Métodos Estatísticos 5 - Distribuição Normal Referencia: Estatística Aplicada às Ciências Sociais, Cap. 7 Pedro Alberto Barbetta. Ed. UFSC, 5ª Edição, 2002.
Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades, ou modelo probabilístico, indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual éa probabilidade de cada resultado acontecer.
Exemplo (com var. discreta) Um jogo de azar é realizado da seguinte forma: toma-se um círculo e divide-se-o em duas partes iguais, 1 e 2. Sobre o centro do círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado e anota-se o número do setor onde a ponta do ponteiro parou.
Exemplo 2 1 Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.
Distribuição de Probabilidades x p(x) 1 0,5 2 0,5 0,50 0,50 Total 1 1 2
Exemplo (com var. discreta) Considerar a mesma situação, só que o círculo é dividido em quatro partes iguais. Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.
Exemplo 2 1 3 4 Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.
Distribuição de Probabilidades x p(x) 1 0,25 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3 0,25 4 0,25 Total 1 1 2 3 4
Exemplo 1: com variável aleatória contínua Sobre o centro de um círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado. Anota-se o ângulo formado pelo ponteiro com o eixo horizontal, como na figura a seguir.
Exemplo 1 α Construir a distribuição de probabilidades para o ângulo (α) obtido neste experimento.
X = variável aleatória que indica o ângulo formado 1 360 f(x) Área = 1 0 o 360 o x
Exemplo 1 Qual é a probabilidade de se obter um ângulo entre 30 o e 60 o?
Exemplo 1 f(x) 1 360 P(30 o < X < 60 o ) = área = 0,0833 0 o 30 360 x o 60 o o
Exemplo 2 Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X a sua altura, em centímetros. Apresenta-se, a seguir, uma possível distribuição de probabilidades para este caso.
Exemplo 2 f(x) 130 140 150 160 170 180 190 200 210 x altura (em cm.)
Exemplo 2 Representar: o evento: o estudante selecionado ter 180 cm ou mais (X 180) e a probabilidade deste evento, isto é, P(X 180)
Exemplo 2 f(x) P(X 180) 130 140 150 160 170 180 190 200 210 x altura (em cm.) X 180
Distribuição f(x) Normal f ( x) = 1 e σ 2π 1 x µ ( ) 2 σ 2 µ x µ: média σ: desvio padrão
Características Área = 1 µ x
Características A variável aleatória pode assumir valores de - a +. 8 8 µ x
Características Identificada pela média (µ) e pelo desvio padrão (σ). σ µ x
Média e Desvio Padrão mesmo σ e diferentes µ µ 1 µ 2 x
Média e Desvio Padrão mesmo µ e diferentes σ σ = 2 σ = 4 µ X
Características Simetria em relação à média. 50% µ x
Características A área sob a curva entre a média e um ponto qualquer é função da distância padronizada entre a média e aquele ponto. Distância padronizada - distância expressa em função do número de desvios padrão (distância dividida pelo desvio padrão).
Exemplo área = 68,3% µ-σ µ µ+σ
Exemplo área = 95,4% µ-2σ µ µ+2σ
Exemplo área = 99,7% µ-3σ µ µ+3σ
Normal Padronizada z = x - µ σ z - variável normal padronizada x - variável normal µ - média σ - desvio padrão
Normal Padronizada σ (µ-2σ) (µ-σ) µ (µ+σ) (µ+2σ) x -2-1 0 1 2 z
Exemplo Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admita que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm. Qual o escore padronizado de um estudante com 190 cm?
Exemplo x = 190 cm z = x - µ σ 190-170 = = 20 = 2 10 10
Exemplo µ = 170 σ = 10 170 0 190 2 x z
Exemplo σ µ = 170 σ = 10 140 150 160 170 180 190 200-3 -2-1 0 1 2 3 x z
Exemplo P(X<190) = P(Z<2) 170 190 x 0 2 z
Exercício 1: Uso da tabela Com base na tabela da normal padronizada, calcular: a) P(Z > 1) 0,1587 (tabela) 0 +1 z
Exercício 1 Com base na tabela da normal padronizada, calcular: b) P(Z > 1,23) 0,1093 (tabela) 0 1,23 z
Exercício 1 c) P(-2 < Z < 2) 0,0228 (tabela) -2 0 2 z P(-2 < Z < 2) = 1-2.(0,0228) = 0,9554
Exercício 2 Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admitindo que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm, qual a probabilidade do estudante sorteado ter altura superior a 185 cm?
Exercício 2: resp. x = 185 cm (µ = 170, σ = 10) z =? z = x - µ σ 185-170 = = 15 = 1,5 10 10
Exercício 2: resp. P(Z > 1,5) 0,0668 (tabela) 0 1,5 z
Aproximação da Binomial pela Normal Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal com média n.π e variância n.π.(1- π).
Exemplo Seja X o número de caras em 10 lançamentos de uma moeda perfeitamente equilibrada. X é binomial com n = 10 e π = 0,5
Exemplo P(X) 0,205 0,246 0,205 0,117 0,117 0,044 0,001 0,01 0,044 0,01 0,001-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 número de caras (X)
Exemplo Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 caras? P(X>6) = P(7) + P(8) + P(9) + P(10) = 0,117 + 0,044 + 0,010 + 0,001 = 0,172
Exemplo P(X) 0,205 0,246 0,205 P(X>6) = 0,172 0,117 0,117 0,044 0,001 0,01 0,044 0,01 0,001-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Pela normal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
Exemplo Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 caras? (usando a normal)
Exemplo P(X>6,5) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
Exemplo P(X>6,5) 5 6,5 x
Exemplo µ = 5 σ = 1,581139 x = 6,5 z = x - µ σ 6,5-5 = = 0,95 1,581139
Exemplo 0,1711 0 0,95 z Lembrando: a probab. exata (pela binomial) era de 0,1720