REVISÃO DE PRÉ-CÁLCULO

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1 REVISÃO DE PRÉ-CÁLCULO Cálculo é fundamentado na Álgebra, Geometria Analítica e Trigonometria. Neste capítulo, revisaremos alguns dos conceitos, O dos fatos e das fórmulas básicas utilizadas em todo o teto. Na última seção, discutiremos algumas maneiras pelas quais os recursos computacionais podem ser utilizados para reforçar o seu entendimento visual de funções e de suas propriedades.. Números reais, funções e gráfi cos As funções são uma das ferramentas mais importantes de que dispomos para a análise de fenômenos. Os biólogos têm estudado o peso das armas do veado macho em função da idade (ver p. 6). Começamos nossa revisão com uma breve discussão de números reais. Assim, teremos a oportunidade de relembrar algumas propriedades básicas e a notação padrão. Um número real é um número representado como um decimal, ou epansão decimal. Há três tipos de epansões decimais: finitas, periódicas ou infinitas não-periódicas. Por eemplo, O número é representado por um decimal finito, enquanto que é representado por um decimal periódico, também denominado dízima periódica. A barra sobre 4857 indica que essa seqüência se repete indefinidamente. A epansão decimal de é infinita mas não é periódica. O conjunto de todos números reais é denotado por R, em negrito. Quando não há risco de confusão, referimo-nos a números reais simplesmente como números. Também utilizamos o símbolo padrão para a frase pertence a. Assim, a R é lido como a pertence a R Os aiomas dos números reais e algumas propriedades adicionais não cobertas nesta seção podem ser encontradas no Apêndice B. O conjunto dos inteiros é usualmente denotado pela letra Z (essa escolha vem da palavra Zahl, que significa número em alemão). Assim, Z = {,,, 0,,, }. Um número natural é um número inteiro não-negativo, 0,,,. Um número real é denominado racional se puder ser representado como um quociente p/q, em que p e q são inteiros com q 0. O conjunto dos números racionais é denotado por Q (de quociente ). Números como e que não são racionais são denominados irracionais. Podemos dizer se um número é ou não é racional a partir de sua epansão decimal: números racionais têm epansões decimais finitas ou periódicas e números irracionais têm epansões infinitas que não são periódicas. Além disso, a epansão decimal de um número é única, a menos da eceção seguinte: toda decimal finita é igual a uma decimal infinita em que o dígito 9 se repete. Por eemplo, 0 FIGURA O conjunto dos números reais representado como uma reta. Visualizamos os números reais como pontos de uma reta (Figura ). Por esse motivo, costumamos nos referir aos números reais como pontos. O número 0 é denominado a origem.

2 CÁLCULO a a 0 FIGURA O valor absoluto a. O valor absoluto de um número real a, denotado por a, é definido por (Figura ) a = distância da origem = Por eemplo,, =, e 8,5 = 8,5. O valor absoluto satisfaz b a a 0 FIGURA A distância entre a e b é b a. b A distância entre dois números reais a e b é b a, que é o comprimento do segmento de reta que liga a a b (Figura ). Dois números reais a e b estão próimos um do outro se b a for pequeno e isso ocorre se suas epansões decimais são iguais em até muitas casas. Mais precisamente, se as epansões decimais de a e b forem iguais até a k-ésima casa (à direita da vírgula), então a distância b a é de no máimo 0 k. Assim, a distância entre a =,44 e b =,478 é de no máimo 0, porque a e b coincidem até a segunda casa decimal. De fato, a distância é eatamente,45,478 = 0,006. Atente para o fato de que a + b não é igual a a + b, a menos que a e b tenham o mesmo sinal ou pelo menos um dos dois for zero. Se tiverem sinais opostos, ocorre um cancelamento na soma a + b e a + b < a + b. Por eemplo, + 5 = + 5, mas + 5 =, que é menor do que + 5 = 7. Em todo caso, a + b nunca é maior do que a + b e isso nos dá a simples mas importante desigualdade triangular: Utilizamos a notação padrão para intervalos. Dados números reais a < b, eistem quatro intervalos com etremidades a e b (Figura 4). Cada um desses intervalos têm comprimento b a, mas diferem conforme uma ou ambas etremidades estiverem incluídas. O intervalo fechado [a, b] é o conjunto de todos números reais tais que a b: Costumamos escrever isso mais simplesmente como { : a b}, ficando entendido que é um elemento de R. O intervalo aberto e os intervalos semi-abertos são os conjuntos FIGURA 4 Os quatro intervalos com etremidades a e b. a b Intervalo fechado [a, b] (etremidades incluídas) a b Intervalo aberto (a, b) (etremidades ecluídas) a b Intervalo semi-aberto [a, b) a b Intervalo semi-aberto (a, b] O intervalo infinito (, ) é toda a reta real R. Um intervalo semi-infinito pode ser aberto ou fechado. Um intervalo semi-infinito contém sua etremidade finita: FIGURA 5 Intervalos semi-infinitos fechados. a [a, ) (, b] b

3 CAPÍTULO Revisão de pré-cálculo r < r FIGURA 6 O intervalo ( r, r) = { : < r}. 0 r Os intervalos abertos e fechados são descritos por desigualdades. Por eemplo (Figura 6), Mais geralmente, para qualquer c (Figura 7), r r c r c c + r FIGURA 7 (a, b) = (c r, c + r), onde. Uma afirmação análoga vale para intervalos fechados com < substituído por. Dizemos que r é o raio e c é o ponto médio. Os intervalos (a, b) e [a, b] têm ponto médio e raio (Figura 7). EXEMPLO Descrevendo intervalos com desigualdades [7, ] usando desigualdades. Descreva os intervalos ( 4, 4) e 7 0 FIGURA 8 O intervalo [7, ] é descrito por 0. Solução Temos ( 4, 4) = { : < 4}. O ponto médio do intervalo [7, ] é e seu raio é (Figura 8). Portanto EXEMPLO Descreva o conjunto em termos de intervalos. Solução É mais fácil considerar primeiro a desigualdade oposta. Por (), 0 4 FIGURA 9 O conjunto. No Eemplo utilizamos a notação para representar a união : a união A B dos conjuntos A e B consiste em todos elementos que pertençam a A ou a B (ou a ambos). A coordenada é muitas vezes chamada abscissa e a coordenada ordenada. O termo cartesiano se refere ao filósofo e matemático francês René Descartes ( ), cujo nome em latim era Cartesius. A ele (junto com Pierre de Fermat) é creditada a invenção da Geometria Analítica. Em seu grande trabalho La Géometrie, Descartes usou as letras,, z para variáveis e a, b, c para constantes, uma convenção que tem sido seguida desde então. Assim, está satisfeito quando pertence a [, 4]. O conjunto S é o complementar, consistindo em todos números que não estão em [, 4]. Podemos descrever S como a união de dois intervalos: (Figura 9). Traçando gráficos O traçado de gráficos é uma ferramenta básica no Cálculo, assim como na Álgebra e na Trigonometria. Lembre que as coordenadas retangulares (ou cartesianas) no plano são definidas pela escolha de dois eios perpendiculares, o eio e o eio. A um par (a, b) de números associamos o ponto P localizado na interseção da reta perpendicular ao eio em a e a reta perpendicular ao eio em b [Figura 0(A)]. Os números a e b são as coordenadas e de P. A origem é o ponto de coordenadas (0, 0). Os eios dividem o plano em quatro quadrantes, etiquetados de I a IV, determinados pelos sinais das coordenadas [Figura 0(B)]. Por eemplo, o quadrante III consiste nos pontos (, ) tais que < 0 e < 0. A distância d entre dois pontos e é calculada usando o Teorema de Pitágoras. Na Figura, vemos que é a hipotenusa de um triângulo retângulo de lados e. Portanto, Obtemos a fórmula da distância tomando raízes quadradas.

