α α 5 = 140 cuja matriz ampliada é 2 α α α α α 5 = α α α α α 5 = 350 [A : B] = (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

64 A sequência de operações elementares-linha e 1 : L 1 L 2 e 12 : L 5 L 5 + L 2 e 23 : L 5 1/2L 5 e 2 : L 3 L 3 L 2 e 13 : L 2 1/6 L 2 e 24 : L 4 ( 3) L 4 e 3 : L 2 L 3 e 14 : L 4 3L 4 e 25 : L 5 L 5 + L 4 e 4 : L 5 L 5 L 4 e 15 : L 4 L 4 + L 2 e 26 : L 4 1/3L 4 e 5 : L 3 L 5 e 16 : L 4 3L 4 e 27 : L 4 L 4 3L 5 e 6 : L 1 L 1 L 4 e 17 : L 5 L 5 L 4 e 28 : L 4 5L 4 e 7 : L 4 4L 4 e 18 : L 5 1/4L 5 e 29 : L 5 3L 5 e 8 : L 4 L 4 L 1 e 19 : L 4 1/3L 4 e 30 : L 5 L 5 L 4 e 9 : L 5 8L 5 e 20 : L 4 L 5 e 31 : L 4 1/5L 4 e 10 : L 5 L 5 L 1 e 21 : L 5 L 5 13 L 3 e 32 : L 2 ( 1/4) L 2 e 11 : L 2 8L 2 e 22 : L 5 L 5 L 4 e 33 : L 5 (1/7517) L 5 mostram que (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

65 [A : B] S = {(10,10,20,20,10)} R 5.. Logo, Exercício O quilo de amendoim custa 5 reais; o da castanha de caju, 20 reais e o da castanha-do-pará, 16 reais. Uma mistura de meio quilo desses três ingredientes deve ser produzida ao custo total de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju na mistura deve ser igual a um terço da soma das outras duas. Ache a quantidade de amendoim nesta mistura (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

66 Exemplo O físico alemão Gustav Robert Kirccho estabeleceu a: (i) Lei da corrente: a soma algébrica das correntes por qualquer nó do circuito elétrico é zero. (ii) Lei da tensão: a soma algébrica das mudanças de tensão elétrica ao longo de um laço fechado é zero. As leis da corrente e da tensão são também chamadas de primeira lei e segunda lei de Kirchho, respectivamente. Lei de Ohm A tensão elétrica U através um resistor é proporcional à corrente elétrica I. A constante de proporcionalidade R é chamada resistência. Noutros termos, U = RI (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

67 Ache as (três) correntes elétricas no circuito dado. Solução (i) Para xar as ideias, escolha direções quaisquer para cada corrente elétrica I k. Acaso ocorra I k < 0, isso signica que a corrente, de fato, ui em sentido oposto ao escolhido. (ii) Ao percorrer um laço do circuito, como um resistor dissipa energia a tensão é negativa no sentido da corrente. Caso contrário, a tensão é positiva. A tensão da fonte é positiva ao passar do polo negativo para o positvo; caso contrário, negativa (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

68 Ache as (três) correntes elétricas no circuito dado. Solução (i) Para xar as ideias, escolha direções quaisquer para cada corrente elétrica I k. Acaso ocorra I k < 0, isso signica que a corrente, de fato, ui em sentido oposto ao escolhido. (ii) Ao percorrer um laço do circuito, como um resistor dissipa energia a tensão é negativa no sentido da corrente. Caso contrário, a tensão é positiva. A tensão da fonte é positiva ao passar do polo negativo para o positvo; caso contrário, negativa (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

69 Assim, (a) pela lei das correntes, I 1 + I 2 I 3 = 0 (b) Pela lei das tensões e de Ohm, R 1 I 1 R 3 I 3 + V 1 = 0 R 2 I 2 R 3 I 3 + V 2 = 0 A matriz ampliada do sistema é [A : B] = R 1 0 R 3. V 1 0 R 2 R 3. V (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

70 Como R 1 = 10, R 2 = 20, R 3 = 40 ohms; V 1 = 10 e V 2 = 20 volts, a sequência de operações elementares-linha [A : B] = e 1 : L 2 L 2 10L 1 e 2 : L 3 L 3 + 2L 2 permite concluir que Daí, (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

