1. Gráficos de Equações Capítulo 3 - Geometria Analítica Conceito:O gráfico de uma equação é o conjunto de todos os pontos e somente estes pontos, cujas coordenadas satisfazem a equação. Assim, o gráfico de uma equação depende do espaço euclidiano que ela esteja definida ou Eemplo O gráfico da equação é: Um ponto no espaço euclidiano unidimensional Uma reta no espaço euclidiano bidimensional Um plano no espaço euclidiano tridimensional Generalizando: Na geometria analítica unidimensional ), o gráfico de uma equação envolvendo representa um ponto na reta. Na geometria analítica bidimensional ), o gráfico de uma equação envolvendo e representa uma curva no plano. Na geometria analítica tridimensional ), o gráfico de uma equação envolvendo, e representa uma superfície no espaço. 1
Eemplos: 1) Que superfícies em são representadas pelas equações: Plano paralelo a Plano paralelo a { { 2) Desenhe o gráfico de em e eplicite a interseção destes planos: z =1 1 z=0 Reta paralela a passando pelo ponto 0,1,0) { 3) Escreva um par de equações simultâneas cujo gráfico é uma reta perpendicular ao plano e que contém o ponto z =-3 =2-3 Reta paralela a z passando 1 pelo ponto -3,2,1) { 2 2
2. Geometria Bidimensional Gráficos de uma Equação no Plano { { As seções cônicas, ou simplesmente cônicas, são assim chamadas, pois são curvas obtidas por cortes de cones circulares por planos. 4-2 02 z -4 z 4 2 0-2 -4-4 -2 0 2 4 4 2 0-4 -2-4 -2 0 2 4 4 2-2 0-4 Círculo Elipse z 4-2 02-4 4 2 0 z -2-4 -4-2 0 2 4 4 2 0-2 -4-4 -2 0 2 4 4 2 0-2 -4 Parábola Hipérbole 3
Equação Geral de 2º grau em duas variáveis Se há rotação de eios. Se e/ou há translação de eios. 3. Reta A Inclinação de uma reta é o ângulo formado entre o eio das abscissas e a reta, considerado positivo se medido no sentido antihorário. r θ O Coeficiente Angular ou declividade de uma reta não perpendicular ao eio das abscissas é o valor real obtido no cálculo da tangente trigonométrica do ângulo. Na trigonometria, define-se tangente de um ângulo como sendo o quociente entre o cateto oposto a e o cateto adjacente a. Como tem-se: Se então Se então Se ou então Se então 4
Equação da Reta na forma reduzida: A equação da reta na forma reduzida é uma equação linear do tipo: Onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. A equação de uma reta pode ser estabelecida se forem conhecidos: Um ponto sobre a reta e o valor de seu coeficiente angular Dois pontos sobre a reta a) Equação da reta dados um ponto sobre ela e o seu coeficiente angular Considere conhecidas as coordenadas de um ponto sobre uma reta. Imagine outro ponto qualquer, também sobre a reta, de forma que a coordenada de difere da coordenada de por uma quantidade e que a coordenada de difere da coordenada de por uma quantidade. Então a coordenada de é e a coordenada de é. θ P P θ P P P Considere conhecida a inclinação. Então, da reta ou o seu coeficiente angular 5
b) Equação da reta dados dois pontos sobre ela Se as coordenadas de dois pontos e sobre uma reta são conhecidas, podemos facilmente encontrar o seu coeficiente angular. Uma vez conhecido o coeficiente angular e a coordenada de um ponto sobre a reta, podemos determinar a equação da reta utilizando o procedimento descrito anteriormente. Assim, Equação da Reta na forma Pontos Interceptos: Se uma reta não for vertical nem horizontal, ela deve interceptar o eio dos em algum ponto e deve interceptar o eio dos em algum ponto. b P b O P a a θ Dicas para reconhecer a equação de uma reta: As duas variáveis caso eistam estão em primeira potência. é a abscissa do ponto de interseção da reta com o eio. é a ordenada do ponto de interseção da reta com o eio. 6
Eemplos 1. Dadas as coordenadas de dois pontos e, determine a equação da reta que passa por eles. Encontre o coeficiente angular da reta e os pontos que ela intercepta o eio dos e dos. a) Reta horizontal, coeficiente angular zero. Corta o eio no ponto, não corta o eio. b) Reta vertical, coeficiente angular infinito Corta o eio em no ponto, não corta o eio. c) Reta inclinada de coeficiente angular - 9/5. Corta o eio no ponto ) Corta o eio no ponto 7
