ESTUDOS ELASTOGRÁFICOS DE MATERIAIS VISCOELÁSTICO EM APLICAÇÕES BIOMÉDICA: MODELAGEM MATEMÁTICA

ESTUDOS ELASTOGRÁFICOS DE MATERIAIS VISCOELÁSTICO EM APLICAÇÕES BIOMÉDICA: MODELAGEM MATEMÁTICA Sílvio Lão VIEIRA (1) (1) Instituto d Física, Univrsidad Fdral d Goiás UFG, Campus Samambaia, Caixa Postal 131, CEP 74001-970 - Goiânia, GO, Brasil, E-mail: viira@if.ufg.br RESUMO Ess studo tv como motivação o fato d as propridads lásticas d tcidos biológicos lsados srm muitas ordns d grandza suprior aos d tcido normais, d msma naturza. Essa propridad pod sr mprgada com um possívl parâmtro na difrnciação d difrnts tipos d tcidos. As divrsas modalidads d métodos lastográficos têm como objtivo xtrair parâmtros físicos d struturas matriais, tais como o módulo d Young a rigidz transvrsal. Isso pod sr fito prturbando o mio d forma stática, quas-stática dinâmica. Emprgando modlos matmáticos torna-s possívl simular o comportamnto d sólidos viscolásticos mprgando os modlos d Voigt d Maxwll. Nss trabalho, buscou-s simular computacionalmnt as propridads viscolásticas d tcidos submtidos a uma xcitação mcânica dinâmica. Com ss objtivo, foi dsnvolvido um algoritmo m ambint Matlab, ond foi avaliada a rsposta do mio para frqüências d xcitação d até 600 Hz. Os rsultados mostraram qu o modlo d Voigt foi mais condiznt com a ralidad física, tanto para altas quanto para baixas frquências, podndo assim sr mprgado para rprsntar matriais simuladors d tcidos tal como aquls a bas d glatina. Assim, as simulaçõs possibilitaram mlhor comprndr como um dtrminado mio viscolástico rspond a stímulos xtrnos, prvndo su comportamnto ants da ralização d nsaios lastográficos sofisticados. Palavras-chav: vlocidad, absorção, onda mcânica, viscolasticidad, simulação computacional. 1. INTRODUÇÃO Em tcidos biológicos lsados, a viscolasticidad é a propridad física qu mais s modifica m rlação ao tcido normal. Palpação manual é gralmnt usada para idntificar stas lsõs, tais como nódulos cistos. Rcntmnt, vários studos nvolvndo técnicas ultrassônicas d rssonância magnética, dnominadas lastografia, têm sido mprgadas para avaliar as propridads viscolásticas dssas lsõs [1-4]. A lastografia rfr-s a qualqur mdida ou técnica d imagm qu fornça informaçõs dirtamnt rlacionadas às propridads mcânicas do matrial. Um matrial é classificado como Nwtoniano quando sua viscosidad não muda indpndntmnt da taxa d cisalhamnto a qual é mdida numa dada tmpratura. Est matrial aprsnta uma rsposta linar ntr a tnsão a dformação. Um sólido viscolástico é composto por uma componnt lástica outra d origm viscosa (provnint do sólido Nwtoniano), sndo capaz d rtomar parcialmnt a sua forma original ao s rtirar a tnsão d cisalhamnto a l aplicada. Para studar o comportamnto dss tipo d sólido, modlos matmáticos foram dsnvolvidos, possibilitando, assim stimar a lasticidad a viscosidad do mio, assumindo qu o comportamnto mcânico do matrial corrspond a um simpls modlo mcânico. Esta modlagm do sistma basia-s no sistma mola amortcdor [5]. O modlo d Maxwll modlo d Voigt são os mais simplificados para dscrvr sss sistmas. O modlo d Maxwll é gralmnt utilizado para fluidos, nquanto o d Voigt fornc mlhors rsultados quando utilizado para modlar um sólido [6]. Ondas transvrsais podm somnt s propagar m sólidos [7], O modlo d Voigt é particularmnt útil para dscrvr o comportamnto d matriais glatinosos qu imitam tcido biológico mol [6, 8]. O objtivo dss trabalho é xplorar o formalismo matmático da mcânica do contínuo frramntas computacionais para studar como as propridads viscolásticas d matérias tcidos biológicos rspondm quando submtido a uma força xtrna harmônica. Assim, modlos matmáticos são aplicados ao studo do comportamnto d um matrial viscolástico.. