ALUNO (A) : PROFESSOR (A): ANDRÉ (MAL) DISCIPLINA: MATEMÁTICA DATA: / 06 / 06 ÁLGEBRA LINEAR: MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS. MATRIZES 0-0) Dada a matriz, B, calcul a + -7 0 a a + a. 0) Escrva a matriz A = (a ij ) do tipo 4 sabndo qu a ij = i j. 0. S A T A - rprsntam, rspctivamnt, a transposta a invrsa da matriz A, ntão 4 8 o dtrminant da matriz B = A T A - é igual a: / b) 8/ c) 66 97/ ) 6 04. Considr a squência d matrizs (A, A, A,...), todas quadradas d ordm 4, rspctivamnt iguais a: 0 6 7 8 9 4 4 6 7 0 6 7 8 9,,,... 8 9 0 4 6 7 40 4 4 4 4 8 9 0 44 4 46 47 Sabndo qu o lmnto a ij = 74 é da matriz A n dtrmin os valors d n, i j. 08-FGV) A matriz a b c matricial AX M m qu: A 0 4 0 0 8 M. 9 67 b) 68 c) 69 70 ) 7 é a solução da quação Então a b c val: 09) São dadas as matrizs A = (aij) B = (bij), quadradas d ordm, com aij = i + 4j bij = 4i j. Considrando C = A + B, calcul a matriz C. 0) Dtrmin a b para qu a igualdad a 4 b a b = sja vrdadira. 0 7 0 7 0 ) Sjam A = 0 B = 7 -, dtrmin 9-8 (A + B) t. ) Dadas as matrizs A = B = 4 - y - y, dtrmin y para qu A = B t. - 0) S a matriz é y z y z ) Rsolva a quação matricial: simétrica, o valor d é 4 0 b) c) 6 4 ) 0 7 = X + 0. y z z 0 - - 4 9 4 0 06) S A B. O dtrminant da 0 0 4) Dtrmin os valors d, y, z w d modo matriz ( AB) - é: a b 0 - /0. b) /0 c) /0 qu: - = c d 4 8. - /0 ) nda 07) Num jogo, foram sortados 6 númros para compor uma matriz M (m ) d ordm. Após o sortio, notou-s qu sss númros obdcram à rgra m 4i j. Assim, a matriz M é igual a. 6 7 b) 4 6 7 6 0 ) 7 6 ij ij c) 7 6 ) Eftu: 4 6 4 8 c) 4 7 0 4 4 4 6 b) 4 6 8 4 TESTES. S M 0 T N, ntão M N M N é igual a
b) ) 7 c). Ug) Tatiana Tiago comunicam-s ntr si por mio d um código próprio dado pla rsolução do produto ntr as matrizs A B, ambas d ordm, ond cada ltra do alfabto corrspond a um númro, isto é, a =, b =, c =,, z = 6. Por mplo, s a rsolução d A B for igual a, 8 logo a mnsagm rcbida é amor. Dssa forma, s a mnsagm rcbida por Tatiana foi flor a matriz B, ntão a matriz A é 8 7 6 6 8 6 7 8 0 b) 7 c) 7 6 ) Considr a sguint opração ntr 6 6 matrizs: K 4 A soma d todos os lmntos da matriz K é:. b). c) 4. 7. 4. Uma rsrva florstal foi dividida m quadrants d m d ára cada um. Com o objtivo d sabr quantas samambaias havia na rsrva, o númro dlas foi contado por quadrant da sguint forma: Númro d samambaias por quadrant Númro d quadrants 0 8 7 A7 B7 6 4 4 6 6 O lmnto a ij da matriz A corrspond ao lmnto b ij da matriz B, por mplo, 8 quadrants contêm 0 (zro) samambaia, quadrants contêm samambaia. Assinal a altrnativa qu aprsnta, corrtamnt, a opração ftuada ntr as matrizs A B, qu rsulta no númro total d samambaias istnts na rsrva florstal. t t t A B b) B A c) A B t t A B ) A B. (Pucrs) Dada a matriz A a função f, dfinida no conjunto das matrizs por f(x) X X, ntão f(a) é b) 0 0 0 0 c) ) 6. Sjam A 4 0 0 B 6 B' a transposta d B. O produto da matriz A pla matriz B' é 9 0 8 6 0 b) 0 6 4 c) 0 6 6 4 6 0 6 0 0 ) 0 0 7. Considr as matrizs 9 a 0 A, y 4 6 b 7 6 B y C. y A 4 b 0 c soma dos quadrados das constants, y, a, b c qu satisfazm a quação matricial A 6B C é: 6 b) 4 c) 4 4 ) 6 8. Numa aula d Álgbra Matricial dos cursos d Engnharia, o profssor pdiu qu os alunos rsolvssm a sguint qustão: S A, 4 ntão A é igual a 4 7 0 4 b) 9 6 c) ) 0 9. O valor A 4B quando A 0 0 B 0 é igual a: 4 4 4 4 0 4 4 0 b) 4 0 0 4 ) 6 0 0 6 c) 0 0 0 0 GABARITO DE MATRIZES : B 04. n 474 47 i j.. C 06. E 07. C 08. A 09. 0. a = 4 b = ± ou 0. 0 C, 0
