O poço de potencial infinito

O poço de potecial ifiito A U L A 14 Meta da aula Aplicar o formalismo quâtico ao caso de um potecial V(x) que tem a forma de um poço ifiito: o potecial é ifiito para x < a/ e para x > a/, e tem o valor 0 para a/ < x < a/. objetivos obter as fuções de oda e as eergias de partículas cofiadas em um poço ifiito; idetificar a paridade dos estados ligados; mostrar que, quato maior for o úmero de odos das fuções de oda correspodetes a estados ligados, maior será o valor da eergia da partícula, como o caso do poço fiito. Pré-requisito Para melhor compreesão desta aula, é importate que você revise o caso E < V o da Aula 13 desta disciplia.

Itrodução à Mecâica Quâtica O poço de potecial ifiito SOLUÇÃO DO POÇO DE POTENCIAL INFINITO O poço ifiito correspode a um caso limite do poço fiito, estudado a última aula, em que a altura do poço tede a um valor ifiito. Seu perfil de potecial está mostrado a Figura 14.1. V(x) a/ a/ 0 x Figura 14.1: O poço de potecial ifiito com largura a. Matematicamete, podemos defiir um poço ifiito de largura a da seguite forma: V( x) = +, x < / V( x) = 0, a / < x < a / V( x) = +, x > a /. (14.1) Como vemos, o perfil de potecial é bem semelhate ao do poço fiito visto a Aula 13, só que agora o valor de V 0 é tão grade que pode ser cosiderado ifiito. Em muitos sistemas físicos, esta é uma aproximação bastate boa e, como veremos, bastate útil, pois o poço ifiito tem soluções muito mais simples que o poço fiito. As soluções do poço ifiito são cofiadas o iterior do mesmo, já que seria ecessária uma eergia ifiita para ecotrar a partícula fora do poço. Portato, precisamos cosiderar apeas a equação de Schrödiger a região massa m, tem a forma: a < x < a, que, para uma partícula de h d ψ( x) = Eψ ( x), a / < x < a /. (14.) m dx 46 C E D E R J

outra forma: Como já vimos diversas vezes, a solução geral desta equação é ψ ( x) = Ae ikx + Be ikx. No etato, desta vez vamos escrevê-la de uma AULA 14 MÓDULO ψ ( x) = Acos kx + Bsekx, a / < x < a / (14.3) com k = me / h. É claro que as duas formas são equivaletes, mas a Expressão (14.3) irá simplificar ossos cálculos o caso do poço ifiito. No caso das regiões exteras, como já argumetamos, o potecial é ifiito, e portato a probabilidade de ecotrarmos a partícula fora do poço é ecessariamete ula. A fução de oda terá, portato, de ser ula a região extera: ψ ( x) = 0, x < / ψ ( x) = 0, x > a /. (14.4) A cotiuidade da fução de oda impõe que ψ(a/) = ψ(-a/) = 0. Vamos ver a seguir que esta codição de froteira ou de cotoro os leva diretamete à QUANTIZAÇÃO da eergia. Mas, ates, otamos que, este caso, a derivada da fução de oda, dψ(x)/dx, ão pode também ser ula estes potos extremos (x = ± a/), já que, se esse fosse o caso, etão a fução de oda ψ(x) = 0 para todo valor de x. A QUANTIZAÇÃO de eergia ocorre quado os íveis de eergia de um sistema quâtico são discretos. Para justificar que se ψ(x) e dψ(x)/dx são ulas para o mesmo valor de x, etão ψ(x) = 0 para todo x, vamos recordar a aalogia da equação de Schrödiger (14.) com a equação de movimeto do oscilador harmôico simples: m d x. Lembre-se de que são equações difereciais idêticas, basta dt = kx fazer a correspodêcia ψ x e x t (a meor das costates, é claro). Assim, o caso em que ψ(x) = 0 e dψ(x)/dx = 0 para o mesmo valor de x iria correspoder, o caso do oscilador harmôico, a x = 0 e dx/dt = 0 em um certo istate de tempo, ou seja, a partícula estaria a origem (portato, sem sofrer ação de força) e com velocidade ula. Portato, uca sairia da origem, ou seja, x = 0 para todo t. Apesar de x = 0 para todo t ser uma solução possível para o oscilador harmôico, ψ(x) = 0 para todo x ão é uma solução válida da equação de Schrödiger. C E D E R J 47