4 4 CÁLCULO b P = (a, b) a FIGURA 0 Sistema de coordenadas retangulares. (A) (B) P = (, ) FIGURA A distância d é dada pela fórmula da distância. d P = (, ) Fórmula da distância igual a A distância d entre dois pontos P = (, ) e P = (, ) é Uma vez de posse da fórmula da distância, podemos deduzir facilmente a equação de um círculo de raio r e centro (a, b) (Figura ). Um ponto (, ) está nesse círculo se a distância de (, ) a (a, b) for r: Elevando ambos lados ao quadrado, obtemos a equação padrão do círculo: b (a, b) r (, ) Vamos rever, agora, algumas definições e a notação relativa a funções. DEFINIÇÃO Função Uma função f entre dois conjuntos D e Y é uma regra que associa a cada elemento em D um único elemento f () em Y. Simbolicamente, FIGURA O círculo de equação. a Para D, dizemos que f () é o valor de f em (Figura ). O conjunto D é denominado o domínio de f. A imagem R de f é o subconjunto de Y consistindo em todos valores f (): Uma função f : D Y também é denominada aplicação. Os conjuntos D e Y podem ser arbitrários. Por eemplo, podemos definir uma aplicação do conjunto das pessoas vivas no conjunto dos números naturais levando cada pessoa em seu ano de nascimento. A imagem dessa aplicação é o conjunto de anos que ocorrem como anos de nascimento de pessoas vivas. Informalmente, pensamos em f como sendo uma máquina que produz uma saída para cada entrada no domínio D (Figura 4). Domínio D f Y f() FIGURA Uma função é uma regra que associa um elemento f () de Y a cada D. entrada Máquina f f() saída FIGURA 4 Pense em f como uma máquina que pega a entrada e produz a saída f ().

5 CAPÍTULO Revisão de pré-cálculo 5 No Cálculo a várias variáveis, tratamos de funções com uma variedade de domínios e imagens. O domínio pode ser um conjunto de pontos do espaço tridimensional e a imagem um conjunto de números, pontos ou vetores. Na primeira parte deste teto tratamos de funções numéricas, em que ambos o domínio e a imagem são conjuntos de números reais. Essas funções são denotadas tanto por f quanto f (). A letra é a variável independente, que pode tomar qualquer valor do domínio D. Escrevemos = f () e dizemos que é a variável dependente (pois seu valor depende da escolha de ). Quando f for definida por uma fórmula, seu domínio natural é o conjunto de números reais para os quais a fórmula fizer sentido. Por eemplo, a função tem domínio porque está definido se 9 0. Aqui temos mais alguns eemplos de domínios e imagens. f(a) FIGURA 5 (a, f(a)) zero de f() a = f() O gráfico de uma função = f () é obtido esboçando os pontos (a, f (a)) para a no domínio D (Figura 5). Se começarmos em = a no eio, movermos verticalmente para cima até o gráfico e então horizontalmente até o eio, alcançamos o valor f (a). O valor f (a), portanto, é a distância do gráfico acima ou abaio do eio [dependendo de f (a) 0 ou f (a) < 0]. Um zero ou raiz de uma função f () é um número c tal que f () = 0. Os zeros são os valores de nos quais o gráfico corta o eio. No Capítulo 4, utilizaremos o Cálculo para esboçar e analisar gráficos. Neste estágio, para traçar um gráfico à mão, fazemos a tabela dos valores da função, esboçamos os pontos correspondentes (incluindo todos os zeros) e conectamos esses pontos com uma curva lisa. EXEMPLO Encontre as raízes e esboce o gráfico de f () =. Solução Inicialmente, resolvemos = ( ) = 0. As raízes de f () são = 0 e = ±. Para traçar o gráfico, esboçamos as raízes e alguns poucos valores listados na Tabela e juntamos esses pontos com uma curva (Figura 6). 4 TABELA FIGURA 6 O gráfico de f () =. As funções que surgem nas aplicações nem sempre são dadas por fórmulas. Os dados coletados da observação ou eperimentação definem funções que podem ser apresentadas ou graficamente ou com uma tabela de valores. A Figura 7 e a Tabela eibem os dados coletados pelo biólogo Julian Hule ( ) num estudo do peso W das armas do veado macho como uma função da idade t. Veremos que muitas das ferramentas do Cálculo podem ser aplicadas a funções construídas dessa maneira, a partir de dados.

6 6 CÁLCULO Peso das armas W (kg) Idade t (anos) FIGURA 7 O peso médio das armas de um veado macho como função da idade. (, ) (, ) Podemos traçar o gráfico de qualquer equação relacionando e. Por eemplo, para traçar o gráfico da equação 4 =, esboçamos os pares (, ) que satisfazem a equação (Figura 8). Essa curva não é o gráfico de uma função porque há dois valores de para um valor dado de, como =. Em geral, uma curva é o gráfico de uma função se a curva passar no teste da reta vertical: cada reta vertical = a intersecta a curva em no máimo um ponto. Muitas vezes estamos interessados em saber se uma função é crescente ou decrescente. Informalmente, uma função f () é crescente se seu gráfico sobe quando avançamos para a direita e é decrescente se seu gráfico desce [Figuras 9(A) e (B)]. Mais precisamente, definimos os conceitos de crescer/decrescer num intervalo: FIGURA 8 O gráfico de 4 =. Esse gráfico não passa no teste da reta vertical, portanto não é o gráfico de uma função. Crescente em (a, b) se para quaisquer tais que Decrescente em (a, b) se para quaisquer tais que A função na Figura 9(D) não é nem crescente nem decrescente (para todo ) mas é decrescente no intervalo (a, b). Dizemos que f () é não-decrescente se para. As funções não-crescentes são definidas de maneira análoga. A função na Figura 9(C) é não-decrescente mas não é crescente. a b (A) Crescente (B) Decrescente (C) Não-decrescente (D) Decrescente em (a, b) mas não crescente FIGURA 9 Uma outra propriedade importante é a paridade, que se refere a uma função ser par ou ímpar: f () é par se f ( ) = f () f () é ímpar se f ( ) = f () Os gráficos de funções de paridade par ou ímpar têm uma simetria especial. O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eio (também dizemos simétrico pelo eio

7 CAPÍTULO Revisão de pré-cálculo 7 ). Isso significa que se P = (a, b) estiver no gráfico, então Q = ( a, b) também está [Figura 0(A)]. O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem, o que significa que se P = (a, b) estiver no gráfico, então Q = ( a, b) também está [Figura 0(B)]. Uma função pode não ser par nem ímpar [Figura 0(C)]. ( a, b) b (a, b) a a ( a, b) a b b a (a, b) (A) Função par: f( ) = f() O gráfico é simétrico em relação ao eio. FIGURA 0 (B) Função ímpar: f( ) = f() O gráfico é simétrico em relação à origem. (C) Nem par nem ímpar. EXEMPLO 4 Determine se a função é par, ímpar ou nenhum dos dois. (a) (b) (c) Solução (a). Assim, f ( ) = f () e f () é par. (b). Assim, g( ) = g() e g() é ímpar. (c). Vemos que h( ) não é igual a h() = + ou h() =. Portanto, h() não é nem par nem ímpar. EXEMPLO 5 Traçado de gráficos usando simetria Esboce o gráfico de. f() = + Solução A função é positiva [ f () > 0 para todo ] e é par, pois f () = f ( ). Portanto, o gráfico de f () fica acima do eio e é simétrico em relação ao eio. Além disso, f () é decrescente para 0 (já que um valor maior de produz um denominador maior). Usamos essa informação e uma pequena tabela de valores (Tabela ) para traçar o gráfico (Figura ). Observe que o gráfico tende ao eio quando avançamos para a direita ou esquerda, pois f () é pequeno quando é grande. FIGURA Duas maneiras importantes de modificar um gráfico são a translação e a mudança de escala. A translação consiste em mover o gráfico horizontal ou verticalmente. DEFINIÇÃO Translação Translação vertical = f () + c: isso move o gráfico verticalmente por c unidades. Se c < 0, o resultado é um deslocamento para baio. Translação horizontal = f ( + c): isso move o gráfico para a direita por c unidades se c < 0 e c unidades para a esquerda se c > 0. vertical e horizon- A Figura mostra o efeito de transladar o gráfico de talmente.