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA É important sr dstacado qu, as tnsõs d dformação usadas nos problmas studados nst manuscrito são d baixa amplitud, com dformaçõs mnors qu 1%. Ao longo do trabalho, a strutura atômica do

matrial não srá considrada. Srá admitido qu a matéria d um corpo viscolástico é homogêna distribuída continuamnt no su volum, d tal forma qu, o mnor lmnto rtirado do corpo possui as msmas propridads físicas spcíficas (homognidad). Para simplificar a discussão, srá também admitido qu m gral o corpo sja isotrópico. Dois sistmas físicos d intrss biomédico para modlar tcidos viscolástico são os modlos d Maxwll d Voigt, os quais são os mais simplificados para dscrvr ss tipo d matrial. Ests sistmas podrão sr modlados d forma análoga a um circuito létrico. No quivalnt létrico, o tnsor d tnsão é rprsntado pla tnsão létrica o tnsor d dformação pla corrnt létrica. O módulo lástico da mola é análogo à capacitância do circuito, pois armazna nrgia, a viscosidad do pistão ou amortcdor, quival à rsistência do circuito, porqu dissipa nrgia [9]. A componnt lástica pod sr modlada por uma mola d constant lástica, m qu o tnsor d tnsão m uma dirção é dado por S, (1) quival à li d Hook m uma dimnsão. Enquanto qu a componnt viscosa pod sr modlada por um pistão, o qual s rlaciona com o tnsor d tnsão d dformação, S, () t m qu é o tnsor d tnsão, é o lmnto viscoso do mio Nwtoniano, indpndnt da taxa d cisalhamnto. O trmo S t é uma drivada parcial da dformação m rlação ao tmpo, a qual podrá sr scrita da forma ds dt para o caso unidimnsional. A. Modlo d Maxwll O modlo d Maxwll considra qu os lmntos lásticos,, viscosos,, aprsntam-s associados m séri, como ilustrado na Figura. Dssa forma, as tnsõs atuants nos dois lmntos são idênticas, nquanto as dformaçõs s somam para compor a dformação total. Figura : Rprsntação mcânica do modlo viscolástico d Maxwll rprsntado por uma mola ( ) m séri com um amortcdor ( ). Assumindo qu a ára sja constant, a quação d quilíbrio das tnsõs é dada por: m qu para as dformaçõs srá:, (3) são as tnsõs atuando sobr o lmnto lástico viscoso, rspctivamnt. A quação S S S. (4) Sndo qu S S são as dformaçõs atuando sobr o lmnto lástico viscoso, rspctivamnt. Drivando-s tmporalmnt a Equação (4) substituindo as Equaçõs (1) a (3) na forma drivada da Equação (4), obtém-s: B. Modlo d Voigt S t t. (5)

No modlo d Voigt, o lmnto lástico viscoso aprsnta o msmo dslocamnto, sndo constituídos por uma mola,, corrspondndo a uma part lástica, m parallo com um amortcdor,, rfrnt à part viscosa Nwtoniana, como ilustrado na abaixo. Figura 3: Rprsntação do modlo viscolástico d Voigt rprsntado por uma mola ( ) m parallo com um amortcdor ( ). Como dscrito, o modlo d Voigt é composto por uma mola qu rprsnta a part lástica,, m parallo com um amortcdor corrspondndo à componnt viscosa, [5]. Tanto o modlo d Maxwll quanto o d