TEMA 1 TRANSFORMADA DE FOURIER

TEMA 1 TRANSFORMADA DE FOURIER O primeiro ema do curso é a Transformada de Fourier (TF) e a sua aplicação à análise de séries emporais de valores. A aplicação da TF não se resringe, conudo, à análise de séries emporais ou espaciais. A sua uilização é vasa e serão apresenadas algumas aplicações nouras áreas. O que é a Transformada de Fourier A operação maemáica conhecida por ransformada é basane comum em maemáica aplicada ou na Física Maemáica. De faco, há muias ransformadas, enre elas as ransformadas inegrais de Laplace, de Hankel e de Fourier. Considere-se a função s(), conínua e periódica, de período 2L. Como se sabe esa função pode ser represenada por uma série de Fourier, com ao n n s( ) ( an cos bn sen ) (1) 2 L n1 L a b n n 1 L 1 L L L L L n ' s( ')cos d', L n ' s( ') sen d', L n 0 n 1 (2) Se a função s() não fôr periódica, a sua represenação por série de Fourier não é possível. No enano, se a função for absoluamene inegrável, iso é, se s ( ') d' (3) Pode ser represenada por um inegral de Fourier, 0 s( ) ( A( )cos B( ) sen ) d (4) com 1

1 A( ) 1 B( ) s( ' ) cos ' d', s( ' ) sen ' d', 0 0 (5) Ese resulado pode ser percebido como uma exensão da aplicação da represenação em série de Fourier se se considerar que a função s() é definida no inervalo [-L, L] e exendida de modo periódico para fora desse inervalo. Reescreva-se (4) na forma complexa, vem sucessivamene, s( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 0 0 0 ( A( ) cos B( ) sen ) d s( ' ) (cos' cos sen ' sen ) d' d s( ' ) cos( ') 0 0 s( ' ) ( e s( ' ) ( e s( ' ) e i( ') i( ') i( ') e ) d' d d' d d' d i( ') ) d' d 0 s( ' ) ( e i( ') ) d' d Pode-se enão escrever o desenvolvimeno em inegral de Fourier do seguine modo, (6) s( ) 1 2 1 2 s( ') e i ' d' e i d (7) O inegral denro de parênesis recos defina uma ransformada inegral: a ransformada inegral de Fourier. A Transformada inegral de Fourier (direca) é definida por: d (8) Noe-se que o ermo TF inversa. 1 pode aparecer na definição da TF direco ou apenas na 2 2

A TF é, pois, uma função complexa, iso é, em pare real e imaginária, ou, S) (9) (10) onde é a magniude e a fase dadas, repecivamene por, (11) Im( S) ( f ) arcg ( ) (12) Re( S) O cálculo de uma função a parir da sua TF é conhecido por Transformada Inversa de Fourier e define-se do seguine modo, 1 i (2f ) s( ) S( f ) e df 2 (13) Diz-se, enão, que as funções S(f) e s() consiuem um par ransformado e represenam-se, aqui, pelo símbolo. Exemplo 1.1. Calcule-se a TF da seguine função, e x( ) 0 a 0 a 0 0 Tem-se, sucessivamene, d = d = d Finalmene, 3

A figura seguine mosra os gráficos correspondenes à função x() e a sua TF quando a = 1. Noe-se que a pare real é simérica enquano a pare imaginária é ímpar, iso deve-se ao faco de x() ser uma função real. Na figura seguine mosram-se as ampliude e fase da TF. 4

Transformada de Fourier de algumas funções imporanes Dada a sua imporância esuda-se em seguida a TF de algumas funções. 1. Função recângulo, impulso ou box A função recângulo é definida do seguine modo: a f ( ) 0 T T T T A TF desa função é conhecida como função sinc e desempenha um papel muio imporane na análise de sinais, TF{f()} = F(ω) = 2a sen(ωt) ω 2. Dela de Dirac A função dela de Dirac é definida por, δ() = { +, = 0 0, 0 5

Iso é, a função dela de Dirac é zero excepo no pono =0 onde assume o valor infinio. A função saisfaz ainda a condição, δ() d = 1 A TF da função dela de Dirac é uma função generalizada definida por TF{δ()} = δ() e iω d = e 0 = 1 3. Cosseno Seja a função cosseno de frequência a, f() = A cos(2πf o ) Esa função é uma função par pelo que a sua TF apenas erá pare real não nula sendo a pare imaginária nula. A TF desa função será, 6