8 8 CÁLCULO Lembre que f () + c e f ( + c) são diferentes. O gráfico de = f () + c é uma translação vertical e = f ( + c) uma translação horizontal do gráfico de = f (). Translação de uma unidade para cima Translação de uma unidade para a esquerda (A) = f() = + (B) = f() + = + + (C) = f( + ) = ( + ) + FIGURA EXEMPLO 6 A Figura (A) é o gráfico de f () = e a Figura (B) é uma translação horizontal e vertical de (A). Qual é a equação do gráfico (B)? 4 4 FIGURA (A) f() = (B) Solução O gráfico (B) é obtido transladando o gráfico (A) uma unidade para a direita e uma unidade para baio. Podemos ver isso observando que o ponto (0, 0) do gráfico de f () foi deslocado para (, ). Portanto, (B) é o gráfico de. As mudanças de escala, que podem ser compressões ou epansões, consistem em comprimir ou epandir o gráfico na direção horizontal ou vertical. = f() 4 = f() FIGURA 4 Fator de escala vertical negativo k =. DEFINIÇÃO Mudança de escala Mudança de escala vertical = kf (): se k >, o gráfico é epandido verticalmente pelo fator k. Se 0 < k <, o gráfico é comprimido verticalmente. Quando o fator de escala k é negativo (k < 0), o gráfico também é refletido pelo eio (Figura 4). Mudança de escala horizontal = f (k): se k >, o gráfico é comprimido horizontalmente. Se 0 < k <, o gráfico é epandido. Se k < 0, então o gráfico também é refletido pelo eio. O tamanho vertical de um gráfico é denominado sua amplitude. Assim a mudança de escala vertical muda a amplitude pelo fator k. Lembre que kf () e f (k) são diferentes. O gráfico de = kf () é uma mudança de escala vertical e = f (k) uma mudança de escala horizontal do gráfico de = f (). EXEMPLO 7 Trace os gráficos de f () = sen() e suas duas mudanças de escala f () e f (). Solução O gráfico de f () = sen() é uma curva senoidal de período [completa um ciclo a cada intervalo de comprimento : ver Figura 5(A)].

9 CAPÍTULO Revisão de pré-cálculo 9 O gráfico de = f () = sen() é uma versão comprimida de = f () [Figura 5(B)]. Ele completa três ciclos num intervalo de comprimento em vez de só um ciclo. O gráfico de = f () = sen() difere do de = f () somente na amplitude: é epandido na direção vertical por um fator de [Figura 5(C)] FIGURA 5 Mudança de escala horizontal e vertical de f () = sen(). (A) = f() = sen( ) (B) Compressão horizontal: = f() = sen( ) (C) Epansão vertical: = f() = sen( ). RESUMO Valor absoluto: a = Desigualdade triangular: Há quatro tipos de intervalos com etremidades a e b: Podemos epressar intervalos abertos e fechados usando desigualdades: onde é o ponto médio e é o raio. Distância d entre e : Equação do círculo de raio r e centro (a, b): Um zero ou raiz de uma função f () é um número c tal que f (c) = 0. Teste da reta vertical: uma curva no plano é o gráfico de uma função se, e somente se, cada reta vertical = a intersectar a curva em no máimo um ponto. Função par: f ( ) = f () (o gráfico é simétrico pelo eio ). Função ímpar: f ( ) = f () (o gráfico é simétrico pela origem). Quatro maneiras de transformar o gráfico de f (): f () + c f ( + c) kf () f (k) Translada o gráfico verticalmente por c unidades Translada o gráfico horizontalmente por c unidades (para a esquerda se c > 0) Mudança de escala vertical pelo fator k; se k < 0, o gráfico é refletido pelo eio. Mudança de escala horizontal pelo fator k (compressão se k > ); se k < 0, o gráfico é refletido pelo eio.

10 0 CÁLCULO. EXERCÍCIOS Eercícios preliminares. Dê um eemplo de números a e b tais que a < b e a > b.. Quais números satisfazem a = a? Quais satisfazem a = a? E a = a?. Dê um eemplo de números a e b tais que a + b < a + b. 4. Quais são as coordenadas do ponto que está na interseção das retas = 9 e = 4? 5. Em que quadrante estão os pontos seguintes? (a) (, 4) (b) (, ) (c) (4, ) (d) ( 4, ) 6. Qual é o raio do círculo de equação? 7. A equação f () = 5 tem uma solução se (escolha uma): (a) 5 estiver no domínio de f. (b) 5 estiver na imagem de f. 8. Que tipo de simetria tem o gráfico de f se f ( ) = f ()? Eercícios. Use uma calculadora para obter um número racional r tal que.. Sejam a = e b =. Quais das desigualdades seguintes são verdadeiras? (a) a < b (b) a < b (c) ab > 0 (d) a < b (e) 4a < 4b (f) Nos Eercícios -8, epresse o intervalo em termos de uma desigualdade envolvendo o valor absoluto.. [, ] 4. ( 4, 4) 5. (0, 4) 6. [ 4, 0] 7. [, 5] 8. (, 8) Nos Eercícios 9-, escreva a desigualdade na forma a < < b para certos números a, b. 9. < 8 0. < 8. + < 5. 4 < Nos Eercícios -8, epresse como um intervalo o conjunto de números satisfazendo a condição dada.. < < < < Nos Eercícios 9-, descreva o conjunto como uma união de intervalos finitos ou infinitos. 9. { : 4 > } 0. { : + 4 > }. { : > }. { : + > }. Combine as desigualdades (a)-(f) com as correspondentes afirmações (i)-(vi). (c) (d) a > 5 (e) a 4 < (f) < a < 5 (i) a está à direita de. (ii) a está entre e 7 (iii) A distância de a até 5 é menor do que. (iv) A distância de a até é no máimo. (v) a está a menos do que 5 unidades de. (vi) a está ou à esquerda de 5 ou à direita de Descreva o conjunto como um intervalo. 5. Mostre que se a > b, então b > a, desde que a e b tenham o mesmo sinal. O que acontece se a > 0 e b < 0? 6. Quais satisfazem < e 5 <? 7. Mostre que se e, então (a + b) <. Sugestão: use a desigualdade triangular. 8. Suponha que a e b. (a) Qual é o maior valor possível de a + b? (b) Qual é o maior valor possível de a + b se a e b têm sinais opostos? 9. Suponha que 4. (a) Qual é o maior valor possível de + 4? (b) Mostre que Prove que. Sugestão: aplique a desigualdade triangular a e.. Epresse r = como uma fração. Sugestão: 00r r é um inteiro. Então epresse r = 0,666 como uma fração. (a) a > (b). Represente /7 e 4/7 como dízimas periódicas.

