Ensaio sobre aritmética matricial por método computacional.

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1 Ensaio sobre aritmética matricial por método computacional

2 Djanir Angelim da Silva Filho i Os cálculos manuais envolvendo matrizes são extremamente trabalhosos e necessitam atenção detalhada para não ocorrerem erros nas operações. O ensaio abordará a aritmética matricial de forma prática, utilizando funções computacionais do software MS Excel para as operações de adição, subtração, multiplicação por número real, produto entre matrizes, transposição, inversão de matrizes e aplicações em sistemas lineares. Por se tratar de um breve estudo, não faremos demonstrações matemáticas. O programa tem a vantagem de ser uma ferramenta poderosa para cálculos matriciais, acessível e ser fácil de aprender. Acreditamos que exercícios computacionais podem melhorar muito o aprendizado do acadêmico e dar uma nova dimensão ao ensino e aprendizagem da álgebra matricial. Essa percepção oferece um grande apoio à comunidade matemática. Denomina-se matriz do tipo m n (lê-se: m por n) o conjunto de números reais (dispostos em um quadro de m linhas (disposição horizontais) e n colunas (disposições verticais). Algebricamente, uma matriz A pode ser indicada por: a a 2 a a n A = a 2 a 22 a 2 a 2n a a 2 a a n a mn ] [ a m a m2 a m Podemos ainda representar por: A = (a ij ) m n. Sendo i {, 2,,, m} e j {, 2,,, n} O elemento a ij é afetado de dois índices onde o primeiro (i) indica a linha e o segundo ( j) indica a coluna, às quais o elemento a ij pertence. Se uma matriz apresenta apenas uma linha ou uma coluna, chamamos de vetor linha ou vetor coluna. Seja A e B matrizes, denomina-se matriz soma de A com B a matriz C cujos elementos são iguais à soma dos elementos correspondentes de A e B. A = (a ij ) m n, B = (b ij ) m n e C = (c ij ) m n. Se C = A + B, então c ij = a ij + b ij. Inserir a matriz Vendas Ano na área B:D5 Inserir a matriz Vendas Ano 2 na área F:H5 Vendas Ano Vendas Ano 2 Produto Jan Fev Mar Jan Fev Mar A B C Na célula J introduza =B+F, Enter. Copiar até L5. Vendas Totais Produto Jan Fev Mar A B C A diferença entre duas matrizes A e B, do tipo m n (indica-se: A B), é igual à matriz que se obtém somando A com a oposta de B. A B A B Calcule a variação de vendas entre os anos 2 e. Digite na célula N a função =F-B, em seguida Enter, copie até P5. Variação de vendas Produto Jan Fev Mar A B C Observação: Só é possível somar ou subtrair matrizes se forem de mesma dimensão. O produto de um número real k por uma matriz A é igual à ka, que se obtém multiplicando por k todos os elementos de A. A = (a ij ) m n, ka = (b ij ) m n Então b ij = k a ij. Seja A uma matriz que relaciona o produto e seu respectivo preço em diversas lojas de um mesma franquia, ou seja, o preço pode variar dependo da região onde a loja se encontra. Suponha que seja necessário aumentar os preços em 5%. Preço inicial Produto Loja Loja 2 Loja Loja 4 A B C Neste caso basta multiplicar toda a matriz por,5. p.