Voigt são modlos dinâmicos viscolásticos, uma vz qu a lasticidad média do matrial é dada por uma grandza complxa, j, dpndnt da frquência,. Esta componnt é provnint da tnsão dinâmica à qual sts lmntos stão sujitos. Assumindo qu a ára sja constant, a quação d quilíbrio das tnsõs é dada por: A quação para as dformaçõs srá dada por:. (6) S S S. (7) Fazndo-s a drivada tmporal da Equação (6) substituindo as Equaçõs (1), () (7) na Equação (6), obtém-s: S S, t (8) m qu é a tnsão unidimnsional S é a dformação rsultant. A vlocidad d fas d uma onda plana mcânica monocromática com uma frquência angular númro d onda k stão rlacionados matmaticamnt por [10]. (9) k A vlocidad d grupo rprsnta a vlocidad d propagação d um pacot d onda, cntrada m torno da frquência do pulso, dfinido matmaticamnt por: g d k. (10) dk Essas duas últimas quaçõs srão mais a frnt utilizada como lmntos da discutição aprsntada. A. Modlo d Voigt submtido a uma onda plana Pod sr dmonstrado qu a partir da quação d onda do númro d onda complxo a vlocidad d fas a atnuação d uma onda mcânica propagando-s m um mio viscolástico d Voigt, ( ) ( ) (11)

Invrtndo-s as Equaçõs (11) obtém-s um par d duas novas quaçõs, uma para o módulo lástico,, outra para o módulo viscoso,, rspctivamnt, m função da frquência tmporal, 1 1 T T B. Modlo d Maxwll submtido a uma onda plana 1/ 1 1. Sguindo a mtodologia dscrita para o modlo d Voigt, vrificamos qu vlocidad d fas ( ) o coficint d absorção ( T ) para o modlo d Maxwll tm-s, (1) 1 ( ) 1 1 T ( ) 1 1. (13) Invrtndo-s as Equaçõs (13) obtém-s duas novas quaçõs, uma para o módulo lástico,, outra para o módulo viscoso,, rspctivamnt, m função da frquência tmporal.. (14) 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO No caso spcífico d uma onda plana ao s propagar por um mio, dvrá sr obsrvada crta rsistência à sua passagm. S a onda s propaga por um mio, sua amplitud sofr um dcréscimo durant o prcurso, pod-s dizr qu st mio é dissipativo. Caso alguns comprimntos d onda sofram mais com a ação imposta plo mio, m dtrimnto d outros as vlocidads das ondas srão difrnts. Est distúrbio na propagação das ondas caractriza um mio disprsor. Por outro lado, s o mio ofrcr igual rsistência para todas as ondas qu passam por l, a forma inicial da onda s consrvará ao longo do tmpo; não havndo disprsão da onda o mio é dnominado não-disprsor. A disprsão pod sr dfinida como sndo a mdida pla qual a vlocidad d fas da onda varia com a frquência. Por ss motivo, obsrva-s uma mudança na forma da onda inicial ao atravssar um mio cujas vlocidads das ondas dpndm d suas rspctivas frquências. Mios tais como os dscrito plo modlo d Maxwll Voigt são mios cuja rsposta dpnd da frqüência, caractrizando um mio disprsivo. Quando a vlocidad d fas é constant, m gral, o mio é não-disprsivo a vlocidad d grupo é igual à vlocidad d fas, indpndntmnt da frquência considrada. No caso m qu a vlocidad d fas não é constant pod-s dizr qu houv uma dformação tmporal da onda, dcorrnt d sua propagação por um mio disprsivo. Nsta situação a vlocidad d grupo é difrnt da vlocidad d fas da onda, Equação (9) (10). Nas Figura (4) (5) stão rprsntados o comportamnto da vlocidad do coficint d absorção da onda transvrsal propagando-s m um mio viscolástico, para duas frquências d xcitação difrnts parâmtros viscolásticos.