11 CAPÍTULO Revisão de pré-cálculo. No teto afirmamos o seguinte: se as epansões decimais de dois números reais a e b forem iguais até a k-ésima casa, então a distância a b 0 k. Mostre que a recíproca não é verdadeira, ou seja, dado qualquer k, podemos encontrar números reais a e b cujas epansões decimais não têm nenhuma casa igual mas a b 0 k. 4. Esboce cada par de pontos e calcule a distância entre eles: (a) (, 4) e (, ) (b) (, ) e (, 4) (c) (0, 0) e (, ) (d) (, ) e (, ) 5. Determine a equação do círculo de centro (, 4) e raio. 6. Determine a equação do círculo de centro (, 4) e que passa por (, ). 7. Encontre todos pontos de coordenadas inteiras que estão a uma distância de 5 da origem. Então encontre todos pontos de coordenadas inteiras que estão a uma distância de 5 de (, ). 8. Determine o domínio e a imagem da função definida por f (r) = A, f (s) = B, f (t) = B, f (u) = E. 9. Dê um eemplo de uma função cujo domínio D tenha três elementos e a imagem R tenha dois elementos. Eiste alguma função cujo domínio tenha dois elementos e a imagem tenha três elementos? Nos Eercícios 40-48, encontre o domínio e a imagem da função. 40. f () = Nos Eercícios 49-5, encontre o intervalo no qual a função é crescente. 49. f () = f () = 5. f () = 4 5. f () = Nos Eercícios 5-58, encontre os zeros da função e trace seu gráfico esboçando pontos. Use informações de simetria e de crescimento/decrescimento quando for apropriado Quais das curvas na Figura 6 é o gráfico de uma função? (A) (C) FIGURA Decida se a função é crescente, decrescente ou nenhum dos dois. (a) A área da superfície de uma esfera como uma função do raio. (b) A temperatura num ponto na linha do Equador como função do tempo. (c) O preço de uma passagem aérea como função do preço do petróleo. (d) A pressão do gás num pistão como função do volume. Nos Eercícios 6-66, seja f () a função cujo gráfi co está dado na Figura FIGURA 7 (B) (D) 6. Quais são o domínio e a imagem de f ()? 6. Esboce os gráficos de f ( + ) e f () Esboce os gráficos de f (), f e f (). 64. Esboce os gráficos de f ( ) e f ( ). 65. Estenda o gráfico de f () até [ 4, 4] de tal modo que resulte uma função par. 66. Estenda o gráfico de f () até [ 4, 4] de tal modo que resulte uma função ímpar. 67. Suponha que f () tenha domínio [4, 8] e imagem [, 6]. Quais são o domínio e a imagem de: (a) f () + (b) f ( + )

12 CÁLCULO (c) f () (d) f () 68. Seja f () =. Esboce os gráficos das funções seguintes no intervalo [, ]: (a) f ( + ) (b) f () + (c) f (5) (d) 5f () 69. Suponha que o gráfico de f () = sen seja comprimido horizontalmente por um fator e então transladado 5 unidades para a direita. (a) Qual é a equação do novo gráfico? (b) Qual é a equação se primeiro transladarmos por 5 e depois comprimirmos por? (c) Confira suas respostas fazendo o gráfico das equações. 70. A Figura 8 mostra o gráfico de f () = +. Combine as funções (a)-(e) com seus gráficos (i)-(v). (a) f ( ) (b) f () (c) f () + (d) f ( ) (e) f ( + ) = f() = + (i) (ii) 4 = FIGURA 9 = f() 7. Defina f () como o maior dentre e. Esboce o gráfico de f (). Quais são o domínio e a imagem? Epresse f () em termos da função valor absoluto. 74. Para cada curva na Figura 0, decida se é simétrica em relação ao eio, à origem, ambos, ou nenhum desses. (A) (B) (iii) (iv) FIGURA 8 (v) (C) FIGURA Mostre que a soma de duas funções pares é par e que a soma de duas funções ímpares é ímpar. 76. Suponha que f () e g() sejam ambas pares. Quais das funções seguintes são pares? Quais são ímpares? (a) f () g() (b) f () (D) 7. Trace o gráfico de f () e f, onde f () = + (Figura 8). 7. Encontre a função f () cujo gráfico é obtido transladando a parábola = três unidades para a direita e quatro unidades para baio, como na Figura 9. (c) f () g() (d) 77. Dê um eemplo de uma curva que seja simétrica tanto em relação ao eio quanto à origem. Pode o gráfico de uma função ter essas duas simetrias? Sugestão: prove algebricamente que f () = 0 é a única função com tais simetrias. Compreensão adicional e desafios 78. Demonstre a desigualdade triangular somando as duas desigualdades 79. Mostre que se r = a/b é um número racional dado por uma fração irredutível, então r tem uma epansão decimal fi nita se, e somente se, b = n 5 m com n, m naturais. Sugestão: observe que r tem uma epansão decimal finita se 0 N r é um inteiro, para algum N 0 (e portanto b divide 0 N ).

13 CAPÍTULO Revisão de pré-cálculo 80. Seja um inteiro com dígitos. Mostre que Use isso para encontrar a epansão decimal de que. Observe 8. Uma função f () é simétrica em relação à reta vertical = a se f (a ) = f (a + ). (a) Trace o gráfico de uma função que é simétrica em relação a =. (b) Mostre que se f () é simétrica em relação a = a, então g() = f ( + a) é par. 8. Formule uma condição para f () ser simétrica em relação ao ponto (a, 0) no eio.. Funções lineares e quadráticas As funções lineares são as mais simples de todas as funções e seus gráficos (retas) são as mais simples de todas as curvas. Contudo, as funções lineares e as retas desempenham um papel etremamente importante no Cálculo. É importante, por isso, conhecer detalhadamente as propriedades básicas das funções lineares, bem como as diferentes maneiras de escrever a equação de uma reta. Recordemos que uma função linear é uma função do tipo = m + b Δ f () = m + b (m e b constantes) O gráfico de f () é uma reta de inclinação m e, como f (0) = b, o gráfico intersecta o eio no ponto (0, b) (Figura ). O número b é o ponto de corte da reta com o eio e dizemos que a equação = m + b da reta está na forma inclinação-corte. Usamos os símbolos e para denotar a variação (ou incremento) em e = f () ao longo do intervalo [, ] (Figura ): corte com eio b Δ m = Δ Δ A inclinação m da reta é a razão FIGURA A inclinação m é a razão elevação sobre avanço. Isso segue da fórmula = m + b: A inclinação m mede a taa de variação de em relação a. De fato, escrevendo vemos que um incremento de uma unidade em (ou seja, = ) produz uma variação de m unidades em. Por eemplo, se m = 5, então aumenta cinco unidades por unidade de aumento de. A interpretação da inclinação como taa de variação é de importância fundamental no Cálculo. Na Seção., discutiremos isso com mais detalhes. Graficamente, a inclinação m mede a declividade da reta = m + b. A Figura (A) mostra retas de diversas inclinações m. Observe as propriedades seguintes:

14 4 CÁLCULO Declividade: quanto maior o valor absoluto m, maior a declividade da reta. Inclinação negativa: se m < 0, a reta apresenta um declive da esquerda para a direita. f () = m + b é estritamente crescente se m > 0 e estritamente decrescente se m < 0. A reta horizontal = b tem inclinação m = 0 [Figura (B)]. A reta vertical tem equação = c, onde c é uma constante. Informalmente, a inclinação de uma reta vertical é infinita, de modo que não é possível escrever a equação de uma reta vertical na forma inclinação-corte = m + b. 5 5 = c (inclinação infinita) 0,5 0,5 P 0 b P = b (inclinação 0) c (A) Retas por P de diversas inclinações. (B) Retas horizontal e vertical por P. FIGURA Lucros (em milhões) Lucros (em milhões) FIGURA Crescimento de lucros corporativos. ADVERTÊNCIA: Muitas vezes os gráficos são traçados utilizando escalas diferentes para os eios e. Isso é feito para manter os tamanhos desses gráficos dentro do razoável. Contudo, quando as escalas são diferentes, as retas não aparecem com sua verdadeira inclinação. A escala é especialmente importante nas aplicações porque a declividade de um gráfico depende da escolha de unidades para os eios e. Podemos criar impressões subjetivas muito distintas com uma mudança de escala. A Figura mostra o crescimento dos lucros de uma companhia ao longo de um período de quatro anos. Os dois gráficos transmitem a mesma informação mas o gráfico de cima faz esse crescimento parecer mais dramático. Em seguida, vamos rever a relação entre as inclinações de retas paralelas e perpendiculares (Figura 4): Retas de inclinações m e m são paralelas se, e somente se, m = m. Retas de inclinações m e m são perpendiculares se, e somente se, m = /m (ou m m = ). inclinação = m inclinação = m inclinação = m inclinação = m FIGURA 4 Retas paralelas e perpendiculares. (A) Retas paralelas (B) Retas perpendiculares