71 I 3 = = 2 7 ampères, e I 2 = 10 50I 3 10 = 3 7 ampères [A : B] = I 1 = I 3 I 2 = 1/7ampères Daí, (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

72 Exercício (a) Determine o posto da matriz Σ = (b) Em relação ao circuito elétrico ao lado, considere ε 1 = 30, ε 2 = 20, ε 3 = 5 volts; R 1 = 4, R 2 = 4, R 3 = 1, R 4 = 1, R 5 = 1, R 6 = 1, R 7 = 1, R 8 = 3 ohms. Usando as indicações de uxo de correntes dadas, ache as correntes I 1, I 2 e I 3 que passam, respectivamente, pelos resistores R 1, R 4 e R (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

73 Exercício Considere o sistema linear x + 2y 3z = 4 3x y + 5z = 2 4x + y + ( a 2 14 ) z = a + 2 Determine todos os valores de a R para os quais o sistema é: (i) Impossível. (ii) Possível e determinado. (iii) Possível e indeterminado (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

74 Exercício Sejam α,β,γ [0,2π]. Considere o sistema não-linear e homogêneo senα + 2cosβ + 3tgγ = 0 2senα + 5cosβ + 3tgγ = 0 senα 5cosβ + 5tgγ = 0 Certo autor arma que o conjunto-solução desse sistema possui 18 elementos. Você concorda ou discorda? Justique. Exercício Prove que A = é linha-equivalente a B = (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

75 Funções elementares Denição Seja f : X Y uma função real de variável real. Diz-se que: (i) f é crescente em I X quando, para todo a, b I, tem-se que a > b implica f (a) > f (b). Quando I = X, f é dita crescente (em X ). (ii) f é decrescente em I X quando, para todo a, b I, tem-se que a > b implica f (a) < f (b). Quando I = X, f é dita decrescente (em X ). Uma função que satisfaz (i) ou (ii) é dita monótona em I (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

76 Funções elementares Denição f : X Y é crescente em I X se a, b I, a > b f (a) > f (b). Exemplo Seja f : R R denida por f (x) = 10 x 1. Armação f é crescente em I = (,1). Prova Para todos a, b I, tem-se que a > b implica a 1 > b 1. Além disso, a 1 < 0 e b 1 < 0. Deste modo, a 1 < b 1 e, por conseguinte, a 1 > b 1 10 a 1 > 10 b 1 f (a) > f (b), que é o que se desejava obter (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

77 Funções elementares Denição f : X Y é crescente em I X se a, b I, a > b f (a) > f (b). Exemplo Seja f : R R denida por f (x) = 10 x 1. Armação f é crescente em I = (,1). Prova Para todos a, b I, tem-se que a > b implica a 1 > b 1. Além disso, a 1 < 0 e b 1 < 0. Deste modo, a 1 < b 1 e, por conseguinte, a 1 > b 1 10 a 1 > 10 b 1 f (a) > f (b), que é o que se desejava obter (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

78 Funções elementares Denição f : X Y é decrescente em I X se a, b I, a > b f (a) < f (b). Exemplo Seja f : R R denida por f (x) = 10 x 1. Armação f é decrescente em I = [1,+ ). Prova Para todos a, b I, tem-se que a > b implica a 1 > b 1. Além disso, a 1 > 0 e b 1 > 0. Deste modo, a 1 > b 1 e, por conseguinte, a 1 < b 1 10 a 1 < 10 b 1 f (a) < f (b), que é o que se desejava obter (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

79 Funções elementares Denição f : X Y é decrescente em I X se a, b I, a > b f (a) < f (b). Exemplo Seja f : R R denida por f (x) = 10 x 1. Armação f é decrescente em I = [1,+ ). Prova Para todos a, b I, tem-se que a > b implica a 1 > b 1. Além disso, a 1 > 0 e b 1 > 0. Deste modo, a 1 > b 1 e, por conseguinte, a 1 < b 1 10 a 1 < 10 b 1 f (a) < f (b), que é o que se desejava obter (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

80 Funções elementares Exemplo Ache, se existentes, os intervalos de crescimento e de decrescimento de f (x) = x x 5x, x R. Como { x 2 5x, se x 0 f (x) = x 2 5x, se x < 0, o gráco de f, formado pela justaposição de partes de duas parábolas, uma com concavidade para cima e outra, para baixo, revela que f é (i) decrescente em ( 5/2, 5/2) e (ii) crescente em (, 5/2] [5/2,+ ). Pergunta O que se entende por concavidade de uma função ψ? (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

