Métodos de Resposta em Frequência Parte 1 Controle de Sistemas Renato Dourado Maia (Unimontes) 1
Introdução Os métodos de resposta em frequência, desenvolvidos por Nyquist e Bode nos anos 30, são mais antigos do que o método do lugar das raízes, desenvolvido por Evans em 1948. 2
Introdução A resposta em frequência produz um novo enfoque vantajoso, a partir do qual podemos tratar os sistemas de controle com retroação. Essa técnica é vantajosa nas seguintes situações: 1. Determinação experimental de funções de transferência. 2. Projeto de compensadores em avanço e atraso de fase. 3. Estudo da estabilidade de sistemas não lineares. 4. Remoção de ambiguidades existentes no Lugar das Raízes. 3
Introdução O Analisador Dinâmico de Sinal HP 35670A obtém dados de resposta em frequência de um sistema físico. Os dados exibidos podem ser utilizadospara analisar, projetar, ou determinar um modelo matemático para o sistema. 4
Introdução Nosso objetivo é estudar a resposta de sistemas, em estado estacionário, a um sinal de entrada senoidal. Já sabemos que a saída é também um sinal senoidal, de igual frequência, mas com amplitude e fase diferentes das de entrada. Será examinada a função de transferência G(s) quando s = jw, além de formas de apresentar como o número complexo G(jw) varia em função de w. 5
Introdução Mola Massa Amortecimento viscoso Entrada Saída 6
Análise de Resposta em Frequência Saída em Estado Estacionário para Entrada Senoidal: Seja um sistema LTI, tal que Y(s) = T(s)R(s): Considerando uma entrada senoidal: r() t = Asen( ωt) Já sabemos que a saída do sistema, em estado estacionário é: 7 lim y( t) = A T ( jω) sen( ωt + φ), φ = T( jω) t
Análise de Resposta em Frequência Portanto, o sinal de saída em estado estacionário, considerando T(s) estável, depende apenas da amplitude e da fase de T(jw), numa dada frequência w. 8
Análise de Resposta em Frequência O projeto de um sistema de controle no domínio da frequência fornece informações a respeito da faixa de passagem do sistema, e pode ser interpretado como uma medida de sua resposta a ruídos e perturbações indesejáveis. 9 A representação gráfica do módulo e da fase de T(jw) em função de w ajuda enormemente no entendimento do comportamento do sistema e no projeto de controladores.
Análise de Resposta em Frequência A desvantagem básica dessa abordagem é a falta de uma conexão direta e clara entre as respostas no domínio do tempo e da frequência. Na prática, as características da resposta no domínio da frequência que redundam em uma resposta temporal satisfatória são ajustadas por critérios de projeto conhecidos. 10
A função de transferência de um sistema, G(s), pode ser descrita no domínio da frequência pela relação: G( j ) = G s) = R( ω) + jx( ω) ω ω ( s= j com: R( ω) = Re[ G( jω)] e X ( ω) = Im[ G( jω)] Alternativamente, pode-se utilizar a forma polar: G j G j e G φ( jω) ( ω) = ( ω) = ( ω) φω ( ) 11 com: 1 X ( ω) 2 φω ( ) = tan e G( ω) = + R( ω) [ R( ω) ] [ X( ω) ] 2 2
12 Exemplo: circuito RC: 1 1 1 1 Gs ( ) = G( jω), ω 1 src + 1 = jω( RC) + 1 = j( ωω) + 1 = RC O gráfico polar é traçado partindo da relação: 1 j( ωω) 1 ( ωω) G( jω) = R( ω) + jx( ω) = = j ( ωω) 1 1 ( ) ωω) 1 1 2 2 1 + + ωω1 1 + ( 1 Na forma polar: 1 1 G( jω) = G( ω) φω ( ) G( ω) =, e φω ( ) = tan ( ω/ ω 2 1) 1 + ( ω/ ω ) Desenha-se o gráfico com a parte real nas abcissas e a parte imaginária nas ordenadas. 1 1 2
A resposta em frequência pode ser graficamente representada de três maneiras: 1. Diagrama de Bode, ou Diagrama Logarítmico. 2. Diagrama de Nyquist, ou Diagrama Polar. 13 3. Carta de Nichols, ou Magnitude Logarítmica x Digrama de Fase. Diagrama Logarítmico? n [ ab] log nlog a nlog b log c log d cd = + Essa propriedade justifica a utilização do logaritmo...