Figura 4: Simulação d uma onda transvrsal propagando-s m um mio viscolástico. comportamnto da vlocidad d fas do coficint d absorção m função da frquência. Assumindo um valor constant para módulo lástico d = 4 kpa três valors difrnts para o módulo viscoso = 0,5 Pa.s, = 1,0 Pa.s =,0 Pa.s. Figura 5: Simulação d uma onda transvrsal propagando-s m um mio viscolástico. comportamnto da vlocidad d fas do coficint d absorção m função da frquência. Assumindo um valor constant para módulo viscoso d = 1,0 Pa.s três valors difrnts para o módulo lástico = 1,0 Pa.s, = 4,0 Pa.s = 9,0 Pa.s. Em nsaios lastográficos mprgando matriais qu imitam tcidos (fantomas), a frquência d vibração utilizada varia ntr 1 Hz a 600 Hz. Estimativas da vlocidad d fas do coficint d absorção das ondas transvrsais para um mio infinito (comparado com o comprimnto da onda) são dadas plas Equaçõs (11), drivada do modlo d Voigt. Estas quaçõs dscrvm qu a vlocidad o coficint d absorção das ondas transvrsais são dpndnts da frquência d vibração stão dirtamnt rlacionadas com as propridads viscolásticas do mio. A onda transvrsal também é chamada d onda d incomprssibilidad porqu, durant sua propagação dntro do mio, nnhuma mudança d volum é obsrvada. Em gral há dois tipos d vibração no mio, um movimnto longitudinal outro transvrsal, ocorrndo simultanamnt. No caso d movimnto harmônico, o módulo lástico transvrsal,, pod sr considrado uma grandza complxa, j, com a part imaginária rprsntando a atnuação do mio viscolástico. Quando o módulo viscoso transvrsal é 0, a quação antrior rduz a, T, m qu T é a vlocidad d propagação da onda, similarmnt à dduzida na Equação (1), como s a onda s propagass m um mio lástico, ou quando 0, s a vlocidad da onda transvrsal é conhcida. O módulo lástico transvrsal podrá sr stimado com uma simpls rlação, T. Em um mio viscolástico, no ntanto, o trmo é difrnt d zro, 0, a atnuação stá prsnt é uma função dpndnt da frquência. Quando a frquência da onda transvrsal aumnta, a dpndência dos fitos viscosos com a frquência também aumnta, podndo s tornar um fito dominant consquntmnt um aumnto da vlocidad d propagação d onda podrá sr obsrvado. Nst caso, a vlocidad é função da frquência, ou sja, disprsiva. Uma rlação viscolástica linar ntr a vlocidad a frquência é uma boa hipóts, porqu os dslocamntos mprgados nos métodos d xcitação mcânica utilizados nst trabalho são normalmnt da ordm d 10 100 m, os quais s ncontram dntro dos limits d validad da li d Hook [11]. As Figura (6) (7) mostram imagns da vlocidad (squrda) do coficint d absorção (dirita) d uma onda transvrsal simulada para valors variados do módulo lástico,, viscoso,, para três difrnts frquências d xcitação: f = 100 Hz f = 600 Hz. Ests mapas viscolásticos foram grados usando-s as Equaçõs (1) como modlos para a simulação, os quais possum caractrística d um sólido d Voigt.

