Aula 07 Modelos Probabilísticos Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 1
Probabilidade Universo do estudo (população) Hipóteses, conjeturas,... Modelos Probabilísticos Distribuições de Frequências Resultados ou dados observados Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 2
Modelos de probabilidade Os modelos probabilísticos são construídos a partir de certas hipóteses ou suposições sobre o problema em questão e constituem-se de duas partes: 1) dos possíveis resultados o espaço amostral 2) de uma certa lei que nos diz quão provável é cada resultado (ou grupos de resultados) as probabilidades. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 3
Espaço Amostral (Ω) O conjunto de todos os possíveis resultados do experimento é chamado de espaço amostral e é denotado pela letra grega Ω. Um espaço amostral é dito discreto quando ele for finito ou infinito enumerável (podemos listar os possíveis resultados); É dito contínuo quando for infinito, formado por intervalos de números reais. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 4
Exemplo de um experimento aleatório Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima. Resultados possíveis: cara, coroa Espaço amostral = {cara, coroa} Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 5
Exemplo de um experimento aleatório Selecionar um animal ao acaso e observar se é macho ou fêmea. Resultados possíveis: macho, fêmea Espaço amostral = {macho, fêmea} Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 6
Exemplo de um experimento aleatório Mendel cruzava plantas puras de ervilhas (Pisum sativum) que produzem sementes lisas (alelos RR) com plantas puras que produzem sementes rugosas (alelos rr). Na geração F1 desses cruzamentos, todos os indivíduos produzem semestes lisas (Rr). Por auto fecundação das plantas da geração F1 (Rr x Rr), analisaram-se os descendentes (F2): Resultados possíveis: RR, Rr e rr Espaço amostral = {RR, Rr, rr} Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 7
Exemplo de um experimento aleatório Mendel cruzava plantas puras de ervilhas (Pisum sativum) que produzem sementes lisas (alelos RR) com plantas puras que produzem sementes rugosas (alelos rr). Na geração F1 desses cruzamentos, todos os indivíduos produzem semestes lisas (Rr). Por auto fecundação das plantas da geração F1 (Rr x Rr), analisaram-se os descendentes (F2): Resultados possíveis: RR, Rr e rr Espaço amostral = {RR, Rr, rr} Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 8
1) Numa fazenda, após selecionar um cordeiro com 3 meses de idade, ao acaso, verificar se pesa mais de 30Kg. Ω = {sim, não} 2) Numa uma amostra de 3 cordeiros verificar quantos pesam mais de 30Kg. Ω = {SSS, SSN, SNS, NSS, SNN, NSN, NNS, NNN} ou {0, 1, 2, 3} 3) Numa fazenda, selecionar um cordeiro e anotar seu peso. Ω = {x, tal que x R e x 0 Kg }. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 9
Probabilidade de um resultado Qual a probabilidade de cara e de coroa? P(cara) = 0,5 P(coroa) = 0,5 A probabilidade é um número entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 10
Probabilidade de um resultado 40% machos 60% fêmeas Qual a probabilidade de macho e de fêmea? P(macho) = 0,4 P(fêmea) = 0,6 A probabilidade é um número entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 11
Probabilidade de um resultado Qual a probabilidade de RR, Rr e rr? P(RR) = 1/4 P(Rr) = 2/4 P(rr) = 1/4 A probabilidade é um número entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 12
Modelo de probabilidades Lançar um dado e observar a face voltada para cima. Suponha que o dado seja perfeitamente equilibrado e o lançamento imparcial. Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilidades: P(1) = P(2) =... = P(6) = 1/6 Resultado 1 2 3 4 5 6 Probabilidade 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 13
Modelo de probabilidades 9% 11% 50% 30% AMOSTRA: Um animal observado ao acaso Reprodutor Matriz Borrega Corte Resultado Probab. Reprodutor 0,09 Matriz 0,50 Borrega 0,30 Corte 0,11 Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 14
Modelo de probabilidades Suposições teóricas: Só podem ocorrer 3 resultados possíveis, pois Rr e rr não são ordenados; Considerando que cada resultado deve ocorrer o mesmo número de vezes, a proporção de ocorrência de cada um deles é 1/4. Resultados RR Rr rr Proba. ¼ 1/2 ¼ Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 15
Vantagem dos Modelos Probabilísticos Ser possível, com algumas suposições adequadas (hipóteses ou conjecturas) e sem a necessidade de se observar diretamente o fenômeno, estabelecer distribuições de probabilidades que representam muito bem as distribuições de freqüências, que só podem ser construídas após observar o fenômeno. Utilizar as probabilidades para exprimir a chance de ocorrência de determinado fenômeno aleatório. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 16
Evento Evento = um conjunto de resultados (um subconjunto do espaço amostral) Ex. Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilidades: P(1) = P(2) =... = P(6) = 1/6 Eventos: A = número par, B = número menor que 3 A = {2, 4, 6} B = {1, 2} P(A) = 1/2, P(B) = 2/6 = 1/3 Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 17
Operações entre Eventos (a) União: A B (b) intersecção: A B (c) complementar: A c A B Ω Ω Ω A A B Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 18
Eventos Mutuamente Exclusivos (Disjuntos) Eventos são ditos mutuamente exclusivos se e só se eles não puderem ocorrer simultaneamente. A e B são mutuamente exclusivos A B = A B Ω Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 19
Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 20 ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B A P + = A Ω B A B Se A e B mutuamente exclusivos, então: ) ( ) ( ) ( B P A P B A P + = Regra da soma das probabilidades
Eventos independentes Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros. Exemplo: No lançamento imparcial de um dado e de uma moeda, os eventos A = número par no dado, e B = cara na moeda são ditos Independentes, já que a ocorrência de A nada tem a ver com a ocorrência de B. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 21
Consequência: No lançamento imparcial de um dado e de uma moeda, os eventos A = número par no dado, e B = cara na moeda A = número par A = {2, 4, 6} B = {cara} B = cara na moeda P(A) = 1/2 P(B) = 1/2 P(A B) = P(A) x P(B) = 1/2 x 1/2 = 1/4 = 0,25 Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 22
Exercícios: 1) Num levantamento em um município sobre a propriedade de terra e o tamanho do estabelecimento agrícola, encontrou-se a seguinte situação: 45 proprietários com estabelecimentos menores que 50 hectares; 10 arrendatários com estabelecimentos menores que 50 hectares; 15 proprietários com estabelecimentos maiores que 50 hectares; 2 arrendatários com estabelecimentos maiores que 50 hectares. (a) Construa o modelo de probabilidades para essa região. (b) Qual a probabilidade de um agricultor escolhido ao acaso, seja arrendatário e o estabelecimento seja menor que 50 hectares? (13,89%) (c) Qual a probabilidade de que o estabelecimento agrícola tenha menos de 50 hectares? (76,39%) Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 23