15 CAPÍTULO Revisão de pré-cálculo 5 Como já mencionamos, é importante conhecer bem as diferentes maneiras de escrever a equação de uma reta. A equação linear geral é a + b = c (a, b ) a a (a, b ) b b em que a e b não são ambos zero. Para b = 0, isso dá a reta vertical a = c. Quando b 0, podemos reescrever () na forma inclinação-corte. Por eemplo, 6 + = pode ser reescrita como. Freqüentemente utilizamos duas outras formas, a ponto-inclinação e a ponto-ponto. Dados um ponto P = (a, b) e uma inclinação m, a equação da reta pelo ponto P com inclinação m é b = m( a). Analogamente, a reta por dois pontos distintos e tem inclinação (Figura 5) FIGURA 5 A inclinação da reta entre e é. Portanto, podemos escrever sua equação como. Equações para retas. Forma ponto-inclinação: A reta por P = (a, b) com inclinação m tem equação b = m( a). Forma ponto-ponto: A reta por e tem equação 8 = + 8 EXEMPLO Reta de inclinação dada por um ponto dado Encontre a equação da reta por (9, ) de inclinação. Solução Podemos escrever a equação diretamente em forma ponto-inclinação: P = (9, ) 9 FIGURA 6 A reta por P = (9, ) de inclinação. Na forma inclinação-corte: ou. Ver Figura 6. EXEMPLO Reta por dois pontos Encontre a equação da reta L por (, ) e (9, 5). Solução A reta L tem inclinação Como (9, 5) é um ponto de L, sua equação é. ENTENDIMENTO CONCEITUAL Podemos definir os incrementos e ao longo do intervalo para qualquer função f () (linear ou não) mas, em geral, a razão / depende do intervalo. A propriedade característica de uma função linear f () = m + b é que / tem o mesmo valor m para cada intervalo (Figura 7).

16 6 CÁLCULO Em outras palavras, tem uma taa de variação constante em relação a. Podemos usar essa propriedade para testar se duas quantidades estão relacionadas por uma equação linear (ver Eemplo ). Δ Δ Δ Δ FIGURA 7 Gráfico de uma função linear. A razão Δ/Δ é a mesma em qualquer intervalo. Gráfico de uma função nãolinear. A razão Δ/Δ varia, dependendo do intervalo. EXEMPLO Testando para uma relação linear A Tabela dá a medição da pressão P de um gás em temperaturas T diferentes. Esses dados sugerem uma relação linear entre P e T? Solução Calculamos constante: em pontos de dados sucessivos e conferimos se essa razão é Dados eperimentais reais dificilmente revelam linearidade perfeita, mesmo se os pontos de dados estiverem, essencialmente, numa reta. O método de regressão linear é utilizado para encontrar a função linear que melhor se ajusta aos dados. P (pressão) T (temperatura) FIGURA 8 A reta pelos pontos dos dados de pressão-temperatura. Como P/ T tem o valor constante 0,6, os pontos de dados estão numa reta de inclinação 0,6 (isso é confirmado pelo esboço na Figura 8). A reta passa pelo primeiro ponto de dados (70; 8,4), de modo que sua equação em forma ponto-inclinação é P 87,4 = 0,6(T 70) Uma função quadrática é uma função definida por um polinômio quadrático (a, b, c constantes, com a 0) O gráfico de f () é uma parábola (Figura 9). A parábola abre para cima se o coeficiente dominante a for positivo e para baio se a for negativo. O discriminante de f () é a quantidade

17 CAPÍTULO Revisão de pré-cálculo 7 As raízes de f () são dadas pela fórmula quadrática ou de Bhaskara (ver Eercício 56): Raízes de O sinal de D determina se f () tem ou não tem raízes reais (Figura 9). Se D > 0, então f () tem duas raízes reais e, se D = 0, tem uma raiz real (uma raiz dupla ). Se D < 0, então é imaginário e f () não tem raízes reais. Duas raízes reais a > 0 e D > 0 Raízes duplas a > 0 e D = 0 Nenhuma raiz real a > 0 e D < 0 Duas raízes reais a < 0 e D > 0 FIGURA 9 Quando f () tem duas raízes reais e, então f () pode ser fatorado como Por eemplo, tem discriminante e, pela fórmula quadrática, suas raízes são ( ± )/4, ou e. Portanto, A técnica de completar o quadrado consiste em escrever um polinômio quadrático como um múltiplo de um quadrado mais uma constante: Não é necessário memorizar essa fórmula, mas é importante saber como eecutar um completamento de quadrado. Os tetos cuneiformes escritos em placas de argila mostram que o método de completar o quadrado era conhecido dos matemáticos babilônicos da antigüidade que viveram há cerca de 4000 anos. EXEMPLO 4 Completando o quadrado Complete o quadrado do polinômio quadrático. Solução Primeiro fatoramos o coeficiente dominante: Depois completamos o quadrado para o termo :

18 8 CÁLCULO Desse modo, O método de completar o quadrado pode ser usado para encontrar o valor mínimo ou máimo de uma função quadrática. 9 5 EXEMPLO 5 Encontrando o mínimo de uma função quadrática Complete o quadrado e encontre o valor mínimo da função quadrática. Solução Temos FIGURA 0 O gráfico de. Assim, para cada e o valor mínimo de é (Figura 0).. RESUMO Uma função da forma f () = m + b é denominada função linear. A equação geral de uma reta é a + b = c. A reta = c é horizontal e = c é vertical. Há três maneiras convenientes de escrever a equação de uma reta não-vertical: Forma inclinação-corte: = m + b (inclinação m e corte b com o eio ) Forma ponto-inclinação: b = m( a) [inclinação m, passa por (a, b)] Forma ponto-ponto: a reta pelos dois pontos e tem inclinação e equação. Duas retas de inclinações e são paralelas se, e somente se, e são perpendiculares se, e somente se,. As raízes da função quadrática são dadas pela fórmula quadrática, onde é o discriminante. As raízes são reais se D > 0 e compleas (com parte imaginária não-nula) se D < 0. A técnica de completar o quadrado consiste em escrever uma função quadrática como um múltiplo de um quadrado mais uma constante.. EXERCÍCIOS Eercícios preliminares. Qual é a inclinação da reta = 4 9?. As retas = + e = 4 são perpendiculares?. Quando é a reta a + b = c paralela ao eio? E ao eio? 4. Seja = +. Quanto é se tiver um acréscimo de? 5. Qual é o mínimo de? 6. Qual é o resultado de completar o quadrado de?