Gabarito Rsolução dos tsts d matrizs : [C] Calculando, inicialmnt, a invrsa da matriz M. T 0 0 0 M dt(m) Dtrminando, agora, a transposta da matriz N, tmos: T N 0 Portanto: 0 T MN M N 0 ' 4 4 : [B] Com os dados do nunciado, pods scrvr: y 6 y 6 6 z w 8 z w 7 : [A] Para qu a multiplicação sja possívl, a matriz K dv sr uma matriz d duas linhas uma coluna, portanto: 6 6 Rsolvndo o sistma: 4 y 6 y 6 8 6y 8 4 y 8 6y 0 0 6 ( ) y 6 y 6 y A soma A soma d todos os lmntos da matriz K srá: y 4: [A] O númro total d samambaias istnts na rsrva florstal é dado pla prssão 08 7 6 44 6 6. Portanto, a opração ncssária ntr as matrizs A B, a fim d obtr a prssão t antrior, é A B. : [B] Tm-s qu f(a) A A 0 0. 0 0 6: [D] 0 6 0 4 0 0 0 0 4 6 0 0 0 6 7: [A] Como 6 6b 6 6B, y 6 6 4 vm 9 a 0 6 6b 6 7 6 y y y 4 6 6 6 4 b 0 c 9 6 a 6b 6 7 6. y y y 6 6 4 4 b 0 c Igualando os trmos corrspondnts, sgu qu b, c 4 a 6b a. Além disso, 9 6 7 ( ) 7 ( ) 6 6 y y y y y 6 6 4 0 ( ) 0 y 8 4 y 9 y. Portanto, a soma pdida é y a b c ( ) ( 4) 6. 8: [C] Como A A A, sgu qu 4 7 0 A. 4 4 4 4 4 9: [B] 0 0 4 0 A 0 0 0 4 0 0 0 B 0 0 0 4 0 0 4 0 A 4B 4. 0 4 0 0 4 DETERMINANTES 0) Calcul os sguints dtrminants: - 4 6-9 - 4 8 8 b) c) - - 4 6-7 8 0) S a =, b = 4 dtrmin A = a + b c. 0) Rsolva a quação 7 c = = -6. - - 04) Calcul o valor do dtrminant da matriz A = 4-7 0 6,
0) Rsolva a quação 4-4 - 06) Faça a diagonalização dos dtrminants utilizando o torma d Jacobi, m sguida, dtrmin o su valor: b) - - - - - - - - - - - - - c) 4-6 6 4 6 - -7 - - 07) Rduza até a ordm, m sguida dtrmin o valor dos dtrminants abaio: 0 0-0 - - 0 - b) 0 0 0 0 4 0 - - 0 0 0 0 0 4 0 - - 0-4 - 0-0 0-0 c) 0 4 TESTES DE DETERMINANTES. Dadas as matrizs A dtrminant dt A B é igual a 8 b) c) 6 ) 70 4 B, 6. Analis as afirmaçõs abaio, sabndo qu: a b c d f I. a b c III. a b c 0 0 0 0 d f II. a b c o d f 6 a b c IV. d a b f c Assinal a altrnativa corrta. Apnas I, III IV são vrdadiras. b) Apnas a afirmação III é vrdadira. c) Apnas I II são vrdadiras. Todas as afirmaçõs são vrdadiras.. S A B. O dtrminant da 0 0 matriz (AB) é:. b). 0 0 4. Sndo 4 a 0 0 0 b c). 0 4 a. ) nda. 0 0 0 0 70, o valor d b 0 c é: 7 0 b c 80 b) 0 c) 70 0. Uma matriz 4 4 qu admit invrsa é 4 4 4 6 8 6 7 8 4 6 7 8 9 0 4 6 b) 4 4 6 c) 6 8 0 6 8 4444-4 - 6 7 8 ) 9 0-4 -6 6. Considr as sguints dsigualdads: 4 6 4 7 I. II. 4 III. 8 9 6 7 É corrto afirmar qu: São vrdadiras apnas as dsigualdads I II. b)são vrdadiras apnas as dsigualdads II III. c) São vrdadiras apnas as dsigualdads I III. As três dsigualdads são vrdadiras. ) As três dsigualdads são falsas. 7. Considrando-s log = 0,, o valor do dtrminant abaio é igual a: log4 log6 log400 log log4 log0 0,6 b) 0 c) 0,74 ) 0,4 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES ª propridad Ao obsrvar uma matriz vrificar qu os lmntos d uma linha ou uma coluna são iguais a zro, o valor do su dtrminant também srá zro.