Itrodução à Mecâica Quâtica O poço de potecial ifiito Portato, vemos aqui uma difereça com relação ao que acotece o caso do poço fiito: a derivada da fução de oda é descotíua em x = ± a/. Você pode estar itrigado pelo fato de isso ser possível. Afial, os vários problemas que resolvemos até agora, sempre impusemos a cotiuidade da derivada. Na verdade, como dissemos claramete a Aula 4, são permitidas descotiuidades a derivada da fução de oda, dψ(x)/dx, apeas os potos em que o potecial apreseta descotiuidades ifiitas. ATIVIDADE 1. Mostre, a partir da equação de Schrödiger, que são permitidas descotiuidades a derivada da fução de oda apeas os potos em que o potecial apreseta descotiuidades ifiitas. Para isso, itegre a equação de Schrödiger com um potecial V(x) etre os potos x 0 -δ e x 0 +δ, em que x 0 é o poto em que ocorre a descotiuidade do potecial e δ é ifiitesimal. RESPOSTA COMENTADA Itegramos ambos os lados da equação de Schrödiger etre os limites sugeridos: h d ψ + V( x) ψ ( x) = Eψ ( x) m dx x + δ 0 0 0 h d ψ + m dx dx V ( x ) ψ ( x ) d x = E ψ ( x) dx x0 δ h dψ m dx dψ dx x + δ x0 δ x0 + δ x0 δ x + δ x0 δ x0 + δ x0 + δ = E ψ ( x ) dx V ( x ) ψ ( x ) dx x0 δ x0 δ A última equação é uma expressão para a descotiuidade da derivada dψ. Repare que há dois termos do lado direito da equação. dx O primeiro termo deve ser ulo o limite δ 0, já que a fução de oda tem de ser fi ita. Assim, para que haja uma descotiuidade a derivada, o segudo termo ão pode se aular. A úica maeira de satisfazer esta codição é através de um potecial ifi ito. 48 C E D E R J

Determiamos as costates A e B da Equação (14.3) aplicado as codições de froteira ψ(a/) = ψ( a/) = 0. Temos assim: Acos( ka / ) + Bse( ka / ) = 0, (14.5) A cos( ka / ) Bse( ka / ) = 0, AULA 14 MÓDULO ode utilizamos o fato que cos( x) = cos(x), e se( x) = se(x). Somado e substraido essas relações, chegamos em Acos( ka / ) = 0, Bse( ka / ) = 0. (14.6) Como as costates A e B ão podem ser simultaeamete ulas, já que isto levaria ovamete a ψ(x) = 0 para todo valor de x, as soluções possíveis para a Equação (14.6) são: B = 0, cos( ka / ) = 0, A = 0, se( ka / ) = 0. (14.7) No primeiro caso, as soluções serão da forma ψ(x) = Acos(kx), ode k deve satisfazer cos(ka/) = 0. Por causa desta codição, os valores possíveis de k são aqueles para os quais ka é um múltiplo impar de π, k = π, a = 1, 3, 5,... (14.8) As fuções de oda associadas a cada valor de k, ψ (x) = A cos(k x), podem ser ormalizadas: a / / ψ ( x) dx = 1; A cos ( πx / a) dx = 1, a / / (14.9) de ode obtemos A = (/a) 1/, idepedete de. A forma geral dessas soluções será, portato, ψ ( x) = π cos a a x, = 1, 3, 5,... (14.10) Da mesma maeira, podemos ecotrar a seguda classe de soluções da Equação (14.7), que correspodem a A = 0 e se(ka/) = 0. O resultado é: ψ ( x ) = a x, =, 4, 6 a se π,... (14.11) C E D E R J 49