81 Funções elementares Exemplo Ache, se existentes, os intervalos de crescimento e de decrescimento de f (x) = x x 5x, x R. Como { x 2 5x, se x 0 f (x) = x 2 5x, se x < 0, o gráco de f, formado pela justaposição de partes de duas parábolas, uma com concavidade para cima e outra, para baixo, revela que f é (i) decrescente em ( 5/2, 5/2) e (ii) crescente em (, 5/2] [5/2,+ ). Pergunta O que se entende por concavidade de uma função ψ? (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

82 Funções elementares Denição Sejam f : X Y uma função real de variável real. Uma vizinhança (aberta) de a X é qualquer intervalo aberto I X tal que a I. Denição Seja f : X Y uma função real de variável real. Um elemento a X é chamado ponto de inexão de f se existe uma vizinhança (aberta) de a na qual a concavidade de f muda (de sinal). Exemplo Seja f : R R denida por f (x) = x x 5x. O elemento 0 R é ponto de inexão de f, pois, e. g., no intervalo ( 1,0) a concavidade de f é para baixo, no intervalo (0,2) a concavidade de f é para cima e I = ( 1,2) é uma vizinhança de (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

83 Funções elementares Exemplo Seja f : R R denida por f (x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 5. O intervalo I = ( 2,1) é uma vizinhança de um ponto de inexão de f (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

84 Funções elementares Exemplo Seja f : R R denida por f (x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 5. Um esboço do gráco de f revela que a função possui um ponto de inexão e que, e. g., o intervalo I = ( 2,1) é uma vizinhança sua. A m de obter o ponto de inexão, note que (x + 1) 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 e, por conseguinte, y = (x + 1) { y 4 = (x + 1) 3 Y = X 3, onde Y = y 4. Esse sistema X = x + 1 representa uma translação de eixos coordenados para o ponto ( 1,4) do sistema xy. Assim, (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

85 Funções elementares Exemplo Seja f : R R denida por f (x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 5. Um esboço do gráco de f revela que a função possui um ponto de inexão e que, e. g., o intervalo I = ( 2,1) é uma vizinhança sua. A m de obter o ponto de inexão, note que (x + 1) 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 e, por conseguinte, y = (x + 1) { y 4 = (x + 1) 3 Y = X 3, onde Y = y 4. Esse sistema X = x + 1 representa uma translação de eixos coordenados para o ponto ( 1,4) do sistema xy. Assim, (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

86 Funções elementares Exemplo Seja f : R R denida por f (x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 5. o sistema de coordenadas XY é aquele apresentado ao lado (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

87 Funções elementares Exemplo Seja f : R R denida por f (x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 5. o sistema de coordenadas XY é aquele apresentado ao lado. Ignorando, momentaneamente, o sistema de coordenadas xy, o que se tem é que o gráco de Y = X 3 no sistema de coordenadas XY é o esboçado na gura ao lado. Nesse sistema de coordenadas, (o gráco de) f tem concavidade para cima em (0,1) e concavidade para baixo em ( 1, 0) (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

88 Funções elementares Exemplo Seja f : R R denida por f (x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 5. o sistema de coordenadas XY é aquele apresentado ao lado. Ignorando, momentaneamente, o sistema de coordenadas xy, o que se tem é que o gráco de Y = X 3 no sistema de coordenadas XY é o esboçado na gura ao lado. Nesse sistema de coordenadas, (o gráco de) f tem concavidade para cima em (0,1) e concavidade para baixo em ( 1, 0). Deste modo, X = 0 x = 1 é ponto de inexão de f e o intervalo I = ( 2,0) é uma vizinhança (aberta) desse ponto (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

89 Funções elementares Exercício Seja f : R R denida por f (x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 5. (i) Um estudante arma que f é uma função crescente. Você concorda ou discorda? Justique. (ii) f possui ponto de máximo absoluto ou de mínimo absoluto? Justique. (iii) Certo autor arma que a = 1 não é ponto de máximo relativo nem de mínimo relativo de f. Você concorda ou discorda? Justique (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