TF{A cos(2πf o )} = A cos(2πf o ) e i2πf d = A (ei2πfo + e i2πfo ) e i2πf o d = 2 A (e i2π(f fo) + e i2π(f+fo) ) d = A 2 2 [δ(f f o) + δ(f + f o )] 4. Pene de Dirac O pene de Dirac é consiuído por uma série infinia de delas de Dirac, separados de um inervalo T, () = δ( i T) i= 7

A TF do pene de Dirac é ambém um pene de Dirac no domínio da frequência, Δ(f) = 1 T δ( f i 1 T ) i= 5. Função Degrau A função degrau uniário ( sep ) é definida por 1 u ( ) 0 0 0 8

A TF é, TF{u()} = πδ(ω) + 1 iω 9

Propriedades da Transformada de Fourier A TF goza de algumas propriedades imporanes: 1. Linearidade. Seja S(f) a TF da função s() e G(f) a TF da funçao g(). A TF da função h() = a s() + b g() é dada por, H(f) = a S(f) + b G(f) 2. Translação. Seja S(f) a TF da função s(). A TF da função s( a) é TF{s( a)} = e ifa S(f) 10

3. Escalameno. Seja S(f) a TF da função s(). A TF da função s(a ) é TF{s(a )} = 1 a S(f a ) 11

4. TF de funções pares e ímpares. A) A pare imaginária da TF de uma função par é nula. B) A pare real da TF de uma função ímpar é nula. 12

A Transformada Discrea de Fourier (TDF) A definição de TF dada, eq. (8), aplica-se a funções conínuas e absoluamene inegráveis. Como se poderá ober a TF de funções discreas? Uma função discrea pode ser descria como uma função em que a variável oma valores discreos, iso é, não varia coninuamene e, porano, apenas são conhecidos os valores da função para esses valores da variável. Por exemplo, a função discrea da função do Exemplo 1, é represenada pelos valores 0.819, 0.670, 0.549, 0.449, 0.368, 0.301 se se considerarem os seguines valores da variável, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2. Uma função discrea é, pois, descria por um conjuno de valores numéricos e pode ser represenada por xi ou x(i) com i = 0, 1, 2, 3,...N sendo N o número de valores conhecidos. Os valores de x são conhecidos para os valores i da variável. A Transformada Discrea de Fourier (TDF) é definida por S k N 1 j0 s j e 2 k i( ) j N (14) k 0,1, 2... N 1 onde i represena a unidade complexa i = 1. 13

Exemplo de código em MATLAB para o cálculo da TDF do sinal y com n valores: funcion[z]=tfdd(y,n) % y sinal de enrada % n número de valores em y % z TDF for k=1:n som=0; for j=1:n som=som+y(j)*exp(-2*pi*i*(j-1)*(k-1)/n); end z(k)=som; end reurn end Em MATLAB o cálculo da TDF pode ser realizado pela função ff(sinal) ou ff(sinal,n). Dealhes do uso desas funções podem ser visos em: hp://www.mahworks.com/help/malab/mah/fas-fourier-ransform-ff.hml Exercício 1.1 Considere-se o sinal yi resulane da amosragem (a uma axa de 1000 amosras por segundo) da função onde y = 0.9*sin(2*pi*fo*)+0.2*sin(2*pi*f1*)+noise noise = 0.2*randn(size()) onde fo =60 Hz e f1 = 130 Hz sendo randn uma função do MATLAB para geral números aleaórios. Calcule-se a TDF do sinal amosrado. % Dados do Problema Duracao = 1; f0 = 60 f1 = 130; %axa de amosragem: f = 1000; d = 1/f; % período de amosragem ou inervalo de amosragem = 0:d:Duracao; % cria vecor que começa em 0 e acaba na duração oal, do inervalo, com um espaçameno de d n = lengh(); % comprimeno do vecor y =0.9*sin(2*pi*f0*)+0.2*sin(2*pi*f1*)+0.2*rand(1,n); figure plo(.*1000,y); ile('sinal'); % da um iulo ao grafico xlabel(' (ms)'); ylabel('y()'); % poe a legenda nos eixos %[Y] = TFDd(y,n); poderia usar-se a função definida acima Y = ff(y,n); 14