19 CAPÍTULO Revisão de pré-cálculo 9 Eercícios Nos Eercícios -4, encontre a inclinação, o corte com o eio e o corte com o eio da reta de equação dada.. = +. = 4 b = 4. Nos Eercícios 5-8, encontre a inclinação da reta. 5. = + 6. = ( 9) = = 8 Nos Eercícios 9-0, encontre a equação da reta com a descrição dada. 9. Inclinação, corta em 8 o eio 0. Inclinação, corta em o eio. Inclinação, passa por (7, 9). Inclinação 5, passa por (0, 0). Horizontal, passa por (0, ) 4. Passa por (, 4) e (, 7) 5. Paralela a = 4 e passa por (, ) 6. Passa por (, 4) e (, ) 7. Perpendicular a + 5 = 9 e passa por (, ) 8. Vertical e passa por ( 4, 9) 9. Horizontal, passa por (8, 4) 0. Inclinação, corta em 6 o eio. Encontre a equação do bissetor perpendicular do segmento ligando (, ) e (5, 4) (Figura ). Sugestão: o ponto médio Q do segmento ligando (a, b) a (c, d) é. FIGURA A reta de equação.. Encontre a equação da reta que corta o eio em = 4 e o eio em =. 4. Uma reta de inclinação m = passa por (, 4). Encontre tal que (, ) esteja na reta. 5. Determine se eiste alguma constante c tal que a reta + c = (a) tenha inclinação 4 (b) passe por (, ) (c) seja horizontal (d) seja vertical 6. Suponha que o número N de entradas de um concerto que podem ser vendidas a um preço de P dólares por entrada seja uma função linear N(P) para 0 P 40. Determine N(P) (denominada função demanda) se N(0) = 500 e N(40) = 0. Qual é o decréscimo N no número de entradas vendidas se o preço for aumentado em P = 5 dólares? 7. O calor epande os materiais. Considere uma barra de metal de comprimento a uma temperatura. Se a temperatura variar por uma quantidade T, então o comprimento do bastão varia, onde é o coeficiente de epansão termal. Para o aço,. (a) Um bastão de aço tem comprimento = 40 cm a = 40 C. Qual é o comprimento a T = 90 C? (b) Encontre seu comprimento a T = 50 C se seu comprimento a = 00 C for 65 pol. (c) Epresse o comprimento L como uma função de T se = 65 pol a = 00 C. a Bissetor perpendicular (5, 4) 8. Os pontos (0,5; ), (;,) e (; ) estão num reta? 9. Encontre b tal que (, ), (, ) e (b, 5) estejam numa reta. (, ) Q 0. Encontre uma epressão para a velocidade v como função de t que combine com a tabela seguinte. FIGURA. Forma corte-corte Mostre que a reta de corte = a com o eio e = b com o eio tem equação (Figura ). Foi medido o período T de vários pêndulos de comprimentos L diferentes. Baseado nos dados a seguir, T parece ou não ser uma função linear de L?

20 0 CÁLCULO. Mostre que f () é linear de inclinação m se, e somente se, f ( + h) f () = mh (para quaisquer e h). Encontre as raízes dos polinômios quadráticos: (a) (b) Nos Eercícios 4-4, complete o quadrado e encontre o valor mínimo ou máimo da função quadrática Quando suspendemos objetos de pesos e na balança da Figura (A), o travessão da balança está horizontal se. Se os comprimentos a e b forem conhecidos, podemos usar essa equação para determinar um peso desconhecido selecionando de tal maneira que o travessão esteja horizontal. Se a e b não forem conhecidos precisamente, podemos proceder como segue. Primeiro equilibramos por à esquerda como em (A). Em seguida, trocamos de lado e equilibramos por à direita como em (B). A média dá uma estimativa para. Mostre que é maior do que ou igual ao verdadeiro peso de a b a b 4. Trace o gráfico de esboçando as raízes e o ponto mínimo. 4. Trace o gráfico de esboçando o ponto mínimo, o ponto de corte com o eio e mais algum outro ponto. 44. Se, numa população, os alelos A e B do gene da fibrose cística ocorrem com freqüências p e p (onde p é uma fração entre 0 e ), então a freqüência de portadores heterozigotos (que têm ambos alelos) é p( p). Qual valor de p dá a maior freqüência de portadores heterozigotos? 45. A função tem uma raiz dupla para quais valores de c? E nenhuma raiz real? 46. Sejam f () uma função quadrática e c uma constante. Qual afirmação está correta? Eplique graficamente. (a) Eiste um único valor de c tal que = f () c tem uma raiz dupla. (b) Eiste um único valor de c tal que = f ( c) tem uma raiz dupla. w (A) ( B) FIGURA 50. Encontre números e cuja soma é 0 e o produto é 4. Sugestão: encontre um polinômio quadrático satisfeito por. 5. Encontre um par de números cuja soma e produto sejam, ambos, iguais a Mostre que o gráfico da parábola consiste em todos pontos P tais que, onde é a distância de P a e é a distância de P à reta horizontal (Figura 4). = w 47. Prove que para cada > 0. Sugestão: considere. 48. Sejam a, b > 0. Mostre que a média geométrica não é maior do que a média aritmética. Sugestão: use uma variação da sugestão dada no Eercício d FIGURA 4 P = (, ) d Compreensão adicional e desafios 5. Mostre que se f () e g() forem lineares, então f () + g() também é. Vale o mesmo para f () g()? 54. Mostre que se f () e g() forem funções lineares tais que f (0) = g(0) e f () = g(), então f () = g(). 55. Mostre que a razão / da função não é constante ao longo do intervalo, pois depende do intervalo. Determine eatamente como / depende de e. 56. Use a Equação () para deduzir a fórmula quadrática das raízes de. 57. Sejam a, c 0. Mostre que as raízes de e são recíprocas uma da outra. 58. Complete o quadrado para mostrar que as parábolas e têm o mesmo formato (mostre que a segunda parábola é congruente à primeira por meio de translação vertical e horizontal). 59. Demonstre as fórmulas de Viète, que afirmam que o polinômio quadrático que tem raízes dadas pelos números e é, onde e.

21 CAPÍTULO Revisão de pré-cálculo. Classes básicas de funções Seria impossível (e inútil) descrever todas as possíveis funções f (). Como os valores de uma função podem ser dados arbitrariamente, uma função escolhida aleatoriamente seria provavelmente tão complicada que não saberíamos nem traçar seu gráfico nem descrevê-la de alguma maneira razoável. No entanto, o Cálculo não tenta tratar com todas funções possíveis. As técnicas do Cálculo, mesmo poderosas e gerais como são, aplicam-se somente a funções que sejam suficientemente bem comportadas (quando estudarmos a derivada no Capítulo, veremos o que significa bom comportamento). Felizmente, tais funções são adequadas para uma grande variedade de aplicações. Neste teto, tratamos principalmente com as seguintes classes de funções bem comportadas, importantes e conhecidas: polinômios funções racionais funções algébricas funções eponenciais funções trigonométricas Polinômios: para qualquer número real m, a função é denominada função potência de epoente m. Um polinômio é a soma de múltiplos de funções potência de epoentes naturais (Figura ): 5 Assim, a função não é um polinômio pois inclui uma função potência de epoente negativo. O polinômio geral na variável pode ser escrito FIGURA O polinômio. Os números são denominados coeficientes. O grau de P() é n (supondo que 0). O coeficiente é denominado coeficiente dominante. O domínio de P() é R. 5 Funções racionais: uma função racional é o quociente de dois polinômios (Figura ): [P () e Q () polinômios] Cada polinômio é, também, uma função racional [com Q() = ]. O domínio de uma função racional é o conjunto de números tais que Q() 0. Por eemplo, FIGURA A função racional.