Itrodução à Mecâica Quâtica O poço de potecial ifiito Nesse caso, a solução com = 0 ão é possível, já que levaria a ψ(x) = 0 para todo valor de x. Também é ecessário esclarecer que ão é ecessário cosiderar valores egativos de, já que levam às mesmas soluções do que os positivos, como é possível verificar. Cosiderado os dois tipos de soluções, observamos que os valores de k = me / h estão quatizados, já que eles são dados por k = π, O úmero iteiro é um exemplo de úmero a = 1,, 3,... quâtico, pois ele idetifica, como uma etiqueta, as diferetes soluções do problema. Observamos que os comprimetos de oda de de Broglie π a correspodetes têm os valores λ = =, = 1,, 3,..., ou seja, k que as fuções de oda possíveis são apeas aquelas para as quais temos um úmero iteiro ou semi-iteiro de comprimetos de oda de de Broglie detro do itervalo [ a/, a/]. Em cotraste com o caso clássico, em que uma partícula pode se mover detro do poço com qualquer valor da eergia, vemos que o problema quâtico a eergia está quatizada, tedo apeas os seguites valores possíveis: E h k h π = =, = 1,, 3,... m ma (14.1) Os íveis de eergia do poço ifiito estão mostrados a Figura 14.. Vemos que o espectro de eergias cosiste em um úmero ifiito de íveis discretos de eergia. Veja também que as eergias dos estados aumetam em forma quadrática com o valor de. Note que, como existe apeas uma fução de oda para uma dada eergia, esses íveis de eergia são chamados ão-degeerados. Veremos, em outras aulas, que em sempre é assim. Em algumas situações, dois ou mais estados quâticos podem ter a mesma eergia. Quado isso acotece, o ível de eergia correspodete é chamado degeerado. V(x) = 3 E 3 = 9E 1 Figura 14.: Os três primeiros íveis de eergia do poço de potecial ifiito. 50 C E D E R J = = 1 E 1 a/ a/ 0 E = 4E 1 x

As fuções de oda correspodetes aos três estados de eergia mais baixa do poço ifiito estão mostradas a Figura 14.3. Veja também, a partir das Equações (14.10) e (14.11), que a -ésima fução de oda, ψ (x), tem (-1) odos a região itera (sem cotar os extremos x = ± a/). Desta forma, assim como o caso do poço fiito, perceba que quato maior for úmero de odos da fução de oda, maior será a eergia da partícula. Você também pode verificar que as fuções de oda ψ (x) e ψ m (x) associadas a eergias diferetes, E e E m, são ortogoais, ou seja, a / ψ * =. (14.13) ( x) ψ m( x) dx 0, m / AULA 14 MÓDULO 0. 0.15 = 1 = = 3 0.1 0.05 0 60 40 0 0 0 40 60 0.05 0.1 0.15 0. Figura 14.3: As fuções de oda do poço quadrado ifiito o caso a = 100, para = 1,,3. C E D E R J 51

Itrodução à Mecâica Quâtica O poço de potecial ifiito ATIVIDADE. Verifique a Equação (14.13). RESPOSTA COMENTADA Vamos substituir as Expressões (14.10) e (14.11) a Equação (14.13) para verifi car sua validade. Há três casos a cosiderar: as duas fuções de oda ψ (x) e ψ m (x) podem ser do tipo (14.10), as duas podem ser do tipo (14.11) ou, fi almete, podemos ter uma de cada tipo. No primeiro caso, a itegral da Equação (14.13) tora-se: a a / / π x mπ x cos cos dx. a a Fazedo a substituição θ = πx, temos: a π / cos θ cos mθ dθ π π / ( ) ( ) Você pode verifi car em uma tabela de itegrais que essa itegral é ula para m. Possivelmete você já viu esse resultado ates, quado estudou séries de Fourier. Aalogamete, os outros dois casos vão resultar as itegrais π / π π / ( ) ( ) se θ se mθ dθ e π π / se θ cos mθ dθ, π / ( ) ( ) que também são ulas pelos mesmos motivos. Dizer que duas fuções de oda são ortogoais é, de certa forma, tomar emprestado uma expressão que você cohece melhor do seu curso de Álgebra Liear. Naquele caso, dizia-se que dois vetores são ortogoais quado o produto escalar etre eles é zero. O uso dessa expressão para fuções de oda os remete à equivalêcia etre o formalismo de Schrödiger (baseado em fuções de oda) e o formalismo de Heiseberg (baseado a álgebra de vetores e matrizes). Discutimos brevemete esse poto a Aula 6. A Equação (14.13) correspode precisamete, o formalismo de Heiseberg, ao produto escalar etre dois vetores (que represetam os dois estados quâticos) ser ulo. 5 C E D E R J

