AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES

MATEMÁTICA I AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

Parte 1 Conjuntos numéricos A reta real Intervalos Numéricos Valor absoluto de um número Potências Produtos notáveis e binômio de Newton Parte 2 Função Variáveis Traçando Gráficos Domínio e Imagem Família de Funções Funções Polinomiais Funções Exponenciais e Logarítmicas Funções Trigonométricas

CONJUNTOS NUMÉRICOS São, em geral, subconjuntos de R, o conjunto dos números reais. Números naturais N: São os números empregados em processos de contagem. Exemplos: 0,1, 2, 3, 4,... Números Inteiros Z : São os números empregados em processos de contagem, acrescidos de seus opostos. Exemplos:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... Números racionais Q : É o conjunto de todos os números que podem ser escritos como quocientes a, b 0. b Exemplos: 1 4, 1 18, 1 2, 7 10, 10 50, 20 20,... Números irracionais Q ou I : Todos os números reais que não são racionais Exemplos: π = 3,141592653589793, 2 = 1,414213562373095,

CONJUNTOS NUMÉRICOS Exemplo 1.1 números abaixo pertencem Verifique a qual ou quais conjuntos numéricos os a) 7 b) 0,7 c) 7 d) 7 0 e) 7 f) 0 7 OBS.: 7 = 2,645751311064591 C R Q Z N I

A RETA REAL Números reais podem ser representados por pontos em uma reta r, tal que a cada número real a corresponda exatamente a um ponto sobre a reta r, e reciprocamente. Exemplo. Represente o conjunto 3; 5; 2 3 ; real. 5; 1,5; π sobre uma reta R

INTERVALOS NUMÉRICOS O intervalo fechado a, b é o conjunto de todos números reais x tais que a x b. a, b = x R: a x b Costumamos simplificar a notação acima como {x : a x b}, a, b = x: a x b ficando entendido que x R.

INTERVALOS NUMÉRICOS O intervalo aberto e os intervalos semi-abertos são os conjuntos: O intervalo infinito, é toda a reta real R. Um intervalo semi-infinito pode ser aberto ou fechado.

INTERVALOS NUMÉRICOS Os intervalos abertos e fechados são descritos por desigualdades. Representação: Generalizando, para todo c R, Representação: Nesse caso o intervalo a, b = c r, c + r, onde c = a+b 2 e r = b a 2

INTERVALOS NUMÉRICOS Exemplo 2.2 (Descrevendo desigualdade com intervalo) Descreva o conjunto S = x: 1 2 x 3 > 4 em termos de intervalos. Solução. É mais fácil considerar primeiro a desigualdade oposta 1 2 x 3 4, assim 1 x 3 4 4 1 x 3 4 4 + 3 1 x 3 + 3 4 + 3 2 2 2 1 1 x 7 1 2 1 x 2 7 2 2 x 14 2 2 Note que 1 2 x 3 4 está satisfeito quando x 2, 14. O conjunto S é o complementar, consistindo em todos números x que não estão em 2, 14, ou seja, S =, 2 14, Representação.

VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO O valor absoluto de um número real x, denotado por x, é definido por: x = distância da origem = Representação x, se x 0 x, se x < 0 x x Distância entre dois números reais A distância entre dois números reais a e b é b a, que é o comprimento do segmento de reta que liga a a b

VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO Observação. a + b não é igual a a + b A menos que a e b tenham o mesmo sinal ou pelo menos um dos dois for zero. Se a e b tiverem sinais opostos, então a + b < a + b Por exemplo, 2 + 5 = 2 + 5 2 + 5 = 3 < 7 = 2 + 5. Em todo caso, a + b nunca é maior do que a + b e assim temos a importante desigualdade triangular:

POTÊNCIAS Definição. Se a 0 e n N, então a expressão a n é chamada de potência na base a e expoente n. Note que: = 1 a n+1 = a a n a 0 Exemplo: 10 0 = 1 10 1 = 10 10 0 = 10 10 2 = 10 10 1 = 100 10 3 = 10 10 2 = 1.000 10 4 = 10 10 3 = 10.000 Propriedades: Se a 0 e m, n N então: i) a m a n = a m+n ii) iii) iv) a m a n = am n a m n = a m n a b n = a n b n

POTÊNCIAS Potência com expoente negativo Se a 0 e n N, então a n = 1 a n Exemplo: 10 1 = 1 10 = 0,1; 10 2 = 1 10 10 1 = 1 100 = 0,01 10 3 = 1 10 10 2 = 1 1.000 = 0,001;... Potência fracionária Se a > 0 e m, n N, então a n m m = a n Exemplo: 10 3 2 3 = 10 2

PRODUTOS NOTÁVEIS x + a x a = x 2 a 2 x + a 2 = x 2 + 2ax + a 2 x a 2 = x 2 2ax + a 2 x + a 3 = x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a 3 x a 3 = x 3 3ax 2 + 3a 2 x a 3 BINÔMIO DE NEWTON x + a n = x n + n 1! axn 1 + n n 1 2! a 2 x n 2 + n n 1 n 2 3! a 3 x n 3 + + n n 1 n 2 2 n 1! a n 1 x 1 + a n, n > 1 inteiro.