Figura 6: Modlo d Voigt. Simulação do mapa viscolástico para a vlocidad d fas do coficint d absorção da onda transvrsal, para um msmo valor d frquência, f = 100 Hz. Figura 7: Modlo d Voigt. Simulação do mapa viscolástico para a vlocidad d fas do coficint d absorção da onda transvrsal, para um msmo valor d frquência, f = 600 Hz. Os mapas viscolásticos rprsntados nas últimas figuras foram simulados usando-s o modlo d Voigt como bas para o cálculo dos parâmtros lástico viscoso. Ambos os parâmtros obdcm a uma rlação linar ntr a tnsão aplicada a dformação rsultant. Para todos os gráficos mostrados na Figura (4) (5) pod-s obsrvar uma crscnt variação nos valors da vlocidad d fas do coficint d absorção com a frquência d xcitação. Foi obsrvado também um provávl ndurcimnto do mio simulado, dvido ao aumnto d frquência, como pod sr obsrvado na Figura (6) (7). Dsta forma o matrial passou a s comportar d forma mais lástica, quando comparados com frquências infriors. Nas Figura (8) (9) pod-s obsrvar o comportamnto da vlocidad da atnuação da onda transvrsal propagando-s m um mio viscolástico, mprgando o modlo d Voigt, para várias frquências d xcitação, grados a partir das Equaçõs (13). Figura 8: Simulação d uma onda transvrsal propagando-s m um mio viscolástico. comportamnto da vlocidad d fas do coficint absorção m função da frquência. Assumindo um valor constant para módulo viscoso d = 1 Pa.s três valors difrnts para o módulo lástico =1,0 Pa.s, =4,0 Pa.s = 9,0 Pa.s.

Figura 9: Simulação d uma onda transvrsal propagando-s m um mio viscolástico. comportamnto da vlocidad d fas do coficint absorção m função da frquência. Assumindo um valor constant para módulo lástico d = 4 kpa três valors difrnts para o módulo viscoso =0,5 Pa.s, =1,0 Pa.s =,0 Pa.s. As Figura (10) (11) mostram imagns da vlocidad (squrda) do coficint d absorção (dirita) d uma onda transvrsal para valors variados do módulo lástico,, viscoso,, para três difrnts frquências d xcitação: f = 100 Hz f = 600 Hz. Ests mapas viscolásticos foram grados usando-s as Equaçõs (13) como modlos para a simulação, as quais são quaçõs provnints do modlo d Maxwll. Figura 10: Modlo d Maxwll. Simulação do mapa viscolástico para a vlocidad d fas do coficint d absorção da onda transvrsal, para um msmo valor d frquência, f = 100 Hz. Figura 11: Modlo d Maxwll. Simulação do mapa viscolástico para a vlocidad d fas do coficint d absorção da onda transvrsal, para um msmo valor d frquência, f = 600 Hz. Como foi mostrado nas simulaçõs ilustradas nas Figura (8) (9) plas Figura Figura a vlocidad d fas não é constant, caractrizando mio disprsivo. Enquanto qu, para um mio não-disprsivo a vlocidad d fas da onda é igual à vlocidad d grupo. Esta situação pod sr obsrvada para frquências mnors qu 50 Hz, no caso do modlo d Voigt, m qu a vlocidad d fas varia muito pouco com a frquência (Figura (10) (11)). Difrntmnt do comportamnto obsrvado nas simulaçõs para o modlo d Maxwll, m qu a vlocidad d fas varia pouco para frquências altas (500-600 Hz) do spctro studado.