% calculo do especro -> Yr = real(y); Yi = imag(y); S = sqr(yr.^2+yi.^2); S(1)=[]; % o primeiro valor obido é a média do sinal, não faz pare do especro e porano não é considerado fase=aan((yi./yr))*180/pi; % se fosse necessário calcular a fase nyquis=1./(2*d); %freq de nyquis fmin=1/duracao; %freq minima freqs=linspace(fmin,nyquis,n/2) % veor das frequências subplo(2,1,2) plo(freqs,s(1:n/2)) % a 2a meade do especro é o complexo conjugado da 1a meade ile('especro'); xlabel('f (Hz)'); ylabel('s(f)'); A figura seguine mosra o sinal amosrado onde facilmene se reconhece-se que coném, pelo menos, dois sinais de frequência diferene: um de baixa e ouro(s) de ala frequência. A figura seguine mosra o especro de poência do sinal. Noe-se: a) que o especro é simérico em orno da frequência de 500 Hz pelo que é necessário reirar a 2ª meade do mesmo (freq>500); b) a maior energia aparece associada à frequência próxima de 60 Hz; c) há um segundo pico no especro associado à frequência próxima de 130 Hz. 15

Convolução e o eorema da convolução A operação de convolução, enre duas funções conínuas x() e h() é definida por: y() = x h = x(τ) h( τ)dτ A figura seguine represena em esquema a operação de convolução enre as duas funções seguines, Exemplo: A figura seguine mosra a convolução enre um pene de Dirac e uma função recângulo, 16

Se as funções esiveram digializadas (discreizadas a uma axa T) a operação é dada por, N 1 y(kt) = x(kt) h(kt) = x(it) h[(k i)t] i=0 17

Exemplo: Calcule-se, graficamene, a convolução das seguines funções, Tem-se, sucessivamene, 18

O Teorema da convolução esabelece o seguine: sejam os pares de Fourier x() X(f) e h() H(f) enão, TF{x() h()} X(f) H(f) Iso é, a TF da convolução de duas funções é igual ao produo das respecivas TFs, e TF{x() h()} X(f) H(f) E a TF do produo de duas funções é igual à convolução das respecivas TFs. Ese resulado é por vezes designado por eorema da convolução no domínio da frequência. O eorema da convolução é fundamenal no esudo dos sisemas lineares, como veremos no ema seguine, mas pode ser usado para ober resulados, de um modo mais fácil. Por exemplo: qual é a TF da função mosrada na figura seguine? A ideia aqui é a seguine: se se conhecerm as duas funções cuja convolução em como reulado esa função, enão a TF desa função deverá ser igual ao produo das TF daquelas funções. Ora, viu-se anes que o resulado da convolução de dois recângulos é uma função riângulo. Também se viu, que a TF de uma função recângulo é uma função sinc pelo que a TF da função riângulo é dada pelo produo de dois sinc, como mosra a figura seguine. 19

Exemplo: calcule-se, graficamene, a TF da seguine função, 20

A solução é, 21

Exercício. Calcule a convolução dos seguines sinais digializados a uma axa de 1 s. x1i = {-0.1, 0.0, 0.2, 0.1, 0.4, 0.6, 0.0, 0.1, -0.1,0.0} x2i = {0.0, 0.1, -0.3, 0.1, 0.0} Exemplo de código MATLAB para o cálculo da convolução das funcões x1 de n1 valores e x2 de n2 valores. funcion[conv_ou]=convoluion(x1,x2,nb,ne) n1=lengh(x1); % amanho do vecor x1 n2=lengh(x2); % amanho do vecor x2 noupu=n1+n2-1; % amanho do resulado % vecor auxiliar com x1 cenrado e zeros nas ponas ae ao amanho de noupu xaux=zeros(1,noupu); xaux(nb+1:n1+nb)=x1; x2=fliplr(x2); %inverer x2 - esq/dir % calcular convolucao k=0; for j=nb+1:noupu-ne k=k+1; conv_ou(k)=sum(xaux(j-nb:j+ne).*x2); end reurn end Em MATLAB a convolução pode ambém ser realizada usando-se a função conv(x1,x2). Ver dealhes em: hp://www.mahworks.com/help/malab/mah/convoluion.hml 22