Parte 1 Conjuntos numéricos A reta real Intervalos Numéricos Valor absoluto de um número Potências Produtos notáveis e binômio de Newton Parte 2 Função Variáveis Traçando Gráficos Domínio e Imagem Família de Funções Funções Polinomiais Funções Exponenciais e Logarítmicas Funções Trigonométricas

FUNÇÕES Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantidade depende de outra. Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz, que cunhou o termo função para indicar a dependência de uma quantidade em relação a uma outra, conforme a definição a seguir. DEFINIÇÃO 2.1. Se uma variável y depende de uma variável x de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x. Três maneiras usuais de representar funções são: Numericamente com tabelas Geometricamente com gráficos Algebricamente com fórmulas

FUNÇÕES Na metade do século XVIII, o matemático suíço Leohnard Euler concebeu a ideia de denotar funções pelas letras do alfabeto, tornando possível, desse modo, trabalhar com funções sem apresentar fórmulas específicas, gráficos ou tabelas. Para entender a ideia de Euler, pense em um sistema de nutrição em que estamos interessados na relação entre um determinado tratamento com a matéria seca Tratamento x (adição de nitrogênio na ração) Matéria Seca y Tratamento x Matéria Seca y (adição de nitrogênio no solo) Desta forma, existe um mecanismo de causa-efeito para o animal ou planta que atua no processo do substrato DEFINIÇÃO 2.2. Uma função ƒ é uma regra que associa uma única saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por x, então a saída é denotada por ƒ(x) (leia-se ƒ de x ).

FUNÇÕES - VARIÁVEIS Para uma dada entrada x, a saída de uma função f é denominada valor de f em x, ou imagem de x por f. Muitas vezes denotamos a saída de uma função por uma letra, digamos y, e escrevemos y = f(x) A variável x é denominada variável independente ou argumento de f A variável y é denominada variável dependente de f. Essa terminologia tem o objetivo de sugerir que x está livre para variar, mas, uma vez dado um valor específico para x, o valor correspondente de y está determinado.

FUNÇÕES - VARIÁVEIS Se ƒ for uma função de uma variável real a valores reais, então o gráfico de ƒ no plano xy é definido como sendo o gráfico da equação y = ƒ(x). Por exemplo, o gráfico da função ƒ(x)= x é o gráfico da equação y = x

FUNÇÕES - VARIÁVEIS

FUNÇÕES - VARIÁVEIS Os gráficos podem fornecer informação visual importante sobre uma função. Por exemplo, como o gráfico de uma função f no plano xy é o gráfico da equação y = f(x), os pontos do gráfico são da forma (x, f(x)) ou seja, a coordenada y de um ponto do gráfico de f é o valor de f na coordenada x correspondente

FUNÇÕES - VARIÁVEIS Os valores de x para os quais f(x) = 0 são as coordenadas x dos pontos nos quais o gráfico de f intercepta o eixo x. Esses valores são denominados zeros de f raízes de f(x) = 0 pontos de corte de y = f(x) com o eixo x.

FUNÇÕES - VARIÁVEIS

FUNÇÕES TRAÇANDO GRÁFICOS O traçado de gráficos é uma ferramenta básica no Cálculo, assim como na Álgebra e na Trigonometria. As coordenadas retangulares (ou cartesianas) no plano são definidas pela escolha de dois eixos perpendiculares, o eixo x e o eixo y. y x

FUNÇÕES TRAÇANDO GRÁFICOS A um par (a, b) de números associamos o ponto P localizado na interseção da reta perpendicular ao eixo x em a e a reta perpendicular ao eixo y em b. Os números a e b são as coordenadas x e y de P. A origem é o ponto de coordenadas (0, 0).

FUNÇÕES TRAÇANDO GRÁFICOS Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, etiquetados de I a IV, determinados pelos sinais das coordenadas. Por exemplo, o quadrante III consiste nos pontos (x, y) tais que x < 0 e y < 0.