O logaritmo do módulo da função de transferência é normalmente expresso em decibéis, db: ganho logarítmico = 20log G( ω) 10 No diagrama de Bode, o ganho logarítmico, que é o módulo em db, é traçado em um gráfico, e o ângulo de G(jw), em outro. 14
Para o Circuito RC do Slide 12: 1 1 2 2 20log G = 20log 10log[1 ( ωrc) ] 2 1 ( ωrc) = + + Para frequências baixas: ω <<1 RC O ganho logarítmico aproxima-se de 10 log(1) = 0dB. Para frequências altas: ω >>1 RC O ganho logarítmico aproxima-se de 20log( ωrc). 15 Para a frequência de corte, ω =1 RC : 20log G = 10log 2 = 3.01dB
As curvas de resposta em frequência são traçadas determinando-se os módulos e argumentos da função em várias frequências ao longo da parte positiva do eixo imaginário. 16
17 Gráficos de Resposta em Frequência
Para frequências altas: 20log G = 20logωτ = 20logω 20logτ τ A assíntota para w >> 1/ é uma linha reta com inclinação de -20dB/década... τ = RC é a constante de tempo. 18
Diagrama Logarítmico ou de Bode para G(s) = 1/(s + 2) 0,1 Freqüência (rad/s) Fase (graus) 19 0,1 Freqüência (rad/s)
Diagrama Polar ou de Nyquist para G(s) = 1/(s + 2) 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, 5 0, 1 0,05 0,10 0,15 0,20 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 0, 5 0, 2 0, 3 0, 4 0,25 20 Nota:
21 G( jω) = Função de Transferência Genérica: K Q (1 + jωτ ) b i i= 1 M R N 2 ( jω) (1 + jωτ m) [1 + (2 ξk / ωnk ) jω + ( jω / ωnk ) ] m= 1 k= 1 Módulo Logarítmico: Q M N b + + ωτ i ω + ωτ m i= 1 m= 1 20log K 20 log 1 j 20log ( j ) 20 log 1 j R 2ξ k jω 20 log 1+ jω + k = 1 ωnk ωnk O gráfico de módulo pode ser determinado adicionando-se as partes de cada fator... 2
Para a Fase: 2ξω ω Q M R 1 1 1 k nk i N m 2 2 i= 1 m= 1 k= 1 ωnk ω φ( ω) = tan ωτ (90 ) tan ωτ tan Assim, os tipos de fatores que podem aparecer numa função de transferência são: 22 1. Ganho constante Kb; 2. Polos ou zeros na origem: 3. Polos ou zeros no eixo real: jω jωτ +1 4. Polos ou zeros complexos conjugados: ( ξ w ) jω ( jωω) 2 [1+ 2 + ] n n
Resumindo: para se obter a curva da função completa, basta somar as curvas de cada fator. Esse procedimento pode ainda ser simplificado por meio da utilização das assíntotas de cada curva, determinando-se a resposta precisa apenas em pontos importantes de maior interesse. 23
Ganho constante Kb: 20log K = constante em db, φω ( ) = 0 b Se Kb < 0, o módulo se mantém, mas a fase passa a ser -180º... Polos ou Zeros na Origem: 24 Pólo: Zero: 1 20 log -20log ω, φω ( ) 90 jω = = 20 log jω = +20log ω, φω ( ) =+ 90
Polos ou Zeros no Eixo Real: Para um polo ou zero localizado em -1/ τ 1 20 log = -10log(1+ ), ( ) = tan 1+ jωτ 2 2 1 ω τ φ ω ωτ 25