22 CÁLCULO Funções algébricas: uma função algébrica é obtida quando tomamos somas, produtos e quocientes de raízes de polinômios e funções racionais (Figura ): FIGURA A função algébrica. Um número pertence ao domínio de f se cada epressão na fórmula de f estiver definida e o resultado não envolver divisão por zero. Por eemplo, g(t) acima está definida se t 0 e, portanto o domínio de g(t) é D = {t : t 0 e t 4}. Mais geralmente, as funções algébricas são definidas por equações polinomiais entre e. Nesse caso, dizemos que está definido implicitamente como função de. Por eemplo, a equação define implicitamente como função de. Funções eponenciais: a função, onde b > 0, é denominada função eponencial de base b. Alguns eemplos são A função é crescente se b > e decrescente se b < (Figura 4). A inversa de é a função logaritmo. Essas função serão estudadas detalhadamente no Capítulo 7. FIGURA 4 Funções eponenciais. f() = b com b > f() = b com b < Qualquer função que não seja algébrica é chamada transcendente. As funções eponenciais e trigonométricas constituem eemplos. Outras funções transcendentes, como a função gama e as funções de Bessel, ocorrem em aplicações avançadas à Física, Engenharia e Estatística. A palavra transcendente para descrever funções desse tipo foi utilizada nos anos 670 por Gottfried Wilhelm Leibniz (646-76). Funções trigonométricas: as funções construídas a partir de sen e cos são denominadas funções trigonométricas. Essas funções serão discutidas na próima seção. Construindo novas funções Se f e g são funções, podemos construir funções novas formando as funções soma, diferença, produto e quociente: Por eemplo, se e g() = sen, então

23 CAPÍTULO Revisão de pré-cálculo Também podemos multiplicar funções por constantes. Uma função do tipo é denominada uma combinação linear de f () e g(). A composição é uma outra maneira importante de construir funções novas. A composição de f e g é a função, definida para os valores de do domínio de g tais que g() esteja no domínio de f. EXEMPLO Calcule as funções compostas e e discuta seus domínios, sendo O Eemplo mostra que a composição de funções não é comutativa: as funções e podem ser diferentes. Solução Temos A raiz quadrada está definida se 0 ou se, portanto o domínio de é { : }. Por outro lado, O domínio de é { : 0}. As funções inversas serão discutidas na Seção 7.. Funções elementares Revisamos algumas das funções mais básicas e conhecidas da Matemática. Todas essas funções podem ser encontradas em qualquer calculadora científica. Funções novas podem ser produzidas usando as operações de adição, multiplicação e divisão, bem como composição, etração de raízes e também tomando inversas. É conveniente nos referirmos a uma função construída dessa maneira a partir das funções básicas listadas anteriormente como uma função elementar. As funções seguintes são elementares:. RESUMO Para qualquer número real m, a função é denominada função potência de epoente m. Um polinômio P() é uma soma de múltiplos de funções potência, onde m é um número natural: Esse polinômio tem grau n (supondo que 0) e é denominado coeficiente dominante. Uma função racional é um quociente P()/Q() de dois polinômios. Uma função algébrica é produzida tomando somas, produtos e raízes enésimas de polinômios e funções racionais. Funções eponenciais:, onde b > 0 (b é denominada base). A função composta é definida por. O domínio de é o conjunto dos do domínio de g tais que g() pertença ao domínio de f.

24 4 CÁLCULO. EXERCÍCIOS Eercícios preliminares. Dê um eemplo de uma função racional.. Será uma função polinomial? E? 4. Será crescente ou decrescente? 5. Dê um eemplo de uma função transcendente.. O que tem de incomum o domínio de para e? Eercícios Nos Eercícios -, determine o domínio da função Nos Eercícios -4, identifi que cada uma das funções como polinomial, racional, algébrica ou transcendente Será uma função transcendente? 6. Mostre que e são funções racionais (mostrando que cada uma é um quociente de polinômios). Nos Eercícios 7-4, calcule as funções compostas e, determinando seus domínios A população (em milhões) de um país como função do tempo t (anos) é, com k = 0,. Mostre que a população dobra a cada 0 anos. Mais geralmente, mostre que para quaisquer constantes não-nulas a e k, a função duplica a cada /k anos. 6. Encontre todos os valores de c para os quais o domínio de seja R. Compreensão adicional e desafios de uma fun- Nos Eercícios 7-4, defi nimos a diferença primeira ção f () por. 7. Mostre que se, então. Calcule para e. 8. Mostre que e, em geral, que para alguma constante c. 9. Mostre que e, para quaisquer duas funções f e g, onde c é uma constante qualquer. 40. As diferenças primeiras podem ser usadas para deduzir fórmulas para a soma de potências k-ésimas. Suponha que saibamos encontrar uma função P() tal que e P(0) = 0. Prove que e, mais geralmente, para qualquer número natural n, 4. Mostre primeiro que satisfaz. Em seguida, aplique o Eercício 40 para concluir que

25 CAPÍTULO Revisão de pré-cálculo 5 (a) Mostre que 4. Calcule e. Então encontre um polinômio P() de grau tal que e P(0) = 0. Conclua que 4. Este eercício, combinado com o Eercício 40, mostra que, para todo k, eiste um polinômio P(n) satisfazendo a Equação (). A solução requer prova por indução e o teorema binomial (ver Apêndice C). onde os pontos indicam os termos envolvendo potências menores de. (b) Mostre por indução que, para todo número natural k, eiste um polinômio de grau k + com coeficiente dominante /(k + ): tal que e P(0) = 0..4 Funções trigonométricas Começamos nossa revisão de Trigonometria recordando os dois sistemas de medição de ângulos: radianos e graus. Esses sistemas são melhor descritos usando a relação entre ângulos e rotação. Como é costume, utilizamos a letra grega minúscula teta, escrita, para denotar ângulos e rotação. Q Q θ = θ = O θ P O P = Q O P O P θ = 4 Q (A) (B) (C) (D) FIGURA A medida em radianos de uma rotação é o comprimento do arco percorrido por P quando roda até Q. TABELA Rotação Dois círculos inteiros Círculo inteiro Meio círculo Um quarto de círculo Um seto de círculo O FIGURA Num círculo de raio r, o arco percorrido por uma rotação de ângulo de radianos tem comprimento. θ r Medida em radianos θ r A Figura (A) mostra um círculo unitário de raio numa rotação anti-horária até o raio. A medida em radianos dessa rotação é o comprimento do arco circular percorrido por P quando roda até Q. O círculo unitário tem circunferência. Portanto, uma rotação de um círculo inteiro tem medida em radianos de [Figura (B)]. A medida em radianos de uma rotação de um quarto de círculo é [Figura (C)] e, em geral, a rotação de um enésimo do círculo tem medida em radianos de (Tabela ). Uma rotação negativa (com ) é uma rotação no sentido horário [Figura (D)]. Num círculo de raio r, o arco percorrido por uma rotação anti-horária de ângulo de radianos tem comprimento (Figura ). Agora considere o ângulo da Figura (A). A medida em radianos de é definida como a medida em radianos de uma rotação que leva em. Observe que cada rotação tem uma medida em radianos única, mas a medida em radianos de um ângulo não é única. Por eemplo, a rotação de um ângulo e levam, ambas, em. Embora a rotação por faça uma viagem adicional em torno do círculo, e representam o mesmo ângulo. Em geral, dois ângulos coincidem se as rotações correspondentes diferirem por um múltiplo inteiro de. Por eemplo, o ângulo pode ser representado por ou, já que