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS O coficint d absorção variou d forma muito parcida para ambos os modlos, quando simulado para frquências infriors qu 00 Hz. No ntanto, para frquências maiors qu sta, o modlo d Maxwll mostrou-s mnos suscptívl com rlação à variação do coficint d absorção m função da frquência. Os mapas viscolásticos foram simulados mprgando-s o modlo d Maxwll como bas para o cálculo dos parâmtros lástico viscoso. Ambos os parâmtros, obdcm a uma rlação linar ntr a tnsão aplicada a dformação rsultant. Todos os rsultados ncontrados xibm crscnt variação nos valors da vlocidad d fas do coficint d absorção m função da frquência d xcitação. Foi obsrvado também, um provávl ndurcimnto do mio simulado, dvido ao aumnto d frquência com tndência d s compor como um sólido lástico. Os rsultados ncontrados plo modlo d Voigt Maxwll aprsntaram valors difrnts para a V M vlocidad d fas (, 0 ), rspctivamnt, quando m baixas frquências. No ntanto, para altas frquências obsrvou-s uma maior proximidad ntr sus valors. Esta tndência s dv principalmnt porqu para altas frquências d vibração um sólido viscolástico tnd a s comportar d forma mais lástica, m dtrimnto d sua part viscosa. O modlo d Voigt mostra-s mais condiznt com a ralidad física tanto para altas quanto para baixas frquências. O coficint d absorção mostrou-s mais snsívl a variaçõs d frquência para o modlo d Voigt, nquanto qu para o modlo d Maxwll st parâmtro praticamnt mantv-s constant. Ambos os modlos convrgiram para um msmo valor do V M coficint d absorção ( T T 0 ), quando a frquência mprgada ra baixa. Ests rsultados indicam qu o modlo d Voigt é mais indicado para dscrvr fitos viscosos m fantomas d glatina, além d sr o mais simpls dos modlos rológicos para um sólido viscolástico. Embora xistam outros modlos mais ralísticos para dscrvr um mio viscolástico, su grau d complxidad matmática também aumnta d forma significativa, alm d aparntarm pouca difrnça com os rsultados forncidos plo o d Voigt. 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] VIEIRA, S., URBAN, M., BAGGIO, A., CARNEIRO, A., and FATEMI, M. Shar wav disprsion ultrasound vibromtry of gl dosimtry phantoms. Th journal of th Acoustical Socity of Amrica, v. 15, n. 4, p. 553, 009. [] URBAN, M. W., CHEN, S., and GREENLEAF, J. F. Error in stimats of tissu matrial proprtis from shar wav disprsion ultrasound vibromtry. IEEE Transactions on Ultrasonics Frrolctrics and Frquncy Control, v. 56, n. 4, p. 748-758, Apr 009. [3] MARIAPPAN, Y. K., GLASER, K. J., and EHMAN, R. L. Magntic rsonanc lastography: A rviw. Clin Anat, v. 3, n. 5, p. 497-511, Jul 010. [4] CHEN, S., URBAN, M. W., PISLARU, C., KINNICK, R., ZHENG, Y., YAO, A., and GREENLEAF, J. F. Sharwav disprsion ultrasound vibromtry (sduv) for masuring tissu lasticity and viscosity. IEEE Trans Ultrason Frrolctr Frq Control, v. 56, n. 1, p. 55-6, Jan 009. [5] FUNG, Y. C. Biomchanics: Mchanical proprtis of living tissus. nd. d. Nw York: Springr- Vrlag, 1993. [6] CATHELINE, S., GENNISSON, J. L., DELON, G., FINK, M., SINKUS, R., ABOUELKARAM, S., and CULIOLI, J. Masurmnt of viscolastic proprtis of homognous soft solid using transint lastography: An invrs problm approach. Journal of th Acoustical Socity of Amrica, v. 116, n. 6, p. 3734-3741, Dc 004. [7] KOLSKY, H. Strss wavs in solids. Nw York: Dovr Publications, Inc., 1963. [8] GENNISSON, J. L. and CLOUTIER, G. Sol-gl transition in agar-glatin mixturs studid with transint lastography. I Transactions on Ultrasonics Frrolctrics and Frquncy Control, v. 53, n. 4, p. 716-73, Apr 006. [9] KINSLER, L. E. E., FREY, A. R., COPPENS, A. B., and SANDERS, J. V. Fundamntals of acoustics. 4. d. Nw York: Wily, John & Sons, Incorporatd, 000. [10] ACHENBACH, J. D. Wav propagation in lastic solids. North-Holland, Amstrdam: Elsvir Scinc Publishrs, 1984. (Sris in Applid Mathmatics and Mchanics, vol. 16). [11] YAMAKOSHI, Y., SATO, J., and SATO, T. Ultrasonic-imaging of intrnal vibration of soft-tissu undr forcd vibration. I Transactions on Ultrasonics Frrolctrics and Frquncy Control, v. 37, n., p. 45-53, Mar 1990.