3 Introduza a matriz em B4:E6, em A, insira o valor,5. Em G4 introduza a função =$A$*B, em seguida Enter, copie até J6. Preço final Produto Loja Loja 2 Loja Loja 4 A 7,25 20,70 26,45,05 B 2,85 25,0 2,20 5,65 C,80 9,55 24,5,5 Dado A = (a ik ) m n e B = (b ik ) n p. Define-se como produto de A por B a matriz C = (c ij ) m p tal que o elemento c ij é a soma dos produtos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B. C = A B c ij = (a ik b ik ) p k= Exemplo [ a x a 2 a y b b 2 b [ x 2 y 2 = ]2 x y ] 2 =[ a x + a 2 x 2 + a x a y + a 2 y 2 + a y b x + b 2 x 2 + b x b y + b 2 y 2 + b y ]2 2 Observação: Só é possível multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. A resultante do produto de duas matrizes é formada pelo número linhas da primeira e o número de colunas da segunda matriz. Consideremos uma primeira tabela que nos mostra a quantidade de alguns componentes eletrônicos necessários para a montagem de aparelhos televisores. Nova planilha: Introduza a matriz em B2:D5 Televisor Peça x Peça y Peça z A B C D Consideremos uma segunda tabela que nos indica o preço destes componentes num certo número de lojas. Introduza a matriz em G2:I4 Peça Loja L Loja M Loja N x $40 $45 $42 y $0 $2 $55 z $20 $28 $25 Observe que a primeira matriz é 4, enquanto que a segunda é, portanto satisfaz a condição necessária e suficiente para o produto entre elas e o resultado é uma matriz 4. Com o mouse selecione a área L2:N5 Insira =MATRIZ.MULT(B2:D5;G2:I4) Esta terceira tabela indica o preço de cada televisor formado pelos componentes provenientes de sua respectiva loja. Televisor Loja L Loja M Loja N A $.520 $.96 $.944 B $2.040 $2.68 $2.476 C $.580 $2.042 $2.000 D $.720 $2.26 $2.24 Seja uma matriz A de ordem m p. Uma matriz B de ordem p m cujas linhas são as colunas de A, e as colunas são as linhas de A, A matriz B é dita transposta de A é indicada por A T. Exemplo Usando os dados do exemplo anterior, temos. Matriz A Televisor Loja L Loja M Loja N A $.520 $.96 $.944 B $2.040 $2.68 $2.476 C $.580 $2.042 $2.000 D $.720 $2.26 $2.24 Observe que a matriz A é 4, portanto A T é uma matriz 4. Com o mouse selecione a área Q2:T4 Insira =TRANSPOR(L2:N5) Matriz transposta (A) Loja Televisor A B C D L $.520 $2.040 $.580 $.720 M $.96 $2.68 $2.042 $2.26 N $.944 $2.476 $2.000 $2.24 Seja uma matriz A de ordem n. A matriz B, da mesma ordem que A, denominamos inversa de A se o produto delas for a matriz identidade. A B = B A = In A matriz B, inversa de A é indicada por A. Portanto A A = A A = I n Propriedades (A ) = A (A B) = B A (A T ) = (A ) T Observações: Sendo A e I de ordem n, a inversa A será também de ordem n. p. 2

4 Se det (A) 0, então existe A e a matriz é Podemos associar ao sistema linear dado dita invertível. as seguintes matrizes: Se det(a) = 0, então A não existe, isto é, a A X B matriz A não é invertível, neste caso a matriz A a a 2 a n x b é dita matriz singular. a 2 a 22 a n2 x 2 b [ ] [ ] = [ 2 ] Calcule a inversa da matriz A. Observe que a matriz inversa de A, também é 4 4. A: Matriz dos coeficientes. a a a mn x n b n Matriz A X: Vetor das variáveis B: Vetor dos termos independentes Podemos escrever o sistema linear na -2 0 forma matricial, ou seja, AX = B. - Admitindo a existência da inversa de A, temos: A AX = A B Introduza a matriz A em B2:E5. Lembrando que A A = I Em B7, =MATRIZ.DETERM(B2:E5) Temos X = A B Observa-se que o determinante é diferente de A solução do sistema é bastante simples, zero, portanto a matriz admite inversa. basta multiplicar a matriz inversa da matriz A dos Com o mouse selecione a área G2:J5 coeficientes das variáveis pelo vetor coluna B Insira =MATRIZ.INVERSO(B2:E5) dos termos independentes. Este processo tem a vantagem de encontrar solução para diversos valores Usando formatação de números pode-se dos termos independentes sem a necessi- apresentar sob forma de fração. dade e alterar a matriz dos coeficientes. Matriz Inversa (A) Resolver o sistema linear nos seguintes casos: - - /2 0 0 a) Para b = 5; b 2 = ; b = 2 e b 4 = /4 - /2 0 b) Para b = 8; b 2 = 4; b = 9 e b 4 = 8 2 /2 /2 / 2x x 2 + 2x 4 = b x Calcule a inversa da matriz B. Observe que a matriz inversa de B, também é 4 4. x + x 2 x 2x 4 = b 4 { + x 2 2x 2x 4 = b 2 4x x 2 + 2x + x 4 = b Matriz B Transformando em matrizes temos: - /2 7/2 -/ x 0 /2 -/2 /2 8-7/2 -/2 -/2 A = [ 2 2 x ]; X = [ x ] 2 -/2 -/2 /2 2 x Introduza a matriz B em B2:E5. B = [ ]; B Com o mouse selecione a área G2:J5 2 2 = [ 4 ] 9 Insira =MATRIZ.INVERSO(B2:E5) 0 8 Matriz Inversa (B) Seja o sistema linear a x + a 2 x a n x n = b a { 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b n Introduza a matriz A em B2:E5. Com o mouse selecione a área G2:J5 Insira =MATRIZ.INVERSO(B2:E5) Introduza o vetor B em L2:L5. Introduza o vetor B 2 em N2:V5. Solução do sistema Com o mouse selecione a área P2:P5 Insira =MATRIZ.MULT(G2:J5;L2:L5) X T = [ ] p.