FUNÇÕES DOMÍNIO E IMAGEM Se x e y estão relacionados pela equação y = f(x), então o conjunto de todas as entradas permitidas (os valores de x) é denominado domínio de f. o conjunto de todas as saídas (os valores de y) que resultam quando x varia sobre o domínio é denominado imagem de f. Exemplo. Se f é a função definida pela tabela ao lado abaixo, então: o domínio é o conjunto D f ={0, 1, 2, 3} a imagem é o conjunto Im f ={3, 4, 1, 6}.

FUNÇÕES DOMÍNIO E IMAGEM Às vezes, considerações físicas ou geométricas impõem restrições sobre as entradas permissíveis de uma função. Por exemplo, se y denota a área de um quadrado de lado x, então essas variáveis estão relacionadas pela equação y = x 2. Embora essa equação produza um único valor de y para cada número real x, o fato de que os comprimentos devem ser números não-negativos impõe a exigência que x 0. D f = x: x 0

FUNÇÕES DOMÍNIO E IMAGEM Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, a fórmula em si pode impor restrições sobre as entradas permissíveis. Por exemplo: se y = 1, então x = 0 não é uma entrada válida x pois divisão por zero não está definida. D f = x: x 0 se y = x, então valores negativos de x não são entradas válidas, pois produzem valores imaginários de y. D f = x: x 0

FUNÇÕES DOMÍNIO E IMAGEM O domínio e a imagem de uma função f podem ser identificados projetando o gráfico de y = f(x) sobre os eixos coordenados

FUNÇÕES DOMÍNIO E IMAGEM Em alguns casos explicitamos o domínio ao definir uma função. Por exemplo, se f x = x 2 é a área de um quadrado de lado x, então podemos escrever f x = x 2, x 0 para indicar que tomamos o domínio de f como sendo o conjunto dos números reais não-negativos

FAMÍLIA DE FUNÇÕES As funções são, frequentemente, agrupadas em famílias de acordo com a forma das fórmulas que as definem ou outras características comuns.

FUNÇÕES FAMÍLIA DE CURVAS O gráfico de uma função constante ƒ(x) = c é o gráfico da equação y = c, que é a reta horizontal. Se variarmos c, obteremos um conjunto ou uma família de retas horizontais.

FUNÇÃO LINEAR Uma função linear é uma função do tipo f x = mx + b, sendo m e b constantes reais O gráfico de f x é uma reta de inclinação m e, como f 0 = b, o gráfico intersecta o eixo y no ponto (0, b). Usamos os símbolos Δx e Δy para denotar a variação (ou incremento) em x e y = f x ao longo do intervalo x 1, x 2.

FUNÇÃO LINEAR

FUNÇÃO LINEAR Uma função linear se caracteriza por representar um crescimento ou decrescimento constantes. Qualquer mudança na variável independente causa uma mudança proporcional na variável dependente.

FUNÇÃO LINEAR Dada uma função linear f x = mx + b, se m > 0, o gráfico será inclinado para a direita, ou seja, será uma função crescente; y f x x se m < 0, o gráfico será inclinado para a esquerda, ou seja, será uma função decrescente; y x f x se m = 0, o gráfico não terá inclinação, ou seja, será uma função constante; y f x x

FUNÇÃO LINEAR Observações Se mantivermos b fixo e tratarmos m como um parâmetro, obteremos uma família de retas cujos membros têm, todos, o mesmo corte em b com o eixo y. Se mantivermos m fixo e tratarmos b como um parâmetro, obteremos uma família de retas paralelas cujos membros têm, todos, a mesma declividade m.

FUNÇÕES QUADRÁTICAS

FUNÇÃO QUADRÁTICA Uma função quadrática é uma função definida por um polinômio quadrático f x = ax 2 + bx + c sendo a, b e c constantes, com a 0. O gráfico de f x é uma parábola A parábola tem concavidade para cima se o coeficiente dominante a for positivo a > 0. A parábola tem concavidade para baixo se a for negativo a < 0. O discriminante de f x é a quantidade Δ = b 2 4ac

FUNÇÃO QUADRÁTICA Se f x = ax 2 + bx + c, as raízes de f x são dadas pela fórmula quadrática ou de Bhaskara. b ± 2a Δ O sinal de Δ determina se f x tem ou não tem raízes reais a > 0 e Δ > 0 a > 0 e Δ = 0 a > 0 e Δ < 0 a < 0 e Δ > 0 Quando f x tem duas raízes reais e r 1 e r 2, então f x pode ser fatorado como f x = a x r 1 x r 2

FUNÇÕES POLINOMIAIS

FUNÇÕES POLINOMIAIS Para todo número real n, a função f x = x n é denominada função potência de expoente n. Um polinômio é a soma de múltiplos de funções potência de expoentes naturais. Exemplo: f x = x 5 5x 3 + 4x OBS.: A função f x = x + x 1 não é um polinômio, pois inclui uma função potência x 1 de expoente negativo. Gráfico da função f x = x 5 5x 3 + 4x

FUNÇÕES POLINOMIAIS O polinômio geral na variável x pode ser escrito P x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e é denominado função polinomial de grau n. Os números a 0, a 1,, a n 1, a n são denominados coeficientes. O grau de P x é n (supondo que a n 0). O coeficiente a n é denominado coeficiente dominante. O domínio de P x é R.