G(s) = (s + a): Freqüência a Fase (graus) rad/s Assintótica Real Assintótica Real 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 15,56 26,02 32,04 35,56 38,06 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,17 0,64 1,34 2,15 3,01 6,99 12,30 15,68 18,13 20,04 26,03 32,04 35,56 38,06 40,00 0,00 0,57 0,00 1,15 0,00 2,29 0,00 3,43 0,00 4,57 0,00 5,71 13,55 11,31 27,09 35,02 40,64 45,00 58,55 72,09 80,02 85,64 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 21,80 30,96 38,66 45,00 63,43 75,96 80,54 82,87 84,29 87,14 88,57 89,05 89,28 89,43 26
G(s) = (s + a): Inclinação = + 6 db/oitava = +20 db/década 0,01 0,11 Freqüência (rad/s) Fase (graus) Inclinação = 45 /década 0,01 0, 1 Freqüência (rad/s) a. Magnitude. b. Fase. 27
G(s) = (s + a): Real Aproximação assintótica 0,1 Freqüência (rad/s) a Magnitude 28
G(s) = (s + a): Fase (graus) Aproximação assintótica Real 0,1 Freqüência (rad/s) a Fase. 29
/oitava /década /oitava /década 0,01 0,1 Freqüência 0,01 0,1 Freqüência a. G(s) = s. b. G(s) = 1/s. Fase (graus) 0,01 0,1 Freqüência Fase (graus) 0,01 0,1 Freqüência c. G(s) = (s + a). d. G(s) = 1/(s + a). 40 0,01 0,1 Freqüência a /oitava /década 0,01 0,1 Freqüência a /oitava /década Fase (graus) /década Fase (graus) década 0,01 0,1 Freqüência a 0,01 0,1 Freqüência a 30
Polos ou Zeros Complexos Conjugados: O fator quadrático correspondente a um par de polos complexos conjugados pode ser escrito na forma normalizada: u = ω + j u u ω n 2 (1 2 ξ ) Assim, para o caso de polos complexos conjugados,o módulo é: 2 2 2 2 1 2ξ u -10log[(1+u ) +4ξ u ], φω ( ) = tan 2 1 u 31
Polos ou Zeros Complexos Conjugados: Quando u << 1: 20 log G -10 log1 = 0 db, φω ( ) 0 Quando u >> 1: 4 20 log -10 log 40 log, ( ) 180 G u = u db φω resultando numa curva de inclinação -40dB/década. 32 As duas assíntotas se encontram na linha de 0 db, quando u = w/wn = 1.
Zeros Complexos Conjugados: Inclinação = 12dB/oitava = 40 db/década 0,01 0,1 Fase (graus) Inclinação = 90 /década 0,01 0,1 a. Magnitude. b. Fase. 33
A aproximação assíntótica independe do valor do coeficiente de amortecimento... Falta, então, analisar a influência desse parâmetro. O valor máximo do módulo, Mpw, ocorre na frequência de ressonância, wr. A frequência de ressonância é determinada tomandose a derivada do módulo e igualando-a a zero. Assim: 34 ω ω ξ ω ξ ξ ξ 2 2 r = n 1 2 e G( r) = 1 (2 1 ), para < 2 2
Pólos Complexos Conjugados Assíntota de baixa frequência 0,1 0,2 0,3 0,5 Assíntota de alta freqüência 0,7 1,0 1,5 0,1 Magnitude. 35
Pólos Complexos Conjugados Fase (graus) 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 1,0 1,5 Assíntota 0,1 Fase. 36
Pólos Complexos Conjugados 37
Frequência de Ressonância e Ganho Máximo X Coeficiente de Amortecimento, para um Par de Polos Complexos Conjugados: 38
Curvas Assintóticas para os Termos Básicos de uma Função de Transferência: 39