26 6 CÁLCULO Cada ângulo tem uma medida em radianos única satisfazendo. Com essa escolha, o ângulo subentende um arco de comprimento num círculo de raio r. Os graus são definidos pela divisão do círculo (não necessariamente o unitário) em 60 partes. Um grau é (/60)-avo de um círculo. Uma rotação de ângulo graus (denotado ) é uma rotação de fração /60 do círculo inteiro. Por eemplo, uma rotação de 90 é uma rotação de fração 90/60, ou de um círculo. Assim como ocorre com radianos, cada rotação tem uma medida em graus única, mas a medida em graus de um ângulo não é única. Dois ângulos coincidem se sua medida em graus diferir por um múltiplo inteiro de 60. Cada ângulo tem uma medida em graus única satisfazendo. Por eemplo, os ângulos 45 e 675 coincidem, pois 675 = Para fazer a conversão entre radianos (que se abrevia rad ) e graus, lembre que radianos é igual a 60. Dessa forma, rad é igual a 60/ ou 80/ graus. A medida em radianos costuma ser a melhor escolha para fins matemáticos, mas há boas razões práticas para usar graus. O número 60 tem muitos divisores (60 = 8 9 5) e, conseqüentemente, muitas partes fracionárias do círculo podem ser epressas como um número inteiro de graus. Por eemplo, um quinto do círculo é 7, dois nonos é 80, três oitavos é 5, etc. Para converter de radianos para graus, multiplique por 80/. Para converter de graus para radianos, multiplique por /80. EXEMPLO Converta (a) 55 em radianos e (b) 0,5 radianos em graus. Solução (a) (b) Convenção: A menos de menção eplícita em contrário, sempre medimos ângulos em radianos. Hipotenusa c b Oposto As funções trigonométricas sen e cos são definidas em termos de triângulos retângulos. Seja um ângulo agudo num triângulo retângulo e denotemos os lados como na Figura. Então θ FIGURA a Adjacente Uma desvantagem dessa definição é que só faz sentido se estiver entre 0 e / (porque um ângulo num triângulo retângulo não pode eceder /). Contudo, o seno e o cosseno também podem ser definidos em termos do círculo unitário e essa definição é válida para todos ângulos. Seja P = (, ) um ponto no círculo unitário correspondente ao ângulo, como na Figura 4(A). Então definimos: cos = coordenada de P, sen = coordenada de P Isso está de acordo com a definição por triângulo retângulo quando. Além disso, vemos na Figura 4(C) que sen é uma função ímpar e cos é uma função par: P = (cos θ, sen θ ) (, ) θ θ θ θ FIGURA 4 As definições de seno e cosseno do círculo unitário são válidas para todos ângulos. (A) P = (cos θ, sen θ ) (B) (C) (, )

27 CAPÍTULO Revisão de pré-cálculo 7 Embora utilizemos uma calculadora para calcular o seno e o cosseno de ângulos mais gerais, os valores padrão listados na Figura 5 e Tabela aparecem muito e deveriam ser memorizados. (, ) (, ) (, ) (0, ) /6 /4 / / FIGURA 5 Quatro ângulos padrão: as coordenadas e dos pontos são cos e sen. FIGURA 6 O gráfico de = sen é gerado quando o ponto percorre o círculo unitário. θ θ θ As funções sen e cos são definidas para qualquer número real e não é necessário pensar em como sendo um ângulo. Muitas vezes escrevemos sen e cos, usando em vez de. Dependendo da aplicação, a interpretação de ângulo pode ser ou não apropriada. O gráfico de = sen é a conhecida onda senoidal ou, simplesmente, senóide, mostrada na Figura 6. Observe como o gráfico é gerado pela coordenada de um ponto que percorre o círculo unitário. O gráfico de = cos tem o mesmo formato, mas é transladado unidades para a esquerda (Figura 7). Os sinais de sen e cos variam quando o ponto P = (cos, sen ) do círculo unitário muda de quadrante (Figura 7). Quadrante do círculo unitário I II III IV I II III IV FIGURA 7 Os gráficos de = sen e = cos ao longo de um período de comprimento = sen θ 7 4 θ = cosθ 7 4 θ

28 8 CÁLCULO Uma função f () é dita periódica de período T se f ( + T) = f () (para cada ) e T é o menor número positivo com essa propriedade. As funções seno e cosseno são periódicas com período T =, já que ângulos que diferem por um múltiplo inteiro de k correspondem ao mesmo ponto do círculo unitário (Figura 8): FIGURA 8 O seno e o cosseno têm período. = sen 4 = cos 4 Hipotenusa c b Oposto Lembre que há outras quatro funções trigonométricas padrão, cada uma definida em termos de sen e cos ou como razões dos lados de um triângulo retângulo (Figura 9): FIGURA 9 a Adjacente Essas funções são periódicas (Figura 0): = tg e = cotg têm período, = sec e = cossec têm período (ver Eercício 5). 5 5 = tg = cotg = sec = cossec FIGURA 0 Gráficos das funções trigonométricas padrão. EXEMPLO Calculando valores de funções trigonométricas funções trigonométricas em. Encontre os valores das seis Solução O ponto P do círculo unitário que corresponde ao ângulo fica do lado oposto ao ponto de ângulo (Figura ). Assim, vemos que (usando a Tabela ) (, ) 4 Os demais valores são P = (, ) FIGURA

29 CAPÍTULO Revisão de pré-cálculo 9 EXEMPLO Encontre os ângulos tais que sec =. Solução Como sec = /cos, devemos resolver cos. Pela Figura, vemos que e são soluções. Podemos somar qualquer múltiplo inteiro de, de modo que a solução geral é, com k um inteiro qualquer. EXEMPLO 4 Esboce o gráfico de em. FIGURA cos = / para = ± /. Observação: para transladar o gráfico de = cos para a esquerda por unidades, devemos trocar por para obter. É incorreto tomar. Solução O gráfico é obtido mudando a escala e transladando o gráfico de = cos em três passos (Figura ): Compressão horizontal pelo fator : = cos Translação para a esquerda por unidades: = cos Epansão vertical pelo fator : = cos Compressão horizontal pelo fator Translação horizontal de / unidades Epansão vertical pelo fator (A) = cos (B) = cos (periódica de período ) (C) = cos ( + ) (D) = cos ( + ) FIGURA A epressão costuma ser denotada por. Por eemplo, é o quadrado de. Utilizamos notação semelhante para as outras funções trigonométricas. Identidades trigonométricas Uma característica essencial das funções trigonométricas é que elas satisfazem um grande número de identidades. Em primeiro e mais destacado lugar, o seno e o cosseno satisfazem a seguinte identidade fundamental, que é equivalente ao Teorema de Pitágoras: Versões equivalentes são obtidas dividindo a Equação () por ou : Aqui está uma lista de outras identidades usadas freqüentemente.

30 0 CÁLCULO ψ Identidades trigonométricas básicas c b Ângulos complementares: θ a FIGURA 4 Para ângulos complementares e sen = cos e sen = cos. temos Fórmulas de adição: Fórmulas de ângulo duplo: Fórmulas de translação: Hipotenusa 5 Oposto EXEMPLO 5 Suponha que. Calcule tg se (a) e (b). Solução Usamos a identidade para determinar sen : θ Adjacente FIGURA 5 (a) Se, então sen é positivo e tomamos a raiz quadrada positiva: sen θ θ θ Uma boa maneira de visualizar essa conta é traçar um triângulo retângulo com um ângulo tal que, como na Figura 5. Pelo Teorema de Pitágoras, o lado oposto tem, então, um comprimento. (b) Supondo que, segue que sen é negativo e tg. θ = θ + sen θ FIGURA 6 ou. θ = θ se EXEMPLO 6 Uma identidade trigonométrica Resolva a equação sen 4 + sen = 0 para. Solução Precisamos encontrar os ângulos tais que sen 4 = sen. Inicialmente, determinemos quais ângulos e satisfazem sen = sen. A Figura 6 mostra que isso ocorre se = ou = +. Como a função seno é periódica de período, onde k é um inteiro. Tomando = 4 e =, vemos que A primeira equação dá ou e a segunda equação dá ou. Obtemos oito soluções em (Figura 7) = sen 4 + sen FIGURA 7 Soluções de sen 4 + sen = 0. Concluímos esta seção enunciando a lei dos cossenos, que é uma generalização do Teorema de Pitágoras (Figura 8).