Correlação e Teorema da Correlação A correlação enre duas funções conínuas, x() e h() é definida por: z() = x(τ) h( + τ) dτ A operação de correlação é facilmene confundível com a da correlação mas é, obviamene, diferene. O Teorema da Corelação esabelece que a TF da correlação de duas funções é igual ao produo da TF de uma das funções pela TF conjugada da oura, TF{z()} = Z(f) = X(f) H (f) Onde o símbolo * represena o conjungado complexo. Exemplo: Calcule-se, graficamene, a correlação enre as seguines funções, para as quais já se calculou a convolução, A figura seguine apresena a solução para ese problema, comparando a correlação com a convolução desas duas funções. A grande diferença esá na ausência da operação de espelhameno de uma das funções na correlação. 23

A Correlação de duas funções discreas amosradas a uma axa T é dada por, N 1 z(kt) = x(it) h[(k + i)t] i=0 Se a correlação é realizada enre duas funções iguais a operação é designada por auocorrelação. Esa operação pode ser úil, por exemplo, para deecar um sinal (de cura duração) conhecido que eseja conido num sinal de maior duração e conaminado por ruído. 24

Exemplo de código MATLAB para o cálculo da correlação de dois sinais x1 e x2 funcion[y,alag]=corr(x1,n1,x2,n2) %correlação de x1(1...n1) com x2(1...n2) % alag(1..n1-(n2-1)) é o desvio (lag) % nese caso acrecenam-se zeros no inicio e fim do sinal x1 np=n1+2*(n2-1) x11=zeros(np,1); for i=n2:n1+n2-1 x11(i)=x1(i-(n2-1)); % x1 com zeros no inicio e fim end for i=1:n1+n2-1 som=0.; for j=1:n2 som=som+x2(j)*x11(i+j-1); end y(i)=som; alag(i)=i-(n2-1); end end Em MATLAB a correlação enre dois sinais pode ser realizada pela função xcorr(x,y) Ver dealhes em: hp://www.mahworks.com/help/signal/ref/xcorr.hml?s_id=gn_loc_drop Exemplo: Seja o sinal medido x= {0.1, 0.1, 0.2, -0.3, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 1.0, 1.1, -1.0, 1.3, 1.4, 2.0, 2.1,0.2, 1.6, 1.2, 1.4, 2.0, -3.0, -0.2, 0.0, 0.2, 0.5} Preende-se enconrar nese sinal um ouro sinal mais curo y={1.3, 1.4, 2.0, 2.1,0.2} Os sinais são amosrados a uma axa de 1 s. A figura seguine mosra o sinal x onde se assinala a posição do sinal y que se preende deecar. Como se mencionou o sinal pode ser deecado pela operação de correlação de x com y. 25

A figura seguine mosra o resulado da correlação enre os dois sinais podendo ver-se que o máximo valor da correlação aconece para um desvio de 12 que é precisamene a posição onde se inicia o sinal procurado denro do sinal x. 26

27 Exercícios proposos. 1- Calcule a TF da função sen(ω o ). 2- Calcule a TF da função: ) )cos(2 ( ) ( f P x o com 2 / 0 2 / 1 ) ( o o T T P 3- Mosre que: ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 f f c T f T f b f f a 4- Calcule, graficamene a convolução enre as seguines funções: 5- Deermine, graficamene a convolução enre as funções x() e h() mosradas na figura. 6- Considere a função ) cos(2 ) ( f y o a) Calcule a TDF do sinal para fo = 0.1 Hz usando diferenes axas de amosragem e considerando diferenes durações do sinal (correspondenes, por exemplo, a 3, 6 e 9 períodos).

b) Calcule o especro de poência em cada caso. c) Verifique cada um dos resulados obidos aplicando a TF inversa. 5. Repia o exercício anerior para a função y( ) sen(2f ). o 7- Calcule a TDF da função impulso uniário com uma duração oal de 520 μs. Considere que o sinal se esende, periódicamene de = -16To a = 16To. 8- Considere a função, x ) 10 10 cos(2 f ) 8cos(2 f 3 ( 1 2 / 4) com f1 = 2000 Hz e f2 = 7000 Hz. Faça uma amosragem de 10000 amosras por segundo. Calcule a TDF do sinal amosrado. 28

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