Retas Paralelas Duas retas são paralelas se, e somente se, possuem a mesma inclinação. R R θ O θ Retas Perpendiculares Duas retas não-verticais são perpendiculares se, e somente se, o coeficiente angular de uma das retas é o simétrico do inverso do coeficiente angular da outra. R R ) ) θ O θ 8
Retas Concorrentes Se duas retas distintas no plano não são paralelas, então elas se interceptam em um único ponto. Como o ponto pertence às duas retas simultaneamente, suas coordenadas e satisfazem as equações de e de. R R P O Eemplos: 1. Determine a equação geral da reta que é perpendicular à, no ponto Equação Geral da reta 2. Determine a equação e os pontos interceptos da reta que contém o ponto e é paralela à reta. A reta é uma reta que passa pelos pontos e. Reta ) Reta A reta intercepta no ponto e intercepta no ponto. 9
3. Determine a equação da reta de coeficiente angular 5 que passa pelo ponto. Encontre os pontos interceptos dessa reta. A reta intercepta no ponto )e intercepta no ponto. 4. Determine o ponto que as retas e se interceptam. Seja este ponto. Então estas coordenadas satisfazem ambas as equações: { Resolvendo o Sistema: Substituindo Logo na primeira equação 5. Determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto de coordenadas. Reta tangente Sabe-se que o coeficiente angular da reta tangente à curva de uma função num determinado ponto é igual ao valor da derivada da função neste ponto. A reta tangente passa pelo ponto A reta tangente intercepta no ponto ) e intercepta no ponto. Reta Normal A reta normal é perpendicular à reta tangente. A reta normal passa pelo ponto 1,1) A reta normal intercepta no ponto e intercepta no ponto ). 10
4. Círculo Definição Um círculo é o conjunto de todos os pontos no plano tais que a distância de até um ponto fio, chamado centro, é constante e igual ao raio. C r P O Equação Canônica do Círculo com centro em e raio Por translação de eios: Dicas para reconhecer a equação de um círculo no plano : As duas variáveis e ) estão na segunda potência Os coeficientes de e são números iguais e positivos 11
Eemplos: 1) Determine as coordenadas do centro e o raio do círculo cuja equação é: Círculo de centro e raio 5 ) ) ) ) ) ) Círculo de centro e raio 3 [ ) ] [ ) ] ) ) Círculo de centro e raio 5 2) Encontre a equação do círculo que satisfaz as condições dadas a) Raio= 3 e centro ) forma canônica) 5. Elipse forma geral) 12
Definição Uma elipse é o conjunto de todos os pontos no plano tais que a soma das distâncias de a 2 pontos fios e, chamados focos, é constante. Equação da Elipse com centro em Eio Maior paralelo ao eio dos Eio Maior paralelo ao eio dos Por translação de eios: 13
Dicas para reconhecer a equação de uma elipse na forma canônica As duas variáveis e ) estão na segunda potência Os coeficientes de e são positivos Se o denominador de for maior do que o denominador de então é uma elipse de eio maior paralelo ao eio dos. Se o denominador de for maior do que o denominador de então é uma elipse de eio maior paralelo ao eio dos. Eemplos 1) Encontre a equação geral da elipse que satisfaz as condições dadas Elipse com centro em -2, 5) semieio maior paralelo a a=5) e semieio menor paralelo a b=2). ) Elipse com centro em 4, 0) semieio maior paralelo a a=4) e semieio menor paralelo a 4 b=1). 14
2) Identifique, descreva e esboce o gráfico das equações abaio: Denominadores diferentes Elipse com eio maior paralelo ao eio Centro 0,0) Semieio maior paralelo a = 9 Semieio menor paralelo a = 6 ) ) ) ) ) ) Elipse com eio maior paralelo ao eio dos com centro Semieio maior paralelo a a=2) Semieio menor paralelo a a=1) 15
) ) ) ) ) ) Elipse com eio maior paralelo ao eio dos com centro Semieio maior // a = 7 Semieio maior // a = 3 16
6. Hipérbole Definição Uma hipérbole é o conjunto de todos os pontos no plano tais que o valor absoluto da diferença das distâncias de a dois pontos fios, chamados focos é constante e igual a Eio real ou transverso: Eio imaginário ou conjugado: Distância focal: Ecentricidade: 2 c Assíntotas: Dicas para reconhecer a equação de uma hipérbole na forma canônica As duas variáveis e ) estão na segunda potência Os coeficientes de e de têm sinais contrários. O eio real ou transverso da hipérbole, onde estão os focos, é homônimo à variável de coeficiente positivo. O fato de ter eio real coinciente com o eio dos ou dos independe na magnitude de. Na hipérbole pode-se ter Por eemplo: 17