FUNÇÕES POLINOMIAIS Note que: A função f x = mx + b é uma função polinomial de grau 1, sendo: a 1 = m 0 e a 0 = b, com m e b constantes. A função f x = ax 2 + bx + c é uma função polinomial de grau 2, sendo: a 2 = a 0, a 1 = b e a 0 = c, com a, b e c constantes.

OBSERVAÇÃO A RESPEITO DAS FUNÇÕES LINEARES Não confunda m com θ: Considere o gráfico abaixo: O ângulo θ é formado pela reta y e pelo ponto P. M θ P y Esse ângulo θ é a inclinação da reta tangente e é o valor do seu coeficiente angular. Assim, m = tg θ Exemplo. Se θ = 60 então o coeficiente angular da reta é: m = tg 60 = 3

FUNÇÕES EXPONENCIAIS

FUNÇÕES EXPONENCIAIS A função f x = b x onde b > 0, é denominada função exponencial de base b. Alguns exemplos são A função f x = b x é crescente se b > 1 e decrescente se b < 1. 1 1

FUNÇÕES EXPONENCIAIS

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Considere a > 0 e a 0, assim a função logarítmica com base a é: denotada por f x = log a x ou y = log a x a relação inversa da função exponencial a y = x Os gráficos de y = log a x quando variamos os valores da base a > 1 são: Note que sempre que x = 1 log a x = 0, assim o gráfico de todas as funções logarítmicas passam pelo ponto 1,0.

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Propriedades. Se x e y forem números positivos, então: Exemplo:

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Logaritmos Naturais. De todas as possíveis bases a para os logaritmos, uma escolha conveniente para uma base é e. O logaritmo na base e é chamado logaritmo natural e tem uma notação especial: log e x = ln x Propriedades 1) ln x = y e y = x 2) ln e x = x, para todo x R 3) e ln x = x, para todo x > 0 4) ln e = 1 5) Para todo número positivo a 1, log a x = ln x ln a

CONTEÚDO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Começamos nossa revisão de Trigonometria recordando os dois sistemas de medição de ângulos: radianos e graus. Esses sistemas são melhor descritos usando a relação entre ângulos e rotação. Utilizamos a letra grega minúscula teta (θ), para denotar ângulos e rotação.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Cada ângulo tem uma medida em radianos única satisfazendo 0 θ 2π. Com essa escolha, o ângulo θ subentende um arco de comprimento θ r num círculo de raio r.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Para converter: Radianos em graus: multiplique por 180 Graus em radianos: multiplique por π Exemplo 1. Converta: (a) 55 o em radianos. Solução: 55 o π 180 (b) 0,5 rad em graus. 0,9599 rad π 180 Radianos Graus 0 0 o π 30 o 6 π 45 o 4 π 60 o 3 π 90 o 2 Solução: 0,5 rad 180 π 28,648o

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS As funções trigonométricas sen θ e cos θ são definidas em termos de triângulos retângulos. Seja um ângulo agudo num triângulo retângulo e denotemos os lados então

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Seja P = (x, y) um ponto no círculo unitário correspondente ao ângulo θ então cos θ = coordenada x de P sen θ = coordenada y de P Note que:

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Quatro ângulos padrão: as coordenadas x e y dos pontos são cos θ e sen θ. Tabulando esses dados, temos que:

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Função Seno: f θ = sen θ O gráfico de y = sen θ é gerado quando o ponto percorre o círculo unitário. O gráfico de y = sen θ é a conhecida onda senoidal ou, simplesmente, senóide

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Função Cosseno: f θ = cos θ O gráfico de y = cos θ tem o mesmo formato do gráfico da seno, mas é transladado π 2 unidades para a esquerda. Os sinais de sen θ e cos θ variam quando o ponto P = (cos θ, sen θ ) do círculo unitário muda de quadrante

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Função Periódica Uma função f x é dita periódica de período T se f x + T = f x (para cada x ) e T é o menor número positivo com essa propriedade. As funções seno e cosseno são periódicas com período T = 2π Pois os ângulos que diferem por um múltiplo inteiro de 2πk correspondem ao mesmo ponto do círculo unitário

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Identidades Trigonométricas

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

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