ª propridad Caso ocorra igualdad d lmntos ntr duas linhas ou duas colunas, o dtrminant dssa matriz srá nulo. ª propridad Vrificadas m uma matriz duas linhas ou duas colunas com lmntos d valors proporcionais, o dtrminant trá valor igual à zro. Obsrv a propridad ntr a ª a ª linha. 4ª propridad Ao multiplicarmos todos os lmntos d uma linha ou coluna d uma matriz por um númro K, o su dtrminant fica multiplicado por K. 9ª propridad Considrando duas matrizs quadradas d ordm iguais AB matriz produto, tmos qu: dt (AB) = (dt A) * (dt B), conform torma d Bint. A B A B 0 4 0 4 4 8 Dt(A) = 4 Dt(B) = Dt(AB) = 96-88 = 8 Dt(A) Dt(B) = 8 0ª propridad Quando multiplica -s todos os lmntos d uma linha ou d uma coluna d uma matriz A plo msmo númro ral, m sguida, adicionarmos os rsultados aos lmntos corrspondnts d outra linha ou coluna paralla, formamos a matriz B, ond ocorr a sguint igualdad: dt A = dt B. Ess torma é atribuído a Jacobi. Com ss torma pod-s manipular os lmntos do dtrminant fazndo com qu o dtrminant sja igual ao d uma matriz triangular, ss procsso é chamado d diagonalização. Os lmntos da ª linha d P foram multiplicados por, ntão: dt P = dt P ª propridad Caso uma matriz quadrada A sja multiplicada por um númro ral k, su dtrminant passa a sr multiplicado por k n. dt (k*a) = k n * dt A 6ª propridad O valor do dtrminant d uma matriz R é igual ao dtrminant da matriz da transposta d R, dt R = dt (R t ). a b a b A Dt(A) = = ad - bc c d c d T a c T a c A Dt(A ) = = ad - bc b d b d GABARITO DE DETERMINANTES 06-6 b)-8 c) -4-60 07 b) -0 c) 4 0 7ª propridad Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas d posição d uma matriz, o valor do su dtrminant passa a sr oposto ao dtrminant da antrior. 8ª propridad O dtrminant d uma matriz triangular é igual à multiplicação dos lmntos da diagonal principal. Lmbr-s qu m uma matriz triangular, os lmntos acima ou abaio da diagonal principal são iguais a zro. 0 0 0 0 0 - - 0 - - - 0
SISTEMAS LINEARES Aplicando qualqur método d rsolução, rsolva os sguints sistmas d quaçõs do º grau com duas variávis: y 7, com, y. y b) y, com y 0. 4 y y c) 7, com y 0. y y, com. Y y ), com, y {0, }. y y f), com y {0, }. y y 8 0.O valor d no sistma é: y b) c) 0) Um caminhão transportou, m duas viagns, 0 tonladas d soja. Sabndo qu, na primira viagm, o caminhão, carrgado, psou 4 tonladas qu, na sgunda, o caminhão a carga psaram tonladas, calcul a quantidad d soja transportada na primira viagm o pso do caminhão vazio. 04) Em uma lanchont, o custo d sanduíchs, 7 rfrigrants uma torta d maçã é R$,0. Com 4 sanduíchs, 0 rfrigrants uma torta d maçã, o custo vai para R$ 0,0. O custo d um sanduích, um rfrigrant uma torta d maçã, m rais, é: 7,00. b) 6,0. c) 6,00.,0. ),00. 0) Um ngociant trabalha com as mrcadorias A, B, C d cada uma das quais tm um pquno stoqu não nulo. S vndr cada unidad d A por R$,00, cada uma d B por R$,00 cada uma d C por R$4,00, obtém uma rcita d R$0,00. Mas s vndr cada unidad rspctivamnt por R$,00, R$6,00 R$,00, a rcita srá d R$60,00. Calcular o númro d unidads qu possui d cada uma das mrcadorias. 