90 Funções elementares Denição Seja f : X Y uma função real de variável real. (i) f é dita sobrejetiva quando f (X ) = Y. (ii) Se f (a) = f (b) implica a = b, a, b X, diz-se que f é injetiva. (iii) Se f é injetiva e sobrejetiva, então ela é chamada bijetiva. Exemplo 1. f : R (,10] dada por f (x) = 10 x 1. (a) f é sobrejetiva, pois f (R) = (,10]. (b) f não é injetiva porque, e. g., f (2) = f (0) e f : R R dada por f (x) = 10 x 1. (a) f não é sobrejetiva, pois f (R) R. (b) f não é injetiva porque, e.g., f ( 7) = f (9) e (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

91 Funções elementares Denição Seja f : X Y uma função real de variável real. (i) f é dita sobrejetiva quando f (X ) = Y. (ii) Se f (a) = f (b) implica a = b, diz-se que f é injetiva. (iii) Se f é injetiva e sobrejetiva, então ela é chamada bijetiva. Exemplo 3. Seja f : [ 1/6,1/2) [0,3] dada por f (x) = x 1 3x 2. (a) f não é sobrejetiva, pois f ([ 1/6,1/2)) [0,3]. Com efeito, 0 [0,3], mas 0 / f ([ 1/6,1/2)) uma vez que 1,1,2/3 não são elementos de [ 1/6,1/2), i. e., do domínio de f (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

92 Funções elementares Denição Seja f : X Y uma função real de variável real. (i) f é dita sobrejetiva quando f (X ) = Y. (ii) Se f (a) = f (b) implica a = b, diz-se que f é injetiva. (iii) Se f é injetiva e sobrejetiva, então ela é chamada bijetiva. Exemplo 3. Seja f : [ 1/6,1/2) [0,3] dada por f (x) = x 1 3x 2. (b) f é injetiva. Para provar essa armação, inicialmente, note que, x [ 1/6,1/2), 1 6 x < x < x 2 < 2 2. Assim, 3x 2 = (3x 2), x [ 1/6,1/2). Caso 1: Suponha a, b [0,1/2). Como a, b < 1, a 1 = a 1 = (a 1) e b 1 = (b 1). Daí, se f (a) = f (b) então a 1 3a 2 = b 1 3b 2 e, por conseguinte, (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

93 Funções elementares (a 1)(3a 2) = (b 1)(3b 2) 3a 2 5a + 2 = 3b 2 5b ( a 2 b 2) = 5(a b) 3(a + b)(a b) = 5(a b) ( ) Ora, se fosse a b, ocorreria a + b = 5 3 o que é um absurdo, porquanto 0 a < 1 2 e 0 < b < 1 2 acarretam 0 < a + b < 1. Logo, de ( ), conclui-se que a = b (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

94 Funções elementares Denição Seja f : X Y uma função real de variável real. (i) f é dita sobrejetiva quando f (X ) = Y. (ii) Se f (a) = f (b) implica a = b, diz-se que f é injetiva. (iii) Se f é injetiva e sobrejetiva, então ela é chamada bijetiva. Exemplo 3. Seja f : [ 1/6,1/2) [0,3] dada por f (x) = x 1 3x 2. (b) f é injetiva. Para provar essa armação, inicialmente, note que, x [ 1/6,1/2), 1 6 x < x < x 2 < 2 2. Assim, 3x 2 = (3x 2), x [ 1/6,1/2). Caso 2: Suponha a, b [ 1/6,0). Como a, b 1/6, a 1 = a 1 = a + 1 e b 1 = b + 1. Daí, se f (a) = f (b) então a 1 3a 2 = b 1 3b 2 e, por conseguinte, (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

95 Funções elementares (a + 1)(3a 2) = (b + 1)(3b 2) 3a 2 + a 2 = 3b 2 + b 2 3 ( a 2 b 2) = b a 3(a + b)(a b) = (a b) ( ) Ora, se fosse a b, ocorreria a + b = 1 3 o que é um absurdo, porquanto 1 6 a < 0 e 1 6 < b < 0 acarretam 1 < a + b < 0. Logo, de ( ), conclui-se também que a = b (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