Equação da Hipérbole com vértice e eios de simetria paralelos aos eios coordenados Eio real paralelo ao eio dos Eio real paralelo ao eio dos Por translação de eios: Eemplos: 1) Encontre a equação geral da elipse que satisfaz as condições dadas Hipérbole com centro em -2, -4) eio real paralelo a imaginário paralelo a b=4). a=2) e eio ) ) Hipérbole com centro em 0, 3) eio real paralelo a imaginário paralelo a b=1). a=3) e eio ) ) 18
2) Dada a equação da hipérbole na forma canônica, determinar as coordenadas do centro e dos vértices. Completando os quadrados ) ) ) ) Coeficiente de negativo e de positivo: Hipérbole com eio transverso paralelo ao eio dos com centro 19
7. Parábola Definição Uma parábola é o conjunto de todos os pontos no plano tais que a distância de a um ponto fio, chamado foco, é igual à distância de a uma reta fia D, chamada diretriz. distância do vértice ao foco p p Equação Canônica da Parábola no plano com vértice Simetria Vertical 20
Equação Canônica da Parábola no plano com vértice Simetria Horizontal Dicas para reconhecer a equação de uma parábola no plano com simetria horizontal ou vertical Uma variável está em primeira potência e a outra na segunda potência O eio de simetria da parábola é homônimo à variavél de primeiro grau. Isto é: Se está em primeira potência o eio da parábola é paralelo ao eio dos. Se está em em primeira potência o eio da parábola é paralelo ao eio dos. Se a parábola é voltada para o sentido positivo de seu eio de simetria. Se a parábola é voltada para o sentido negativo de seu eio de simetria. 21
Eemplos: 1) Identifique e esboce o gráfico das equações abaio: positivo Parábola com simetria vertical voltada para o sentido positivo de negativo Parábola com simetria horizontal voltada para o sentido negativo de Parábola com simetria horizontal voltada para o sentido negativo de 22
) ) Parábola com simetria vertical voltada para o sentido positivo de 2) Determine a equação da parábola que satisfaz as condições dadas: parábola com simetria horizontal, vértice positivo e distância focal. voltada para o sentido ) parábola com simetria vertical, vértice negativo e distância focal. voltada para o sentido ) 23
8. Geometria Tridimensional 8.1 Retas no Espaço Tridimensional Equação da Reta que Liga os Pontos Forma Normal Forma Paramétrica 8.2 Plano Equação Geral do Plano Equação do Plano em Relação a suas Interseções onde são as interseções nos eios, respectivamente Equação do Plano que contém os pontos [ ] 24
8.3 Superfície Cilíndrica ou Cilindro Curva Geratriz Superfície obtida pela translação de uma reta, chamada geratriz, ao longo de uma curva, chamada diretriz. Curva Diretriz Eemplo: Curva Geratriz Paralela ao Eio Curva Diretriz no Plano e 8.4 Superfície de Revolução Eio de Revolução Superfície obtida pela rotação de uma curva plana curva diretriz) em torno de uma reta eio de revolução), que pertence ao plano da curva. Curva Eemplo: Curva Diretriz no Plano em torno do eio ) rotacionada 8.5 Esfera Todos os traços são círculos 25
8.6 Elipsóide Todos os traços são elipses ou círculos Se o elipsóide é uma esfera 8.7. Hiperbolóide de uma folha Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eios coordenados são hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro eio coordenado são elipses ou círculos 8.8. Hiperbolóide de duas folhas. Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eios coordenados são hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro eio coordenado são elipses ou círculos 26
8.9. Cone Equação Tipo II Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eios coordenados são hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro eio coordenado são elipses ou círculos. 8.10. Parabolóide Elíptico Equação Tipo III Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eios coordenados são parábolas e nos planos perpendiculares ao outro eio coordenado são elipses ou círculos. 27