06) O par ordnado (, y) é a solução do sistma y. Então, + y é igual a: y b) 0 c) / / 07) Sab-s qu + y = 0 y = 6. O valor d y é: 00 b) 0 c) 0 y 08) A solução do sistma y é o par ordnado: (/,/4) b) (-/,) c) (0,-/4) (/4,/4) 09) O IBGE contratou um crto númro d ntrvistadors para ralizar o rcnsamnto m uma cidad. S cada um dls rcnsass 00 rsidências, 60 dlas não sriam visitadas. Como, no ntanto, todas as rsidências foram visitadas cada rcnsador visitou 0, quantas rsidências tm a cidad? 0. Carlinhos possui crta quantidad d bolinhas d gud algumas latinhas ond guardá-las. Ao colocar 4 bolinhas m cada lata, sobraram bolinhas, mas quando colocou bolinhas m cada lata, a última ficou com apnas bolinhas. Podmos afirmar qu todas as latas ficariam com o msmo númro d bolinhas s l tivss: 6 bolinhas b) 4 bolinhas c) 49 bolinhas bolinhas ) 6 bolinhas ) João diz a Pdro: s você m dr / do dinhiro qu possui u ficari com uma quantia igual ao dobro do qu lh rstará. Por outro lado, s u lh dr R$6.000,00 do mu dinhiro nós ficarmos com quantias iguais. Quanto dinhiro possui cada um? ) Em uma sala d aula ntram n alunos. S sntarm alunos m cada bancada, ficarão d pé. Porém, s m cada bancada sntarm alunos, havrá 4 bancadas vazias.o númro d alunos (n) é: 49. b) 7. c) 6. 7. ) 8. ) Para uma fsta d anivrsário foram rsrvadas 0 msas com sis cadiras m cada uma. No dcorrr da fsta, obsrvou-s qu las stavam assim ocupadas: algumas com apnas dois convidados, outras com quatro o rstant com sis. Sabndo-s qu havia 00 pssoas na fsta, das quais 0% ocupavam msas com atamnt sis pssoas, ntão o númro d convidados qu ocupavam msas com atamnt quatro pssoas ra 0 b) 40 c) 60 00 ) 0 6
4) Um sistma linar tm a sguint matriz d coficints: 4 k 4 - Uma condição ncssária suficint sobr k para qu o sistma tnha uma única solução é k 4 b) k / c) k 0 k -/ ) k -4. Para prvnir a anmia por dficiência d frro, dv havr um consumo quilibrado d alimntos ricos dss lmnto químico. Obsrv a tabla qu aprsnta a quantidad d frro na composição d 00g d alimntos. Alimnto (00 g) Frro (mg) Espinafr cozido,6 Carn bovina assada,8 Em uma rfição, Pdro consumiu 6,0 g d frro ao ingrir apnas spinafr cozido carn bovina assada. Sabndo qu a quantidad d carn bovina ingrida foi o dobro da quantidad d spinafr ingrida, conclui-s qu a quantidad d carn bovina ingrida foi, aproimadamnt, m gramas, 0. b) 40. c) 0. 60. ) 70. 9) Dois garfos iguais, cinco colhrs iguais oito facas iguais psam juntos 99 g. Um dsss garfos, duas dssas colhrs três dssas facas psam juntos 9 g. Portanto, um dsss garfos, uma dssas colhrs uma dssas facas psam juntos: 7 g. b) g. c) 8 g. 0 g. ) 09 g. 0) Rsolva o sistma: /u + /v = 8 /u - /v = - GABARITO 0. S = {(, 4)} b) S = {(0, )} c) S = {(7, )} S = {(, 6)} ) S = {(, )} f) S = {(, )} 0. C 0. O pso do caminhão vazio é tonladas o pso da soja transportada na primira viagm é 0 tonladas. 04. B 0. unidads d A,4 unidads d B unidads d C 06. A 07) B 08) D 09.060 rsidências 0. D. B. E 4. E. A 6. C 7. B 8. E 9. C 0. V = {(,/)} 6) Um suprmrcado adquiriu dtrgnts nos aromas limão coco. A compra foi ntrgu, mbalada m 0 caias, com 4 frascos m cada caia. Sabndo-s qu cada caia continha frascos d dtrgnts a mais no aroma limão do qu no aroma coco, o númro d frascos ntrgus, no aroma limão, foi 0 b) 0 c) 0 40 ) 0 ( ) (y 4) 6 7. Rsolvndo o sistma, (y 4) 44 obtmos o par ordnado: (6, 4) b) (, 8) c) (6, 4) (, 8) + y - z = 0 8) O sistma linar - - y + z = é: - y + z = Homogêno indtrminado. b) Impossívl indtrminado. c) Possívl dtrminado. Impossívl dtrminado. ) Possívl indtrminado. 7