96 Funções elementares Exemplo 3. Seja f : [ 1/6,1/2) [0,3] dada por f (x) = x 1 3x 2. Portanto, de fato, f é injetiva, uma vez que a igualdade f (a) = f (b) implicou a = b para todos a, b [ 1/6,1/2). Exercício Faça o que se pede. (a) Mostre que a função f acima é dada por { (x 1)(3x 2), se 0 x < 1/2 f (x) = (x + 1)(2 3x), se 1/6 x < 0. (b) Esboce o gráco de f (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

97 Funções elementares Exemplo 4. f : ( 3,1] ( 4,12] dada por f (x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 5 é uma função bijetiva, porquanto: (i) f é injetiva pois, para todos a, b ( 3,1], se f (a) = f (b) então (a + 1) = (b + 1) (a + 1) 3 = (b + 1) 3 a + 1 = b + 1 a = b (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

98 Funções elementares Exemplo 4. f : ( 3,1] ( 4,12] dada por f (x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 5 é uma função bijetiva, porquanto: (ii) f é sobrejetiva pois dado qualquer b ( 4,12], existe a ( 3,1] tal que f (a) = b. Com efeito, para que se tenha f (a) = b, deve ocorrer (a + 1) = b (a + 1) 3 = b 4 a = 3 b (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

99 Funções elementares Exemplo 4. f : ( 3,1] ( 4,12] dada por f (x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 5 é uma função bijetiva, porquanto: Além disso, como b ( 4,12], segue que 8 < b < 3 b < 3 b < a (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

100 Funções elementares Exercício 1. Seja D R o domínio natural da função real ϕ : D Y. Esboce o gráco e determine se é bijetiva: (a) ϕ (x) = sen x. (b) ϕ (x) = cos x. (c) ϕ (x) = tg x. (d) ϕ (x) = cotg x. (e) ϕ (x) = sec x. (f) ϕ (x) = cossec x. Exercício 2. Considere f : [ π/2,π/2] [ 1,1] a função denida por y = sen x. (a) Se ϕ (x) = sen x é a função do exercício 1, então y = ϕ (x)? Justique. (b) Esboce o gráco de f e diga se f é sobrejetiva. (c) f é decrescente? Justique. (d) f é bijetiva? Justique (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

101 Funções elementares Exercício 3. Considere f : [0,π] R a função denida por y = cotg x. (a) Se ϕ (x) = cotg x é a função do exercício 1, então y = ϕ (x)? Justique. (b) Esboce o gráco de f e diga se f é sobrejetiva. (c) f é crescente? Justique. (d) f é bijetiva? Justique. Exercício 4. Considere f : [0,π/2) (π/2,π] R ( 1,1) a função denida por y = sec x. (a) Se ϕ (x) = sec x é a função do exercício 1, então y = ϕ (x)? Justique. (b) Esboce o gráco de f e diga se f é sobrejetiva. (c) f é decrescente em (π/2, π]? Justique. (d) f é decrescente em [0, π/2)? Justique. (e) f é bijetiva? Justique (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

102 Funções elementares Exercício 5. Seja f : [ 1,3] [ 2,14] a função dada por f (x) = x 3 3x 2 + 3x + 5. Mostre que: (a) f é injetiva. (b) f é sobrejetiva. (c) f é crescente. (d) Esboce o gráco de f. Exercício 6. Seja ψ : R R a função dada por ψ (x) = x 3 + 3x 2 3x + 2. (a) Mostre que ψ é bijetiva. (b) Prove que ψ é decrescente. (c) Determine o ponto de inexão de ψ (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

103 Funções elementares Exercício 7. Seja f : [ π,π] R a função dada por f (x) = sen x + sen3x. Um estudante arma que f possui exatamente 5 raízes. Você concorda ou discorda? Justique. Exercício 8. Seja ψ : R R a função dada por ψ (x) = cos7x cos5x. Determine todas as raízes de ψ. Exercício 9. Seja g : D R R a função dada por g (x) = cossec3x cossec2x. Determine: (a) O domínio natural de g. (b) Todas as raízes de g (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92

104 Leitura Recomendada I Lipschutz, S. e Lipson, M. L. Álgebra Linear. Porto Alegre: Bookman, Homan, L. e Bradley, G. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, Anton, H. e Rorres, C. Elementary linear algebra. New York: John Wiley & Sons, Thomas, G. B., Weir, M. D., Hass, J. Cálculo. 11. ed. v. 1. São Paulo: Pearson Addison Wesley, (UNB) Luiz Claudio Pereira / 92