ENERGIA DE PONTO ZERO E O PRINCÍPIO DA INCERTEZA Note que ão existe um estado com eergia zero. O estado de meor eergia é o E = h π cujo valor é chamado de eergia de 1 ma, poto zero do poço ifiito, e será visto em outros exemplos as próximas aulas. Perceba que isso está em cotraste com a Mecâica Clássica, segudo a qual seria possível que uma partícula estivesse parada detro do poço e, portato, com eergia zero. De certa forma, a Mecâica Quâtica impede que a partícula esteja parada. Isso pode ser visto como uma coseqüêcia do Pricípio de Icerteza, já que, como a icerteza a posição é da ordem de x = a, ão é possível ter o valor do mometo com icerteza ula, como seria o caso se a eergia fosse 0. AULA 14 MÓDULO ATIVIDADE 3. Usado o Pricípio da Icerteza, obteha um limite míimo para a eergia do estado fudametal do poço ifiito e verifique se o valor que calculamos obedece a esse limite. RESPOSTA COMENTADA Como a partícula está cofi ada detro do poço, sua icerteza a posição tem de ser meor que a largura do poço, ou seja, x a. Assim, usado o Pricípio da Icerteza, podemos obter um valor máximo para a icerteza o mometo: x p h p h a. Portato, podemos obter um valor míimo da eergia permitido pelo Pricípio da Icerteza: E calculamos, E 1 = h π ma p h m 8ma ( ) =. O valor que é certamete maior que esse limite. C E D E R J 53

Itrodução à Mecâica Quâtica O poço de potecial ifiito PARIDADE DA FUNÇÃO DE ONDA Verificamos, assim como acoteceu o caso do poço fiito, que as soluções que ecotramos são pares ou ímpares. As fuções descritas pela Equação (14.10) satisfazem ψ (-x) = ψ m (x) e são, portato, fuções pares de x, equato as descritas pela Equação (14.11) satisfazem ψ (-x) = -ψ m (x) e são, portato, fuções ímpares de x. Pode ser mostrado que essa divisão das autofuções ψ (x) em autofuções de paridade defiida (par para o primeiro grupo, ímpar para o segudo) é uma coseqüêcia direta do fato de o potecial ser simétrico em toro de x = 0, ou seja, V(-x) =V(x). As fuções de oda pares terão um úmero par de odos, e as ímpares, um úmero ímpar de odos. Como coseqüêcia disso, quado ordeamos as fuções de oda de forma crescete em relação à sua eergia, as fuções de oda vão ser, alteradamete, pares e ímpares, com o estado fudametal sedo sempre uma fução par. Como vimos esta aula, os resultados para o poço de potecial ifiito cocordam com esse resultado, e se revirmos a aula aterior, veremos que também é esse o caso para o poço de potecial fiito. Na próxima aula, veremos o oscilador harmôico, em que também é verificada esta propriedade geral das fuções de oda em poteciais simétricos. O fato de as autofuções da equação de Schrödiger o caso V(-x) = V(x) poderem sempre ser escolhidas como sedo pares ou ímpares simplifica algus cálculos. Em particular, é suficiete obter as autofuções para valores positivos de x, e sabemos que as autofuções ímpares são ulas a origem, e as pares têm derivada ula para x = 0. Com isto vamos coseguir uma maior eficiêcia o estudo dos próximos sistemas quâticos. 54 C E D E R J

ATIVIDADES FINAIS 1. Cosidere uma partícula de massa m em um poço ifiito de largura a. AULA 14 MÓDULO a. Supodo que a partícula esteja o estado fudametal, calcule a desidade de probabilidade como fução de x. Faça um esboço do seu resultado. b. Qual a probabilidade de ecotrar a partícula a metade direita da caixa, ou seja, etre 0 e a/? c. Qual a probabilidade de ecotrá-la a metade cetral da caixa, etre a/4 e a/4? d. Repita os ites a, b e c, supodo agora que a partícula esteja o primeiro estado excitado. RESPOSTA COMENTADA a. No estado fudametal, a fução de oda é dada por πx ψ 1 ( x) = cos a a detro do poço. Assim, a desidade de probabilidade detro do poço é πx p1( x) = ψ 1( x) = cos a a Fora do poço, a desidade de probabilidade é zero, pois ψ(x) = 0. O esboço da desidade de probabilidade está mostrado a seguir: p 1 (x) a/ a/ x C E D E R J 55