5 Com o mouse selecione a área Q2:Q5 Insira 2 x + x x + 5 x 4 = 0 =MATRIZ.MULT(MATRIZ.INVERSO(B2: E5);N2:N5) x + 4 x x + 6 x 4 = b) X T 2 = [2 8 2 ] 4 x + 5 x x + 7 x 4 = 2 Observe que agora usamos a matriz dos coeficientes. { 5 x + 6 x x + 8 x 4 = Diversas funções estão associadas ao cálculo matricial, tais como: somarproduto. desloc, tabela, e as ferramentas atingir meta e solver. Exercícios propostos. Uma empresa agropecuária produz soja, milho e cana em cinco fazendas de sua propriedade, espalhada pelo país. Considere que o mercado pague os seguintes valores pela produção conseguida pelo grupo a cada hectare plantado: $.200,00 pela soja, $.000,00 pelo milho e $.500,00 pela cana-de-açúcar. As áreas plantadas de soja, milho e cana, respectivamente, em cada fazenda serão as seguintes: Fazenda (00; 50; 80); Fazenda 2 (80; 70; 60); Fazenda (20; 40; 40); Fazenda 4: (80; 80; 80); e Fazenda 5 (80; 20; 00). O grupo considera como parâmetro para análise de despesas com o plantio $700,00 por hectare de soja, $750,00 por hectare de milho e $800,00 por hectare de cana-de-açúcar. Não havendo outros custos relevantes a considerar, construa três matrizes: a primeira, intitulada Receita por Hectare, tendo como linhas os tipos de plantações e na única coluna os respectivos preços; a segunda, intitulada hectares plantados, terá como colunas os tipos plantações e como linha as cinco fazendas; a terceira deverá chamar Despesa por Hectare. Está matriz é análoga à matriz Receita por Hectare. Na sequência, utilizando-se de operações entre matrizes, obtenha as Receitas Previstas nas Cinco Fazendas; Despesas Previstas nas Cinco Fazendas e Resultados Previstos nas Cinco Fazendas. Resp.: 2.500; ; ; 6.000; Resolva os sistemas abaixo: x + 2x 2 + x + 4x 4 = 8 2x a) { 2x 2 x + x 4 = x x 2 + 4x 4x 4 = 8 2x + 2x 2 x + 4x 4 = 2 Resp.: 2; 2; 2; - Resp.: -560; 4.860; ; Uma empresa de incorporação imobiliária está investindo em condomínios de casa. Para isso, adquiriu recentemente três grandes terrenos em locais diferentes, com 0.20m 2,.790m 2 e 0.660m 2. Para facilitar seu trabalho, dividiu cada um dos terrenos com lotes de três tamanhos diferentes para a venda, sendo que a divisão ficou da seguinte maneira: Condomínio A: 2 lotes de tamanho ; 0 lotes de tamanho 2 e 8 lotes de tamanho. Condomínio B: 7 lotes de tamanho ; 8 lotes de tamanho 2 e lotes de tamanho. Condomínio C: 8 lotes de tamanho ; 2 lotes de tamanho 2 e 0 lotes de tamanho. Determinar o tamanho de cada um dos lotes. Resp.: 260; 40; 450. Bibliografía. BOURG, David M. Excel Aplicaciones científicas y de ingeniería. Madrid: Anaya, BRONSON, Richard. Matrizes, Lisboa: McGraw-Hill, 99. CINTO, Antônio Fernando; GÓES, Wilson Moraes. Excel Avançado. São Paulo: Novatec, LEON, Steven J. Álgebra Linear com Aplicações. 4. ed, Rio de Janeiro: LTC, 999 SILVA, Fernando Cesar Marra; ABRÃO, Mariângela. Matemática Básica para Decisões Administrativas. 2. ed. São Paulo: Atlas, STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 987. WEBER, Jean E. Matemática para Economia e Administração. 2. ed. São Paulo: Harbra, 200. i Graduado em Matemática pela Universidade Federal do Amazonas, Especialista em Educação Matemática pela Escola Superior Batista do Amazonas, professor do curso de Engenharia Civil na Faculdade Estácio do Amazonas. p. 4