Itrodução à Mecâica Quâtica O poço de potecial ifiito b. A probabilidade de ecotrar a partícula a metade direita da caixa é: a πx P a a a dx 1 πx [ 0, ] = cos = cos 1 dx a a + 1 =. 0 Poderíamos ter atecipado esse resultado pela simetria do problema, ou seja, a partícula tem igual probabilidade de estar a metade esquerda ou a metade direita. a 0 c. A probabilidade de ecotrarmos a partícula a metade cetral da caixa é: a 4 π x 1 πx P[ a a ] = dx = d a a a a + 4, 4 cos cos 1 x = 4 4 a 4 1 a π x a + a a a = 1 + 1 se 8%. π π 4 Ou seja, há uma probabilidade maior de ecotrarmos a partícula a região cetral do que próximo às bordas da caixa. a 4 d. No caso de a partícula estar o primeiro estado excitado, a fução de π x oda é dada por ψ ( x) = se detro do poço. Assim, a a π x a desidade de probabilidade detro do poço é p( x) = ψ ( x) = se a a. Fora do poço, a desidade de probabilidade é ovamete zero, pois ψ(x) = 0. O esboço da desidade de probabilidade está mostrado a seguir: p (x) a/ a/ x A probabilidade de ecotrarmos a partícula a metade direita da caixa agora é: a π x 1 4π x 1 P[ 0, a ] = se dx = 1 cos dx a a a a =. 0 Novamete, poderíamos ter obtido este resultado por simetria. a 0 56 C E D E R J

A probabilidade de ecotrarmos a partícula a metade cetral da caixa é: a 4 π x 1 4π x P[ a 4, a 4] = se dx = a a a 1 cos a dx = 4 a 4 1 a a 4π x a 4 a a = 1 se. π 4 a 4 4 AULA 14 MÓDULO Desta vez, há igual probabilidade de ecotrarmos a partícula a região cetral e as regiões laterais da caixa.. Cosidere 8 elétros detro de um poço ifiito de largura a. Supoha que a iteração etre os elétros é fraca, de modo que eles setem apeas o potecial do poço, como se estivessem isolados us dos outros. O Pricípio de Exclusão de Pauli permite apeas que elétros ocupem cada ível, cada um com uma orietação de spi. a. Preechedo cada ível de eergia com elétros, obteha a eergia itera total do sistema de 8 elétros. b. Supoha agora que um agete extero dimiui o tamaho da caixa, comprimido-a de uma largura de a para a - a. Qual a variação da eergia itera do sistema de 8 elétros, o limite a << a? c. Qual o trabalho que o agete extero teve de realizar? RESPOSTA COMENTADA a. Se temos um total de 8 elétros, os 4 íveis de eergia mais baixos estão ocupados com dois elétros cada. Assim a eergia total do sistema será: E = E + T E + E + E = ( ma + + + ) h π 1 4 9 16 = 30h π 1 3 4. ma b. Se dimiuimos o tamaho da caixa para a - a, a ova eergia 30h π itera será E T =. No limite a << a, obtemos m( a a) E 30h π 30h π = ( ) 30h π ( + a a ) T 1 ma 1 a a ma 1 a a ma ( ) A variação da eergia itera é a difereça etre eergia fial e a eergia a iicial: E = E E. Notamos etão que a eergia T T = 60 h π 3 ma itera do sistema aumeta. C E D E R J 57

Itrodução à Mecâica Quâtica O poço de potecial ifiito b. Pela coservação da eergia, o trabalho realizado pelo agete extero é igual à variação de eergia itera do sistema. Portato, W = E = 60h π 3 Se fizermos uma aalogia etre esse problema e o problema de um gás ideal em um recipiete fechado, que estudamos em Física B, chegamos à coclusão de que o sistema de elétros parece estar exercedo pressão sobre as paredes do recipiete. Isto é itrigate, já que apredemos em Termodiâmica que a pressão em um gás surge da trasferêcia de mometo que ocorre as colisões das moléculas do gás e as paredes do recipiete que o cotém, e será tato maior quato maior for a velocidade média das moléculas do gás. Por sua vez, a velocidade média das moléculas do gás é proporcioal à temperatura do mesmo. Assim, em um gás ideal clássico a pressão vai a zero quado a temperatura vai a zero. No etato, o caso quâtico, os elétros exercem pressão sobre as paredes da caixa também o caso em que a temperatura é ula! O surgimeto desta pressão é mais um efeito puramete quâtico. a, ou seja, o trabalho é positivo. ma R E S U M O O poço de potecial ifiito apreseta estados ligados que, assim como o poço fiito, também podem ser pares ou ímpares. As fuções de oda apresetam um úmero de odos que, como o caso do poço fiito, aumeta com a eergia da partícula. INFORMAÇÃO SOBRE A PRÓXIMA AULA Na próxima aula, vamos resolver um dos problemas mais importates da Mecâica Quâtica: o oscilador harmôico. 58 C E D E R J